6.10 WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ (Geometric Solid Figures):

6.10.1 WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼À ®PÀëtUÀ¼ÀÄ(Properties of solid figures)

E°èAiÀÄ ªÀgÉUÉ £ÁªÀÅ ©AzÀÄ, MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è£À MAzÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ, «¹ÛÃtð ºÉÆA¢gÀĪÀ §ºÀĨsÀÄeÁPÀÈwUÀ¼À(DAiÀÄvÀ, ZËPÀ, ZÀvÀĨsÀÄðd,,..), ªÀÈvÀÛ, EªÀÅUÀ¼À gÀZÀ£É ªÀÄvÀÄÛ UÀÄt ®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß PÀ°wzÉÝêÉ.

£ÀªÀÄä zÉÊ£ÀA¢£À ªÀåªÀºÁgÀzÀ°è £ÀªÀÄUÉ JzÀÄgÁUÀĪÀ PɼÀUÉ PÁt¹gÀĪÀ ¸ÀªÁ®ÄUÀ½UÉ GvÀÛgÀ«zÉAiÀiÁ J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß E°è PÀ°AiÀÄÄvÉÛêÉ.

1. MAzÀÄ ¤Ãj£À mÁåAPï£À°è JµÀÄÖ °Ãlgï ¤ÃgÀÄ »r¢qÀ§ºÀÄzÀÄ?

2. ªÀÄ£É PÀlÖ®Ä JµÀÄÖ EnÖUÉ ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ?

EªÀÅUÀ½UÉ®è UÁvÀæ JzÉ J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÀÄ.

DAiÀÄvÀWÀ£À, WÀ£À, ¹°AqÀgï, ±ÀAPÀÄ, UÉÆî EvÁå¢UÀ¼É¯Áè WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ.

£ÀA.	¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw(JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®UÀ¼ÀÄ)	WÀ£ÁPÀÈw(ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®)
1	EªÀÅUÀ½UÉ «¹ÛÃtð ªÀiÁvÀæ EzÉ.	EªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀܼÀªÀ£Àß DPÀæ«Ä¸ÀĪÀÅzÀjAzÀ UÁvÀæªÀÅ EzÉ.
2	GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ® JA§ JgÀqÀÄ C¼ÀvÉUÀ½ªÉ	GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀ EªÉ.
3	MAzÉà ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°ègÀĪÀ ¸ÀgÀ¼À gÉÃR¸ÀܪÀ®èzÀ 3 ªÀÄvÀÄÛ CzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À ©AzÀÄUÀ½AzÀ EªÀÅUÀ¼À£Àß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.	EªÀÅUÀ¼À£Àß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°ègÀĪÀ 4 ©AzÀÄUÀ½AzÀ gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

DAiÀÄvÀ WÀ£ÀUÀ¼À ®PÀëtUÀ¼ÀÄ:-

1. EªÀÅUÀ½UÉ 8 ±ÀÈAUÀUÀ½ªÉ. (A,B,C,D,E,F,G,H) 2. EªÀÅUÀ½UÉ DgÀÄ ªÀÄÄRUÀ½ªÉ. [¥ÁzÀ (EFGH), ªÉÄïÁãUÀ (ABCD) ªÀÄvÀÄÛ 4 ¥Á±ÀéðªÀÄÄRUÀ¼ÀÄ (ABFE,BCGF,DCGH,ADHE) 3.J¯Áè ªÀÄÄRUÀ¼ÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ°èªÉ. 4. 12 gÉÃSÁRAqÀUÀ½AzÀ DªÀÈvÀÛªÁVzÉ.(CAZÀÄUÀ¼ÀÄ) £Á®ÄÌ ®A§ ªÀÄÄRUÀ¼À£Àß ‘¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ’(lateral surfaces) J£ÀÄßvÉÛêÉ. (ABFE,BCGF,DCGH,ADHE) G½zÀ JgÀqÀÄ ªÀÄÄRUÀ¼À£ÀÄß ¥ÁzÀ (EFGH) ªÀÄvÀÄÛ ªÉÄïÁãUÀ (ABCD) J£ÀÄßvÉÛêÉ. DAiÀÄvÀ WÀ£ÀzÀ ¥Á±Àéð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = ABFE £À «¹ÛÃtð+ BCGF £À «¹ÛÃtð+ DCGH £À «¹ÛÃtð + ADHE £À «¹ÛÃtð = lh+bh+lh+bh = 2h(l+b)

¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯Éà PÉ®ªÀÅ ªÀÄ£ÉUÀ¼ÀÄ, PÀbÉÃj PÀlÖqÀUÀ¼ÀÄ, ¸ÁägÀPÀUÀ¼ÀÄ, E¤ßvÀgÀ PÉ®ªÀÅ PÀlÖqÀUÀ¼À£Àß ZÀvÀĨsÀÄðeÁPÀÈw C®èzÀ ¨ÉÃgÉ DPÀÈwUÀ¼À°è PÀnÖgÀĪÀÅzÀ£Àß £ÉÆÃrgÀ§ºÀÄzÀÄ. AiÀiÁªÀÅzÉà PÀlÖqÀ gÀZÀ£ÉUÉ, §tÚ ºÁPÀ®Ä, E¤ßvÀgÀ ¸À®PÀgÀuÉUÀ¼À£Àß vÉUÉzÀÄPÉƼÀî®Ä CzÀgÀ «¹ÛÃtð ¨ÉÃPÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ ªÉÄð£À PÀlÖqÀUÀ¼À «¹ÛÃtð ºÉÃUÉ ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀÄvÁÛgÉ? C®èzÉ PÉ®ªÀÅ ¤Ãj£À mÁåAPÀÄUÀ¼ÀÄ DAiÀÄvÀ WÀ£ÀªÀ®èzÀ ¨ÉÃgÉ DPÁgÀzÀ°ègÀĪÀÅzÀÄ UÀªÀĤ¹¢ÝÃj. EªÀÅUÀ¼À ¸ÁªÀÄxÀåð w½AiÀÄ®Ä EªÀÅUÀ¼À UÁvÀæ ¨ÉÃPÀÄ. FUÀ £ÁªÀÅ F jÃwAiÀÄ PÉ®ªÀÅ DPÀÈwUÀ¼À §UÉÎ «ªÀgÀªÁV w½AiÀÄĪÁ.

MAzÀÄ DAiÀÄvÀ WÀ£ÀzÀ ¥ÁzÀ DAiÀÄvÁPÀÈwAiÀÄ°ègÀÄvÀÛzÉ. £Á«ÃUÀ EvÀgÀ §ºÀĨsÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ (wæ¨sÀÄd, ¥ÀAZÀ¨sÀÄd, µÀlÄãd) ¥ÁzÀUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼À£Àß £ÉÆÃqÀĪÁ.EAvÀºÀ WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼À£Àß ¥ÀlÖPÀ(Prisms) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

¥ÀlÖPÀªÀÅ MAzÀÄ WÀ£ÁPÀÈwAiÀiÁVzÀÄÝ, DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄÊ ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. C®èzÉ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁzÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À£Àß ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÄïÁãUÀzÀ°è ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. ¥ÀlÖPÀzÀ ®PÀëtUÀ¼ÀÄ: 1. J¯Áè ¥Á±Àéð ªÉÄïÉäöÊUÀ¼ÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ°èªÉ. 2. ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÄïÁãUÀ JgÀqÀÆ MAzÉà DPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛC¼ÀvÉAiÀÄ°ègÀÄvÀÛªÉ. ¥Á±ÀéðªÉÄÊUÀ¼ÀÄ ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄ£Àß ¥Á±Àéð ‘CAZÀÄ’(edge) J£ÀÄߪÀgÀÄ. ¥ÁzÀzÀ DPÁgÀzÀ jÃvÁå wææ¨sÀÄd ¥ÀlÖPÀ, DAiÀÄvÀ ¥ÀlÖPÀ, ªÀUÀð¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀ, ¥ÀAZÀ¨sÀÄd ¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀ, µÀqÀÄãd ¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀ EvÁå¢ EªÉ.

¥ÀlÖPÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊAiÀÄÄ ¥ÁzÀPÉÌ ®A§ªÁV®è¢zÀÝgÉ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ?

¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ ¥ÁzÀzÉÆA¢UÉ ºÉÆA¢gÀĪÀ PÉÆãÀPÀÌ£ÀÄUÀÄtªÁV ¥ÀlÖPÀzÀ°è JgÀqÀÄ «zsÀUÀ½ªÉ.

¸ÀA.	£ÉÃgÀ ¥ÀlÖPÀ	£ÉÃgÀ ¥ÀlÖPÀ	PÉÆÃgÉ ¥ÀlÖPÀ	PÉÆÃgÉ ¥ÀlÖPÀ
1		¥ÀlÖPÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄÊUÀ¼ÀÄ ¥ÁzÀzÀ ¸ÀªÀÄvÀ®PÉÌ ®A§ªÁVªÉ.	¥Á±Àéð CAZÀÄ ¥ÁzÀPÉÌ ®A§ªÁV®è.
2		¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼ÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ°èªÉ.	¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ
3		¥Á±ÀéðzÀ CAZÀÄ ¥ÀlÖPÀzÀ JvÀÛgÀªÁVzÉ.	¥Á±ÀéðzÀ CAZÀÄ ¥ÀlÖPÀzÀ JvÀÛgÀªÀ®è, KPÉAzÀgÉ CzÀÄ ¥ÁzÀPÉÌ ®A§ªÁV®è.

6.10.2 ¥ÀlÖPÀUÀ¼À ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð(Surface Area of Prisms)

ABCDEF MAzÀÄ wæ¨sÀÄd ¥ÀlÖPÀªÁVzÀÄÝ, ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£Àß ºÉÆA¢zÉ.

PɼÀV£À CA±ÀUÀ¼À£Àß UÀªÀĤ¹:-

1. ¥ÁzÀ ABC ªÀÄvÀÄÛ ªÉÄïÁãUÀ DEF UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÁVzÀÄÝ ¥ÀæwèÁºÀÄ ‘a’ DVzÉ. 2. ABC ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ. 3. ¥Á±Àéð CAZÀÄUÀ¼ÀÄ AE, BF ªÀÄvÀÄÛ CDUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÀÄÝ, ¸ÀªÀĪÁzÀ JvÀÛgÀ ‘h’ ºÉÆA¢ªÉ. 4. ªÀÄÆgÀÄ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼ÀÄ: ABFE, BCDF ªÀÄvÀÄÛ ACDE. ¥Àæwà ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼À «¹ÛÃtð= a*h=ah F ¥ÀlÖPÀzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ½ªÉ. DzÀÝjAzÀ MlÄÖ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼À «¹ÛÃtð = 3ah. ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð=¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð+ ªÉÄïÁãUÀzÀ «¹ÛÃtð + ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼À «¹ÛÃtð = 2*(¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð) + 3ah (¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð = ªÉÄïÁãUÀzÀ «¹ÛÃtð) ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ=3a (¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ). ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð= 2*¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð+ (¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ)*JvÀÛgÀ = 2B+Ph E°è B = ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð,P = ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ

ªÉÄÃ¯É PÁt¹zÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæªÀÅ J¯Áè £ÉÃgÀ ¥ÀlÖPÀPÀÆÌ (JµÉÖà DAZÀÄ/¨sÀÄdUÀ½gÀ°) C£ÀéAiÀĪÁUÀÄvÀÛzÉ.

6.10.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: MAzÀÄ £ÉÃgÀ ¥ÀlÖPÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð 143 ¸ÉA.«Ä. EzÀÄÝ, ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ (P)AiÀÄÄ 13¸ÉA.«Ä. EzÀÝgÉ, ¥ÀlÖPÀzÀ JvÀÛgÀ PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtðzÀ ¸ÀÆvÀæ= Ph

143 = 13h

DzÀÝjAzÀ h = 11¸ÉA.«Ä..

6.10.2 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ ªÀUÀð¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ CAZÀÄ 2 ¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀ 12 ¸ÉA.«Ä. DVzÉ. ¥ÀlÖPÀzÀ ªÀÄzsÀåzÀ°è ªÉÄð¤AzÀ PɼÀV£ÀªÀgÉUÀÆ 1 ¸ÉA.«Ä §¢AiÀÄļÀî ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd ¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ DPÁgÀzÀ MAzÀÄ gÀAzsÀæ«zÉ. ºÁUÁzÀgÉ WÀ£À ¨sÁUÀzÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r (§tÚºÀZÀÄѪÀ ºÉÆgÀ¨sÁUÀ)

¥ÀjºÁgÀ:

«zsÁ£À:

ªÉÆzÀ®Ä £Á«ÃUÀ gÀAzsÀæ«®èzÁUÀ ¥ÀlÖPÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. F «¹ÛÃtð¢AzÀ gÀAzsÀæzÀ ªÉÄïÁãUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ PɼÀ¨sÁUÀzÀ «¹ÛÃtðªÀ£Àß PÀ¼ÉzÁUÀ. WÀ£À¨sÁUÀzÀ MlÄÖ «¹ÛÃtð zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

¥ÀlÖPÀªÀÅ ªÀUÀð¥ÁzÀªÀ£Àß ºÉÆA¢zÉ. §¢AiÀÄ GzÀÝ = 2¸ÉA.«Ä., ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð = 2*2 =4 ¸ÉA.«Ä., ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = 2*4 = 8 ¸ÉA.«Ä. ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÀÇtð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð(gÀAzsÀæªÀ£Àß UÀªÀĤ¸ÀzÉ) = 2B + Ph =8+96=104 ZÀ.¸É.«Ä. gÀAzsÀæªÀÅ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄeÁPÁgÀzÀ°èzÉ. gÀAzsÀæzÀ ¥ÁzÀzÀ/ªÉÄïÁãUÀzÀ «¹ÛÃtð = {1*(1 *)/2}/2 = /4 = /4 ZÀ.¸É.«Ä. gÀAzsÀæªÀ£Àß ©lÄÖ MlÄÖ WÀ£À¨sÁUÀzÀ «¹ÛÃtð= ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð – gÀAzsÀæzÀ ªÉÄïÁãUÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ PɼÀ¨sÁUÀzÀ «¹ÛÃtð = 104 -/4- /4 = (104 -/2) ZÀ.¸É.«Ä.

UÀªÀĤ¹:

¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtðªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ PɼÀV£À ¸ÀÆvÀæ G¥ÀAiÉÆÃV¹zÉÝêÉ: wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð = bh/2 (b wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÁzÀ, h = JvÀÛgÀ) ={b* b*()/2}/2 (¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ°è, h = b*()/2)

6.10.3 UÉÆÃ¥ÀÅgÀUÀ¼ÀÄ(Pyramids)

£ÁªÀÅ, ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁzÀ §ºÀĨsÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÄïÁãUÀªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ, DAiÀÄvÁPÁgÀ ¥Á±ÀéðªÉÄÊUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼À£Àß ¥ÀlÖPÀ JAzÀÄ PÀgÉ¢zÉÝêÉ. EzÀPÉÌ §zÀ¯ÁV ªÉÄïÁãUÀ«®èzÉ, ¥Á±ÀéðªÉÄÊUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è MAzÀÄUÀÆrzÀgÉ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ?

ªÁåSÉå: MAzÀÄ WÀ£ÁPÀÈwAiÀÄÄ §ºÀĨsÀÄd ¥ÁzÀªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ, ¥Á±ÀéðªÀÄÄRUÀ¼ÀÄ wæ¨sÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ°èzÀÄÝ, ªÉÄïÁãUÀzÀ°è MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è KQèsÀ«¹zÀgÉ, CAvÀºÀ WÀ£ÁPÀÈwAiÀÄ£Àß ‘UÉÆÃ¥ÀÅgÀ’ J£ÀÄßvÉÛêÉ. KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀ£Àß ‘²gÉÆéAzÀÄ’(Vertex) J£ÀÄßvÉÛêÉ. UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄÊUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀÅzÀjAzÀ EzÀPÉÌ ªÉÄïÁãUÀ E®è. UÉÆÃ¥ÀÅgÀUÀ¼À ¥ÁzÀzÀ DPÁgÀPÀÌ£ÀÄUÀÄtªÁV CªÀÅUÀ¼À£Àß »ÃUÉ ºÉ¸Àj¸ÀÄvÉÛêÉ: ‘wæ¨sÀÄd UÉÆÃ¥ÀÅgÀ’, ‘ªÀUÀð UÉÆÃ¥ÀÅgÀ’, ªÀÄvÀÄÛ µÀqÀÄãd UÉÆÃ¥ÀÅgÀ’. ¥ÀPÀÌzÀ avÀæUÀ¼À°è P AiÀÄÄ ²gÉÆéAzÀÄ DVzÀÄÝ, ABC, ABCD, ABCDEF UÀ¼ÀÄ UÉÆÃ¥ÀÅgÀUÀ¼À ¥ÁzÀUÀ¼ÁVªÉ.

ªÀUÀð ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ°è ¥ÁzÀ, JvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ NgÉ JvÀÛgÀUÀ½VgÀĪÀ ¸ÀA§AzsÀ:

ªÀUÀð ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÁzÀzÀ MAzÀÄ §¢ =b DVgÀ°. UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ JvÀÛgÀ ----------------------------- =h DVgÀ°. NgÉ JvÀÛgÀ------------------------------------- =l DVgÀ°. ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ, l^2= (b/2)^2+ h^2 l = {(b/2)^2+ h^2}

UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥Á±Àéð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð:

PABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ªÀUÀð¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀ. ABCD AiÀÄÄ ¥ÁzÀ, ºÁUÀÆ CzÀÄ ªÀUÁðPÁgÀzÀ°èzÉ. ABCDAiÀÄÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ Q. DUÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ JvÀÛgÀ h = PQ. BCAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ N DzÀgÉ, UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ NgÉ JvÀÛgÀ l = PN ªÀÄvÀÄÛ AB=BC=CD=DA=a 2 £Éà avÀæªÀÅ 1 £Éà avÀæªÀ£ÀÄß ©r¹mÁÖUÀ GAmÁzÀzÀÄÝ JAzÀÄ ¨sÁ«¸À§ºÀÄzÀÄ. PAB, PBC, PCD ªÀÄvÀÄÛ PAD UÀ¼ÀÄ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼ÁVzÀÄÝ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVzÀÄÝ. ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁVªÉ. UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ: p= 4 *¥ÁzÀzÀ MAzÀÄ §¢AiÀÄ GzÀÝ = 4a 1. ªÀUÀð¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð: (P) = 4*¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtðUÀ¼À ªÉÆvÀÛ(PAB, PBC, PCD, PAD) = 4* MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtð = 4{1/2) ¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ)}= 4al/2 =(1/2)*4a*l= (1/2)(¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ)*(NgÉ JvÀÛgÀ) 2. UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð + ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = a^2+ 1/2 (pl)

2. ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð:

ABC AiÀÄÄ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd (AB=BC=CA=a). BCAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ N. UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ NgÉ JvÀÛgÀ l = PN. PAB, PBC ªÀÄvÀÄÛ PCA UÀ¼ÀÄ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼ÁVzÀÄÝ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVzÀÄÝ. ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁVªÉ. UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ: p = 3*wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ §¢. = 3a wæ¨sÀÄd ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð= 3 ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄd UÀ¼À (PAB, PBC,PCA) «¹ÛÃtðUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 3*MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð= 3(1/2)* ¥ÁzÀ * UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ NgÉ JvÀÛgÀ) = 1/2 (3al) = (1/2)(¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ)*(NgÉ JvÀÛgÀ)= 1/2 (Pl) ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð =¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð + ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = B+ 1/2 (Pl) ¥ÁzÀªÀÅ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÁzÀÝjAzÀ, B = (a^2)/4 («ªÀgÀUÀ½UÉ 6.10.2 ¸ÀªÀĸÉå £ÉÆÃr)

6.10.3 ¸ÀªÀĸÉå 1:MAzÀÄ UÉÆÃ¥ÀÅgÁPÀÈwAiÀÄ qÉÃgÉAiÀÄ ¥ÁzÀ ªÀUÁðPÀÈwAiÀiÁVzÀÄÝ 5 «Ä. CAZÀ£Àß ºÉÆA¢zÉ. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁgÀA¨sÀPÁÌV qÉÃgÉAiÀÄ PÉÆÃgÉ JvÀÛgÀ 4 «Ä.EgÀĪÀAvÉ PÁå£ïªÁ¸ï ºÉÆA¢¸À¯ÁVzÉ. qÉÃgÉAiÀÄ ¨ÁrUÉAiÀÄÄ PÁå£ïªÁ¹£À «¹ÛÃtðPÉÌ C£ÀÄUÀÄtªÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ PÁå£ï ªÁ¹£À «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

E°è P = 4*5 «Ä.=20«Ä. l = 4 «Ä. ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð(PÁå£ïªÁ¹£À «¹ÛÃtð) = ½(Pl) = ½(20*4) = 40 ZÀ.«Ä.

6.10.3 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ ªÀUÀð¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð 125 ZÀ.«Ä. DVzÀÄÝ. ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 20«Ä.DVzÉ. ºÁUÁzÀgÉ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtðªÀ£Àß, EzÀgÀ NgÉ JvÀÛgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

ªÀUÀð ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = p=4a = 20 «Ä. ¥ÁzÀzÀ MAzÀÄ §¢ = a = 5 «Ä. ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð = B=a^2 = 25ZÀ.«Ä. FUÀ, ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð +1/2 (Pl). 125 = 25+1/2(Pl): 125=25+1/2(20*l): 125 = 25+10*l 10*l = 125-25 =100. NgÉ JvÀÛgÀ (l) = 10 «Ä.

6.10.4 ¥ÀlÖPÀ ªÀÄvÀÄÛ UÉÆÃ¥ÀÅgÀUÀ¼À WÀ£À¥sÀ® (UÁvÀæ)

(Volume of Prisms and pyramids)

MAzÀÄ DAiÀÄvÀ WÀ£ÀzÀ WÀ£ÀWÀ® = GzÀÝ*CUÀ®*JvÀÛgÀ. DzÀgÉ (GzÀÝ*CUÀ®) EzÀÄ DAiÀÄvÀ WÀ£ÀzÀ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð. DzÀÝjAzÀ DAiÀÄvÀ WÀ£ÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = (¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð) * JvÀÛgÀ

£ÉÃgÀ wæ¨sÀÄd ¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ®(Volume of a ‘triangular right prism’):

MAzÀÄ ªÀUÀð ¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀªÀ£Àß UÀªÀĤ¹. E°è CzÀÄ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄd¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ªÀUÀð ¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ UÁvÀæ w¨sÀÄd¥ÁzÀ¥ÀlÖPÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ. C®èzÉ, ªÀUÀð¥ÁzÀªÀÅ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁzÀ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀªÁVzÉ. £ÉÃgÀ wæ¨sÀÄd¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ®= 1/2 (ªÀUÀð¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ®) = 1/2 (ªÀUÀð¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð *JvÀÛgÀ)= 1/2 (2*wæ¨sÀÄd¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð*JvÀÛgÀ) = wæ¨sÀÄd¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð *JvÀÛgÀ 2 £Éà avÀæªÀÅ, 1 £Éà avÀæzÀ°è£À ¥ÀlÖPÀªÀ£ÀÄß ¸ÀjAiÀiÁV ªÀÄzsÀåzÀ°è ¹Ã½zÁV ¹UÀĪÀ 2 ¸ÀªÀð ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÀlÖPÀUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ ¨sÁ«¸À§ºÀÄzÀÄ.

DzÀÝjAzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ®ªÀÅ CzÀgÀ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÁVzÉ.

6.10.4 ¸ÀªÀĸÉå 1: MAzÀÄ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ® 27 WÀ.¸É.«Ä. DVzÀÄÝ, CzÀgÀ JvÀÛgÀ 12¸É.«Ä. DzÀgÉ ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÁzÀzÀ §¢AiÀÄ GzÀÝ PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

¥ÁzÀzÀ MAzÀÄ §¢AiÀÄ GzÀÝ = ‘b’ DVgÀ°. £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛgÀĪÀ ¸ÀÆvÀæzÀAvÉ, ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð*JvÀÛgÀ= (b^2)/4*JvÀÛgÀ ¨É¯ÉUÀ¼À£Àß DzÉò¹zÁUÀ, 27= (b^2)*12/4. £Àß JgÀqÀÆ §¢UÀ½AzÀ vÉUÉzÁUÀ,27 = 12 *b^2/4 3 b^2=27 b^2=9 b=3¸É.«Ä.

UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ WÀ£À¥sÀ®:

‘a’ ªÀiÁ£À CAZÀļÀî MAzÀÄ ªÀUÀð ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀ PABCDPAiÀÄ ¥ÁzÀ ABCD, PAiÀÄÄ ¸ÀªÀÄvÀ®¢AzÀ a/2 JvÀÛgÀzÀ°ègÀĪÀ ±ÀÈAUÀ ©AzÀÄ. P¬ÄAzÀ ¥ÁzÀPÉÌ avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÀAvÉ PM ®A§ªÀ£É߼ɬÄj. PM = h = a/2. avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÀAvÉ, MAzÀÄ WÀ£ÀzÀ°è 6 ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁzÀUÉÆÃ¥ÀÅgÀUÀ¼À£Àß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ. (PABCD, PBCC^1B^1, PCC^1D^1D, PC^1D^1A^1B^1, PD^1A^1AD ªÀÄvÀÄÛ PABB^1A^1) ¥Àæwà UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÁzÀªÀÇ WÀ£ÀzÀ MAzÉÆAzÀÄ ªÀÄÄRªÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ F DgÀÄ UÉÆÃ¥ÀÅgÀUÀ¼À£ÀßMlÄÖUÀÆr¹zÁUÀ, £ÀªÀÄUÉ MAzÀÄ ªÀUÀð¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. §®§¢AiÀÄ avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÀAvÉ, ªÀUÀð ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ WÀ£À¥sÀ®= 1/6(WÀ£ÀzÀ WÀ£À¥sÀ®) = 1/6{(¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð) * a} = 1/6{(¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð) * 2h} (h=a/2) = 1/3{(¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð) * h}= 1/3 (Bh); E°è BAiÀÄÄ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtðªÁVzÉ. = 1/3*CzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ CzÉà JvÀÛgÀzÀ ªÀUÀð ¥ÁzÀ ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ®.

EzÉà jÃwAiÀÄ°è, MAzÀÄ wæ¨sÀÄd¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ WÀ£À¥sÀ®ªÀÅ PÀÆqÁ CzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀ«gÀĪÀ ¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ® 1/3gÀµÀÄÖ JAzÀÄ ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, MAzÀÄ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ WÀ£À¥sÀ®ªÀÅ CzÀgÀ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞzÀ 1/3gÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.

6.10.4 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ ªÀUÀð ¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÁPÀÈwAiÀÄ qÉÃgÉAiÉÆAzÀ£Àß PÁå£ïªÁ¸ï §¼À¹ gÀa¸À¯ÁVzÉ. EzÀÄ £É®zÀ ªÉÄÃ¯É 100 ZÀ.«Ä. «¸ÁÛgÀzÀ°è ºÀgÀrzÉ. UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ NgÉ JvÀÛgÀ 13 «Ä. DzÀgÉ, qÉÃgÉAiÀÄ M¼ÀUÉ ®¨sÀå EgÀĪÀ ªÁvÁªÀPÁ±ÀªÀ£ÀÄß ¯ÉQ̹.

(qÉÃgÉAiÀÄ £ÉÃgÀ JvÀÛgÀªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæ h²= l²-(a/2)² §¼À¹. l NgÉ JvÀÛgÀ, a MAzÀÄ §¢)

¥ÀjºÁgÀ:

qÉÃgÉAiÀÄ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð = 100ZÀ.«Ä. MAzÀÄ §¢AiÀÄ GzÀÝ a=10«Ä. NgÉ JvÀÛgÀ l = 13 «Ä. £ÀªÀÄVÃUÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ £ÉÃgÀ JvÀÛgÀ ¨ÉÃPÀÄ. h^2= l^2-(a/2)^2 :h^2= 169-25 = 144 h=12«Ä. qÉÃgÉAiÀÄ°è ®¨sÀå ªÁvÁªÁPÁ±À = UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = 1/3Bh = 1/3(100*12) = 400WÀ£À.«Ä.

6.10.4 ¸ÀªÀĸÉå 3: MAzÀÄ vÉÆÃlzÀ°è ºÀ¸ÀÄUÀ¼ÀÄ ¤ÃgÀÄ PÀÄrAiÀÄ°PÁÌV PÀnÖzÀ ¤Ãj£À vÉÆnÖ EzÉ. (CzÀgÀ GzÀÝl=4«Ä., b=1.2«Ä., ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀ h=1«Ä.) CzÀ£Àß ¢£ÀPÉÆÌAzÀÄ ¸Áj ¨É½UÉÎ vÀÄA©¸ÀÄvÁÛgÉ. ¥Àæw ºÀ¸ÀĪÀÇ ¢£ÀPÉÌ 40°Ãlgï ¤ÃgÀ£Àß §¼À¹zÀgÉ vÉÆnÖAiÀÄ°è ¥ÀÇtðªÁV vÀÄA©gÀĪÀ ¤ÃgÀÄ JµÀÄÖ ºÀ¸ÀÄUÀ½UÉ ¸ÁPÁUÀÄvÀÛzÉ? (1WÀ.«Ä. = 1000°Ãlgï)

¥ÀjºÁgÀ:

vÉÆnÖAiÀÄ WÀ£À¥sÀ® = 4*1.2*1WÀ.«Ä.

= 4.8WÀ.«Ä.

= 4800 °Ãlgï (1WÀ.«Ä. = 1000 °Ãlgï)

¤ÃgÀ£Àß PÀÄrAiÀÄĪÀ ºÀ¸ÀÄUÀ¼ÀÄ = 4800/40 = 120 ºÀ¸ÀÄUÀ¼ÀÄ

6.10.4 ¸ÀªÀĸÉå 4: MAzÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥ÁzÀªÀżÀî UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ 900 WÀ£À¥sÀ® WÀ£À«Älgï DVzÀÄÝ, DAiÀÄvÀ¥ÁzÀzÀ §¢UÀ¼ÀÄ 20«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 15«Ä. DVzÀÝgÉ, CzÀgÀ JvÀÛgÀªÀ£Àß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = 1/3 (Bh) (E°è B = ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð ªÀÄvÀÄÛ h = JvÀÛgÀ) WÀ£À¥sÀ® ªÀÄvÀÄÛ BAiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£Àß DzÉò¹zÁUÀ, 900 = 1/3(20*15)h 900 = 100h h =9«Ä. zÀvÀÛ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ JvÀÛgÀ 9«ÄÃlgï.

6.10.4 ¸ÀªÀĸÉå 4: EnÖUÉUÀ¼À GzÀÝ CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀ PÀæªÀĪÁV 18,12,3 CAUÀÄ®UÀ¼ÀÄ. MAzÀÄ UÉÆÃqÉAiÀÄ GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV 8,5,3 ºÀ¸ÀÛUÀ¼ÀÄ. ºÁVzÀÝgÉ UÉÆÃqÉAiÀÄ UÁvÀæ , EnÖUÉUÀ¼À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ JµÀÄÖ? (°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 227 )

UÉÆÃqÉAiÀÄ UÁvÀæ = 8*5*3 = 120 WÀ£À ºÀ¸ÀÛUÀ¼ÀÄ EnÖUÉAiÀÄ UÁvÀæ = (18*12*3)/(24*24*24) = (3/64) WÀ£À ºÀ¸ÀÛ (1 ºÀ¸ÀÛ = 24 CAUÀÄ®UÀ¼ÀÄ) EnÖUÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = 120*(64/3) = 1260 ¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ = 3*24/3 = 24

6.10 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀASÉå.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	MAzÀÄ DAiÀÄvÀ WÀ£ÀzÀ ¥ÀÇtð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = 2(lb+bh+lh) ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð= 2(bh+lh)
2	¥ÀlÖPÀªÀÅ MAzÀÄ ªÀÄÄaÑzÀ WÀ£ÁPÀÈwAiÀiÁVzÀÄÝ, DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥Á±Àéð ªÉÄïÉäöÊ ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁzÀ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À£Àß ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÄïÁãUÀªÁV ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.
3	£ÉÃgÀ ¥ÀlÖPÀzÀ ¥ÀÇtð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð= 2*¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð + (¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ) * JvÀÛgÀ
4	UÉÆÃ¥ÀÅgÀªÀÅ MAzÀÄ WÀ£ÁPÀÈwAiÀiÁVzÀÄÝ, ¥ÁzÀªÀÅ §ºÀĨsÀÄeÁPÀÈwAiÀiÁVzÀÝ, ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ¼ÀÄ wæ¨sÀÄeÁPÁgÀzÀ°èzÀÄÝ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è MlÄÖUÀÆqÀÄvÀÛªÉ. F ©AzÀĪÀ£Àß UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ±ÀÈAUÀ J£ÀÄßvÉÛêÉ.
5	ªÀUÀð¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð + ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ«¹ÛÃtð = a^2+ 1/2(pl) E°è p = ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ, l = NgÉ JvÀÛgÀ
6	¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd¥ÁzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ ¥ÀÇtð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð= ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð + ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ«¹ÛÃtð = B+ 1/2(Pl) E°è P = ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ, l = NgÉ JvÀÛgÀ
7	DAiÀÄvÀ WÀ£À¥sÀ® = GzÀÝ * CUÀ® * JvÀÛgÀ
8	¥ÀlÖPÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð*JvÀÛgÀ
9	UÉÆÃ¥ÀÅgÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = 1/3 ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð*JvÀÛgÀ