7.4 KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß £ÀPÉëAiÀÄ
PÀæªÀÄzÀ°è ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ(Graphical
method of solving Simultaneous linear equations):
KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß
©r¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ JgÀqÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ
¨ÉÃPÀÄ. ©ÃdUÀtÂvÀzÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß
©r¸À®Ä FUÁUÀ¯Éà PÀ°wzÉÝêÉ(¥ÁoÀ
2.14). FUÀ
£ÁªÀÅ KPÀPÁ°PÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß £ÀPÉëAiÀÄ
«zsÁ£ÀzÀ°è ©r¸ÀĪÀ PÀæªÀĪÀ£ÀÄß w½AiÀÄĪÁ.
PɼÀV£À ¸ÀªÀĸÉåUÉ
£ÀPÉëAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ GvÀÛgÀ
¹UÀĪÀÅzÁ £ÉÆÃqÉÆÃt.
“ x ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À vÀAiÀiÁjPÁ
ªÉZÀÑ (50+3x) gÀÆ. UÀ¼ÀÄ. x ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À ªÀiÁgÁlzÀ
¨É¯É 4x gÀÆ. JµÀÄÖ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß
vÀAiÀiÁj¹zÁUÀ ¯Á¨sÀªÀÇ/£ÀµÀÖªÀÇ JgÀqÀÆ
DUÀĪÀÅ¢®è?
7.4 ¸ÀªÀĸÉå1: £ÀPÉëAiÀÄ PÀæªÀÄzÀ°è ©r¹: 2x-y =3 ªÀÄvÀÄÛ x+2y =6
¥ÀjºÁgÀ:
|
ºÀAvÀ1 : ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è JqÀ¨sÁUÀPÉÌ §gÉà ‘y’ §gÀĪÀAvÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß §zÀ¯Á¬Ä¹. 2x-y =3 -y =3-2x (¸ÁÜ£À §zÀ¯ÁªÀuÉ). JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ -1jAzÀ UÀÄt¹. y=2x-3 ºÀAvÀ 2 : x £À
PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ(PÉêÀ® 2 ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÁzÀgÀÆ
¸ÀºÀ) y AiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß
¯ÉPÀ̺ÁQ PɼÀV£À vÀBSÉÛAiÀÄ°è £ÀªÀÄÆ¢¹:-
ºÀAvÀ 3 :
(x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀļÀî
©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß £ÀPÁëºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹. ºÀAvÀ 4 : ªÉÄð£À J¯Áè
©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSɬÄAzÀ ¸ÉÃj¹. F gÉÃSÉAiÀÄÄ y=2x-3(CxÀªÁ 2x-y=3) UÀªÀĤ¹: 1. ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Éß¼ÉAiÀÄ®Ä
PÉêÀ® 2 ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ ¸ÁPÁzÀgÀÆ
£ÁªÀÅ (x, y) UÉ ºÉaÑ£À
©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁQzÉÝêÉ. KPÉAzÀgÉ,
2x-y =3 ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ
ºÉZÀÄÑ ¥ÀjºÁgÀUÀ½ªÉ JAzÀÄ w½¸À®Ä. 2. ¯ÉPÀÌ ºÁPÀzÉÃ
EgÀĪÀ E£ÀÆß ºÀ®ªÀÅ
¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ (0.5,-2) 2x-y =3 ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß
vÀȦۥÀr¸ÀÄvÀÛªÉ. £ÀªÀÄUÉ
FUÀ F ªÉÄð£À ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß bÉâ¸ÀĪÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ ¨ÉÃPÀÄ. D bÉÃzÀ£À
©AzÀÄ«£À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼Éà x ªÀÄvÀÄÛ yUÀ¼À ¤¢ðµÀÖ
¨É¯ÉUÀ¼ÁVªÉ. EzÀPÁÌV x+2y = 6 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë J¼ÉAiÀÄĪÁ. (ºÀAvÀ 5 jAzÀ7) ºÀAvÀ 5 :
¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°ègÀĪÀ x £ÀÄß
§®¨sÁUÀPÉÌ PÉÆAqÀĺÉÆÃV. (¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è JqÀ¨sÁUÀPÉÌ §gÉà ‘y’ EgÀ°) 2y = 6-x : y = (6-x)/2 ºÀAvÀ 6 : x£À PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ y AiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß
¯ÉPÀ̺ÁQ PɼÀV£ÀAvÉ vÀBSÉÛªÀiÁr.(ºÀAvÀ 2 gÀ ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£É):
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ºÀAvÀ 7 : (x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀzÀ
©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß £ÀPÁëºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹, J®èªÀ£ÀÄß
¸ÉÃj¹ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ J¼É¬Äj. ºÀAvÀ 8 : JgÀqÀÆ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ P ©AzÀÄ«£À°è
bÉâ¸À°.( 2 gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ bÉâ¸À¢zÀÝgÉ, ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄÄAzÀĪÀj¹.) ºÀAvÀ 9 : P ©AzÀÄ«£À
¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr: (2.4,1.8). wêÀiÁð£À: ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ ¥ÀjºÁgÀ:
x =2.4 , y =1.8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
vÁ¼É:
JgÀqÀÆ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆÃUÀ¯Ár¸ÀĪÀ PÀæªÀÄzÀ°è ©r¹:
2x-y = 3 ====è(1)
x+2y = 6 ====è(2)
(1) £ÀÄß 2 jAzÀ UÀÄt¹: 4x-2y =6 ====è(3)
-----------
(2) ,(3)£ÀÄß
PÀÆr¹ 5x+0 = 12
-----------
i.e. x= 2.4
x £À ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt (2) gÀ°è DzÉò¹.
2.4+2y=6
2y =3.6(=6-2.4)
i.e. y=1.8
FUÀ zÉÆgÉvÀ
x ,yUÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ ªÉÄÃ¯É P AiÀÄ ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼Éà DVªÉ.
7.4 ¸ÀªÀĸÉå2 : £ÀPÉëAiÀÄ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ©r¹: 2x+2y = 4, ªÀÄvÀÄÛ x+y = 2
¥ÀjºÁgÀ:
|
zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀt:
2x+2y =4 ºÀAvÀ 1: ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄßy JqÀPÉÌ EgÀĪÀAvÉ
¥ÀjªÀwð¹: 2y = 4-2x (¸ÁÜ£À §zÀ¯ÁªÀuÉ) y = 2-x (¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÁUÀ) ºÀAvÀ 2: x £À
PÉ®ªÀÅ ªÀiË®åUÀ½UÉ y
AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ vÀBSÉÛªÀiÁr.
ºÀAvÀ 3: (x, y) ¤zÉðñÁAPÀUÀ¼À ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ 2x+2y=4 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë
gÀa¹. ºÀAvÀ 4: 2£Éà ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ x+y = 2:¥ÀPÁëAvÀj¹zÁUÀ y =2-x ºÀAvÀ 5 : FUÀ F ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ 2x+2y=4
gÀAvÉAiÉÄÃ EzÉ.
(x,y)UÀ¼À ¤zÉðñÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß ºÀAvÀ 2 jAzÀ ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
ºÀAvÀ 6 : ¤zÉðñÁAPÀUÀ¼ÀÄ ºÀAvÀ 2 gÀ°ègÀĪÀAvÉAiÉÄà EgÀĪÀÅzÀjAzÀ,
£ÀPÁëgÉÃSÉAiÀÄÄ ªÉÆzÀ°£À gÉÃSÉAiÉÄà DVgÀÄvÀÛzÉ. wêÀiÁð£À: zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ C£ÀéAiÀĪÁUÀĪÀAvÉ (x, y)UÀ¼À C¸ÀASÁåvÀ ¨É¯ÉUÀ½ªÉ. DzÀÝjAzÀ zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ
¤¢ðµÀÖ ¥ÀjºÁgÀ«®è. |
|
vÁ¼É : ¥ÁoÀ 2.14
£À°è 3 £ÉÃ
¯ÉPÀÌ £ÉÆÃr.
7.4 ¸ÀªÀĸÉå 3: £ÀPÁëPÀæªÀÄzÀ°è ©r¹:
2x+2y = 4 , x+y = 3 .
¥ÀjºÁgÀ:
|
zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀt:
2x+2y =4 ºÀAvÀ 1: ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄßy JqÀPÉÌ EgÀĪÀAvÉ
¥ÀjªÀwð¹ 2y =4-2x (¸ÁÜ£À §zÀ¯ÁªÀuÉ):y = 2-x (¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÁUÀ) ºÀAvÀ 2: x £À
PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ y AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ vÀBSÉÛªÀiÁr.
ºÀAvÀ 3: (x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À
¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ 2x+2y=4 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ
£ÀPÁëgÉÃSÉ J¼É¬Äj(»AzÉ
J¼ÉzÀAvÉ) ºÀAvÀ 4: FUÀ 2£Éà ¸À«ÄÃPÀgÀt: x+y =3:y =3-x (¸ÁÜ£À §zÀ¯ÁªÀuÉ) ºÀAvÀ 5: x£À PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ y AiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀ̺ÁQ PɼÀV£ÀAvÉ ¥ÀnÖªÀiÁr.(ºÀAvÀ 2gÀ ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£É)
ºÀAvÀ 6: (x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À
¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹ x+y=3 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÁëgÉÃSÉ
J¼É¬Äj. ºÀAvÀ 7 : F JgÀqÀÆ
¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁVªÉ. EªÀÅ JAzÀÆ ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀÅ¢®è. ¥sÀ°vÁA±À: 2x+2y = 4 ªÀÄvÀÄÛ x+y
=3 F JgÀqÀÆ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ C£ÀéAiÀĪÁUÀĪÀ
x ªÀÄvÀÄÛ
y ¨É¯ÉUÀ½®è. |
|
vÁ¼É: 2.14 gÀ°è ¸ÀªÀĸÉå 4 £ÉÆÃr.
wêÀiÁð£À:
a1 x+ b1 y = c1 ªÀÄvÀÄÛ a2 x+b2 y = c2
UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ
¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÁzÁUÀ(¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ) CªÀÅUÀ¼ÀÄ:
1. ¥ÀjºÁgÀ«®è¢zÀÝgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.
2. C¸ÀASÁåvÀ ¥ÀjºÁgÀUÀ½zÀÝgÉ, MAzÀgÀ¯ÉÆèAzÀÄ LPÀåªÁUÀÄvÀÛªÉ.
3. ¤¢ðµÀÖ
¥ÀjºÁgÀUÀ½zÀÝgÉ, ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ.
7.4 ¸ÀªÀĸÉå4 :
x ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À
vÀAiÀiÁjPÁ ªÉZÀÑ (50+3x)gÀÆ. UÀ¼ÀÄ. x ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À ªÀiÁgÁlzÀ
¨É¯É 4x gÀÆ. £ÀPÁëºÁ¼ÉAiÀÄ°è
vÀAiÀiÁjPÁ ªÉZÀÑzÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁgÁlzÀ ¨É¯ÉUÀ¼À £ÀPÉë J¼É¬Äj. ¯Á¨sÀ
CxÀªÁ £ÀµÀÖ DUÀ¢gÀĪÀAvÉ vÀAiÀiÁj¸À¨ÉÃPÁzÀ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À ¸ÀASÉå
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ:
vÀAiÀiÁjPÁ ªÉZÀÑzÀ
¸À«ÄÃPÀgÀt: (C.¨É.) CP=3x+50.
ªÀiÁgÁlzÀ
¨É¯ÉAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt:(ªÀiÁ.¨É.) SP=4x
PɼÀUÉ ¸ÀÆa¹zÀ ªÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄߥÀAiÉÆÃV¹,
ªÉÄð£ÉgÀqÀÆ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAa¸ÀĪÀ
JgÀqÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÉà J¼É¬Äj.(CP and SP)
x – CPÀëzÀ°è ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À ¸ÀASÉå : 1 ¸É.«ÄÃ.= 10 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼ÀÄ
y – CPÀëzÀ°è gÀÆ¥Á¬Ä :
1 ¸É.«ÄÃ. = 10 gÀÆ.UÀ¼ÀÄ
vÀAiÀiÁjPÁ ªÉZÀÑ(CP)AiÀÄ ¥ÀnÖ.
|
x à |
0 |
10 |
20 |
|
CP à |
50 |
80 |
110 |
|
(x, y) |
(0,5) |
(1,8) |
(2,11) |
ªÀiÁgÁlzÀ
¨É¯ÉAiÀÄ ¥ÀnÖ(SP)
|
x à |
0 |
10 |
20 |
|
SP à |
0 |
40 |
80 |
|
(x, y) |
(0,0) |
(1,4) |
(2,18) |
JgÀqÀÆ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ (5,20) ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ.
EzÀgÀ CxÀð:
50 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À vÀAiÀiÁjPÁ
ªÉZÀÑ = 50 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À ªÀiÁgÁlzÀ ¨É¯É.DzÀÝjAzÀ¯Éà 50 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À vÀAiÀiÁjPÉAiÀÄ°è
£ÀPÉëUÀ¼ÀÄ bÉâü¹ªÉ.
vÁ¼É:
x = 50 DzÁUÀ, vÀAiÀiÁjPÁ
ªÉZÀÑ (CP) = 3x+50
=150+50
=200 gÀÆ.
x=50DzÁUÀ, ªÀiÁgÁlzÀ
¨É¯É (SP) = 4x
=200 gÀÆ.
vÀAiÀiÁjPÁ ªÉZÀÑ = ªÀiÁgÁlzÀ
¨É¯É.
7.4 PÀ°vÀ
ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
|
PÀæ.¸ÀA. |
PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ |
|
1 |
KPÀPÁ°PÀ
gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÆ
¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀÄĪÀ ªÀÄÆ®PÀ ©r¸À§ºÀÄzÀÄ. |
|
2 |
JgÀqÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À bÉÃzÀ£ÀªÀÅ
¥ÀjºÁgÀªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ. |
|
3 |
¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÀÝgÉ, ¥ÀjºÁgÀ«®è. |
|
4 |
¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ
MAzÀgÀ¯ÉÆèAzÀÄ LPÀåªÁzÀgÉ,
C¸ÀASÁåvÀ ¥ÀjºÁgÀUÀ½ªÉ. |