6.11 ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ - ¨sÁUÀ 2 (Circles - Part 2):

6.11.1 eÁåUÀ¼À gÀZÀ£É (Construction of chords)

1. ªÀÈvÀÛzÀ°è eÁå zÀ gÀZÀ£É:-

6.11.1 ¸ÀªÀĸÉå 1: 2¸ÉA.«Ä. wædå«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è 3¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ eÁåªÀ£Àß gÀa¹.

gÀZÀ£Á PÀæªÀÄ:-

¸ÀA.	gÀZÀ£É
1	O ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 2 ¸ÉA.«Ä. wædå«gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß gÀa¹.
2	ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢üAiÀÄ ªÉÄÃ¯É AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ P ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹
3	PAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ, ªÀÈvÀÛ¥Àj¢üAiÀÄ£Àß Q£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj.

PQ eÉÆÃr¹. PQ ªÀÅ 3¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ eÁå DVzÉ.

ªÉÄð£À avÀæzÀ°è eÁåªÀ£Àß JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛRAqÀUÀ¼À£ÁßV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ. PSQ ªÀÄvÀÄÛ PTQ.

PSQ ªÀÈvÀÛRAqÀªÀÅ PTQ VAvÀ aPÀÌzÁVzÉ.

ªÀÈvÀÛzÀ ªÁå¸À POR (4¸ÉA.«Ä.) EªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ°è CvÀåAvÀ GzÀÝzÀ eÁå.

ªÁåSÉå: MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è eÁå PÀA¸À¢AzÀ DªÀÈvÀªÁVgÀĪÀ ¨sÁUÀªÀ£Àß ªÀÈvÀÛ RAqÀ(segment) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

UÀªÀĤ¹:

1. ªÁå¸ÀªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ°è CvÀåAvÀ GzÀÝzÀ eÁå DVzÉ.

2. MAzÀÄ eÁåªÀÅ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛRAqÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.

3. ªÁå¸ÀªÀÅ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß JgÀqÀÄ CzsÀðªÀÈvÀÛRAqÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.

2. eÁå ªÀÄvÀÄÛ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ:-

6.11.1 ¸ÀªÀĸÉå 2: 2.5¸ÉA.«Ä. wædåzÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è 4¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ eÁå gÀa¹, ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæPÉÌ eÁåPÀÆÌ EgÀĪÀ zÀÆgÀªÀ£Àß C¼É¬Äj.

gÀZÀ£ÁPÀæªÀÄ:-

¸ÀA.	gÀZÀ£É
1	O ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 2.5 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj.
2	ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢üAiÀÄ ªÉÄÃ¯É AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ P AiÀÄ£Àß UÀÄgÀÄw¹.
3	PAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 4¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ, ªÀÈvÀÛ¥Àj¢üAiÀÄ£Àß Q£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj.
4	PQ eÉÆÃr¹. PQªÀÅ 4¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ eÁå DVzÉ.
5	PQ eÁåzÀ ®A§¢é¨sÁdPÀªÀ£Éß¼ÉzÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ M£Àß UÀÄgÀÄw¹. (P ªÀÄvÀÄÛ QUÀ¼À£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ PQzÀ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ PQzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è R ªÀÄvÀÄÛ SUÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj). RS eÉÆÃr¹. EzÀÄ PQªÀ£Àß M£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ).
6	OM£À GzÀݪÉà ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæPÀÆÌ PQ eÁåPÀÆÌ EgÀĪÀ zÀÆgÀªÁVzÉ. OM£Àß C¼ÉzÁUÀ CzÀÄ 1.5¸ÉA.«Ä. EzÉ. POM wæPÉÆãÀPÉÌ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï £À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ G¥ÀAiÉÆÃV¹ OM = 1.5¸ÉA.«Ä. DUÀĪÀÅzÁ JAzÀÄ ¥Àj²Ã°¹.

C¨sÁå¸À: CzÉà ªÀÈvÀÛzÀ°è 4¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ PÉ®ªÀÅ eÁåUÀ¼À£Éß¼ÉzÀÄ(TU), ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ CªÀÅUÀ½VgÀĪÀ zÀÆgÀªÀ£Àß C¼É¬Äj.

(ON= OM JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹)

UÀªÀĤ¹:

1. eÁåzÀ GzÀÝ ºÉaÑzÀAvɯÁè, PÉÃAzÀæPÀÆÌ CzÀPÀÆÌ EgÀĪÀ zÀÆgÀ PÀrªÉÄAiÀiÁV. eÁåªÀÅ ªÁå¸ÀªÁzÁUÀ, zÀÆgÀ 0 DUÀÄvÀÛzÉ.

2. eÁåzÀ GzÀÝ PÀrªÉÄAiÀiÁzÀAvÉ, ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ EgÀĪÀ zÀÆgÀ ºÉZÁÑUÀÄvÀÛzÉ.

3. ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.

¸ÀASÉå	avÀæ	¥Àj¢üAiÀÄ°è GAmÁUÀĪÀ PÉÆãÀzÀ ®PÀëtUÀ¼ÀÄ
1		ASBA AiÀÄÄ ®WÀÄ ªÀÈvÀÛ RAqÀ. ACBAiÀÄÄ ªÀÈvÀÛ¥Àj¢üAiÀÄ°è ®WÀÄ ªÀÈvÀÛRAqÀ ASBA¬ÄAzÀ DzÀ PÉÆãÀ. ®WÀÄ PÀA¸ÀªÀÅ(ASB) ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢üAiÀÄ°è ®WÀÄ PÉÆãÀªÀ£Àß(ACB) GAlÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.
2		ASBOA AiÀÄÄ CzsÀðªÀÈvÀÛ ACBAiÀÄÄ ASBOA CzsÀðªÀÈvÀÛ¢AzÀ ¥Àj¢üAiÀÄ°è GAmÁzÀ PÉÆãÀ. UÀªÀĤ¹:ACB = 90^0. CzsÀðªÀÈvÀÛªÀÅ(ASB) ¥Àj¢üAiÀÄ°è ®A§PÉÆãÀªÀ£Àß (ACB)GAlÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.
3		ASBA AiÀÄÄ «±Á® ªÀÈvÀÛRAqÀ ACBAiÀÄÄ ASBA «±Á®ªÀÈvÀÛ RAqÀ¢AzÀ ¥Àj¢üAiÀÄ°è GAmÁzÀ PÉÆãÀ. C¢üPÀ PÀA¸ÀªÀÅ(ASB) ¥Àj¢üAiÀÄ°è «±Á® PÉÆãÀªÀ£Àß(ACB) GAlÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.

¤ÃªÀÅ ¤ªÀÄä ±Á¯Á ªÁ¶ðPÀ QæÃqÁPÀÆlzÀ°è NlzÀ mÁæPï£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹¢ÝÃgÁ? J¯Áè ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ UÉgÉUÀ¼ÀÄ MAzÉà PÉÃAzÀæªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ wædåUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉAiÀiÁVzÉ.

ªÁåSÉå:

MAzÉà ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ, ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ wædåUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ KPÀ PÉÃA¢æÃAiÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÉAzÀÄ (concentric circles) ºÉ¸ÀgÀÄ.

MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß JgÀqÀÄ ¤¢ðµÀÖ ©AzÀÄUÀ¼À°è PÀvÀÛj¸ÀĪÀAvÉ J¼ÉzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß ªÀÈvÀÛ bÉÃzÀPÀ (secant) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

ï¸ÀASÉå	avÀæ	ªÁåSÉåUÀ¼ÀÄ
1		MAzÉà ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæªÀ£Àß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ wædåUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ. OA,OB,OC wædåUÀ¼ÁVgÀĪÀ C1,C2,c3 KPÀ PÉÃA¢æÃAiÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ
2		MAzÉà wædåªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ PÉÃAzÀæUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ. C1 ªÀÄvÀÄÛ C2 UÀ¼ÀÄ MAzÉà wædåªÀ£ÀÄß (OA=OB) DzÀgÉ, ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ PÉÃAzÀæUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ.
3		MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß JgÀqÀÄ ¤¢ðµÀÖ ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ CzÀgÀ bÉÃzÀPÀ(secant). AD AiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀiÁVzÀÄÝ, ªÀÈvÀÛªÀ£Àß B ªÀÄvÀÄÛ CUÀ¼ÉA§ JgÀqÀÄ ¤¢ðµÀÖ ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ. ABCD AiÀÄÄ bÉÃzÀPÀ.
4		MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß MAzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ ¸Àà±ÀðPÀ(‘Tangent’). ¸Àà±Àð gÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀÅ ‘¸Àà±Àð©AzÀÄ’(‘Point of contact). XY gÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß MAzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ PAiÀÄ°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. XPY AiÀÄÄ P ©AzÀÄ«£À°è ªÀÈvÀÛzÀ ¸Àà±ÀðPÀ.

¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸Àà±Àð ©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ wædåªÀÅ ¸Àà±ÀðPÀPÉÌ ®A§ªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.

(PɼÀV£À avÀæzÀ°è OPAiÀÄÄ RSUÉ ®A§ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹).

¸À®ºÉ:

gÀZÀ£É: OPAiÀÄ£Àß OP=PQ DUÀĪÀAvÉ ªÀÈ¢Þ¹. SR JA§ÄzÀÄ OQ£À ®A§¢é¨sÁdPÀªÁVgÀ°. ¨Á.¨Á.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞzÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ OPS ªÀÄvÀÄÛ QPS UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

1. ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ:-

¸ÀA.	gÀZÀ£É
1	O ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ. zÀvÀÛ wædå (2¸ÉA.«Ä.)¢AzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß J¼É¬Äj.
2	ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢AiÀÄÄ ªÉÄÃ¯É AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ PAiÀÄ£Àß UÀÄgÀÄw¹.
3	OP eÉÆÃr¹. (OPAiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÁUÀÄvÀÛzÉ)
4	OP=PQ DUÀĪÀAvÉ OPAiÀÄ£Àß ªÀÈ¢Þ¹. (PAiÀÄÄ OQzÀ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ)
5	PAiÀÄ°è OQUÉ ®A§ªÀ£É߼ɬÄj. (O ªÀÄvÀÄÛ QUÀ¼À£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖ OQzÀ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ OQzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. EªÀÅUÀ¼ÀÄ S ªÀÄvÀÄÛ RUÀ¼À°è bÉâ¸À°, SR eÉÆÃr¹).

SPR gÉÃSÉAiÀÄÄ P ©AzÀÄ«£À°è ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀ.

UÀªÀĤ¹: SPAiÀÄÄ OQUÉ ®A§ªÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ, OPS = 90⁰

2. ªÀÈvÀÛPÉÌ ¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ:-

6.11.1 ¸ÀªÀĸÉå 3: 2¸ÉA.«Ä. wædåªÀżÀî PÉÃAzÀæ¢AzÀ 5¸ÉA.«Ä. zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ«¤AzÀ ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß gÀa¹j.

¸ÀA.	gÀZÀ£É
1	O ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ. zÀvÀÛ wædå (2¸ÉA.«Ä.)¢AzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß J¼É¬Äj.
2	O¢AzÀ 5¸ÉA.«Ä. zÀÆgÀzÀ°è MAzÀÄ P ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, OP eÉÆÃr¹
3	OP AiÀÄ ®A§¢é¨sÁdPÀªÀ£É߼ɬÄj. (O ªÀÄvÀÄÛ PUÀ¼À£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ OPAiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ OPAiÀÄ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. EªÀÅUÀ¼ÀÄ R ªÀÄvÀÄÛ SUÀ¼À°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀbÉâ¸À°,CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹.)
4	RS gÉÃSÉAiÀÄÄ OPAiÀÄ£Àß M£À°è bÉâ¸À°. (M JA§ÄzÀÄ OPAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀĪÁVzÉ.)
5	M£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, OM wædå¢AzÀ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. PX ªÀÄvÀÄÛ PYUÀ¼À£Àß J¼É¬Äj

PX ªÀÄvÀÄÛ PYUÀ¼ÀÄ P ©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁVªÉ.

UÀªÀĤ¹:

ªÀÈvÀÛzÉƼÀV£À ©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß J¼ÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀå«®è. ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À ©AzÀÄ«¤AzÀ MAzÉà MAzÀÄ ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Éß¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ ¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ JgÀqÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£Éß¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ.

avÀæ 1 £Àß UÀªÀĤ¹. C1 JA§ÄzÀÄ O PÉÃAzÀæªÁVgÀĪÀ ªÀÈvÀÛ. C2 JA§ÄzÀÄ P PÉÃAzÀæªÁVgÀĪÀ ªÀÈvÀÛ. AB ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ C1 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß G ©AzÀÄ«£À°èAiÀÄÆ C2 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß H ©AzÀÄ«£À°èAiÀÄÆ ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛzÉ. E°è K£À£Àß UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ? ABAiÀÄÄ C1 ªÀÄvÀÄÛ C2 ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÁVzÉ.CzÉÃjÃw XY PÀÆqÁ C1 ªÀÄvÀÄÛ C2 ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÁVzÉ. avÀæzÀ°è UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÁzÀ E£ÉÆßAzÀÄ CA±ÀªÉãÉAzÀgÉ JgÀqÀÆ ªÀÈvÀÛUÀ¼À PÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀzÀ MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°èªÉ.

ªÁåSÉå: JgÀqÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁVgÀĪÀ ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ (common tangent) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

avÀæ 2 £Àß UÀªÀĤ¹.O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛ C1. P PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛ C2 JgÀqÀÆ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ Y ©AzÀÄ«£À°è ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛªÉ. XYZ JA§ÄzÀÄ JgÀqÀÆ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ Y ©AzÀÄ«£À°è ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ. E°è ¸Àà±ÀðPÀzÀ JgÀqÀÄ §¢UÀ¼À®Æè, ªÀÈvÀÛUÀ¼À PÉÃAzÀæUÀ½gÀĪÀÅzÀ£Àß £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.

ªÉÄð£À JgÀqÀÆ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è, ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæUÀ¼À ¸ÁÜ£ÀUÀ¼À£Àß UÀªÀĤ¹¢ÝÃgÁ?

ªÁåSÉå: ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ ¸Àà±ÀðPÀzÀ MAzÉà §¢AiÀÄ°èzÀÝgÉ, CAvÀºÀ ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ (Direct common tangent) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀzÀ G¨sÀAiÀÄ ¥Á±ÀéðUÀ¼À°èèzÀÝgÉ, CAvÀºÀ ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß “ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ”(Transverse common tangent)J£ÀÄߪÀgÀÄ.

3. JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ wædåªÀ£Àß ºÉÆA¢gÀĪÁUÀ, PÉÃAzÀæUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¤¢ðµÀÖ, £ÉÃgÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£Àß gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ:-

6.11.1 ¸ÀªÀĸÉå4: 2¸ÉA.«Ä. wædåªÀżÀî ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ 5¸ÉA.«Ä. EgÀĪÁUÀ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß gÀa¹j:-

¸ÀA.	gÀZÀ£É
1	OP=5¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.
2	O ªÀÄvÀÄÛ PUÀ¼À£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 2¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ C1 ªÀÄvÀÄÛ C2 ªÀÈvÀÛUÀ¼À£É߼ɬÄj.
3	OPAiÀÄ£Àß JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è ªÀÈ¢Þ¹. CzÀÄ C1 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß X ©AzÀÄ«£À°èAiÀÄÆ, C2 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß YAiÀÄ°èAiÀÄÆ ¸ÀA¢ü¸À°.
4	XR£À ®A§¢é¨sÁdPÀªÀ£É߼ɬÄj. CzÀÄ C1 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß A ªÀÄvÀÄÛ CUÀ¼À°è bÉâ¸À°. CzÉà jÃw SY gÉÃSÉAiÀÄ ®A§¢é¨sÁdPÀªÀ£É߼ɬÄj. CzÀÄ C2 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß B ªÀÄvÀÄÛ DUÀ¼À°è bÉâ¸À°.
5	AB ªÀÄvÀÄÛ CD gÉÃSÉUÀ¼À£É߼ɬÄj.

AB ªÀÄvÀÄÛ CDUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÁVªÉ.

4. ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ wædåUÀ½gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ:-

6.11.1 ¸ÀªÀĸÉå 5: ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀ 6.5¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ 3¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 2¸ÉA.«Ä. wædå«gÀĪÀ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ gÀa¹j.

¸ÀA.	gÀZÀ£É
1	A ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ C1 ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj.
2	AB = 6.5 ¸ÉA.«Ä. gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.
3	BAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 2¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ C2 ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj
4	AªÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 1¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ (C1 ªÀÄvÀÄÛ C2 ªÀÈvÀÛUÀ¼À wædåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀzÀµÀÄÖ =(3-2)=1¸ÉA.«Ä.) C3 ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj.
5	ABAiÀÄ ®A§¢é¨sÁdPÀªÀ£Éß¼ÉzÀÄ, ABAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ M£Àß UÀÄgÀÄw¹. (A ªÀÄvÀÄÛ BUÀ¼À£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, ABAiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ, ABAiÀÄ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è, C ªÀÄvÀÄÛ DUÀ¼À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. CD eÉÆÃr¹. ABAiÀÄ£Àß M£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ).
6	M £Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, AM wædå¢AzÀ, C3 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß X£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. BX eÉÆÃr¹. BX gÉÃSÉAiÀÄÄ C3 ªÀÈvÀÛPÉÌ X ©AzÀÄ«£À°è ¸Àà±ÀðPÀªÁVzÉ.
7	AX£Àß eÉÆÃr¹, ªÀÈ¢Þ¹. CzÀÄ C1 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß PAiÀÄ°è bÉâ¸À°
8	B ©AzÀÄ«¤AzÀ, AXP gÉÃSÉUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.(ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖ G¥ÀAiÉÆÃV¹) F gÉÃSÉAiÀÄÄ C2 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß R£À°è bÉâ¸À°.

PR eÉÆÃr¹. PR gÉÃSÉAiÀÄÄ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ J¼ÉzÀ £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

5. JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ:-

6.11.1 ¸ÀªÀĸÉå 6: ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CAvÀgÀ 5.5¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ, 2 ¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 1¸ÉA.«Ä. wædå«gÀĪÀ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ gÀa¹j.

¸ÀA.	gÀZÀ£É
1	A ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 2¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ C1 ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj.
2	AB = 5.5 ¸ÉA.«Ä. gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.
3	BAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 1¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ C2 ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj
4	AªÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ (C1 ªÀÄvÀÄÛ C2 ªÀÈvÀÛUÀ¼À wædåUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀµÀÄÖ =(2+1)=3¸ÉA.«Ä.) C3 ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj.
5	ABAiÀÄ ®A§¢é¨sÁdPÀªÀ£Éß¼ÉzÀÄ, ABAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ M£Àß UÀÄgÀÄw¹. (A ªÀÄvÀÄÛ BUÀ¼À£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, ABAiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ, ABAiÀÄ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è, C ªÀÄvÀÄÛ DUÀ¼À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. CD eÉÆÃr¹. ABAiÀÄ£Àß M£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ).
6	M £Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, AM wædå¢AzÀ, C3 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß X£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. BX eÉÆÃr¹. BX gÉÃSÉAiÀÄÄ C3 ªÀÈvÀÛPÉÌ X ©AzÀÄ«£À°è ¸Àà±ÀðPÀªÁVzÉ.
7	AX£Àß eÉÆÃr¹, ªÀÈ¢Þ¹. CzÀÄ C1 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß PAiÀÄ°è bÉâ¸À°
8	B ©AzÀÄ«¤AzÀ, APX gÉÃSÉUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.(ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖ G¥ÀAiÉÆÃV¹) F gÉÃSÉAiÀÄÄ C2 ªÀÈvÀÛªÀ£Àß R£À°è bÉâ¸À°.

PR eÉÆÃr¹. PR gÉÃSÉAiÀÄÄ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ J¼ÉzÀ ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

UÀªÀĤ¹:

ªÉÄð£À JgÀqÀÄ jÃwAiÀÄ gÀZÀ£ÉUÀ¼À°è ªÀiÁrzÀ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£Àß UÀªÀĤ¹¢ÝÃgÁ? £ÉÃgÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ J¼ÉAiÀÄ®Ä, £ÁªÀÅ zÀvÀÛ ªÀÈvÀÛUÀ¼À wædåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀzÀµÀÄÖ wædå¢AzÀ 3£Éà ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɢzÉÝêÉ. ªÀåvÀå¸ÀÜ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀªÀ£Àß gÀa¸ÀĪÁUÀ, zÀvÀÛ ªÀÈvÀÛUÀ¼À wædåUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀµÀÄÖ wædå¢AzÀ 3£Éà ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɢzÉÝêÉ. F MAzÀÄ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£Àß ©lÖgÉ, G½zÀAvÉ gÀZÀ£ÁPÀæªÀÄzÀ°è ¨ÉÃgÉãÀÆ ªÀåvÁå¸ÀUÀ½®è.

6.11 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀA.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ ¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ JgÀqÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£Éß¼ÉAiÀÄ §ºÀÄzÀÄ.
2	¸Àà±Àð©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ wædåªÀÅ ¸Àà±ÀðPÀPÉÌ ®A§ªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.