2.7 gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ (Linear Equations):

 

1.       ªÀÄÆgÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 252. DzÀgÉ D ¸ÀASÉåUÀ¼ÁªÀŪÀÅ? (CªÀÅ 80,82,84 ?  70,72,74 ?)

 

2.      MAzÀÄ DAiÀÄvÀzÀ GzÀݪÀÅ CUÀ®QÌAvÀ 4 ¸ÉA.«Äà ºÉaÑzÉ. ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ CUÀ®QÌAvÀ 11¸ÉA.«ÄÃ. ºÉaÑzÀÝ°è DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

                   (GzÀÝ 6, CUÀ® 2) ?   (GzÀÝ 7, CUÀ® 3 ? )

 

3.      M§â AiÀiÁwæPÀ£ÀÄ vÀ£Àß ºÀtzÀ CzsÀð ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀiÁUÀzÀ°èAiÀÄÆ, G½zÀÄzÀgÀ 2/9 ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß PÁ²AiÀÄ°èAiÀÄÆ, G½zÀÄzÀgÀ 1/4 ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß vÉjUÉUÀ½UÀÆ, E£ÀÄß½zÀÄzÀgÀ 6/10 ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß UÀAiÉÄAiÀÄ°èAiÀÄÆ RZÀÄðªÀiÁrzÀ £ÀAvÀgÀ G½zÀ 63 ¤µÀÌUÀ¼À£ÀÄß(ºÀtzÀ C¼ÀvÉ) ªÀÄ£ÉUÉ vÀAzÀgÉ, AiÀiÁvÉæUÉ vÉUÉzÀÄ PÉÆAqÀÄ ºÉÆÃzÀ ºÀt JµÀÄÖ?(°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 55)

 

EAvÀºÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß E°è PÀ°AiÀÄÄvÉÛêÉ.

 

ªÁåSÉå: JgÀqÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ¸ÀªÀiÁ£ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀĪÀ ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß ‘¸À«ÄÃPÀgÀt’(Equations)J£ÀÄßvÉÛêÉ. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è §gÀĪÀ MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ CªÀåPÀÛ ¥ÀzÀUÀ¼À gÁ²AiÀÄ£ÀÄß ‘ZÀgÁPÀëgÀ’UÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ. GzÁ:   x+2 =5

 

¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ(LHS) JAvÀ®Æ §®¨sÁUÀPÉÌ (RHS) JAvÀ®Æ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.

 

UÀªÀĤ¹:

 

6=6  EzÀÄ ¸ÀjvÁ£É?  ======è  (1) 

E°è JqÀ¨sÁUÀ(LHS)zÀ°è 6 EzÉ. §®¨sÁUÀzÀ®Æè 6 EzÉ. EªÉgÀqÀÆ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.

FUÀ 2 £ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt (1)gÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ PÀÆr¸ÀĪÁ.

JqÀ¨sÁUÀ(LHS) =6+2=8 , §®¨sÁUÀ(RHS) = 6+2 =8

FUÀ®Æ PÀÆqÁ JgÀqÀÆ ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.

FUÀ ¸À«ÄÃPÀgÀt (1) JgÀqÀÆ §¢UÀ½AzÀ 3 £Àß PÀ¼ÉAiÀÄĪÁ.

JqÀ¨sÁUÀ = 6-3 =3 , §®¨sÁUÀ = 6-3 =3

FUÀ®Æ PÀÆqÁ JgÀqÀÆ ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.

FUÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ 6 jAzÀ UÀÄt¹

JqÀ¨sÁUÀ= 6*6=36 , §®¨sÁUÀ = 6*6 =36

FUÀ®Æ JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ.

¸À«ÄÃPÀgÀt (1)gÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À£ÀÄß 3 jAzÀ ¨sÁV¹.

JqÀ¨sÁUÀ= 6/3=2 , §®¨sÁUÀ= 6/3=2

JqÀ¨sÁUÀ=§®¨sÁUÀ

 

¸ÀªÀiÁ£ÀvÉAiÀÄ UÀÄtUÀ¼ÀÄ(¸ÀéAiÀÄA ¹zÀÞUÀ¼ÀÄ) (Properties of Equality):(Axioms)

 

1. MAzÉà ¥ÀjªÀiÁtªÀ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ PÀÆr¹zÀgÉ, ¸ÀªÀiÁ£ÀvÉ §zÀ¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.

2. MAzÉà ¥ÀjªÀiÁtªÀ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ PÀ¼ÉzÀgÉ, ¸ÀªÀiÁ£ÀvÉ §zÀ¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.

3. MAzÉà ¥ÀjªÀiÁt¢AzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ UÀÄt¹zÀgÉ, ¸ÀªÀiÁ£ÀvÉ §zÀ¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.

4. MAzÉà ¥ÀjªÀiÁt¢AzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ ¨sÁV¹zÀgÉ, ¸ÀªÀiÁ£ÀvÉ §zÀ¯ÁUÀĪÀÅ¢®è.

 

LHS=RHS EgÀĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß £ÀqɹzÀgÉ,¥sÀ°vÁA±ÀªÀÇ LHS=RHS DVgÀÄvÀÛzÉ. 

 

ªÁåSÉå: KPÀ ¥ÀjªÀiÁuÁvÀäPÀ«gÀĪÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼ÁUÀ°Ã, ªÉÆzÀ®£Éà WÁvÀ«gÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÁßUÀ°Ã ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼Éà gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ. (‘linear equation’)

 

GzÁ:   x+2 =5, 3*(a-5) =6, ½ x -4/5 = 3x+7.  

DzÀgÉ x2-4 =0 EzÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ®è (KPÉAzÀgÉ x £À WÁvÁAPÀ 2)

 

GzÁºÀgÀuÉ1:

 

x-3 = 1 F ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. E°è x MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀ.

F ºÉýPÉAiÀÄ£Àß »ÃUÀÆ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ: “x£À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj- ºÉÃUÉAzÀgÉ CzÀgÀ°è 3 £Àß PÀ¼ÉzÁUÀ ¥sÀ°vÁA±À 1 DUÀ§ºÀÄzÀÄ.”

FUÀ x-3 =1 ºÉýPÉAiÀÄ°è£À xUÉ ¨ÉÃgɨÉÃgÉ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß DzÉò¸ÀĪÁ.

1. x = 1 DUÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉ? E®è. KPÉAzÀgÉ 1-3 =-2

2. x = 2 DUÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉ? E®è. KPÉAzÀgÉ 2-3 =-1

3. x =5 DUÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉ? E®è.KPÉAzÀgÉ 5-3 =2

4. x =4 DUÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉ? ºËzÀÄ, 4-3=1.

F jÃwAiÀÄ°è x£À ¨É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä vÀÄA¨Á ¸ÀªÀÄAiÀĨÉÃPÀÄ.

DzÀgÉ UÀtÂvÀ ±Á¸ÀÛçzÀ°è EzÀPÉÌ ¸ÀÄ®¨sÀ «zsÁ£À«zÉ.

zÀvÀÛ ºÉýPÉAiÀÄ JgÀqÀƧ¢UÉ  3£Éßà PÀÆr¸ÀĪÁ.

x-3+3= 1+3

x+0 = 4.

x= 4

E°è £Á«ÃUÀ MAzÉà ¥ÀjªÀiÁt(=3)ªÀ£ÀÄß JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ PÀÆr¹zÉÝêÉ.

PÀÆr¸À®Ä 3£Éßà AiÀiÁPÉ vÉUÉzÀÄ PÉÆArzÉÝêÉ?

£ÀªÀÄUÉ JqÀ¨sÁUÀzÀ°è x ©lÄÖ G½zÀ AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÆ ¨ÉÃqÀ. CzÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄ°PÁÌV  -3 £ÀÄß vÉUÉAiÀÄ®Ä 3 £Àß PÀÆr¸À¨ÉÃPÁ¬ÄvÀÄ.

 

GzÁºÀgÀuÉ 2: 6x+4 = 3x+10 DzÀgÉ x£À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

E°è JqÀ¨sÁUÀ: 6x+4

§®¨sÁUÀ: 3x+10

ºÀAvÀ1:

3x £Àß JgÀqÀÆ §¢UÀ½AzÀ PÀ¼É¬Äj.(AiÀiÁPÉAzÀgÉ §®¨sÁUÀzÀ°ègÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀªÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀĨÉÃPÀÄ.)

§®¨sÁUÀ = 3x+10-3x= 10

JqÀ¨sÁUÀ = 6x+4-3x = 3x+4 

2£Éà ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ¢AzÀ, §®¨sÁUÀ = JqÀ¨sÁUÀ.

 

ºÀAvÀ2:

FUÀ JqÀ¨sÁUÀzÀ°ègÀĪÀ 4 £Àß vÉUÉAiÀĨÉÃPÀÄ.DzÀÝjAzÀ JgÀqÀƧ¢UÀ½AzÀ 4£Àß PÀ¼É¬Äj

JqÀ¨sÁUÀ = 3x+4-4=3x

§®¨sÁUÀ = 10-4 = 6 

2 £Éà ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ¢AzÀ, JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ.

 

ºÀAvÀ 3

JqÀ¨sÁUÀzÀ x £À ¸ÀºÀUÀÄtPÀ 3jAzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À£Àß ¨sÁV¹.

JqÀ¨sÁUÀ = 3x/3 =x

§®¨sÁUÀ = 6/3 =2

4 £Éà ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ¢AzÀ, JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ

                                     x=2

 

FUÀ ªÉÆzÀ¯ÉgÀqÀÄ ºÀAvÀUÀ¼À°è £ÁªÉãÀÄ ªÀiÁrzÉÝêÉ?

ªÉÆzÀ®Ä JgÀqÀÆ §¢UÀ½AzÀ 3x£Àß PÀ¼ÉzÀÄ, £ÀAvÀgÀ ¹ÞgÁAPÀ 4£Àß PÀ¼É¢zÉÝêÉ.

EzÀgÀ CxÀð: 3x£Àß ªÀÄvÀÄÛ 4gÀ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆêÀÄ (-3x ªÀÄvÀÄÛ-4) £Àß JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ PÀÆr¹zÀÄÝ.

CxÀªÁ 3x£À aºÉß §zÀ¯ÁªÀuÉ ªÀiÁr, E£ÉÆßAzÀÄ §¢UÉ ºÁQzÉÝêÉ.

CzÉÃjÃw 4 gÀ aºÉß §zÀ¯Á¬Ä¹ E£ÉÆßAzÀÄ §¢AiÀÄ°è §gÉ¢zÉÝêÉ.

 

FUÀ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆæÃrüÃPÀj¸ÀĪÁ:

ºÀAvÀ

ºÉýPÉ

«ªÀgÀuÉ

1

6x+4= 3x+10

zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀt

2

6x+4-3x =10

i.e. 3x+4 =10

§®¨sÁUÀ¢AzÀ JqÀ¨sÁUÀPÉÌ 3x  aºÉß §zÀ¯Á¬Ä¹PÉÆAqÀÄ ºÉÆÃVzÉ.

3

3x= 10-4

i.e. 3x =16

4 JqÀ¨sÁUÀ¢AzÀ §®¨sÁUÀPÉÌ aºÉß §zÀ¯Á¬Ä¹PÉÆAqÀÄ ºÉÆÃVzÉ.

4

x=2

¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀA¢zÉ(JgÀqÀÆ §¢AiÀÄ£ÀÄß 3 jAzÀ ¨sÁV¹zÉ)

 

vÁ¼É:

¸À«ÄÃPÀgÀt (1)gÀ°è x £À §zÀ¯ÁV 2 £Àß DzÉò¹.

JqÀ¨sÁUÀ = 6*2+4 = 16

§®¨sÁUÀ = 3*2+10 =16

JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ=16 ; x=2 EzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀ.

 

ªÁåSÉå: AiÀiÁªÀ ZÀgÁPÀëgÀzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹zÁUÀ, JgÀqÀÆ PÀqÉ (JqÀ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ §®¨sÁUÀ) ¸ÀªÀĪÁUÀĪÀÅzÉÆÃ, D CªÀåPÀÛ ¥ÀzÀzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀÅzÀ£ÀÄß ‘¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀ(’‘solution’ )PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀÅzÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ. EzÀ£Éßà ‘¸À«ÄÃPÀgÀt ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ’ JAvÀ®Æ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

 

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è x =2 - EzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀ.F ªÉÄð£À ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ x=1  ¥ÀjºÁgÀªÀ®è.KPÉAzÀgÉ 1£ÀÄß x ¸ÁÜ£ÀzÀ°è DzÉò¹zÁUÀ LHS = 10  ,RHS=13  DUÀÄvÀÛzÉ. »ÃUÁV LHS    

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå1 : F ¸À«ÄÃPÀgÀt ©r¹ (x £À ¨É¯É PÀAqÀÄ »r)

                                5*(2x-3) = 2*(3x-7)

 

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ

ºÉýPÉ

«ªÀgÀuÉ

1

5*(2x-3) = 2*(3x-7)

zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀt

2

10x -15 = 6x -14

¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀA¢zÉ.

3

10x -6x= -14+15

6x ªÀÄvÀÄÛ 15 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß aºÉß §zÀ¯Á¬Ä¹ E£ÉÆßAzÀÄ §¢UÉ ªÀUÁð¬Ä¹zÉ.

4

4x = 1:i,e x = ¼

¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀA¢zÉ.

 

vÁ¼É:

1/4 £Àß x zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹.

 

JqÀ¨sÁUÀ = 5*(2*1/4 -3)  =  5*(1/2-3) = 5*(-5/2) = -25/2

§®¨sÁUÀ = 2*(3*1/4-7)  = 2*(3/4-7) = 2*(-25/4)  = -25/2

JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ = -25/2,  x =1/4 EzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁzÀ ¥ÀjºÁgÀ.

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 2 : x £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r .

 

 = 1/2

 

¥ÀjºÁgÀ:

¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À£ÀÄß ªÀUÀðªÀiÁr.

(x-2)/(x+1) = 1/4

CqÀØ UÀÄtPÁgÀ ªÀiÁr.

4(x-2) = x+1

i.e. 4x – 8 = x+1 (¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀA¢zÉ.)

i.e. 4x –x = 1+8  ( ªÀUÁð¬Ä¹zÉ.)

i.e.  3x = 9

 x=3

 

vÁ¼É:

x£À ¨É¯É 3£Àß zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹. = 1/2

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 3: ªÀÄÆgÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 252. DzÀgÉ D ¸ÀASÉåUÀ¼ÁªÀŪÀÅ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1 : ªÉÆzÀ® ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉå x DVgÀ°.

ºÀAvÀ 2 : ªÀÄÄA¢£À C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ =  (x+2) ªÀÄvÀÄÛ (x+4).

ºÀAvÀ 3 : x+(x+2)+(x+4) = 3x+6 = 252 .. (zÀvÀÛ)

3x+6 = 252

3x = 252-6=246

x = 82

ªÀÄÆgÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ     82(=x),

                                                   84(=x+2)

                                                   86(=x+4)

 

vÁ¼É:

82, 84, 86 F ªÀÄÆgÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸ÀªÀĸÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹. ªÉÆvÀÛ = 252

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 4: MAzÀÄ ºÀqÀUÀÄ ¥ÀæªÁºÀzÀ ¢QÌ£À°è MAzÀÄ §AzÀj¤AzÀ E£ÉÆßAzÀÄ §AzÀjUÉ 9 UÀAmÉUÀ¼À°è vÀ®¥ÀŪÀÅzÀÄ. ¥ÀæªÁºÀzÀ «gÀÄzÀÞ ¢QÌ£À°è CzÉà zÀÆgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀiÁt ªÀiÁqÀ®Ä 10 UÀAmÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀÄ. ¥ÀæªÁºÀzÀ ªÉÃUÀ UÀAmÉUÉ 1Q.«Ä. EzÀÝgÉ, JgÀqÀÄ  §AzÀgÀÄUÀ½VgÀĪÀ zÀÆgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

1) ¤±ÀÑ® ¤Ãj£À°è ºÀqÀV£À ªÉÃUÀ UÀAmÉUÉ xQ.«ÄÃ. DVgÀ°.

¥ÀæªÁºÀzÀ ¢QÌ£À°è ºÀqÀV£À ªÉÃUÀ = (x+1) Q.«ÄÃ./UÀA.

¥ÀæªÁºÀzÀ «gÀÄzÀÞªÁV ºÀqÀV£À ªÉÃUÀ = (x-1) Q.«ÄÃ./UÀA.

¥ÀæªÁºÀzÀ £ÉÃgÀzÀ°è 9 UÀAmÉAiÀÄ°è ZÀ°¹zÀ zÀÆgÀ =9(x+1).

¥ÀæªÁºÀzÀ «gÀÄzÀÞªÁV 10 UÀAmÉAiÀÄ°è ZÀ°¹zÀ zÀÆgÀ = 10(x-1)

2) F JgÀqÀÆ zÀÆgÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.

9(x+1) = 10(x-1)

3) 9x+9 =10x-10 :9+10 =10x-9x(ªÀUÁð¬Ä¹zÉ.)  19=  x =19£ÀÄß , 9(x+1) gÀ°è DzÉò¹.

¥ÀæªÁºÀzÀ £ÉÃgÀzÀ°è ºÀqÀUÀÄ ZÀ°¹zÀ zÀÆgÀ =9(x+1) = 9*(19+1)=9*20 = 180 Q.«ÄÃ.

 

vÁ¼É:

¥ÀæªÁºÀzÀ ¢QÌ£À°è ºÀqÀV£À ªÉÃUÀ= (zÀÆgÀ/¸ÀªÀÄAiÀÄ)- ¥ÀæªÁºÀzÀ ªÉÃUÀ=(180/9)-1   = (20-1) Q.«ÄÃ./UÀA=19 Q.«ÄÃ./UÀA

¥ÀæªÁºÀzÀ «gÀÄzÀÞzÀ°è ºÀqÀV£À ªÉÃUÀ=(zÀÆgÀ/¸ÀªÀÄAiÀÄ)+ ¥ÀæªÁºÀzÀ ªÉÃUÀ=(180/10) +1 = (18+1) Q.«ÄÃ./UÀA =19 Q.«ÄÃ./UÀA

F ªÉÄð¤AzÀ £ÀªÀÄä ¥ÀjºÁgÀ ¸ÀjAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ w½AiÀħºÀÄzÀÄ.

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 5: MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è JgÀqÀÄ CAQUÀ½ªÉ. zÀ±ÀPÀ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉAiÀÄÄ KPÀ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖzÉ. ¸ÀASÉåAiÀÄ CAPÀUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §gÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåVAvÀ 27 PÀrªÉÄ EzÀÝgÉ ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

1) ¸ÀASÉåAiÀÄ KPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ x DVgÀ°. zÀ±ÀPÀ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉAiÀÄÄ KPÀ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉAiÀÄ 2 gÀ¶ÖgÀĪÀÅzÀjAzÀ, zÀ±ÀPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ=2x.

¸ÀASÉåAiÀÄ°è 2 CAQUÀ½gÀĪÀÅzÀjAzÀ CzÀgÀ ¨É¯É = 10*zÀ±ÀPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ+ KPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ. = 10*2x+x. =20x+x = 21 x -------------è (1)

CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ, zÀ±ÀPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è x §gÀÄvÀÛzÉ, 2x KPÀ¸ÁÜ£ÀzÀ°è §gÀÄvÀÛzÉ.

DUÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¨É¯É = 10* zÀ±ÀPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ + KPÀ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ.

 = 10*x+2x =10x+2x = 12 x    --------------è wgÀÄV¹zÀ ¸ÀASÉå.

zÀvÁÛA±ÀzÀAvÉ, ºÉƸÀ wgÀÄV¹zÀ ¸ÀASÉå = ºÀ¼Éà ¸ÀASÉå – 27 10x+2x  = 20x+x-27  12x  = 21x-27  27 = 21x-12x (12x ªÀÄvÀÄÛ27gÀ ¸ÁÜ£À §zÀ°¹zÁUÀ)

27 =9x x = 3. ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ = 3, ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåAiÀÄ zÀ±ÀPÀ¸ÁÜ£ÀzÀ CAPÉ = 3*2 = 6 ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå = 63

 

 

 

 

 

 

vÁ¼É:

ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå = 63

CAPÉUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §gÀĪÀ ¸ÀASÉå = 36.

36 = 63 -27.

EzÀÄ zÀvÁÛA±ÀPÉÌ ¸ÀjAiÀiÁVzÉ. ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå = 63

 

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 6:  MAzÀÄ DAiÀÄvÀzÀ GzÀݪÀÅ CUÀ®QÌAvÀ 4 ¸ÉA.«Äà ºÉaÑzÉ. ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ CUÀ®QÌAvÀ 11¸ÉA.«ÄÃ. ºÉaÑzÀÝ°è DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1: DAiÀÄvÀzÀ CUÀ® x DVgÀ°. GzÀÝ = x+4.

DAiÀÄvÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ P = 2*GzÀÝ+ 2*CUÀ®

    = 2(x+4)+2x  

       = 2x+8+2x

     P = 4x +8        --------------è (1)

DzÀgÉ zÀvÁÛA±ÀzÀAvÉ, ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ CUÀ®QÌAvÀ 11¸ÉA.«Äà ºÉaÑzÉ.

P =  x+11    --------------è (2)

 

ºÀAvÀ 2 :

¸À«ÄÃPÀgÀt (1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ,

2x+8+2x = x+11

4x+8 = x+11

4x-x = 11-8(x ªÀÄvÀÄÛ 8gÀ ¸ÁÜ£À §zÀ°¹zÉ.)

3x = 3

x = 1.

DAiÀÄvÀzÀ CUÀ® =1¸ÉA.«ÄÃ., GzÀÝ = x+4 = 5 ¸ÉA.«ÄÃ.

 

vÁ¼É:

DAiÀÄvÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = 2*GzÀÝ+ 2*CUÀ®

     = 2*5+2*1

     = 10+2

     = 12 ¸ÉA.«ÄÃ

     = 11 ¸ÉA.«Äà +1 ¸ÉA.«ÄÃ

     = 11 ¸ÉA.«Äà +CUÀ®.

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 7:  MAzÀÄ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ°è CA±ÀzÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ bÉÃzÀQÌAvÀ 2 ºÉaÑzÉ.3£Àß CAPÀ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀ JgÀqÀPÀÆÌ ¸ÉÃj¹zÁUÀ §gÀĪÀ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄÄ 2/3 DzÀgÉ, ªÀÄÆ® ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1: ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ  CA±ÀªÀÅ x DVgÀ°.

CA±ÀzÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ = bÉÃzÀQÌAvÀ 2 ºÉZÀÄÑ.

 2x = bÉÃzÀ +2.

bÉÃzÀ= 2x-2

ªÀÄÆ® ©ü£ÀßgÁ² = x/2x-2

3 £Àß bÉÃzÀPÉÌ PÀÆr¹zÁUÀ , ºÉƸÀ bÉÃzÀ = (2x-2) +3=2x+1

3 £Àß CA±ÀPÉÌ PÀÆr¹zÁUÀ ºÉƸÀ CA±À = x+3

ºÉƸÀ ©ü£ÀßgÁ² = (x+3)/ (2x+1)

zÀvÁÛA±ÀzÀAvÉ ºÉƸÀ ©ü£ÀßgÁ² 2/3

ºÀAvÀ 2 : 2/3 = (x+3)/(2x+1)  --------------è(1)

CqÀØ UÀÄtPÁgÀ ªÀiÁrzÁUÀ,

2*(2x+1) =3 (x+3)               --------------è(2)

4x+2 =3x+9 (3x ªÀÄvÀÄÛ 2 £Àß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀUÁð¬Ä¹zÉ.)

4x-3x= 9-2

x= 7

ªÀÄÆ® ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ bÉÃzÀ = 2x-2 =14-2=12

ªÀÄÆ® ©ü£ÀßgÁ² = 7/12

 

vÁ¼É:

ªÀÄÆ® ©ü£ÀßgÁ² = 7/12

3£Àß CAPÀ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ½UÉ PÀÆr¹zÁUÀ = 10/15 = 2/3 - zÀvÀÛ

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 8:  zÉÆqÀبsÁUÀªÀ£ÀÄß aPĄ̀sÁUÀ¢AzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ, ¨sÁUÀ®§Þ 2 ªÀÄvÀÄÛ ±ÉõÀ 5 DVgÀĪÀAvÉ, 32 £Àß JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ ªÀiÁr.

 

¥ÀjºÁgÀ:

zÉÆqÀبsÁUÀ = xDVgÀ° aPĄ̀sÁUÀ = 32-x

¨sÁdå =¨sÁUÀ®§Þ*¨sÁdPÀ+±ÉõÀ.

x/(32-x) = 2+ 5(±ÉõÀ)

 

C¨sÁå¸À: F ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ©r¹(x =23 ,E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå = 9)

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå 9: x2-9/( x2+5) =  -5/9  DVgÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x £À zsÀ£ÁvÀäPÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

zÀvÁÛA±ÀzÀAvÉ x2-9/( x2+5) =  -5/9

CqÀØ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁrzÁUÀ 9(x2-9) = -5(x2+5)

¸ÀAPÉëæ¹zÁUÀ 9x2-81 = -5x2 -25

¸ÁÜ£À §zÀ¯Á¬Ä¹zÁUÀ 14x2 = 56

 x2 = 4

 x =  +2 CxÀªÁ -2

 

vÁ¼É:

zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x=2 £ÀÄß DzÉò¹zÁUÀ , LHS = -5/9 = RHS, DzÀÝjAzÀ EzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁzÀ ¥ÀjºÁgÀ.

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå10:  zÀÄA©UÀ¼À ¸ÀªÀÄƺÀzÀ°è  1/5 gÀ ¨sÁUÀ PÀzÀA§ ªÀÈPÀëPÀÆÌ, 1/3 £Éà ¨sÁUÀ ²°ÃAzsÀæPÀÆÌ ºÉÆgÀlªÀÅ. CªÉgÀqÀgÀ ªÀåvÁå¸ÀzÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ PÀÄld ªÀÈPÀëPÀÆÌ ºÉÆÃzÀ ªÉÄÃ¯É G½zÀ MAzÉà MAzÀÄ zÀÄA©AiÀÄÄ PÉÃvÀPÀªÀiÁ®wà ¥ÀŵÀàzÀ ¸ÀÄUÀAzsÀ¢AzÀ DPÀ¶ð¸À®àlÄÖ DPÁ±ÀzÀ°è ºÁgÁqÀÄwÛvÀÄÛ. ºÁUÁzÀgÉ J¯ÉÊ °Ã¯ÁªÀw, zÀÄA©UÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉåJµÀÄÖ?

(°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 56)

 

¥ÀjºÁgÀ:

MlÄÖ ¸ÀASÉå x EgÀ°.

 

ºÀAvÀ

J°èUÉ

JµÀÄÖ

1

PÀzÀA§PÉÌ

(x/5)

2

²°ÃAzsÀæPÉÌ

(x/3)

3

ªÉÄð£ÀªÀÅUÀ¼À ªÀåvÁå¸À

(x/3) – (x/5) = (2x/15)

4

PÀÄldPÉÌ

3*(2x/15)=(2x/15)

5

G½zÀzÀÄÝ

1

 

x- {(x/5)+(x/3)+(2x/5) =1

 {15x-(3x+5x+6x)/15} =1

 x=15

 

vÁ¼É:

PÀzÀA§PÉÌ 3, ²°ÃAzsÀæPÉÌ 5, PÀÄldPÉÌ 6 { =3*(5-3)} G½zÀzÀÄÝ 1

 

2.7 ¸ÀªÀĸÉå11:  M§â AiÀiÁwæPÀ£ÀÄ vÀ£Àß ºÀtzÀ CzsÀð ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀiÁUÀzÀ°èAiÀÄÆ, G½zÀÄzÀgÀ 2/9 ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß PÁ²AiÀÄ°èAiÀÄÆ, G½zÀÄzÀgÀ 1/4 ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß vÉjUÉUÀ½UÀÆ, E£ÀÄß½zÀÄzÀgÀ 6/10 ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß UÀAiÉÄAiÀÄ°èAiÀÄÆ RZÀÄðªÀiÁrzÀ £ÀAvÀgÀ G½zÀ 63 ¤µÀÌUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄ£ÉUÉ vÀAzÀgÉ, AiÀiÁvÉæUÉ vÉUÉzÀÄ PÉÆAqÀÄ ºÉÆÃzÀ ºÀt JµÀÄÖ?(°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 55)

 

¥ÀjºÁgÀ:

MlÄÖ ¸ÀASÉå x EgÀ°.

 

ºÀAvÀ

J°è/KvÀPÉÌ

JµÀÄÖ

£ÀAvÀgÀ G½zÀzÀÄÝ

1

¥ÀæAiÀiÁUÀ

(x/2)

x-(x/2) = (x/2)

2

PÁ²

(2/9)*(x/2)=(x/9)

(x/2)-(x/9) = (7x/18)

3

vÉjUÉ

(1/4)*(7x/18) =(7x/72)

(7x/18) - (7x/72)= (21x/72) =(7x/24)

4

UÀAiÉÄ

(6/10)*(7x/24)=(7x/40)

(7x/24)- (7x/40) ={(35x-21x)/120}=(7x/60)

5

G½zÀzÀÄÝ

63

 

 

(7x/60) =63

 x=540

 

vÁ¼É:

¤ÃªÉà ªÀiÁr

 

                             

                                                        2.7 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

PÀæ.¸ÀA

PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

1

¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ DaÃZÉUÉ aºÉß §zÀ¯Á¬Ä¹ ªÀUÁð¬Ä¸ÀĪÀÅzÀÄ.

2

JqÀ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ §®¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ¸ÀAPÉëæ¹, CªÀåPÀÛ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ §¢UÉ, ¹ÜgÁAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ §¢UÉ §gÀĪÀAvÉ ªÀiÁr, ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.