2. ©ÃdUÀtÂvÀ (Algebra) :

©ÃdUÀtÂvÀªÀÅ ZÀgÁPÀëgÀ (UÉÆwÛ®èzÀ ¸ÀASÉå)PÉÌ ¹ÜgÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆlÄÖ ªÀåªÀºÀj¸ÀĪÀ UÀtÂvÀ ±Á¸ÀÛçzÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀªÁVzÉ.

¨sÁ¸ÀÌgÁZÁAiÀÄðgÀÄ ©ÃdUÀtÂvÀzÀ ªÉÄÃ¯É ¥ÀĸÀÛPÀ §gÉ¢zÀÝgÉAzÀgÉ CzÀgÀ ªÀĺÀvÀézÀ CjªÁUÀÄvÀÛzÉ.

D¸ÀQÛUÁV PɼÀV£À UÀtÂvÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ½UÉ GvÀÛgÀ ºÉüÀÄ«gÁ?

1. 10.5*9.5 gÀ ¨É¯É ¸ÀÄ®¨sÀªÁV PÀAqÀÄ»r.

2. 2 ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 8. CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 400 DzÀgÉ, ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ? (°Ã¯ÁªÀw: ±ÉÆèÃPÀ 59)

3. £À£Àß ªÀÄvÀÄÛ £À£Àß vÀAzÉAiÀÄ MlÄÖ ¥ÁæAiÀÄ 55 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. 16 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ £À£Àß vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀĸÀÄì £À£Àß ªÀAiÀĹì£À JgÀqÀgÀµÁÖUÀĪÀÅzÁzÀgÉ, FUÀ £À£Àß ªÀAiÀĸÉìµÀÄÖ?

4. ¤ÃªÀÅ, ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀgÀÄ MnÖUÉ MAzÀÄ ¥ÀæªÁ¸ÀPÉÌ ºÉÆÃUÀ®Ä §AiÀĸÀÄwÛÃj. DºÁgÀPÁÌV MlÄÖ 480gÀÆ. RZÁðUÀÄvÀÛzÉAzÀÄ ¯ÉPÀÌ ºÁQ¢j. DzÀgÉ PÉÆ£ÉAiÀÄ PÀëtzÀ°è 8 ªÀÄA¢ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀgÀÄ ¥ÀæªÁ¸ÀPÉÌ ºÉÆÃUÀ°®è. EªÀgÀÄ ¨ÁgÀ¢zÀÄÝzÀjAzÀ, ¥ÀæwAiÉƧâgÀÆ DºÁgÀPÁÌV 10gÀÆ. ºÉaÑUÉ PÉÆqÀ¨ÉÃPÁ¬ÄvÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ ¥ÀæwAiÉƧâgÀÆ PÉÆ£ÉUÉ PÉÆlÖ ºÀt JµÀÄÖ?

5. MAzÀÄ «ªÀiÁ£ÀªÀÅ ¤UÀ¢vÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄQÌAvÀ 30 ¤«ÄµÀ vÀqÀªÁV ºÉÆgÀnvÀÄ. CzÀÄ ¥ÀAiÀÄt¸À¨ÉÃPÁzÀ zÀÆgÀ 1500 Q.«Ä. ¤UÀ¢vÀ ¸ÀªÀÄAiÀÄPÉÌà C°èUÉ vÀ®Ä¥À®Ä CzÀÄ vÀ£Àß ªÉÃUÀªÀ£ÀÄß ªÀiÁªÀÄÆ®Ä ªÉÃUÀQÌAvÀ 250Q.«Ä. £ÀµÀÄÖ ºÉaѸÀ¨ÉÃPÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CzÀgÀ ªÀiÁªÀÄÆ®Ä ªÉÃUÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁªÀÄÆ®Ä CªÀ¢ü PÀAqÀÄ»r¬Äj.

F ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄÄA¢£À ¥ÁoÀ 2.4, 2.8, 2.14, 2.19 UÀ¼À°è ©r¸À°zÉÝêÉ.

2.1 ©ÃdUÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ® PÀ®à£ÉUÀ¼ÀÄ:

§zÀ¯ÁUÀzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¹ÜgÁAPÀ(Constant) J£ÀÄߪÀgÀÄ. ªÁ¸ÀÛ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼É®èªÀÇ ¹ÜgÁAPÀUÀ¼ÀÄ.

GzÁ: - 4, 0, 1/3, 5/2, 1.19,

¹ÜgÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®èzÉà AiÀiÁªÀÅzÉà ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħ®è ¸ÀAPÉÃvÀªÉà ZÀgÁPÀëgÀ(Variable). ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß EAVèµï CPÀëgÀUÀ½AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. GzÁ - x, y, a+b.

©ÃeÁPÀëgÀ ¥ÀzÀ(Algebraic term) : AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉå, ©Ãd¸ÀASÉå CxÀªÁ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À UÀÄt®§Þ CxÀªÁ ¨sÁUÀ®§ÞªÀ£ÀÄß ©ÃeÁPÀëgÀ ¥ÀzÀ J£ÀÄߪÀgÀÄ. GzÁ - 4ab, 2x, 3y, 10, z, m/n, -p/q…

FUÀ MAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÉÆÃt: 2x= 2*x EzÀÄ 2 ªÀÄvÀÄÛ x UÀ¼À UÀÄt®§Þ. ‘2’ £ÀÄß 2x£À ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ (numerical co-efficient) J£ÀÄߪÀgÀÄ. ‘x’£ÀÄß ©Ãd¸ÀASÉå, ©Ãd¸ÀºÀUÀÄtPÀ CxÀªÁ ZÀgÁPÀëgÀ(literal factor or literal co-efficient) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

MAzÉà ©Ãd¸ÀASÉåAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà WÁvÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉ¢gÀĪÀ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀeÁw ¥ÀzÀ(like terms)UÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ.

GzÁ:

(x, 2x, -7x)                ---> E°è ZÀgÁPÀëgÀ x ªÀiÁvÀæ.

(2mn, 5mn, -1/3mn)     ---> E°è ©Ãd ¸ÀºÀUÀÄtPÀ: mn

(x³, 5 x³, -5/6 x³)        ---> E°è x³ JA§ÄzÀÄ ©Ãd¸ÀºÀUÀÄtPÀ. F ªÀÄÆgÀÆ ¥ÀzÀUÀ¼À°è ZÀgÁPÀëgÀzÀ WÁvÀ 3.

¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ©Ãd ¸ÀASÉåAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ WÁvÀUÀ½gÀĪÀ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß «eÁw ¥ÀzÀ (unlike terms)UÀ¼ÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

GzÁ:

(x, x³, x²)                ---> [E°è ZÀgÁPÀëgÀ MAzÉà DzÀgÀÆ WÁvÀ ¸ÀÆaUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ (1, 3, 2)]

(2x, 2a,-2mn)          ---> (E°è ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgɨÉÃgÉ x, a, mn)

©ÃeÉÆÃQ Û(Algebraic expression) : MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ + CxÀªÁ – aºÉßUÀ½AzÀ ¸ÀºÀAiÉÆÃUÀªÁVzÀÝgÉ, CªÀ£ÀÄß ©ÃeÉÆÃQÛÛUÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ.

GzÁ : 4x+ax³+9x²+ (2a/3b), -2mn+45+ y^-2+ +

§ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ(polynomial)  : zsÀ£ÁvÀäPÀªÁzÀ ¥ÀÇuÁðAPÀ WÁvÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ©ÃeÁPÀëgÀ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ.

GzÁ: 4x+ax³+9x²+ (2a/3b), -2mn+45

«.¸ÀÆ: y^-2+ x^3/2 EzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ®è. KPÉAzÀgÉ yAiÀÄ WÁvÀ: – 2, x£À WÁvÁAPÀ 3/2 – F JgÀqÀÆ WÁvÁAPÀUÀ¼ÀÄ zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À®è.

	©ÃeÉÆÃQÛÛAiÀÄ «zsÀUÀ¼ÀÄ	GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ
MAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛÛAiÀÄÄ	MAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ CzÀÄ KPÀ¥ÀzÀ	3a, 2x,-1/3y,
MAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ	JgÀqÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ CzÀÄ ¢é¥ÀzÀ	3-4a, 5x^2-z
MAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛÛAiÀÄÄ	ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ CzÀÄ wæ¥ÀzÀ	4x+ax^3+9x^2

ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À WÁvÀUÀ¼ÀÄ KjPÉAiÀÄ CxÀªÁ E½PÉAiÀÄ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÀ §ºÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ DzÀ±Àð (standard form) gÀÆ¥ÀzÀ°ègÀĪÀŪÀÅ.

GzÁ :

y²-2y⁴+3y-y³+4 - EzÀÄ DzÀ±ÀðgÀÆ¥ÀzÀ°è®è.

ªÉÄð£À §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß  DzÀ±ÀðgÀÆ¥ÀzÀ°è »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ:

-2y⁴-y³+ y²+3y+4 CxÀªÁ: 4+3y+ y²-y³-2y⁴.

MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ°è 'n’ ZÀgÁPÀëgÀUÀ½zÀÝgÉ, CzÀ£Àß n- ZÀgÁPÀëgÀzÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ (polynomial in ‘n’ variables) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

GzÁ :

1. 9x⁵+3x³+9x²+7x+5: MAzÉà ZÀgÁPÀëgÀ«gÀĪÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ (E°è ZÀgÁPÀëgÀ: x ªÀiÁvÀæ)

2. 9x⁵+ax³+9x²+7x+5: 2 ZÀgÁPÀëgÀzÀ §ºÀÄ¥ÀzÀ (x ªÀÄvÀÄÛ a UÀ¼ÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ)

MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ZÀgÁPÀëgÀ EgÀĪÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À°è ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À WÁvÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß ¥Àæw¥ÀzÀPÀÆÌ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ. CwºÉZÀÄÑ ªÉÆvÀÛªÀÅ D §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀªÀ£ÀÄß (degree of the polynomial) ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

GzÁ:

1. 4y²- x²y²+ x²+6y - F §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀ = 4 (x²y²zÀ WÁvÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 4. EzÀÄ G½zÀ ¥ÀzÀUÀ¼À WÁvÀAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ½VAvÀ ºÉZÀÄÑ)

2. 10p³q²+4p²q-5+p⁴– F §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ WÁvÀ = 5 (p³q²zÀ WÁvÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 5. EzÀÄ G½zÀ ¥ÀzÀUÀ¼À WÁvÀAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ½VAvÀ ºÉZÀÄÑ.)

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½UÉ C£ÀéAiÀĪÁUÀĪÀ J¯Áè ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÀÄ aºÉßUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ©Ãd ¸ÀASÉåUÀ¼À QæAiÉÄUÀ½UÀÆ C£ÀéAiÀĪÁUÀĪÀÅzÀÄ.

GzÁ : 5 – (-6) = 5+6 =11,  -2 – (+5) = -2-5 =-7. EvÁå¢

CzÉÃjÃw : (a+b)+c =a+(b+c) …….

©Ãd¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ.

GzÁ:

1) 8y⁴ -2y⁴ = (8-2)y⁴ = 6y⁴

2) -11ab + -6ab = {-11+(-6)}ab = (-11-6)ab = -17ab

«eÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAPÀ®£À ªÀiÁqÀ¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.

GzÁ : 8y⁴ -2y² EzÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÛ ¸ÀAPÉëæ¸À¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.

2.1.¸ÀªÀĸÉå1: PÀÆr¹:   (5a²-6a+3), (2a²+3a-1), (3a²-a-5)

¥ÀjºÁgÀ:

 (5a²-6a+3)+ (2a²+3a-1) + (3a²-a-5)

=5a²-6a+3+2a²+3a-1+3a²-a-5

= (5a²+2a² +3a²) + (-6a+3a-a) + (3-1-5) (¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ §gɬÄj.)

= (5+2+3) a² + (-6+3-1)a + (3-1-5) (¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹zÉ.)

=10 a² + (-4a)-3

=10a² -4a-3

2.1. .¸ÀªÀĸÉå 2: 2x³-x²+4x-6 ¢AzÀ x³+5x²-4x+6£ÀÄß PÀ¼É¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

 (x³+5x²-4x+6) – (2x³-x²+4x-6)

= x³+5x²-4x+6 - 2x³ -(-x²) -(+4x) –(-6)

=x³+5x²-4x+6 - 2x³+x²-4x+6 ( -(- x²) = x² ªÀÄvÀÄÛ –(-6) =+6 )

= (x³ - 2x³)+(5x²+x²)+(-4x -4x) +(6+6) (¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ ¸ÉÃj¹zÉ.)

= - x³+6x²-8x +12

2.1.¸ÀªÀĸÉå 3 : x³+2x²-3x+7 jAzÀ JµÀÖ£ÀÄß PÀ¼ÉzÀgÉ x³+x²+x -1 ¹UÀÄvÀÛzÉ?

¥ÀjºÁgÀ :

F ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄÄ 9 jAzÀ 3£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä JµÀÖ£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀĨÉÃPÀÄ JAzÀAvÉAiÉÄÃ. EzÀPÉÌ GvÀÛgÀ 6. 9 jAzÀ 3£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ ¹QÌvÀÄ. CzÉÃjÃw £Á«ÃUÀ PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁzÀzÀÄÝ:

(x³+2x²-3x+7) – (x³+x²+x -1)

= x³+2x²-3x+7 – x³-x²-x –(-1)

= (x³– x³)+(2x²-x²)+(-3x –x) +(7+1) (  –(-1) =+1)

= 0+x²-4x+8

= x²-4x+8

vÁ¼É:

 (x³+x²+x -1) + (x²-4x+8)

= x³+(x² + x²) +(x-4x) -1+8 (¸ÀeÁwÃAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ §gÉzÁUÀ)

= x³+2x²-3x -7 (EzÉà zÀvÁÛA±À)

2.1 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀASÉå	PÀ°vÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	¹ÜgÁAPÀ, ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ, WÁvÀ, KPÀ¥ÀzÀ, ¢é¥ÀzÀ, wæ¥ÀzÀ, §ºÀÄ¥ÀzÀ - EªÀÅUÀ¼À ªÁåSÉåUÀ¼ÀÄ.