2.17 ¤§A¢üvÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ(Conditional
Identities):
£Á«ÃUÁUÀ¯ÉÃ
CzsÀåAiÀÄ 2.3 gÀ°è ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À §UÉÎ PÀ°wzÉÝêÉ.
x, y, z AiÀiÁªÀÅzÉà ¨É¯ÉUÀ½UÉ PɼÀV£À ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.
(x+y)(x+z) = x(x+z)+y(x+z)= x2+xz+xy+yz= x2+x(y+z)+yz
ªÉÄð£À ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x, y, z UÀ½UÉ ¸ÀÆPÀÛ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß DzÉò¹, PɼÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß
¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ:-
|
¸ÀASÉå |
¸ÀÆvÀæ |
«¸ÀÛgÀuÉ |
|
1 |
(a+b)2 |
a2+b2+2ab |
|
2 |
(a-b)2 |
a2+b2-2ab |
|
3 |
(a+b)(a-b) |
a2-b2 |
|
4 |
(a+b+c)2 |
a2+b2+
c2+2ab+2bc+2ca |
|
5 |
(x+a)(x+b)(x+c) |
x3+
x2(a+b+c) +x(ab+bc+ca)+abc |
|
6 |
(a+b)3 |
a3+b3+3ab(a+b) |
|
7 |
(a-b)3 |
a3-b3-3ab(a-b) |
|
8 |
(a+b)
(a2+b2-ab) |
a3+b3 |
|
9 |
(a-b)
(a2+b2+ab) |
a3-b3 |
|
10 |
(a+b+c)(a2+b2
+c2-ab-bc-ac) |
a3+b3
+c3-3abc |
2.17¸ÀªÀĸÉå1: a+b+c = 0 DzÀgÉ a2/bc+ b2/ca+ c2/ab = 3 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹
¥ÀjºÁgÀ:
FUÀ £ÁªÀÅ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÄ®©üÃPÀj¹, 3x/x(=3)gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀ¨ÉÃPÀÄ. a+b+c = 0 DzÀÝjAzÀ a =-b-c, b= -a-c, c=-a-b
|
¸ÀA. |
ºÀAvÀ |
«ªÀgÀuÉ |
|
1 |
LHS= a3/abc+b3/bca
+c3/cab |
JqÀ¨sÁUÀzÀ
¥Àæwà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß (CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÄß PÀæªÀĪÁV a, b, c ¬ÄAzÀ UÀÄt¹. |
|
2 |
= (a3+b3+c3)/abc |
abc AiÀÄ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£Àå bÉÃzÀ
ªÀiÁrzÉ. |
|
3 |
=(a2.a+bb2+cc2)/abc |
a, b, cUÀ¼À WÁvÀUÀ¼À£ÀÄß «¨sÀf¹zÉ. |
|
4 |
=[a2(-b-c) + b(-a-c)2+c(-a-b)2]/abc |
-b-c, (-a-c)2, (-a-b)2
ªÀ£ÀÄß
C£ÀÄPÀæªÀĪÁV a, b2,c2 UÀ½UÉ DzÉò¹zÉ. |
|
5 |
= [a2(-b-c)
+ b{-(a+c)}2+c{-(a+b)}2]/abc |
|
|
6 |
= [- a2b-
a2c +b(a2+ c2+2ac)+ c(a2+b2+2ab)]/abc |
(a+c)2 ªÀÄvÀÄÛ (a+b)2UÀ¼À£ÀÄß «¸ÀÛj¹zÉ. |
|
7 |
=[- a2b- a2c +ba2+ bc2+2abc+ ca2+cb2+2abc)]/abc |
PÉA¥ÀÄ
§tÚzÀ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ºÉÆqÉzÀĺÉÆÃUÀÄvÀÛªÉ. |
|
8 |
=[ bc2
+cb2+abc+3abc]/abc |
¸ÀAPÉëæ¹ |
|
9 |
=
[bc(c+b+a)+3abc]/abc |
¸ÀAPÉëæ¹ |
|
10 |
=[bc(0)+3abc]/abc
|
a+b+c
=0 |
|
11 |
=
3abc/abc =3 |
|
ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è a+b+c = 0 ¤§AzsÀ£ÉUÉƼÀ¥ÀlÄÖ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß
¸ÀAPÉëæ¹zÉ.
ªÁåSÉå:
PÉÆnÖgÀĪÀ ¤§AzsÀ£ÉUÀ½UÉ C£ÀĸÁgÀªÁV, ZÀgÁPÀëgÀzÀ
¨É¯ÉUÀ½UÉ ¤dªÁVgÀĪÀ ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß “¤§A¢üvÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt”
(conditional
identities) UÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ.
2.17 ¸ÀªÀĸÉå 2: a+b+c = 2S DzÀgÉ, (a2+b2- c2+2ab)/
(a2-b2+ c2+2ac) = (S-c)/(S-b) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
ªÉÆzÀ®Ä JqÀ¨sÁUÀzÀ CA±ÀªÀ£ÀÄß
vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÁ.
|
¸ÀA. |
ºÀAvÀ |
«ªÀgÀuÉ |
|
1 |
a2+b2-
c2+2ab |
zÀvÀÛ
CA±À. |
|
2 |
= (a2+b2+2ab)-c2
|
¥ÀzÀUÀ¼À
¥ÀÄ£ÀeÉÆÃðqÀuÉ. |
|
3 |
= (a+b)2-
c2 |
EzÀÄ
a2-b2 =(a+b)(a-b) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ a =a+b, b=c |
|
4 |
=
((a+b)+c)(a+b)-c)) |
|
|
5 |
=2S(2S-2c) |
a+b+c =
2SJAzÀÄ
PÉÆnÖzÉ.DzÀÝjAzÀ a+b-c
= a+b+c-2c=2S-2c |
|
6 |
a2-b2+
c2+2ac =2S(2S-2b) |
ªÉÄð£À
ºÀAvÀUÀ¼ÀAvÉ ªÀÄÄAzÀĪÀj¹ LHS
£À bÉÃzÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÉ |
JqÀ¨sÁUÀ = (a2+b2- c2+2ab)/(a2-b2+
c2+2ac)
= {2S (2S-2c)}/{2S(2S-2b)}
=2(S-c)/2(S-b)
=(S-c)/(S-b) = §®¨sÁUÀ
2.17 ¸ÀªÀĸÉå3: a+b+c = 2S DzÀgÉ, S2+(S-a)2+
(S-b)2+(S-c)2= a2+b2+c2 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
|
¸ÀA. |
ºÀAvÀ |
«ªÀgÀuÉ |
|
1 |
JqÀ¨sÁUÀ = S2 +(S2+a2-2aS)+(S2+b2-2bS)+(S2+c2-2cS) |
¥ÀæwÃ
¥ÀzÀªÀ£ÀÄß (a+b)2
¸ÀÆvÀæ
DzsÀj¹ «¸ÀÛj¹. |
|
2 |
= 4S2+
a2+b2+c2-2S(a+b+c) |
2S£ÀÄß (a+b+c)UÉ DzÉò¹. |
|
3 |
=4S2+
a2+b2+c2-2S*2S =4S2+ a2+b2+c2-4S2 |
|
|
4 |
= a2+b2+c2= §®¨sÁUÀ |
|
2.17 ¸ÀªÀĸÉå 4: a+b+c 
0 ªÀÄvÀÄÛ a3+b3+c3=3abc
DzÀgÉ a=b=c JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¸ÀĽºÀÄ:
ªÉÆzÀ®Ä PÉ®ªÀÅ ¸ÀÆvÀæUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ {(a-b)2+ (b-c)2+(c-a)2}
=0 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
ªÀÄÆgÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁzÀgÉ ¥ÀæwÃ
¥ÀzÀªÀÅ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVgÀ¯Éà ¨ÉÃPÀÄ.
(a-b)2=0,
(b-c)2=0, (c-a)2=0
a-b= 0, b-c=0,c-a =0
a= b, b=c, c=a
2.17 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
|
¸ÀA. |
PÀ°vÀ «µÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ |
|
1 |
¤§A¢üvÀ
¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ. |