2.2. WÁvÁAPÀUÀ¼ÀÄ (Exponents):

MAzÀÄ PÉÆÃnAiÀÄ°è 1 gÀ ªÀÄÄAzÉ JµÀÄÖ 0 UÀ½ªÉ?

gÁªÀiÁAiÀÄtzÀ AiÀÄÄzÀÞ PÁAqÀzÀ°è£À F ±ÉÆèÃPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹:

±ÀvÀA ±ÀvÀ¸ÀºÀ¸ÁæuÁA PÉÆÃn ªÀiÁºÀĪÀÄð¤ÃµÀt:|1|

CxÀð: 100*100*1000 = PÉÆÃn

±ÀvÀA PÉÆÃn¸ÀºÀ¸ÁæuÁA ±ÀAR EvÀå©ü¢üÃAiÀÄvÉÃ||2||

CxÀð: 100*PÉÆÃn*1000 = ±ÀAR

±ÀARzÀ°è 1 gÀ ªÀÄÄAzÉ JµÀÄÖ 0 UÀ½ªÉ?

±ÀvÀA ±ÀAR ¸ÀºÀ¸ÁæuÁA ªÀĺÁ±ÀAR Ew¸ÀäöÈvÀ:|3|

CxÀð: 100* ±ÀAR* 1000 = ªÀĺÁ±ÀAR

gÁªÀiÁAiÀÄtzÀ PÁ® Cw PÀrªÉÄ JAzÀgÉ Qæ. ¥ÀÇ 4000 DVzÀÄÝ, DV£À PÁ®zÀ¯Éè ¸ÉÆ£Éß ªÀÄvÀÄÛ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¥ÀzÀÞwAiÀÄÄ §¼ÀPÉAiÀÄ°è EvÀÄÛ JAzÀÄ EzÀjAzÀ w½zÀÄ §gÀÄvÀÛzÉ.

ªÉÄÃ¯É w½¹zÀAvÀºÀ qÉÆqÀØ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀªÁV £É£À¦£À°è ElÄÖPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ JAzÀÄ E°è PÀ°AiÀÄ°zÉÝêÉ.

16 = 2*2*2*2 (¸ÀASÉå 2£ÀÄß 4 ¨Áj UÀÄt¹zÉ.)

DzÀÝjAzÀ 16 – EzÀ£ÀÄß 2gÀ 4£Éà WÁvÀ J£ÀÄߪÀgÀÄ

16 = 2⁴.

2£ÀÄß 4£É WÁvÀPÉÌ Kj¹zÁUÀ 16 zÉÆgÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

16= 4*4 = 4² (4gÀ WÁvÀ 2 = 16)

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß C¥ÀªÀwð¹zÀ ºÁUÉAiÉÄà ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸À§ºÀÄzÀÄ.

GzÁ:

x³= x*x*x

x³ £ÀÄß x£À 3£Éà WÁvÀ J£ÀÄߪÀgÀÄ.

F jÃw x*x*x £ÀÄß x³ jAzÀ ¸ÀÆa¸ÀĪÀ F PÀæªÀĪÀ£ÀÄß ‘WÁvÁAPÀzÀ ¸ÀAPÉÃvÀ¢AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄ«PÉ’ ( ‘exponential notation’ )J£ÀÄߪÀgÀÄ.

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV:

xⁿ = x *x*x* …. n ¨Áj

E°è x £À ‘DzsÁgÀ ¸ÀASÉå’ (base) ªÀÄvÀÄÛ n £ÀÄß ‘WÁvÀ ¸ÀÆa’ (exponent Or ‘index’) JAvÀ®Æ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.

(DzsÁgÀ¸ÀASÉå)^WÁvÁAPÀ = ¸ÀASÉå

(Base) ^Exponent = Number

UÀªÀĤ¹j: a = a¹

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: 1331 £ÀÄß11 gÀ DzsÁgÀzÀ°è §gɬÄj.

¥ÀjºÁgÀ:

1331gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÉUÀ¼ÀÄ = 11, 11, 11

1331 = 11*11*11 = 11³

FUÀ £ÁªÀÅ 2⁵ ªÀÄvÀÄÛ 2³UÀ¼À UÀÄt®§Þ £ÉÆÃqÀĪÁ.

2⁵ *2³ = (2*2*2*2*2)*(2*2*2) = 2⁸

E°è UÀªÀĤ¹: 8 =5+3

1. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ WÁvÁAPÀzÀ ªÉÆzÀ® ¤AiÀĪÀÄ(Product Law) ªÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.

x MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ x 0 ªÀÄvÀÄÛ m, n UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,

x^m *xⁿ = x^(m+n)

2.2 ¸ÀªÀĸÉå2: ¸ÀAPÉëæ¹: a¹⁴ *b³² * a⁴ *b¹⁶

¥ÀjºÁgÀ:

a¹⁴ *b³² * a⁴ *b¹⁶

= (a¹⁴ * a⁴ )*(b³² * b¹⁶) ( ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀåªÀ¸ÉÜUÉƽ¹zÉ.)

= (a¹⁴⁺⁴⁾*(b³²⁺¹⁶) (ªÉÆzÀ® ¤AiÀĪÀÄ.)

=a^{18 *}b⁴⁸

FUÀ £ÁªÀÅ 2⁵£Àß 2³¢AzÀ ¨sÁV¸ÀĪÁ.

2⁵ /2³ = (2*2*2*2*2)/(2*2*2) = 2*2=2²

CzÉÃ jÃw, 2³ /2⁵ = (2*2*2)/ (2*2*2*2*2) = 1/(2*2) = 1/(2²)

2³ /2³ = (2*2*2)/(2*2*2) = 1

2. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ WÁvÁAPÀzÀ 2£Éà ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß (Quotient Law) »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ:

x MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ x 0 , m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ m>n

DzÁUÀ, x^m /xⁿ = 1/x^(m-n)

x MAzÀÄ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ x 0 ,m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ m<n

DzÁUÀ, x^m /xⁿ = 1/(x^(n-m) )

ªÁåSÉåAiÀÄAvÉ, x 0 DzÁUÀ,

1) x^m = 1/( x-^m)

2) x^-m = 1/ ( x^m)

3) n MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀªÁzÁUÀ, a 0 DzÁUÀ, = a^1/n

4) a 0 DzÁUÀ, n 0 MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ, a^m/n=

UÀªÀĤ¹:

x⁰ =1 (1 = x^m /x^m = x^(m-m) )

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 3: 10^-5 ªÀÄvÀÄÛ 2/m^-1UÀ¼À£ÀÄß zsÀ£À WÁvÁAPÀgÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉ.

¥ÀjºÁgÀ:

10^-5 = 1/10⁵

2/m^-1= 2/(1/m¹) = 2m¹ =2m

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 4: ¸ÀAPÉëæ¹: x^a+b /x^b-c

¥ÀjºÁgÀ:

x^a+b /x^b-c

= x^a+b /1/(x^-(b-c))

= x^a+b *x^-(b-c)

= x^a+b+(-(b-c)) (2£Éà ¤AiÀĪÀÄ)

= x^a+b-b+c(-(b-c) = -b+c)

= x^a+c

FUÀ 5² , 5² ªÀÄvÀÄÛ 5²UÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÁ.

5² *5²*5²= (5*5)*(5*5)*(5*5) = 5⁶

EzÀ£ÀÄß F jÃwAiÀiÁVAiÀÄÆ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.

5² *5²*5² = (5²)³ = 5^2*3

3. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ WÁvÁAPÀUÀ¼À 3£Éà ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß (Power law) »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ:

x JA§ÄzÀÄ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ®èzÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,

(x^m )ⁿ = x^mn

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 5 : ¸ÀAPÉëæ¹ [{(x²)²}²]²

¥ÀjºÁgÀ:

(x²)²= x⁴

{(x²)²}² = {x⁴}² = x⁸

[{(x²)²}²]² = [x⁸]²= x¹⁶

C¨sÁå¸À : ¥Àæw ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹ vÁ¼É£ÉÆÃr

FUÀ,(2*5)³EzÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¸ÀĪÁ:

(2*5)³ = (2*5)*(2*5)*(2*5) ªÁåSÉåAiÀÄAvÉ.

= (2*2*2)*(5*5*5)

= (2)³*(5)³

4 F ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ WÁvÁAPÀUÀ¼À 4£Éà ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ:

x ªÀÄvÀÄÛ y UÀ¼ÀÄ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ®èzÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÁUÀ,ªÀÄvÀÄÛ m AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ,

(x*y)^m = (x^m)* (y^m)

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 6: ¸ÀAPÉëæ¹: (5x^-3 y^-2)³

¥ÀjºÁgÀ:

(5x^-3 y^-2)³

= (5)³ *(x^-3)³*(y^-2)³ ( 4£Éà ¤AiÀĪÀÄ)

= 5³* x^-9* y^-6 (3£Éà ¤AiÀĪÀÄ)

= 5³/( x⁹* y⁶) (ªÁåSÉå¬ÄAzÀ)

C¨sÁå¸À: ¥Àæw ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹ vÁ¼É£ÉÆÃr

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 7: ¸ÀAPÉëæ¹: (3x^-2 y)^-1

¥ÀjºÁgÀ:

(3x^-2 y)^-1

= (3) ^-1*( x^-2)^-1 *(y)^-1 --à4£Éà ¤AiÀĪÀÄ

= (3) ^-1* x⁺² *y^-1 ----à 3£Éà ¤AiÀĪÀÄ

= x² /3*y--à ªÁåSÉå¬ÄAzÀ

¥Àæw ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹ vÁ¼É£ÉÆÃr

FUÀ(2*5)³£ÀÄß «¸ÀÛj¸ÀĪÁ:

(2/5)³ = (2/5)*(2/5)*(2/5)

= (2*2*2)/(5*5*5)

= (2)³/(5)³

4. F ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ WÁvÁAPÀUÀ¼À 5£Éà ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ:

x ªÀÄvÀÄÛ yUÀ¼ÀÄ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ®èzÀ ªÁ¸ÀÛªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÁUÀ, m MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ,

(x/y)^m = (x^m)/ (y^m)

UÀªÀĤ¹:

(-1)² = (-1)*(-1) =+1 and (-1)³ = (-1)*(-1)*(-1) = -1

1. m MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ, (-a)^m = (-1)^m *a^m = a^m

2. m MAzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ (-a)^m = (-1)^m *a^m = -a^m

¸ÁzsÀ£É:

1. m MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ CzÀgÀ gÀÆ¥À 2n jÃwAiÀÄ°è EgÀÄvÀÛzÉ(n= 1,2.3 . . .)

(-1)^m = (-1)²ⁿ = ((-1)² )ⁿ ----à 3£Éà ¤AiÀĪÀÄ

= 1ⁿ = 1

2. m MAzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ CzÀgÀ gÀÆ¥À 2n+1 jÃwAiÀÄ°è EgÀÄvÀÛzÉ(n= 0,1,2.3 . . .)

(-1)^m = (-1)²ⁿ⁺¹ = (-1)²ⁿ *(-1)¹ ----à 2£Éà ¤AiÀĪÀÄ.

= 1ⁿ *-1 ----à (»A¢£À ºÀAvÀzÀ°è ¸Á¢ü¹zÉ)

= -1

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 8 : ¸ÀAPÉëæ¹: (a^m/aⁿ)^p*(aⁿ/a^p)^m*(a^p/a^m)ⁿ

¥ÀjºÁgÀ:

(a^m/aⁿ)^p

= (a^m)^p/(aⁿ)^p (5£Éà ¤AiÀĪÀÄ)

= a^mp/ a^np (3£Éà ¤AiÀĪÀÄ)

(a^m/aⁿ)^p*(aⁿ/a^p)^m*(a^p/a^m)ⁿ

= (a^mp/ a^np)* (a^nm/ a^pm)* (a^pn/ a^mn)

= (a^mp* a^nm* a^pn)/ (a^np*a^pm*a^mn)(CA±À, bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀÆ MAzÉÃ)

=1

2.2 ¸ÀªÀĸÉå 9 : ¸ÀAPÉëæ¸ÀĪÁUÀ:(a⁴b^-5/ a²b^-4)^-3

¥ÀjºÁgÀ:

ªÉÆzÀ®Ä DªÀgÀtzÀ M¼ÀVgÀĪÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¸ÀAPÉëæ¸ÀĪÁUÀ,

(a⁴b^-5/ a²b^-4)

= (a⁴/ a²) * (b^-5/ b^-4)

= (a²/ b) ( 2£Éà ¤AiÀĪÀÄ- (a⁴/ a²) = (a^4-2) = a², (b^-5/ b^-4) = (b^-5-(-4)) = b^-5+4= b^-1= 1/b )

FUÀ PÉÆlÖ ¸ÀªÀĸÉå £ÉÆÃqÀĪÁ

(a⁴b^-5/ a²b^-4)^-3

= (a²/ b)^-3

= (a²/ b)^-3

= (a²)^-3/ (b)^-3 (3£Éà ¤AiÀĪÀÄ)

=a^-6/b^-3

= b³/a⁶

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À:

(a⁴b^-5/ a²b^-4)^-3

= (a^-12b⁺¹⁵/ a^-6b⁺¹²) (3£Éà ¤AiÀĪÀÄ)

=(a^-12/ a^-6)* (b¹⁵/ b¹²) (¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹zÁUÀ)

=(a^-12* a⁶)* (b¹⁵* b^{- 12}) (¸ÀÆvÀæ x ^-m = 1/( x^m)

=(a^-12+6)* (b^15-12) (ªÉÆzÀ® ¤AiÀĪÀÄ)

=a^-6*b³

= b³/a⁶

2.2 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀASÉå	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	ªÁåSÉåAiÀÄAvÉ, x^n= x*x*x*x – n ¨Áj
2	(DzsÁgÀ ¸ÀASÉå)^WÁvÁAPÀ= ¸ÀASÉå
3	ªÁåSÉåAiÀÄAvÉ x^0=1
4	ªÁåSÉåAiÀÄAvÉ x ^- m= 1/( x^m)
5	ªÉÆzÀ® ¤AiÀĪÀÄ:x^m*x^n = x^(m+n)
6	2£Éà ¤AiÀĪÀÄ x^m/x^n = x^(m-n)
7	3£Éà ¤AiÀĪÀÄ(x^m)^n = x^mn
8	4£Éà ¤AiÀĪÀÄ(x*y)^m = (x^m)* (y^m)
9	5£Éà ¤AiÀĪÀÄ(x/y)^m = (x^m)/ (y^m)

ºÉaÑ£À PÀ°PÉUÁV:

2.2 ¸ÀªÀĸÉå10 : 1960 = 2^a5^b7^c DzÀgÉ, 2^-a7^b5^-c £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

1960 = 2*2*2*5*7*7= 2³5¹7²

a=3, b=1 , c=2

2^-a =1/8 and 5^-c =1/25

2^-a7^b5^-c

= (1/8)*7*(1/25) = 7/200

2.2 ¸ÀªÀĸÉå11 : ¸ÀAPÉëæ¹ : {(8x³)/ 125y³}^2/3

¥ÀjºÁgÀ:

FUÀ:

8x³=(2x)³ and 125y³=(5y)³

(8x³)/125y³

=(2x/5y)³

{(8x³)/125y³}^2/3

={(2x/5y)³}^2/3

=(2x/5y)³*^2/3

=(2x/5y)²

= 4x²/25y²

2.2 ¸ÀªÀĸÉå12 :3^x-1 = 9*3⁴ DzÀgÉ x£À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

9 = 3²

9*3⁴= 3²*3⁴=3⁶

FUÀ

3^x-1 = 9*3⁴ =3⁶,

x-1 = 6

x=7

vÁ¼É:

x£À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß(=7)zÀvÀÛ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ°è DzÉò¹, «¸ÀÛj¹ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß vÁ¼É£ÉÆÃr (= 729)