7.1  DAiÀÄvÀ ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À ZÀvÀÄxÀðPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ £ÀPÉëUÀ¼ÀÄ (Rectangular Co–ordinates and Graphs):

 

£Á«ÃUÁUÀ¯Éà ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ®Ä ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ©AzÀÄUÀ¼ÁV UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÀ°wzÉÝêÉ.

©AzÀÄ«UÉ AiÀiÁªÀÅzÉà ªÀÄlÖ(DAiÀiÁªÀÄ,C¼ÀvÉ) E®è. CzÀgÉ CzÉà ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉUÉ  MAzÀÄ ªÀÄlÖ(GzÀÝ) EzÉ. ºÁUÉAiÉÄà PÉëÃvÀæ ¥sÀ® EgÀĪÀ wæ¨sÀÄd, ZÀvÀĨsÀÄðd DPÀÈwUÀ½UÉ JgÀqÀÄ ªÀÄlÖUÀ¼ÀÄ EªÉ.  UÁvÀæ CxÀªÁ WÀ£À ¥sÀ® EgÀĪÀ UÉÆüÀ, ¹°AqÀgï EªÀÅUÀ½UÉ ªÀÄÆgÀÄ ªÀÄlÖUÀ¼ÀÄ EªÉ.

 

£ÀªÀÄä ªÀÄ£ÉUÀ¼À£ÀÄß PÁUÀzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ £ÀUÀgÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¨sÀÆ¥ÀlzÀ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ ©AzÀÄ«¤AzÀ UÀÄgÀÄw¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?

£ÀªÀÄä £ÀUÀgÀUÀ¼À£ÀÄß ¨sÀÆ¥ÀlzÀ°è UÀÄgÀÄw¸À®Ä CPÁëA±À ªÀÄvÀÄÛ gÉÃSÁA±ÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ. CzÉà jÃw ªÀÄ£ÉAiÀÄ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä JgÀqÀÄ ªÀÄlÖUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ.

 

UÀtÂvÀzÀ F «¨sÁUÀzÀ PÀ°PÉAiÉÄà £ÀPÉë. £ÀPÉë JAzÀgÉ ‘§gÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ’ CxÀªÁ ‘UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ’ CxÀªÁ ‘J¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ’(‘to paint or ‘to draw’).

 

£ÁªÀÅ gÀÆrüAiÀÄ°è, ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ §®¨sÁUÀzÀ°è zsÀ£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ JqÀ¨sÁUÀzÀ°è IÄt ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.(EzÀ£ÀÄß ¥ÁoÀ1.1 gÀ°è PÀ°wzÉÝêÉ.)

£ÀPÁëºÁ¼É (UÁæ¥sï)AiÀÄ°è  K¼ÉzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ‘x –CPÀë’(‘x axis’. )J£ÀÄßvÉÛêÉ.

DzÀÝjAzÀ OX   gÉÃSÉAiÀÄÄ zsÀ£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß, OX1 gÉÃSÉAiÀÄÄ (EzÀ£ÀÄß-x JAvÀ®Æ J£ÀÄßvÉÛêÉ.) IÄt ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

FUÀ ‘O’ ©AzÀÄ«£À°è x –CPÀëPÉÌ ©AzÀÄ ®A§ªÀ£Éß¼ÉzÀÄ CzÀ£ÀÄß PɼÀUÀÆ ªÉÄîPÀÆÌ ªÀÈ¢Þ¹. F ®A§ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ‘y- CPÀë’(‘y axis’) J£ÀÄßvÉÛêÉ. x –CPÀë zÀ ªÉÄðgÀĪÀ OY gÉÃSÉAiÀÄÄ zsÀ£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß, PɼÀUÉ EgÀĪÀ OY1  gÉÃSÉAiÀÄÄ IÄt ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

F x –CPÀë ªÀÄvÀÄÛ y –CPÀë EªÉgÀqÀ£ÀÄß MmÁÖV ‘¤zÉÃð±ÁAPÀ CPÀëUÀ¼ÀÄ’( ‘coordinate axes’)J£ÀÄßvÉÛêÉ.

F ¤zÉÃð±ÁAPÀ CPÀëUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®ªÀ£ÀÄß 4 ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛªÉ. F ¨sÁUÀUÀ½UÉ ZÀvÀÄxÀðPÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ

¥ÁzÀUÀ¼ÀÄ(‘quadrants’ )  JAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ. UÀrAiÀiÁgÀzÀ ªÀÄĽî£À ZÀ®£ÉAiÀÄ «gÀÄzÀÞ (C¥ÀæzÀQët)¢QÌ£À°è F ZÀvÀÄxÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß ZÀvÀÄxÀðPÀ I, ZÀvÀÄxÀðPÀ II, ZÀvÀÄxÀðPÀ III, ZÀvÀÄxÀðPÀ IV JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. £ÀPÁëºÁ¼ÉAiÀÄ°è x ªÀÄvÀÄÛ y CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°è(1¸ÉA.«ÄÃ. DVgÀ°) O ©AzÀÄ«£À JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è UÀÄgÀÄvÀÄUÀ½ªÉ.

 

1. OX £À°è UÀÄgÀÄvÀÄUÀ¼ÀÄ O ¬ÄAzÀ §®PÉÌ 1¸ÉA.«ÄÃ., 2¸ÉA.«ÄÃ., 3¸ÉA.«ÄÃ.,.

2. OX1 £À°è UÀÄgÀÄvÀÄUÀ¼ÀÄ O ¬ÄAzÀ JqÀPÉÌ -1¸ÉA.«ÄÃ., -2¸ÉA.«ÄÃ.,-3¸ÉA.«ÄÃ. . .

3. OY gÉÃSÉAiÀÄ°è O AiÀÄ ªÉÄÃ¯É 1¸ÉA.«ÄÃ., 2¸ÉA.«ÄÃ., 3¸ÉA.«ÄÃ., ….

4. OY1 gÉÃSÉAiÀÄ°è O AiÀÄ  PɼÀUÉ-1¸ÉA.«ÄÃ., -2¸ÉA.«ÄÃ., -3¸ÉA.«ÄÃ. …

 

£ÀPÁëºÁ¼ÉAiÀÄ°è ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀÄ (Plotting of points on a graph sheet)

ZÀvÀÄxÀðPÀ I gÀ°è (x –CPÀë¢AzÀ ªÉÄîPÉÌ,y CPÀë¢AzÀ §®PÉÌ) AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ PAiÀÄ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. P ©AzÀÄ«¤AzÀ x ªÀÄvÀÄÛ y CPÀëUÀ½UÉ ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£É߼ɬÄj.

F gÉÃSÉUÀ¼ÀÄX ªÀÄvÀÄÛ Y CPÀëUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀA¢ü¹zÁUÀ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

 

P ¬ÄAzÀ x  CPÀëPÉÌ J¼ÉzÀ ®A§ªÀÅ  CPÀëªÀ£ÀÄß ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«UÉ ‘O’ ¢AzÀ EgÀĪÀ zÀÆgÀªÀ£ÀÄß x - ¤zÉÃð±ÁAPÀ (‘x - coordinate’) CxÀªÁ ¥ÀæxÀªÀÄ ¨sÀÄd(‘abscissa’) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

 

P ¬ÄAzÀ x CPÀëPÉÌ J¼ÉzÀ ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ y CPÀëªÀ£ÀÄß ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«UÉ ‘O’ ¢AzÀ EgÀĪÀ zÀÆgÀªÀ£ÀÄß y -¤zÉÃð±ÁAPÀ (‘y- coordinate’)CxÀªÁ ¤Ã¼À¨sÀÄd (‘ordinate ’) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

 

 

¥ÀPÀÌzÀ £ÀPÉëAiÀÄ°è P  ©AzÀÄ«£À x - ¤zÉÃð±ÁAPÀ 2 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ(¸ÉA.«ÄÃ.) ªÀÄvÀÄÛ y- ¤zÉÃð±ÁAPÀ 3 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ (¸ÉA.«ÄÃ.).DzÀÝjAzÀ P ©AzÀĪÀ£ÀÄß P(2,3) JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. F ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄßDAiÀÄvÀ ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ (‘rectangular coordinates’) J£ÀÄßvÉÛêÉ. (KPÉAzÀgÉ DPÀÈw MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁVzÉ.)

 

 

7.1 ¸ÀªÀĸÉå 1: £ÀPÉëAiÀÄ°è P(3, 2) ©AzÀÄ UÀÄgÀÄw¹.

 

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ1: £ÀPÁëºÁ¼ÉAiÀÄ°è x – CPÀëzÀ ªÉÄïÉ, O ©AzÀÄ«£À 3 ¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°è ©AzÀÄ (x1) UÀÄgÀÄw¹.

ºÀAvÀ 2: CzÉÃjÃw y – CPÀëzÀ ªÉÄïÉ, O ©AzÀÄ«¤AzÀ 2 ¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°è ©AzÀÄ (y1) UÀÄgÀÄw¹.

ºÀAvÀ 3: Ox1 ªÀÄvÀÄÛ Oy1   ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁr ZÀvÀÄxÀðPÀ I gÀ°è MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.

Ox1 ªÀÄvÀÄÛ Oy1 UÀ½UÉ J¼ÉzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀ ©AzÀĪÉà P (3, 2).

 

C¨sÁå¸À: T(2, 3) ©AzÀĪÀ£ÀÄß £ÀPÉëAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹.

P (3, 2), T (2, 3) UÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgɨÉÃgÉ ©AzÀÄUÀ¼ÁVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.

AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ½UÉ MAzÉà x ªÀÄvÀÄÛ y ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ½®è.DzÀÝjAzÀ (x, y)¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß CtÂvÀAiÀÄÄUÀä CxÀªÁ PÀæªÀÄAiÀÄÄUÀä J£ÀÄߪÀgÀÄ. (‘ordered pair’)

 

C¨sÁå¸À:  Q(-2, 4),  R(-2, -4), S(2, -4) F ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß £ÀPÉëAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹.

UÀªÀĤ¹:

1.  IÄt x - ¤zÉÃð±ÁAPÀªÀ£ÀÄß x – CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É O ¢AzÀ JqÀPÉÌ UÀÄgÀÄw¸ÀÄvÉÛêÉ.(i.e. OX1 gÉÃSÉAiÀÄ°è)

2.  IÄt y - ¤zÉÃð±ÁAPÀªÀ£ÀÄß x – CPÀëQÌAvÀ PɼÀUÉ OY1 gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

¥sÀ°vÁA±À:

1. ©AzÀÄ Q (-2, 4) 2 £Éà ZÀvÀÄxÀðPÀzÀ°èzÉ.

2. ©AzÀÄ R (-2, -4) EzÀÄ 3 £Éà ZÀvÀÄxÀðPÀzÀ°èzÉ.

3. ©AzÀÄ S (2, -4) EzÀÄ 4 £Éà ZÀvÀÄxÀðPÀzÀ°èzÉ.

 

UÀªÀĤ¹:

1.  ªÀÄÆ®©AzÀÄ ‘O’ £À ¤zÉÃð±ÁAPÀ: (0, 0).

2. x CPÀëzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀ (x, 0).

3. y CPÀëzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀ (0, y).

       

     

 

ZÀvÀÄxÀðPÀ

x-CPÀë

y-CPÀë

©AzÀÄ(x,y)

1

I

+

+

(+, +)

2

II

-

+

(- , +)

3

III

-

-

(- , - )

4

IV

+

-

(+, - )

 

 

 

7.1.1 ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë J¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ(Drawing graph for a linear equation):

 

¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ MAzÀ£Éà WÁvÀzÀ JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ.

 

FUÀ £ÁªÀÅ PɼÀUÉ ¸ÀÆa¹zÀ ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÀĪÁ, EªÀÅUÀ¼À°è MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀ x , E£ÉÆßAzÀÄ y.

 

PÀæ.¸ÀA.

¸ÀA§AzsÀ

¸ÀªÀiÁ£ÀªÁzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀt

1

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉåUÉ ¸ÀªÀÄ.

y = x

2

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀgÀ JgÀqÀgÀÖzÉ.

y = 2x

3

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀgÀ JgÀqÀgÀµÀÖQÌAvÀ 1 ºÉZÀÄÑ.

y = 2x+1

4

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉåUÉ 2£Àß PÀÆr¹zÀÄzÀgÀ 2 gÀÖzÉ.

y = 2(x+2)

5

JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 3.

x-y  =3 or  –y = 3-x(¸ÀܼÁAvÀj¹zÉ.) CxÀªÁ

y  = x-3(-1 jAzÀ UÀÄt¹zÉ.)

6

JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ=3

x+y= 3  CxÀªÁ y  = 3-x(¸ÀܼÁAvÀj¹zÉ.)

 

ªÉÄð£À J¯Áè ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ CªÀåPÀÛ ¥ÀzÀzÀ ªÉÆzÀ®£Éà WÁvÀzÀ°èªÉ. CªÀÅUÀ¼À ¸ÁªÀiÁ£ÀågÀÆ¥À y = mx + c . E°è c = MAzÀÄ ¹ÞgÁAPÀ. MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ ax+by+c = 0 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÀÝgÀÆ CzÀ£ÀÄß y =mx+c gÀÆ¥ÀPÉÌ ¥ÀjªÀwð¸À¨ÉÃPÀÄ. ºÉÃUÉ? 

 

1

ax+by+c = 0

zÀvÀÛ

2

by= -ax-c

¸ÀܼÁAvÀj¹zÁUÀ(JgÀqÀÆ PÀqÉ ax+c ¬ÄAzÀ PÀ¼ÉzÁUÀ)

3

y= (-a/b)x-(c/b)

JgÀqÀÆ PÀqÉ b ¬ÄAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

4

y =mx+z

m= -(a/b), z= -(c/b)

 

7.1.1 ¸ÀªÀĸÉå 1: x+y =3  ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë J¼É¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1 : zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß  y =mx+c gÀÆ¥ÀPÉÌ ¥ÀjªÀwð¹. (¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀzÀ°è y ªÀiÁvÀæ EgÀ¨ÉÃPÀÄ.) y = 3-x(¸ÀܼÁAvÀj¹zÉ).

ºÀAvÀ 2 : x £À PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ (§gÉà 2 ¨É¯É ¸ÁPÁzÀgÀÆ ¸ÀºÀ) y AiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »rzÀÄ PɼÀV£ÀAvÉ ¥ÀnÖªÀiÁr:

x à

0

-1

1

2

y à

3

4

2

1

(x,y)

(0,3)

(-1,4)

(1,2)

(2,1)

 

ºÀAvÀ 3 :  £ÀPÁë ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É (x,y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ½gÀĪÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹, MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSɬÄAzÀ F ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. F ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄÄ x+y =3(CxÀªÁ y= -x +3) ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ

vÁ¼É:£ÀªÀÄUÉ zÉÆgÉvÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ x+y=3 ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ SÁwæ ºÉÃUÉ?

 

£ÀªÀÄUÉ zÉÆgÉvÀ gÉÃSÉAiÀÄ°è x=0.5 DzÁUÀ y-AiÀÄ ¤zÉÃð±ÁAPÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃr. CzÀÄ 2.5 DVzÉ  D ©AzÀÄ (0.5, 2.5) DVzÉ. x,y UÀ¼À F ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹zÁUÀ,x+y =0.5+2.5 = 3. EzÉà jÃw x £À ¨ÉÃgÉ ¨É¯ÉUÀ½UÀÆ ¸Àj EzÉAiÉÄà {GzÁ: (3,0)} JAzÀÄ £ÉÆÃqÀĪÀÅzÀjAzÀ F gÉÃSÉAiÀÄ £ÁªÀÅ J¼ÉzÀ £ÀPÉëAiÀÄÄ zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ w½AiÀħºÀÄzÀÄ.

y= mx+c EzÀÄ ªÉÆzÀ® WÁvÀzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÁVzÀÄÝ J¼ÉzÀ £ÀPÉëAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀiÁzÀÝjAzÀ, EAvÀºÀ ªÉÆzÀ® WÁvÀzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ. (‘linear equations’)

 

UÀªÀĤ¹:

1. MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄ£Éß¼ÉAiÀÄ®Ä JgÀqÉà ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÁzÀgÀÆ PÀÆqÁ x+y=3  ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ vÀÄA¨Á ¥ÀjºÁgÀUÀ½ªÉAiÉÄAzÀÄ vÉÆÃj¸À®Ä (x,y) UÀ¼À ºÀ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁrzÉÝêÉ.

2. £ÀPÉëAiÀÄ ªÉÄð£À ºÀ®ªÀÅ ( x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ x+y =3 gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É EzÀÄÝ {GzÁ.(4,-1)}EªÉ®èªÀÇ zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ C£ÀĸÁgÀªÁVªÉ.

 

£ÀPÉë J¼ÉAiÀÄĪÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À(Alternate Method of drawing  graph):

 

MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄ£Éß¼ÉAiÀÄ®Ä £ÀªÀÄUÉ §gÉà 2 ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ. ºÁVzÀÝ°è £ÁªÀÅ x, yUÀ½UÉ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¨É¯ÉUÀ¼À ¥ÀnÖ vÀAiÀiÁj¸ÀĪÀ CUÀvÀåªÉãÀÄ? ¤dªÁV £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁVgÀĪÀÅzÀÄ. x – CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ ©AzÀÄ, y – CPÀëzÀ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ ©AzÀÄ. F JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹ £ÁªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉ AiÀÄ£Éß¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ. x – CPÀëzÀ ªÉÄð£À ©AzÀÄ«£À y – AiÀÄ ¤zÉÃð±ÁAPÀ O. CzÉÃjÃw y – CPÀëzÀ ªÉÄð£À ©AzÀÄ«£À x £À ¤zÉÃð±ÁAPÀ = O. MAzÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉëAiÀÄÄ x – CPÀëªÀ£ÀÄß bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀ£ÀÄß x – CAvÀBRAqÀ(‘x- intercept’) J£ÀÄßvÉÛêÉ. D ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ: (x,0).

x £À ¨É¯É ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è y UÉ O AiÀÄ£ÀÄß DzÉò¹. MAzÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉëAiÀÄÄ y – CPÀëªÀ£ÀÄß bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß y – CAvÀBRAqÀ(‘y- intercept’)  J£ÀÄßvÉÛêÉ. F ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ (0,y). E°è yAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x=0 JAzÀÄ DzÉò¹.

FUÀ F ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À¢AzÀ x+y = 3(¸ÀªÀĸÉå 2.7.1.1) ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë J¼ÉAiÀÄĪÁ. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è y=0 DzÉò¹zÁUÀ, x=3. P(3,0) AiÀÄÄ x-CAvÀBRAqÀ. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x=0 DzÉò¹zÁUÀ, y=3. Q(0,3) AiÀÄÄ

 y-CAvÀBRAqÀ.P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀAvÉ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Éß¼ÉzÀgÉ, x+y =3.¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë ¹UÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ ¸ÀªÀĸÉå 7.1.1.1 gÀ°èzÀÝAvÉAiÉÄà DVzÉ.

 

 

7.1.1 ¸ÀªÀĸÉå 2: y = -2 gÀ £ÀPÉë  J¼É¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1:  ªÉÄîÌAqÀ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß »ÃUÀÆ CxÉÊð¸À§ºÀÄzÀÄ;

“x £À AiÀiÁªÀ ¨É¯ÉUÉ  y =-2 DUÀÄvÀÛzÉ?”  ¸À«ÄÃPÀgÀt §gÉAiÀÄĪÀÅzÁzÀgÉ »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ: y =0x-2

ºÀAvÀ 2: x £À PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ y AiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁQ PɼÀPÀAqÀAvÉ ¥ÀnÖªÀiÁr

x à

-1

1

3

y à

-2

-2

-2

(x,y)

(-1,-2)

(1,-2)

(3,-2)

ºÀAvÀ 3 : £ÀPÁë ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É (x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ½AzÀ ¸ÀÆa¹zÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSɬÄAzÀ eÉÆÃr¹. F ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ y=-2 £Àß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

 

F gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É (2,-2) ©AzÀĪÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. F ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß vÀÈ¦Û ¥Àr¸ÀÄvÀÛªÉ.

UÀªÀĤ¹:J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ x –CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ.

 

7.1.1 ¸ÀªÀĸÉå 3: 2y = -x ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë J¼É.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1:  ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀzÀ°è y ªÀiÁvÀæ«gÀĪÀAvÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ¥ÀjªÀwð¹: y = - x/2

ºÀAvÀ 2: x £À 2 ¨É¯ÉUÀ½UÉ y AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀnÖªÀiÁr.

x à

-2

2

y à

1

-1

(x, y)

(-2,1)

(2,-1)

 

ºÀAvÀ 3:  (x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀļÀî F JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß £ÀPÉëAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹, ¸ÀgÀ¼À gÉÃSɬÄAzÀ F ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹. zÉÆgÉvÀ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄÄ y= -(1/2)x ¸À«ÄÃPÀgÀtPÀÌ£ÀÄUÀÄtªÁVzÉ. F ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄð£À ©AzÀÄ (1,-1/2) ªÀ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è DzÉò¹, vÁ¼É£ÉÆÃr.

UÀªÀĤ¹: J¼ÉzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÄÆ®©AzÀÄ (0, 0). ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ.

 

7.1.1 ¸ÀªÀĸÉå 4: x = -3 gÀ £ÀPÉë gÀa¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ 1: zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ CxÀð= y AiÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨É¯ÉUÉ x = -3. F PɼÀV£ÀAvÉ ¥ÀnÖªÀiÁr.

 

x à

-3

-3

-3

y à

1

-1

-2

(x,y)

(-3,1)

(-3,-1)

(-3,-2)

 

ºÀAvÀ 2:  (x, y)¤zÉÃð±ÁAPÀ¢AzÀ ¸ÀÆa¹zÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß £ÀPÁë ºÁ¼ÉAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹. J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSɬÄAzÀ eÉÆÃr¹.F ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ x=-3 £Àß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

UÀªÀĤ¹:J¼ÉzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ y CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ.

 

 

 

 

 

 

7.1 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

PÀæ.¸ÀA.

£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ

1

x CPÀë ªÀÄvÀÄÛ y CPÀëUÀ¼À£ÀÄß ¤zÉÃð±ÁAPÀ CPÀëUÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ.

2

AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀĪÀ£ÀÄß MAzÀÄ CtÂvÀAiÀÄÄUÀä (x, y) ¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£ÀÄß ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼É£ÀÄßvÉÛêÉ.

3

ªÀÄÆ® ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ (0,0)

4

x – CPÀëzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀ: (x,0)

y – CPÀëzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀ: (0,y)

5

£ÀPÉëAiÀÄ°è£À ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ y = mx+c (ªÉÆzÀ®£Éà WÁvÀzÀ°ègÀ¨ÉÃPÀÄ) gÀÆ¥ÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß gÉÃSÁvÀäPÀ £ÀPÉë J£ÀÄߪÀgÀÄ.

6

x = ¹ÞgÁA±ÀªÁzÁUÀ £ÀPÁëgÉÃSÉ y – CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.

y =  ¹ÞgÁA±ÀªÁzÁUÀ £ÀPÁëgÉÃSÉ x - CPÀëPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.

7

y = mx  ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë ªÀÄÆ®©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ.

8

£ÀPÁëgÉÃSÉAiÀÄÄ x- CPÀëªÀ£ÀÄß bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀªÀÅ, ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ

x-CAvÀBRAqÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.(x,0)

9

£ÀPÁëgÉÃSÉAiÀÄÄ y- CPÀëªÀ£ÀÄß bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀªÀÅ, ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ

y – CAvÀBRAqÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.(0,y)