2.9 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C (HCF and LCM of Polynomials/Algebraic expressions):

AiÀiÁªÀÅzÉà ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ ¨sÁUÁPÁgÀ PÀæªÀĪÀ£ÀÄß C£ÀĸÀj¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß FUÁUÀ¯Éà ¥ÁoÀ 2.5 gÀ°è PÀ°wzÉÝêÉ

2.9 ¸ÀªÀĸÉå1: (p+3)³, 2p³+54+18p(p+3), (p²+6p+9) EªÀÅUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ1: J¯Áè ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ªÉÆzÀ°UÉ C¥ÀªÀwð¹j.

1. (p+3)³ – EzÀgÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ: (p+3),(p+3) ªÀÄvÀÄÛ (p+3)

2. FUÀ 2£Éà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸ÀĪÁ.

2p³+54+18p(p+3)

= 2(p³+27)+18p(p+3)

= 2*(p+3)( p²+9-3p)+18p(p+3), [(p³+27)EzÀÄ a³+b³ gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ. a=p , b=3, a³+b³ =(a+b) (a² +b² -ab)]

=(p+3)*((2*(p²+9-3p))+18p)

= (p+3) *2*( p²+9-3p+9p)

=2(p+3)( p²+9+6p) [ (p²+9+6p) EzÀÄ ( a²+ b²+2ab) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ. a=p , b=3, ( a²+ b²+2ab)= (a+b)² ]

= 2(p+3)(p+3)²

2p³+54+18p(p+3) AiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ: 2, (p+3),(p+3),(p+3)

3. (p²+6p+9) =(p+3)² -- (ªÉÄÃ¯É £ÉÆÃrzÉ.)

(p²+6p+9) F ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ: (p+3)²

FUÀ ªÀÄ.¸Á.C. ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C £ÉÆÃqÀ®Ä ¨sÁUÁPÁgÀ PÀæªÀĪÀ£ÀÄß §¼À¹.

zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ: ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

ªÉÄð£ÀªÀÅUÀ¼À C¥ÀªÀvÀð£À p+3 DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ p+3¤AzÀ¯Éà ¨sÁUÁPÁgÀ ªÀiÁqÉÆÃt.

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3), 2(p+3) 1

E£ÀÄß J¯ÁèªÀÅzÀPÀÆ̸ÁªÀiÁ£Àå ¨sÁdPÀUÀ¼ÀÄ E®è. DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀ£ÀÄß E°èUÉà ¤°è¹.

DzÀÝjAzÀ ªÀÄ.¸Á.C = (p+3)(p+3)= (p+3)²

ªÀÄvÀÄÛ

(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)

(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)

(p+3) | (p+3), 2(p+3) 1

1, 2, 1

E£ÀÄß J¯ÁèªÀÅzÀPÀÆÌ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨sÁdPÀUÀ¼ÀÄ E®èzÀÄzÀjAzÀ ¨sÁUÁPÁgÀ E°èUÉà ªÀÄÄV¬ÄvÀÄ.

®.¸Á.C = (p+3)(p+3)(p+3)*1*2*1 = 2(p+3)³

vÁ¼É: p=2 ¨É¯É DzÉò¹ vÁ¼É£ÉÆÃqÀĪÁ.

ªÀÄ.¸Á.C = (p+3)² = (2+3)² =25

®.¸Á.C = 2(p+3)³= 2(2+3)³= 2*125=250

zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ: (p+3)³ , 2p3+54+18p(p+3), (p²+6p+9)

(2+3)³, (2*2³+54+18*2(2+3)), (2²+6*2+9)

= {125, 250,25}

EªÀÅUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C=25 , ®.¸Á.C=250

¥ÀjºÁgÀ ¸ÀjAiÀiÁVzÉ.

2.9 ¸ÀªÀĸÉå 2: 10(x²-y²), 15(x²-2xy+y²), 20(x³- y³), 5(-3x +3y) UÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1: ªÉÆvÀÛ ªÉÆzÀ°UÉ zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß C¥ÀªÀwð¸À¨ÉÃPÀÄ.

1. ªÉÆzÀ® ©ÃeÉÆÃQÛ: 10(x²-y²) EzÀgÀ°è (x²-y²) ªÀÅ (a²-b²) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ.

CzÀgÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ: (a+b) (a-b):

10(x²-y²)=10(x+y)(x-y)

2. JgÀqÀ£Éà ©ÃeÉÆÃQÛ: 15(x²-2xy+y²)

EzÀgÀ°è (x²-2xy+y²)ªÀÅ (a²-2ab+b²) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ. EzÀgÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ (a-b) ªÀÄvÀÄÛ (a-b)

15(x²-2xy+y²)= 15(x-y) (x-y)

3. ªÀÄÆgÀ£Éà ©ÃeÉÆÃQÛ: 20, (x³-y³): 20, (x-y), (x² +y² +xy)

4. £Á®Ì£Éà ©ÃeÉÆÃQÛ: 5*-3(x-y) = 5*(-3)(x-y)=-15, (x-y)

ºÀAvÀ 2: F ¨sÁUÁPÁgÀ PÀæªÀĪÀ£ÀÄß §¼À¹.

E°è C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ 5 ªÀÄvÀÄÛ (x-y) DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ EªÉgÀqÀjAzÀ eÉÆvÉAiÀiÁV ¨sÁUÁPÁgÀ ªÀiÁqÉÆÃt.

5 (x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x² +y² +xy), -15(x-y)

2(x+y), 3(x-y), 4(x² +y² +xy), -3

¸ÁªÀiÁ£Àå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ E¤ß®è.

ªÀÄ.¸Á.C= 5(x-y)

FUÀ ®.¸Á.C PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ¥ÀÄ£À: 5(x-y)jAzÀ ¨sÁV¸À¨ÉÃPÀÄ.

5(x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x² +y² +xy), -15(x-y)

2| 2(x+y), 3(x-y), 4(x² +y² +xy), -3 (¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ EgÀĪÀgÉUÀÆ £ÁªÀÅ ¨sÁUÁPÁgÀ ªÀiÁqÉÆÃt.)

3| (x+y), 3(x-y), 2(x² +y² +xy), -3

(x+y), (x-y), 2(x² +y² +xy) -1

®.¸Á.C =5(x-y)* 2*3*(x+y)*(x-y)*2(x² +y² +xy)

= 60*(x-y)(x+y)*(x-y)(x² +y² +xy) ( (x-y)(x² +y² +xy)ªÀÅ (a-b)( (a² +b² +ab) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ ªÀÄvÀÄÛ a=x and b= y)

= 60*(x²-y²)* (x³-y³)

vÁ¼É:

x=3 , y=2 ¨É¯É DzÉò¹ vÁ¼É£ÉÆÃqÀĪÁ.

ªÀÄ.¸Á.C = 5(x-y) = 5*(3-2) = 5

®.¸Á.C = 60*(x²- y²)* (x³-y³)

= 60*(9-4)*)(27-8)

=60*5*19=5700

FUÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:

10(x²-y²), 15(x²-2xy+y²) 20(x³- y³),5(-3x +3y)

10(3²-2²), 15(3²-2*3*2+2²), 20(3³- 2³),5(-3*3 +3*2)

= {50, 15, 380, -15}

F ¥ÀzÀUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C =5

®.¸Á.C PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ¨sÁUÁPÁgÀ ªÀiÁqÀĪÁ.

5 | 50,15,380,-15

2 | 10,3,76,-3

3 | 5,3,38,-3

| 5,1,38,-1

®.¸Á.C = 5*2*3*5*38=5700

¥ÀjºÁgÀ PÁgÀå ¸ÀjAiÀiÁVzÉ.

2.9 ¸ÀªÀĸÉå 3 : AiÀiÁªÀ a ªÀÄvÀÄÛ b ¨É¯ÉUÀ½UÉ PɼÀV£À ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À°è

p(x) = (x²+3x+2) (x²+2x+a), q(x) = (x²+7x+12) (x²+7x+b)

(x+1)(x+3) CªÀÅUÀ¼À ªÀÄ.¸Á.C DVgÀÄvÀÛzÉ.

¥ÀjºÁgÀ:

(x²+3x+2) = (x+1)(x+2)

(x²+7x+12) = (x+4)(x+3)

p(x) = (x+1)(x+2)(x²+2x+a)

q(x) = (x+4)(x+3) (x²+7x+b)

zÀvÀÛzÀAvÉ (x+1)(x+3) p(x), £À ªÀÄ.¸Á.C DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ

(x²+2x+a)gÀ C¥ÀªÀvÀð£À (x+3) EgÀ¯Éà ¨ÉÃPÀÄ

I.e. x=-3 JAzÀÄ DzÉò¹zÁUÀ ¸À«ÄÃPÀgÀt (x²+2x+a) =0 DUÀ¯Éà ¨ÉÃPÀÄ

(-3)²+2(-3)+a =0

I.e. 9-6+a =0

a =-3

zÀvÀÛzÀAvÉ (x+1)(x+3) gÀ ªÀÄ.¸Á.C q(x), DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ

(x²+7x+b) gÀ C¥ÀªÀvÀð£À (x+1)

I.e. x=-1 JAzÀÄ DzÉò¹zÁUÀ ¸À«ÄÃPÀgÀt(x²+7x+b) =0 DUÀ¯Éà ¨ÉÃPÀÄ

(-1)²+7(-1)+b =0

I.e. 1-7+b =0

b =6

vÁ¼É:

a ªÀÄvÀÄÛ b AiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß p(x) ªÀÄvÀÄÛ q(x) zÀ°è DzÉò¹zÁUÀ,

p(x) = (x²+3x+2) (x²+2x-3) = (x+1) (x+2) (x+3) (x-1) { (x²+2x-3) = (x+3)(x-1)}

q(x) =(x²+7x+12) (x²+7x+6) = (x+4) (x+3) (x+1) (x+6) { (x²+7x+6)= (x+1)(x+6)}

p(x) ªÀÄvÀÄÛ q(x) gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃrzÁUÀ p(x) ªÀÄvÀÄÛ q(x) gÀ ªÀÄ.¸Á.C (x+1) (x+3)

DVzÉ JAzÀÄ w½AiÀħºÀÄzÀÄ.

2.9 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

PÀæ.¸ÀA.	PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	ªÀÄ.¸Á.C ªÀÄvÀÄÛ ®.¸Á.C. PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¨sÁUÁPÁgÀ PÀæªÀÄ.