2.11.±ÉõÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ(Remainder Theorem):
CzsÁåAiÀÄ 2.10 gÀ°è PÀ°vÀAvÉ ¨sÁUÁPÁgÀ PÀæªÀÄzÀ°è ±ÉõÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä vÀÄA¨Á ¸ÀªÀÄAiÀÄ ¨ÉÃPÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ, ±ÉõÀªÀ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ
¸ÀÄ®¨sÀ zÁj EzÉAiÀÄ?
CzsÁåAiÀÄ 2.10 gÀ°è ©r¹zÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¹zÁUÀ
PÉ®ªÉÇAzÀÄ CA±ÀUÀ¼ÀÄ PÀAqÀħgÀÄvÀÛªÉ.
2.10.3.1 gÀ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß wgÀÄV ¥Àj²Ã°¸ÀĪÀ:
7+x3-6x £ÀÄß
x+1 jAzÀ ¨sÁV¹.
E°è ¨sÁdåªÀ£ÀÄß
f(x) {‘x’ £À ¸ÀvÀà£Àß (Function)}JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄĪÁ.
f(x) = 7+x3-6x
FUÀ f(a) AiÀÄ
¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ‘a’ AiÀÄ
¨ÉÃgɨÉÃgÉ ¨É¯ÉUÀ½UÉ (1, 2,0,-1,-2)PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÁ.
f(1) = 2, f(0) =7, f(-1) = 12, f(-2) = 11.
FUÀ £ÁªÉãÀÄ £ÉÆÃqÀÄvÉÛêÉ? f(-1)=12 – EzÉÃ
±ÉõÀ.
¸ÀªÀĸÉå
2.10.3.2 gÀ°è£À ¨sÁdåªÀ£ÀÄß
f(x), x £À ¸ÀvÀà£ÀߪÁVzÉ.
DUÀ, f(x) = x4-2x3+x-7
f(1) = -6, f(2)
=-5, f(0) =-7, f(-1) =-7
f(-2)=23 EzÉà ±ÉõÀ.
FUÀ ¨ÉÃgɨÉÃgÉ PÉ®ªÀÅ ¨sÁdå ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁdPÀUÀ½UÉ ±ÉõÀzÀ vÀBSÉÛ ªÀiÁqÀĪÁ.
|
¨sÁdå- f(x) |
¨sÁdPÀ |
±ÉõÀ |
±ÉõÀ= GvÀà£Àß ¨É¯ÉUÀ¼À°è |
|
x3-6x +7 |
x+1 |
12 |
f(-1) |
|
x4-2x3+x-7 |
x+2 |
23 |
f(-2) |
|
x+1 |
x+1 |
0 |
f(-1) |
|
x-1 |
x-1 |
0 |
f(1) |
|
x+a |
x+a |
0 |
f(-a) |
|
x-a |
x-a |
0 |
f(a) |
|
x2+4x+4 |
x+2 |
0 |
f(-2) |
F ªÉÄð£À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß
UÀªÀĤ¹zÁUÀ £ÁªÀÅ »ÃUÉ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ:
MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ
f(x) £ÀÄß(x+a) ¬ÄAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀĪÀ ±ÉõÀªÀÅ f(-a) DVgÀÄvÀÛzÉ. EzÀ£ÀÄß ±ÉõÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ(Remainder Theorem) J£ÀÄßvÉÛêÉ.
2.11 ¸ÀªÀĸÉå1: (x3+2x2-x+6)£ÀÄß (x-3)jAzÀ
¨sÁV¹zÁUÀ §gÀĪÀ ±ÉõÀªÀ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ:
E°è f(x) = x3+2x2-x+6
¨sÁdPÀ
= x-3
±ÉõÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ
¥ÀæPÁgÀ. ¨sÁdPÀªÀÅ (x+a ,DVzÀÝgÉ, ±ÉõÀªÀÅ f(-a)DVgÀÄvÀÛzÉ.)
¨sÁdPÀ
(x+a) CAzÀgÉ , f(-(-3) = f(3) ±ÉõÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
f(x)£À°è x£À §zÀ¯ÁV
3£ÀÄß DzÉò¹zÁUÀ,
f(3) = 27+ 18-3+6 = 48 (±ÉõÀ)
±ÉõÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁzÀgÉ,
¨sÁdPÀªÀÅ ¨sÁdåzÀ MAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ
f(x) £ÀÄß
x+a gÀÆ¥ÀzÀ ¢é¥ÀzÀ¢AzÀ
¨sÁV¹zÁUÀ, ±ÉõÀªÀÅ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁzÀgÉ, (x+a)AiÀÄÄ f(x)£À MAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
2.11 ¸ÀªÀĸÉå 2: (4x4+2x3-3x2+8x+5a)
AiÀÄ MAzÀÄ
C¥ÀªÀvÀð£À (x+2) DzÀgÉ ‘a’ AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.
¥ÀjºÁgÀ:
(x+2) JA§ÄzÀÄ f(x)£À C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁzÀÝjAzÀ
±ÉõÀªÀÅ ¸ÉÆ£Éß. CAzÀgÉ
±ÉõÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ
¥ÀæPÁgÀ ±ÉõÀ=
f(-2)
DzÀgÉ f(-2) =0
(zÀvÀÛ)
f(-2) = 4*16+2*(-8)-3*4 -16+5a
= 64-16-12-16+5a = 20 +5a
f(-2) =0 DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ 20+5a = 0 CAzÀgÉ 5a = -20 CAzÀgÉ a= -4
vÁ¼É:
a= -4 DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ, -4£ÀÄß f(x) gÀ°è DzÉò¹zÁUÀ
f(x) = 4x4+2x3-3x2+8x-20
f(-2) = 4*16+2(-8)-3*4 -16 -20 = 64-16-12-16-20 = 0
x+2 ªÀÅ 4x4+2x3-3x2+8x-20 £À C¥ÀªÀvÀð£À
JAzÀÄ ¸ÀªÀÄyð¸ÀÄvÀÛzÉ.
2.11 PÀ°vÀ
ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
|
PÀæ.¸ÀA. |
ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ |
|
1 |
MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ
f(x) £ÀÄß
(x+a) ¬ÄAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ ±ÉõÀªÀÅ= f(-a)
DVgÀÄvÀÛzÉ. |
|
2 |
MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÀ
f(x) £ÀÄß
(x+a) ¬ÄAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ
±ÉõÀªÀÅ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁzÀgÉ(x+a)AiÀÄÄ f(x) £À MAzÀÄ
C¥ÀªÀvÀð£ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. |