2.6 wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ (Factorisation of Trinomials):

©ÃdUÀtÂvÀzÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjºÀj¸À®Ä ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀĪÀÅzÀÄ §ºÀ¼À CUÀvÀå

5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1) JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ UÉÆvÉÛÃ? a=1, -1 JA§ ¨É¯ÉUÀ½UÉ EzÀÄ ¸Àj¬ÄzÉAiÉÄà JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹

ºÁVzÀÝ°è a £À J¯Áè ¨É¯ÉUÉ EzÀÄ ¸Àj ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ? ( ¸ÀªÀĸÉå 6 £ÀÄß £ÉÆÃr)

©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ¼À (C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À)UÀÄt®§ÞªÁV §gÉAiÀÄĪÀ PÀæªÀĪÀ£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸ÀÄ«PÉ J£ÀÄߪÀgÀÄ.

©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀ®Ä C¥ÀªÀwð¸ÀÄ«PÉ CUÀvÀå.

©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀÄ. ¸Á. C ªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀUÉ vÉUÉzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀ§ºÀÄzÀÄ. GzÁ:

4x²y, 8x³ ªÀÄvÀÄÛ 12xy UÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C 4x

 4x²y+8x³+12xy = 4x (xy+2x²+3y)

J¯Áè ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è vÀgÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀzÉà EgÀ§ºÀÄzÀÄ GzÁ:

4x²+5y (KPÉ JAzÀÄ AiÉÆÃa¹)

x²+mx +c gÀÆ¥ÀzÀ wæ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ?

GzÁ: x²+x(a+b)+ab - F ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÁ.

x²+x(a+b)+ab

= (x²+xa)+(xb+ab) ( ¥ÀzÀUÀ¼À ¥ÀÅ£ÀeÉÆÃðqÀuÉ)

= x(x+a)+b(x+a) ( x² ªÀÄvÀÄÛ xa £À  ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ x, ªÀÄvÀÄÛ xb ªÀÄvÀÄÛ ab£À ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ b )

= (x+a)(x+b)

DzÀÝjAzÀ x+a ªÀÄvÀÄÛ x+b UÀ¼ÀÄ  x²+x(a+b)+ab F ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ.

CxÁðvï x²+x(a+b)+ab AiÀÄ£ÀÄß x+a ªÀÄvÀÄÛ x+b JA§ ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁV §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.

GzÁ:

x²+5x+6

=x²+3x+2x+6

=x(x+3)+2(x+3)

=(x+3)*(x+2)

x+3 ªÀÄvÀÄÛ x+2 EªÀÅUÀ¼ÀÄ x²+5x+6 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ.

EªÀÅ x+a ªÀÄvÀÄÛ x+b gÀÆ¥ÀzÀ°èªÉ.

F x+a ªÀÄvÀÄÛ x+b JA§ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ ºÉÃVªÉ?

a+b= 5 , ab=6 gÀÆ¥ÀzÀ°èªÉ.

¥Àj²Ã®£É¬ÄAzÀ, a=3 ªÀÄvÀÄÛ  b=2 ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ a+b=5 ªÀÄvÀÄÛ ab=6 JA§ ¤AiÀĪÀÄPÉÌ §zÀÞªÁVªÉ.

DzÀÝjAzÀ¯Éà 5x £ÀÄß 3x+2x JAzÀÄ MqÉzÀzÀÄÝ.

¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÉà jÃwAiÀÄ°è 5x £ÀÄß «¨sÁV¸À¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.

DzÀgÉ J¯Áè wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß F jÃw C¥ÀªÀwð¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è. CAxÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À §UÉÎ ªÀÄÄAzÉ w½AiÀÄĪÁ.

x²+5x+6 ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ x²+mx +c gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ m = 5 and c=6.

2.6 ¸ÀªÀĸÉå 1: C¥ÀªÀwð¹ x²+27x+176

¥ÀjºÁgÀ:

FUÀ £ÁªÀÅ a+b=27 ªÀÄvÀÄÛ ab=176 DUÀĪÀAvÉ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

176 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ : (2, 88), (4, 44), (8, 22), (16, 11).

176 gÀ IÄt C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß ©nÖzÉÝêÉ. KPÉAzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ zsÀ£À¸ÀASÉåAiÀiÁUÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è.

ªÉÄð£À UÀÄA¥ÀÅUÀ¼À°è (16, 11) £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À ¸ÀA§AzsÀPÉÌ C£ÀĸÁgÀªÁVzÉ.

E°è a= 16 and b=11

x²+27x+176 = x²+16x+11x+ 176

=x(x+16) +11(x+16)

=(x+16) (x+11)

x²+27x+176 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ : (x+16) ªÀÄvÀÄÛ (x+11)

vÁ¼É:

(x+16)(x+11) EzÀÄ (x+a)*(x+b) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ a=16 , b=11

(x+16)*(x+11) = x²+ x(16+11)+ 16*11

                           = x²+27x+176  zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛ.

2.6 ¸ÀªÀĸÉå2 : C¥ÀªÀwð¹  x²-6x-135

¥ÀjºÁgÀ:

a+b= -6 , ab= -135  DUÀĪÀAvÉ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

-135 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ: (3,-45), (-3, +45), (5,-27), (-5, +27), (9,-15), (-9, +15)

F eÉÆÃrUÀ¼À°è, 9-15 = -6 , 9*-15 = -135. F eÉÆÃr £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À ¸ÀA§AzsÀPÉÌ C£ÀĸÁgÀªÁVzÉ.

a= 9 , b= -15

x²-15x+9x -135

=x(x-15)+9(x-15)

=(x-15)(x+9)

x²-6x-135 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ:

(x-15) ªÀÄvÀÄÛ (x+9)

vÁ¼É:

(x-15)(x+9) EzÀÄ (x+a)*(x+b) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ. a=-15, b=9

(x-15)*(x+9) = x²+ x(-15+9)+ (-15*9)= x²-6x-135 -zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛ.

2.6 ¸ÀªÀĸÉå 3: C¥ÀªÀwð¹, m²+4m-96

¥ÀjºÁgÀ:

FUÀ a+b= 4 ,ab= -96 DUÀĪÀAvÉ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ºÁVzÉ.

(-96) gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ: (2,-48), (-2, 48), (3,-32), (-3, +32), (4,-24), (-4, +24), (6,-16), (-6,16), (8,-12),

 (-8,12)

EªÀÅUÀ¼À°è - 8+12 = 4 , -8*12 = -96. F eÉÆÃr £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À ¸ÀA§AzsÀPÉÌ C£ÀĸÁgÀªÁVzÉ.

a= -8 , b=12

m²-8m+12m -96

=m(m-8)+12(m-8)

=(m-8)(m+12)

 m²+4m-96 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ: (m-8) ªÀÄvÀÄÛ  (m+12)

vÁ¼É:

(m-8)(m+12) EzÀÄ (m+a)*(m+b) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÀÄÝ

 a=-8, b=12

(m-8)*(m+12) = m²+ m(-8+12)+ -8*12

     = m²+4m-96 - zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛ

FUÀ, px²+mx +c gÀÆ¥ÀzÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸ÀĪÁ.E°è x², zÀ ¸ÀºÀUÀÄtPÀ 1 gÀ §zÀ¯ÁV p.

£Á«°è a+b=m ªÀÄvÀÄÛ ab=pc DUÀĪÀAvÉ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

2.6 ¸ÀªÀĸÉå 4 : C¥ÀªÀwð¹, 24x²-65x+21

¥ÀjºÁgÀ:

FUÀ £ÁªÀÅ a+b= -65 ªÀÄvÀÄÛ ab= 24*21 =504 DUÀĪÀAvÉ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

(24*21) gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À eÉÆvÉUÀ¼ÀÄ :(2,252), (-2,-252), (3, 138 ), (-3,-138), (4,126), (-4,-126),  (6,83),

(-6,-83), (8,63), (-8,-63), (9,56), (-9,-56), (12,42), (-12,-42)

EªÀÅUÀ¼À°è, (-9-56) = -65 , -9*(-56)  = 504=24*21. F eÉÆÃr £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À ¸ÀA§AzsÀPÉÌ C£ÀĸÁgÀªÁVzÉ.

 a= -9 , b= -56

24x²-65x+21

=24x²-9x -56x+21 ( -65x £ÀÄß  -9x-56x JAzÀÄ §gÉ¢zÉ.)

=3x(8x-3) -7(8x-3) {(24x² ªÀÄvÀÄÛ , 9x. UÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C 3x

-56x ªÀÄvÀÄÛ  21UÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C -7)}

= (8x-3)(3x-7) ( 8x-3 ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ)

24x²-65x+21 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ : (8x-3) ªÀÄvÀÄÛ (3x-7 )

vÁ¼É:

(8x-3)(3x-7)

=8x(3x-7)-3(3x-7) (¥Àæwà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀÄt¹zÁUÀ)

=24x²-56x -9x+21 (¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÁUÀ)

=24x²-65x+21 – zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛ.

2.6 ¸ÀªÀĸÉå 5: C¥ÀªÀwð¹, 6p²+11pq -10q²

¥ÀjºÁgÀ:

FUÀ, a+b= 11 , ab= 6*(-10) =-60 DUÀĪÀAvÉ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

  -60 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À eÉÆvÉUÀ¼ÀÄ : (2,-30), (-2,30),(3, -20 ),(-3,20) (4,-15), (-4,15), (5,-12),(-5,12),(6,-10),

(-6,10)

EªÀÅUÀ¼À°è, - 4+15 = 11 , -4*15  = -60  a=15, b=-4. F eÉÆÃr £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À ¸ÀA§AzsÀPÉÌ C£ÀĸÁgÀªÁVzÉ.

6p²+11pq -10q²

=6p²+15pq -4pq-10q²( 11pq = 15pq-4pq)

=3p(2p+5q) -2q(2p+5q)

=(2p+5q)(3p-2q)

6p²+11pq -10q² gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ : 2p+5q ªÀÄvÀÄÛ 3p-2q 

vÁ¼É:

(2p+5q)(3p-2q)

=2p(3p-2q)+5q(3p-2q) (¥Àæwà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀÄt¹zÁUÀ)

=6p²-4pq +15qp-10q² (¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÁUÀ)

= 6p²+11pq -10q² - zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛ.

2.6 ¸ÀªÀĸÉå 6: C¥ÀªÀwð¹, 5-(3a²-2a) (6-3a²+2a)

¥ÀjºÁgÀ:

E°è x =3a²-2a JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÁ.

DzÀÝjAzÀ 5-x( 6-x) ªÀ£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸À¨ÉÃPÀÄ.

5-x( 6-x)

= 5 -6x + x²

= x² -6x +5 = x² -5x -x+5

= x(x-5)-1(x-5)

= (x-1)(x-5)

x £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß DzÉò¹zÁUÀ, 

5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a)

= (3a²-2a -1) (3a²-2a-5)

DzÀgÉ 3a²-2a -1 = 3a²-3a+a -1 = 3a(a-1)+1(a-1) = (3a+1)(a-1)

3a²-2a-5 = 3a²+3a -5a-5 = 3a(a-1)-5(a+1) = (3a-5)(a+1)

 5-(3a²-2a)( 6-3a²+2a) = (3a+1)(a-1) (3a-5)(a+1)

vÁ¼É:

1. ¥Àæwà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ¥Àæwà ¥ÀzÀzÉÆA¢UÉ UÀÄt¹j.

2. a=2 JA§ ¨É¯ÉUÉ ¸Àj¬ÄzÉAiÉÄà JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹,(5 -8*-2) = 21 = (7*1*1*3)

2.6 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀA	PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	a+b=m , ab=c DzÁUÀ, x+a ªÀÄvÀÄÛ x+b UÀ¼ÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÁVgÀĪÀAvÉ,  x^2+mx +c  gÀÆ¥ÀzÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸ÀĪÀÅzÀÄ.
2	a+b =m , ab=pc DUÀĪÀAvÉ px^2+mx +c AiÀÄ£ÀÄß «¨sÁV¸ÀĪÀÅzÀÄ.