6.13 wæ¨sÀÄd ªÀÄvÀÄÛ ªÀÈvÀÛUÀ¼À ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ (Theorems on Triangles and circles):

6.13.1 ªÀÄÆ® ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ(Basic proportionality theorem):

¤ÃªÀÅ Ff¦Ö£À ¦gÀ«ÄqÀÄØUÀ¼À §UÉÎ PÉýgÀ§ºÀÄzÀÄ. CªÀÅUÀ¼À£Àß ºÀvÀÛzÉAiÉÄÃ, ¥ÁæaãÀPÁ®zÀ°èAiÉÄà CzÀgÀ JvÀÛgÀªÀ£Àß ºÉÃUÉ PÀAqÀÄ»r¢gÀ§ºÀÄzÀÄ? D PÁ®zÀ°èAiÉÄà CAvÀºÀ DPÀÈwUÀ¼À JvÀÛgÀUÀ¼À£Àß ªÀÄvÀÄÛ zÀÆgÀUÀ¼À£Àß §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À UÀÄtUÀ¼À£Àß DzsÀj¹ PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄwÛzÀÝgÀÄ. EzÉà jÃw EA¢UÀÆ ªÁºÀ£ÀUÀ¼À vÀAiÀiÁjPÉUÀ¼À°è, ¨ÁºÁåPÁ±À

AiÉÆÃd£ÉUÀ¼À°è ªÀÄvÀÄÛ EvÀgÀ ºÀ®ªÀÅ PÉëÃvÀæUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À vÀvÀéªÀ£Àß §¼À¸ÀÄvÁÛgÉ.

¥ÀPÀÌzÀ JgÀqÀÄ avÀæUÀ¼À°è¤ÃªÉãÀ£Àß UÀªÀĤ¸ÀÄwÛÃj? F JgÀqÀÆ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ UÁvÀæªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ ¥Àr¹ J¯Áè «zsÀzÀ°èAiÀÄÆ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥ÀzÀ°ègÀĪÀÅzÀ£Àß £ÉÆÃqÀÄ«j. ¤dªÁV avÀæ 2 gÀ UÁvÀæ avÀæ 1 gÀ JgÀqÀgÀ¶ÖzÉ.JgÀqÀÆ DPÀÈwUÀ¼À ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß C¼É¬Äj. CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ MAzÉà DVgÀĪÀÅzÀ£Àß UÀªÀĤ¹. AB/ PQ = BC/ QR = CD/ RS = ……= 1/ 2 JgÀqÀÆ avÀæUÀ¼À°è ±ÀÈAUÀ ©AzÀÄUÀ¼À°è C£ÀÄPÀæªÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ. EAB = TPQ, ABC = PQR, BCD = QRS , . . .

¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀ JgÀqÀÄ §ºÀĨsÀÄdUÀ¼À

1. C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ,

ªÀÄvÀÄÛ

2. C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ,

DUÀ CªÀÅ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À §ºÀĨsÀÄeÁPÀÈwUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

¸ÀªÀÄgÀÆ¥ÀvÉAiÀÄ£Àß ‘|||’ aºÉ߬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. ¸ÀªÀĪÁzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀļÀî ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀĨsÀÄeÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

JgÀqÀÄ DAiÀÄvÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦUÀ¼ÁUÀ®Ä, PɼÀV£À avÀææzÀ°è EgÀĪÀAvÉ CªÀÅUÀ¼À GzÀÝUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ =CUÀ®UÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ DVgÀ¨ÉÃPÀÄ.

¥ÀPÀÌzÀ avÀæUÀ¼À£Àß UÀªÀĤ¹, CªÀÅ MAzÉà DPÁgÀzÀªÀÅUÀ¼ÁVªÉ. ABC = DEF, BAC =EDF, ACB = DFE DUÀ ABC ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. EzÀ£Àß ABC ||| DEF JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈw	¸ÀªÀÄgÀƦ DPÀÈw
1	MAzÉà DPÁgÀzÀ°èzÀÄÝ, MAzÉà UÁvÀæzÀªÀÅUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.	MAzÉà DPÁgÀzÀ°èzÀÄÝ, CªÀÅUÀ¼À UÁvÀæ MAzÉà C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.
2	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ MAzÉà DVgÀÄvÀÛªÉ.
3	CªÀÅ ¸ÀªÀi gÀƦUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.	CªÀÅ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DVgÀ¨ÉÃPÀÄ JAzÉãÀÆ E®è.

6.3.3gÀ°è £ÁªÉãÀ£Àß £ÉÆÃrzÉÝêÉ? 3 PÉÆãÀUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ wæPÉÆãÀªÀ£Àß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®èªÉAzÀÄ £ÉÆÃrzÉÝêÉ.

“JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è JgÀqÀÄ eÉÆvÉ C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ. D JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦUÀ¼ÁVgÀÄvÀ۪ɔ. EzÀ£Àß ¸ÀªÀÄgÀÆ¥ÀvÉAiÀÄ PÉÆÃ.PÉÆÃ.PÉÆÃ.

(PÉÆãÀ, PÉÆãÀ, PÉÆãÀ) ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ J£ÀÄߪÀgÀÄ.

UÀªÀĤ¹:

F ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞªÀ£Àß ‘¸ÀªÀÄgÀÆ¥ÀvÉAiÀÄ PÉÆãÀ PÉÆãÀ ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ’JAvÀ®Æ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. KPÉAzÀgÉ, JgÀqÀÄ eÉÆvÉ C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀgÉ ªÀÄÆgÀ£Éà eÉÆvÉ PÉÆãÀ PÀÆqÁ ¸ÀªÀĪÁVgÀ¯ÉèÉÃPÀÄ. (wæPÉÆãÀzÀ 3 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180⁰)

6.13.1. ªÀÄÆ® ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ (xÉïïì£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ)(Basic Proportionality Theorem (Thale’s theorem) -- (BPT)

wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV J¼ÉzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß ¸ÀªÀiÁ£À C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.

zÀvÀÛ: ABCAiÀÄ°è X JA§ÄzÀÄ ABAiÀÄ ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ XY ||BC.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AX/BX = AY/CY.

¸ÁzsÀ£É: ABC ªÀÄvÀÄÛ AXYAiÀÄ°è.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AXY = ABC	(XY||BC) C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
2	AYX = ACB	C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ (XY||BC)
3	XAY = BAC	¸ÁªÀiÁ£Àå PÉÆãÀ
4	ABC ||| AXY	PÉÆÃ.PÉÆÃ.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ.
5	AB/AX = AC/AY	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ.
6	(AX+BX)/AX = (YC+AY)/YC
7	1+BX/AX = 1+AY/YC
8	BX/AX = AY/YC
9	AX/BX =AY/CY

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 1: ªÉÄð£À avÀæzÀ°è XY || BC DzÀgÉ, AB/BX=AC/YC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AX/XB=AY/YC	xÉïïì£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
2	1+(AX/XB) =1+(AY/YC)	1£Àß JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ PÀÆr¹zÉ.
3	(XB+AX)/XB =(YC+AY)/YC	X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼ÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ ACUÀ¼À ªÉÄð£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ.
4	AB/XB= AC/YC

«¯ÉÆêÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è bÉâ¹zÀgÉ, D ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÄÆgÀ£Éà ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

6.13.1. ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ G¥À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ:

wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Éß¼ÉzÁUÀ, GAmÁUÀĪÀ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ zÀvÀÛ wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.

(ºÉƸÀ wæ¨sÀÄdªÀÅ zÀvÀÛ wæ¨sÀÄdPÉÌ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥ÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ)

zÀvÀÛ: XYAiÀÄÄ BCUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AX/AB=AY/AC=XY/BC

gÀZÀ£É: X ©AzÀÄ«¤AzÀ ACUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV XZ gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BZ/BC=BX/BA	XZ || AC , ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ.
2	XY=ZC, YC =XZ	gÀZÀ£É¬ÄAzÀ, XZCY MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. DzÀÝjAzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ.
3	AX/AB = AY/AC	XY || BC, ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ.
4	JqÀ¨sÁUÀ =AX/AB = (AB-BX)/AB
5	= 1-(BX/AB)
6	= 1-(BZ/BC)	(1) jAzÀ
7	= (BC-BZ)/BC	BCAiÀÄ ªÉÄð£À ©AzÀÄZ
8	=ZC/BC
9	XY/BC= AY/AC	(2) jAzÀ

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ vÁæ¦dåzÀ°è ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄUÀ¼À£Àß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ CzÀgÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: BCED MAzÀÄ vÁæ¦då. X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV. DB ªÀÄvÀÄÛ CEUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: XY || DE

gÀZÀ£É: DB ªÀÄvÀÄÛ ECUÀ¼À£Àß ªÀÈ¢Þ¹. CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÉÃgÀĪÀ ©AzÀÄ A (DB ªÀÄvÀÄÛ ECUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®è. DzÀÝjAzÀ ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸À¯ÉèÉÃPÀÄ)

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB/BD = AC/CE	ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ. (DE || BC)
2	(AX-BX)/BD = (AY-CY)/CE	X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼ÀÄ DA ªÀÄvÀÄÛ EAUÀ¼À ªÉÄð£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ
3	AX/BD – BX/BD = AY/CE –CY/CE	X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼ÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ BD=2BX=2DX,CE=2YE=2CY
4	AX/2DX -1/2 =AY/2YE -1/2	3 jAzÀ
5	AX/DX =AY/YE	4gÀ°è 1/2ªÀ£Àß JgÀqÀÆ §¢UÀ½UÉ PÀÆr¹, £ÀAvÀgÀ 2jAzÀ UÀÄt¹.
6	XY || DE	ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ.

6.13.1. ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1: JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ABC ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼À°è

BAC = EDF

ABC =DEF

ACB =DFE

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AB/DE = BC/EF= AC/DF

gÀZÀ£É: AX=DE ªÀÄvÀÄÛ AY=DF DUÀĪÀAvÉ AB ªÀÄvÀÄÛ ACUÀ¼À ªÉÄÃ¯É X ªÀÄvÀÄÛ Y ©AzÀÄUÀ¼À£Àß

UÀÄgÀÄw¹. XY ¸ÉÃj¹.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BAC = EDF	zÀvÀÛ
2	AX=DE,AY=DF	gÀZÀ£É
3	AXY DEF	¨Á.PÉÆÃ.¨Á.¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
4	AXY=DEF	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
5	= ABC	zÀvÀÛ
6	XY||BC	C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ AXY ªÀÄvÀÄÛ ABCUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
7	AB/AX=AC/AY=BC/XY	ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ.
8	AB/DE=AC/DF=BC/EF	(2) jAzÀ

6.13.1. ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1gÀ «¯ÉÆêÀÄ: JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èzÀÝgÉ, DUÀ D wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ABC ªÀÄvÀÄÛDEFUÀ¼À°è

AB/DE=AC/DF=BC/EF

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ:

BAC = EDF

ABC =DEF

ACB =DFE

gÀZÀ£É: AX=DE ªÀÄvÀÄÛ AY=DF DUÀĪÀAvÉ AB ªÀÄvÀÄÛ ACUÀ¼À ªÉÄïÉ. X ªÀÄvÀÄÛ Y ©AzÀÄUÀ¼À£Àß

UÀÄgÀÄw¹. XY ¸ÉÃj¹.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB/DE=AC/DF=BC/EF	zÀvÀÛ
2	AX =DE,AY=DF	gÀZÀ£É
3	AB/AX=AC/AY	1 ªÀÄvÀÄÛ 2jAzÀ
4	XY||BC	ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ.
5	AXY=ABC, AYX=BCA	C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
6	AXY=DEF, AYX=DFE	gÀZÀ£É¬ÄAzÀ, AXY ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ.
7	ABC=DEF, BCA=DFE	5 ªÀÄvÀÄÛ 6 jAzÀ, DzÉò¹zÁUÀ.
8	BAC =EDF	wæPÉÆãÀUÀ¼À JgÀqÀÄ eÉÆvÉ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÁUÀ, ªÀÄÆgÀ£É eÉÆvÉAiÀÄÆ ¸ÀªÀĪÁUÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ ¸ÀªÀÄgÀƦ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå3: ¤ÃªÀÅ PÀÄvÀĨï«Ä£Ágï §½AiÀÄ(ªÉĺÀÆæ°) MAzÀÄ ¸ÀÜA¨sÀzÀ §UÉÎ PÉýgÀ§ºÀÄzÀÄ. CzÀÄ ZÀAzÀæUÀÄ¥ÀÛ£ÀÄ PÀnÖzÀ PÀ©âtzÀ ¸ÀÜA¨sÀ. D ¸ÀÛA¨sÀ Qæ.¥ÀÇ.400gÀ°è PÀnÖzÀÝgÀÆ PÀÆqÁ FªÀgÉUÀÆ vÀÄPÀÄÌ »r¢®èªÉA§ÄzÀÄ D±ÀÑAiÀÄðPÀgÀ. EzÀgÀ JvÀÛgÀªÀ£Àß ºÀvÀÛzÉAiÉÄà PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ? ¤ÃªÉà C°èUÉ ¥ÀæªÁ¸ÀPÉÌ ºÉÆÃV¢ÝÃgÉAzÀÄ H»¹. D ¸ÀÛA¨sÀ¢AzÀ ¤ÃªÀÅ 9 Cr 2CAUÀÄ® zÀÆgÀzÀ°è ¤Aw¢ÝÃgÉAzÀÄ H»¹. DUÀ PÀA§¢AzÀ ¤ªÀÄä £ÉgÀ¼ÀÄ 2Cr 8 EAZÀÄ GzÀÝPÉÌ ©zÀÝgÉ, ¤ªÀÄä JvÀÛgÀ 5 Cr 4 EAZÀÄ DVzÀÝgÉ, PÀA§zÀ JvÀÛgÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

¯ÉPÁÌZÁgÀ ¸ÀÄ®¨sÀªÁUÀ®Ä J¯Áè C¼ÀvÉUÀ¼À£Àß EAZÀÄUÀ½UÉ ¥ÀjªÀwð¹. ¸ÀÜA¨sÀªÀ£Àß ABAiÀÄÄ ¸ÀÆa¸À°. ¤ÃªÀÅ DAiÀÄ°è ¤Aw¢ÝÃj. A¬ÄAzÀ DUÉ EgÀĪÀ zÀÆgÀ 110 EAZÀÄUÀ¼ÀÄ (9 Cr 2 EAZÀÄ) ¤ªÀÄä JvÀÛgÀªÀ£Àß DP = 64” (5’4”) ¸ÀÆa¸À°. PÀA§¢AzÀ GAmÁzÀ £ÉgÀ¼ÀÄ DCAiÀÄÄ 32EAZÀÄ. BAC =PDC = 90^0 AB || DP. DzÀÝjAzÀ ABP = DPC ACBAiÀÄÄ BAC ªÀÄvÀÄÛ PDCUÀ½UÉ ¸ÁªÀiÁ£Àå PÉÆãÀ. DzÀÝjAzÀ BAC ªÀÄvÀÄÛ PDCUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÁVªÉ. DzÀÝjAzÀ CªÀÅUÀ¼À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ. (PÉÆÃ.PÉÆÃ.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ) DzÀÝjAzÀ AB/PD = AC/DC. AC =AD+DC = 110+32= 142 EAZÀÄ AB = AC*PD/DC = 142*64/32=284’’ PÀ©âtzÀ ¸ÀÜA¨sÀzÀ JvÀÛgÀ= 284 EAZÀÄUÀ¼ÀÄ = 23 Cr 8 EAZÀÄ ¤ÃªÀÅ ZÀjvÉæAiÀÄ ¥ÀŸÀÛPÀ¢AzÀ F GvÀÛgÀ ¸ÀjAiÀiÁVgÀĪÀÅzÀ£Àß UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 4: ABCAiÀÄÄ BAiÀÄ°è ®A§PÉÆãÀªÁVgÀĪÀ wæ¨sÀÄd. DAiÀÄÄ ABAiÀÄ ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ. DE AC. AD=4«Ä., AB=16«Ä., AC=24«Ä., AE AiÀÄ£Àß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

ABC =DEA = 90^0. AAiÀÄÄ ABC ªÀÄvÀÄÛ DAEUÀ½UÉ ¸ÁªÀiÁ£Àå ±ÀÈAUÀ.BAC = DAE. JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ, 3£Éà PÉÆãÀªÀÇ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ. (BCA=ADE). ABC ªÀÄvÀÄÛ DEAUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄ (¸ÀªÀÄgÀÆ¥À) wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. DzÀÝjAzÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ: AC, AD («PÀtð) BC, DE (AAiÀÄ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ) AB, AE AE/AB = DE/BC=AD/AC AE = AB*AD/AC = 16*4/24 = 16/6 =2.67«Ä.

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 5: ABCD vÁæ¦dåzÀ°è, AD||BC ªÀÄvÀÄÛ PÀtðUÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. OB/OC = OD/OA JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

AD||BC DzÀÝjAzÀ, BCO = OAD, CBO=ODA (¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ) AC ªÀÄvÀÄÛ BDUÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ.COB =AOD (±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄT PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ) BCO ªÀÄvÀÄÛ DOAUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. DzÀÝjAzÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ, EªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ: OB, OD (BCO ªÀÄvÀÄÛ OADUÀ¼À C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ) OC, OA (CBO ªÀÄvÀÄÛ ODAUÀ¼À C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ) ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ, OB/OD = OC/OACxÀªÁ OB*OA=OD*OC OB/OC = OD/OA

6.13.1 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 2: ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ABC ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ. BC ªÀÄvÀÄÛ EFUÀ¼ÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð/DEFAiÀÄ «¹ÛÃtð = BC²/EF²= AB²/DE² =AC²/DF²

gÀZÀ£É: Draw ALBC and DMEF

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð = BC*AL/2	wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð=¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ/2
2	DEFAiÀÄ «¹ÛÃtð = EF*DM/2	wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð=¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ/2
3	(ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð)/ (DEFAiÀÄ«¹ÛÃtð)=(BC/EF)*(AL/DM)
4	ABL =DEM	ABC ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦUÀ¼ÀÄ
5	ALB =DME= 90^0	gÀZÀ£É
6	BAL =EDM	JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è JgÀqÀÄ eÉÆvÉ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ E£ÉÆßAzÀÄ eÉÆvÉAiÀÄÆ ¸ÀªÀÄ.
7	AL/DM = AB/DE =BL/EM	¸ÀªÀÄgÀƦ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.
8	DzÀgÉ, AB/DE =BC/EF	ABC ªÀÄvÀÄÛ DEF UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦUÀ¼ÀÄ (zÀvÀÛ)
9	AL/DM=BC/EF	(7) ªÀÄvÀÄÛ (8) jAzÀ
10	(ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð)/ (DEFAiÀÄ «¹ÛÃtð)=(BC/EF)*(BC/EF)= BC^2/EF^2	(9)£Àß (3)gÀ°è DzÉò¹zÉ.
11	EzÉà jÃwAiÀiÁV E£ÉßgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄvÉUÀ¼À£Àß ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.

6.13.1 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ :JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ.

¸ÁzsÀ£É:

ABC ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁVgÀ°. CªÀÅUÀ¼À ¥ÁzÀ BC ªÀÄvÀÄÛ EF ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, (ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð)/ (DEFAiÀÄ «¹ÛÃtð) = BC^2/EF^2 «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ, BC=EF EzÉà jÃw E£ÉßgÀqÀÄ eÉÆvÉ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÉAzÀgÉ ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ, ¨Á.¨Á.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ¢AzÀ, D JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå6: JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À eÉÆÃr JvÀÛgÀUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀªÀÅ MAzÉà DVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ°è 7£Éà ºÀAvÀzÀ°è ALB ªÀÄvÀÄÛ DMEUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀĪÉAzÀÄ ¸Á¢ü¹zÉÝêÉ. DzÀÝjAzÀ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ. (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1) AB/DE = AL/DM (AB/DE)^2= (AL/DM)^2 ABC ªÀÄvÀÄÛ DEFUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀƦUÀ¼ÁzÀÝjAzÀ, ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ, ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð /DEFAiÀÄ «¹ÛÃtð = BC^2/EF^2 = AB^2/DE^2 = AL^2/DM^2 = JvÀÛgÀUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ.

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 7: ABCAiÀÄ°è BEAC , CFAB. BE ªÀÄvÀÄÛ CFUÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. BOFAiÀÄ «¹ÛÃtð /COEAiÀÄ «¹ÛÃtð= BF²/CE² JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BFO =CEO = 90^0	zÀvÀÛ
2	BOF =COE	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	FBO =OCE	2 wæPÉÆãÀUÀ¼À°è 2 eÉÆvÉ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ 3£Éà eÉÆvÉAiÀÄÆ ¸ÀªÀĪÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ.
4	BFO ||| CEO	wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ
5	BFOAiÀÄ «¹ÛÃtð /CEOAiÀÄ «¹ÛÃtð = BF^2/CE^2	¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 8: avÀæzÀ°è ABC ªÀÄvÀÄÛ DBCUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ BC AiÀÄ£Àß ºÉÆA¢ªÉ. ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð /DEFAiÀÄ «¹ÛÃtð = AO/DO JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

gÀZÀ£É: AE BC ªÀÄvÀÄÛ DF BC J¼É¬Äj.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AOB =DOF	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
2	AEO =DFO= 90^0	gÀZÀ£É
3	AEO |||DFO	PÉÆÃ.PÉÆÃ.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
4	AE/DF = AO/DO	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ.
5	ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð /DEFAiÀÄ «¹ÛÃtð = {(1/2)BC*AE}/{(1/2)BC*DF}=AE/DF	«¹ÛÃtðzÀ ¸ÀÆvÀæ¢AzÀ
6	ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð /DEF AiÀÄ «¹ÛÃtð =AO/DO	4 jAzÀ

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 9: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ PÉÆãÀzÀ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀĪÀ£Àß, D PÉÆãÀªÀ£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èAiÉÄà «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

gÀZÀ£É: C¬ÄAzÀ ADUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj. CzÀÄ BAAiÀÄ ªÀÈ¢Þ¹zÀ ¨sÁUÀªÀ£Àß EAiÀÄ°è bÉâ¸À°. DA||CE

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AB/AC = BD/DC

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	DA||CE	gÀZÀ£É
2	BD/DC = BA/AE	BCEAiÀÄ°è ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ.
3	BAD =AEC	DA||CE C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
4	DAC =ACE	DA||CE ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
5	BAD =DAC	ADAiÀÄÄ BAC PÉÆãÁzsÀðPÀ
6	AEC =ACE	4 ªÀÄvÀÄÛ 5 jAzÀ
7	AE=AC	6 jAzÀ (CAEAiÀÄÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæPÉÆãÀ)
8	BD/DC = BA/AC	2 jAzÀ

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 10: ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è BD PÀtðªÀÅ B ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄ£Àß C¢üð¹zÀgÉ, AB*CD =AD*BC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¸ÀÆZÀ£É:

1. ADB = CDB, ABD = CBD(BDAiÀÄÄ B ªÀÄvÀÄÛ DUÀ¼À£Àß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.) 2. PÉÆÃ.PÉÆÃ.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ¢AzÀ, ADB |||CDB 3. C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ. AB/BC =AD/CD AB*CD =AD*BC

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 11: 15, 10 ªÉƼÀ JvÀÛgÀ«gÀĪÀ PÉÆîÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀÆÌ vÀÄ¢UÀÆ J¼ÉzÀ zÁgÀUÀ¼À bÉÃzsÀ£À ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ®A¨ ¥ÀæªÀiÁt JµÀÄÖ? (°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 162)

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	OP/CD = BP/BD	OP || AB , ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ.
2	OP/AB=PD/BD	OP || CD , ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ.
3	OP/CD +OP/AB = (BP/BD)+ (PD/BD)	(1),(2) £ÀÄß PÀÆr¹
4	OP(AB+CD)/(AB*CD) = (PD+BP)/BD =1	(PD+BP) =BD
5	OP = (AB*CD)/ (AB+CD) = 15*10/25 = 6
UÀªÀĤ¹: BP CxÀªÁ PD ¤ÃrzÀgÉ, E£ÉÆßAzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀħºÀÄzÀÄ.

6.13.1 ¸ÀªÀĸÉå 12: 12 CAUÀÄ® JvÀÛgÀªÀżÀî ¨ÉÆA¨ÉAiÀÄ £ÉgÀ¼ÀÄ 8 CAUÀÄ®«zÀÄÝ, 2 ºÀ¸ÀÛ zÀÆgÀ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ºÉÆÃzÀ ªÉÄÃ¯É CzÀgÀ £ÉgÀ¼ÀÄ 12 CAUÀÄ® DzÀgÉ °Ã¯ÁªÀwAiÉÄÃ, ¢Ã¥À¢AzÀ ¨ÉÆA¨ÉAiÀÄ zÀÆgÀªÀ£ÀÆß, ¢Ã¥ÀzÀ JvÀÛgÀªÀ£ÀÆß ¨ÉÃUÀ ºÉüÀÄ. (°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 244) EAvÀºÀ ¸ÀªÀĸÉå ©r¸À®Ä ¸ÀÆvÀæ ¤ÃrzÁÝ£É.

AB ¢Ã¥À. CL ªÀÄvÀÄÛ EM ¨ÉÆA¨É(=12 CAUÀÄ® JvÀÛgÀ).

C £À°è ¨ÉÆA¨ÉAiÀÄ £ÉgÀ¼ÀÄ CD(= 8 CAUÀÄ®).

C ¬ÄAzÀ 2 ºÀ¸ÀÛ(CE= 48 CAUÀÄ®, 1 ºÀ¸ÀÛ=24 CAUÀÄ®) zÀÆgÀ ºÉÆÃzÁUÀ ¨ÉÆA¨ÉAiÀÄ £ÉgÀ¼ÀÄ(EF =12 CAUÀÄ®).

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB/LC = BD/CD	LC || AB , ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ.
2	AB/ME =BF/EF	ME || AB , ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¤AiÀĪÀÄ.
3	BD/CD = BF/EF	LC=ME=12, (1),(2) jAzÀ
4	(BC+CD)/CD = (BC+CD+DE+EF)/12	BD = (BC+CD), BF =(BC+CD+DE+EF) , EF=12
5	(BC/8)+1 = (BC/12)+5	CD=8, (CD+DE+EF) = 8+40+12 =60 BD
6	BC(1/8-1/12) = 4
7	BC{(6-4)/48} =4 BC =96 BD = 104	BD = BC+CD = 96+8
8	AB = (BD*LC)/CD= (104*12)/8 = 156	(1) jAzÀ

6.13.2 ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ:

MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ°è «PÀtðzÀ ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ.

F ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£Àß F jÃw §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

BAiÀÄ°è ®A§PÉÆãÀªÁzÁUÀ AC² = AB²+BC²

zÀvÀÛ: ABCAiÀÄ°è ABC = 90⁰

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AC² = AB²+BC²

gÀZÀ£É: «PÀtð ACUÉ BD ®A§ªÀ£É߼ɬÄj. PÉÆ

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	ABC= 90^0	zÀvÀÛ
2	BDA= 90^0	gÀZÀ£É
3	BAC =BAD	¸ÁªÀiÁ£Àå PÉÆãÀ
4	ABD =BCD	2PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ ªÀÄÆgÀ£Éà PÉÆãÀªÀÇ ¸ÀªÀÄ.
5	ABC ||| ADB	wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸À.PÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÁVªÉ.
6	AB/AD = AC/AB	¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ.
7	AB^2 = AC*AD
8	ABC ||| CDB	ABC ªÀÄvÀÄÛ CDBUÀ½UÉ 1 jAzÀ 5gÀ ªÀgÉV£À ºÀAvÀUÀ¼À£Àß ¥ÀÅ£ÀgÁªÀwð¹zÉ.
9	BC/CD=AC/BC
10	BC^2 = AC*CD
11	AB^2 + BC^2 =AC*AD+AC*CD =AC(AD+CD)=AC*AC AC^2= AB^2 + BC^2	(7) ªÀÄvÀÄÛ (10)£Àß PÀÆr¹zÁUÀ,

F PɼÀV£À ¯ÉPÀÌUÀ¼À£Àß UÀªÀĤ¹:-

1. 25 =5² = 3²+4² = 9+16

2. 100 = 10² = 8²+6² =64+36

FjÃw, (3,4,5), (6,8,10), (8,15,17), EªÀÅUÀ¼À£Àß ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À wæªÀ½UÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.

UÀªÀĤ¹:- ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ°è F ¸ÀA§AzsÀªÀ£Àß ªÉÆvÀÛ ªÉÆzÀ°UÉ PÀAqÀÄ»rzÀªÀgÀÄ Qæ.¥ÀÇ.600gÀ°è ¨sÁgÀwÃAiÀÄgÁzÀ ¨ÉÆÃzsÁAiÀÄ£ÀgÀÄ.

¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ: AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀĪÁzÀgÉ, D JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆãÀ¢AzÀ M¼ÀUÉÆArzÉ.

(AC² = AB²+BC² DzÀgÉB= 90⁰)

¸ÁzsÀ£É: zÀvÀÛ wæPÉÆãÀPÉÌ C£ÀÄUÀÄtªÁV E£ÉÆßAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀªÀ£Àß gÀa¹, CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÉAzÀÄ ¸Á¢ü¹ (¨Á.¨Á.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ¢AzÀ).

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå1: MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è 400 Cr GzÀÝzÀ DªÀgÀt UÉÆÃqɬÄzÉ. M§â ¥ÉÊAlgï D UÉÆÃqÉUÉ §tÚ §½AiÀÄ®Ä ºÉüÀ¯ÁVzÉ. §tÚ §½AiÀÄ®Ä zÀgÀ ZÀzÀgÀ CrUÉ gÀÆ.80UÀ¼ÀÄ. CªÀ£À ºÀwÛgÀ MAzÀÄ 10 Cr GzÀÝzÀ Kt¬ÄzÉ. D KtÂAiÀÄ£Àß UÉÆÃqÉUÉ MgÀV¹ EmÁÖUÀ vÀÄ¢, UÉÆÃqÉAiÀÄ vÀÄ¢UÉ vÁVzÁUÀ, §ÄqÀªÀÅ UÉÆÃqɬÄAzÀ 6 Cr zÀÆgÀzÀ°è ¤®ÄèvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ ¥ÉÊAlgÀ¤UÉ ±Á¯ÉAiÀĪÀgÀÄ PÉÆqÀ¨ÉÃPÁzÀ ºÀtªÀ£Àß ¯ÉPÀ̺ÁQ.

¥ÀjºÁgÀ:

£Á«ÃUÀ ¥ÉÊAlgÀ¤UÉ PÉÆqÀ¨ÉÃPÁzÀ ºÀtªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ªÉÆzÀ°UÉ UÉÆÃqÉAiÀÄ «¹ÛÃtðªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. UÉÆÃqÉAiÀÄ GzÀÝ UÉÆwÛzÉ.(400 Cr). ºÁUÁzÀgÉ JvÀÛgÀªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. ABAiÀÄÄ UÉÆÃqÉAiÀÄ JvÀÛgÀ, ACAiÀÄÄ KtÂ, BCAiÀÄÄ UÉÆÃqɬÄAzÀ KtÂVgÀĪÀ zÀÆgÀªÁzÀgÉ, AC^2 = AB^2+BC^2¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ¨É¯ÉUÀ¼À£Àß DzÉò¹zÁUÀ, AC=10, BC=6 10^2 = 6^2+AB^2AB^2=100-36 =64 UÉÆÃqÉAiÀÄ JvÀÛgÀ AB =SQRT(64) = 8 Cr DªÀgÀtzÀ UÉÆÃqÉAiÀÄ «¹ÛÃtð= 400*8 = 3200 ZÀzÀgÀ CrUÀ¼ÀÄ ¥ÉÊAlgÀ£À zÀgÀ = ZÀzÀgÀ CrUÉ 80 gÀÆ. CªÀ¤UÉ PÉÆqÀ¨ÉÃPÁzÀ MlÄÖ ºÀt = 3200*80= gÀÆ.2,56,000

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå 2: E£ÉÆßAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è £ÀqÉAiÀÄĪÀ ZÉ¸ï ¥ÀAzÀåªÀ£ÁßqÀ®Ä ¤ªÀÄä ±Á¯É¬ÄAzÀ ¤ÃªÀÅ DAiÉÄÌAiÀiÁV¢ÝÃgÉAzÀÄ ¨sÁ«¹. ¤ÃªÀÅ D ±Á¯ÉUÉ ¸ÉÊPÀ°£À°è »ÃUÉ ºÉÆÃUÀÄwÛÃj:

¤ªÀÄä ªÀģɬÄAzÀ ¸ÉÊPÀ°£À°è 8Q.«Ä. GvÀÛgÀPÉÌ ºÉÆÃV, 5Q.«Ä. ¥ÀǪÀðPÉÌ ºÉÆÃV, ¥ÀÅ£ÀB 4Q.«Ä. GvÀÛgÀPÉÌ ºÉÆÃV D ±Á¯ÉAiÀÄ£Àß vÀ®¥ÀÅwÛÃj. ºÁUÁzÀgÉ ¤ªÀÄä ªÀģɬÄAzÀ D ±Á¯ÉVgÀĪÀ £ÉÃgÀ zÀÆgÀªÀ£Àß ¯ÉPÀ̺ÁQ.

¥ÀjºÁgÀ:

¤ÃªÀÅ ZÀ°¹zÀ ªÀiÁUÀð ABCD. AB= 8Q.«Ä., BC=5Q.«Ä., CD=4Q.«Ä.. £Á«ÃUÀ DAAiÀÄ £ÉÃgÀ zÀÆgÀªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. FUÀ CBUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV DE gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj. CzÀÄ ABAiÀÄ£Àß EAiÀÄ°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. DE||BC, BE||CD. DzÀÝjAzÀ, BCDEAiÀÄÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ DE= 5, AE = AB+BE = 8+4 =12 FUÀ UÀªÀĤ¹ DEAAiÀÄÄ MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ AD^2 = ED^2+EA^2= 5^2+12^2= 25+144 = 169 = 13^2 AD= 13Q.«Ä.

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå 3: ABCAiÀÄ°è AD BC, DB:CD = 3:1. DzÀgÉ, BC² = 2(AB²-AC²) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BD^2 = AB^2-AD^2	ABDAiÀÄ°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
2	AC^2 = AD^2+CD^2	ADCAiÀÄ°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
3	AD^2 = AC^2-CD^2	ºÀAvÀ 2 jAzÀ
4	BD^2 = AB^2-(AC^2 -CD^2) = AB^2-AC^2 +CD^2	(1) ªÀÄvÀÄÛ (3) jAzÀ
5	DB/CD = 3 BC = BD+CD =4CD	zÀvÀÛ
6	DB=3CD BD^2=9CD^2
7	9CD^2 = AB^2-AC^2 +CD^2	(6) ªÀÄvÀÄÛ (4) jAzÀ
8	8CD^2 = AB^2-AC^2
9	16CD^2 = 2(AB^2-AC^2)
11	BC^2= 2(AB^2-AC^2)	5gÀ°è [BC=4CD :BC^2= 16CD^2]

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå 4: 32 ªÉƼÀ GzÀݪÀżÀî MAzÀÄ ©¢gÀÄ PÀA¨sÀ ªÁAiÀÄÄ ªÉÃUÀ¢AzÀ ªÀÄÄjzÀÄ, CzÀgÀ vÀÄ¢AiÀÄÄ CzÀgÀ §ÄqÀPÉÌ 16 ªÉƼÀ zÀÆgÀzÀ°è ¨sÀÆ«ÄAiÀÄ°è ©vÀÄÛ. ºÁUÁzÀg §ÄqÀ¢AzÀ JµÀÄÖ JvÀÛgÀzÀ°è CzÀÄ ªÀÄÄj¬ÄvÀÄ?(°Ã¯ÁªÀw: ±ÉÆèÃPÀ 150)

¥ÀjºÁgÀ:

ABAiÀÄÄ 32 Cr GzÀÝzÀ PÀA§ PÀA§ªÀÅ DAiÀÄ°è ªÀÄÄjzÀÄ CAiÀÄ°è £É®PÉÌ vÁVvÀÄ. BC = 16 Cr,AB= BD+DC = 32 Cr ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, DC^2 = DB^2+BC^2= DB^2+16^2= DB^2+256 BD = x, DC = y DVgÀ° x+y =32 -----à(1) y^2 = x^2+256 -----à(2) (1)jAzÀ, x+y =32 y = 32-x yAiÀÄ F ¨É¯ÉAiÀÄ£Àß (2)gÀ°è DzÉò¹, (32 - x)^2= x^2+256 : 32^2+ x^2- 64x = 1024 + x^2- 64x=1024 + x^2- 64x = x^2+256 (JqÀ¨sÁUÀ: (a-b)^2= a^2+ b^2-2ab) 768 = 64x x = 12 PÀA§ªÀÅ £É®¢AzÀ 12 Cr JvÀÛgÀzÀ°è ªÀÄÄj¢zÉ. vÁ¼É: x=12, y = 32-12 = 20: 400 = 20^2 = 144+256 = 12^2+16^2

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå 5:100 ªÉƼÀ JvÀÛgÀ«gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÄgÀzÀ vÀÄ¢¬ÄAzÀ MAzÀÄ PÀ¦AiÀÄÄ PɼÀUÉ E½zÀÄ 200 ªÉƼÀ zÀÆgÀ«gÀĪÀ ¸ÀgÉÆêÀgÀPÉÌ ºÉÆìÄvÀÄ. E£ÉÆßAzÀÄ PÀ¦AiÀÄÄ ªÀÄgÀzÀ vÀÄ¢¬ÄAzÀ ¸Àé®à ªÉÄÃ¯É fVzÀÄ PÀtðzÀ ªÀiÁUÀðªÁV CzÉà ¸ÀgÉÆêÀgÀ£ÀÄß ªÀÄÄnÖvÀÄ. D JgÀqÀÆ PÀ¦UÀ¼ÀÄ MAzÉà zÀÆgÀªÀ£ÀÄß PÀæ«Ä¹zÀÝgÉ JgÀqÀ£Éà PÀ¦AiÀÄÄ JµÀÄÖ JvÀÛgÀ ºÁjvÀÄ JAzÀÄ w½¹.(°Ã¯ÁªÀw: ±ÉÆèÃPÀ 157)

BDAiÀÄÄ 100 Cr JvÀÛgÀ«gÀĪÀ ªÀÄgÀ. CAiÀÄÄ B ¬ÄAzÀ 200 Cr zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ ¸ÀgÉÆêÀgÀ. PÀ¦AiÀÄÄ fVzÀ JvÀÛgÀ x EgÀ°.MAzÀÄ PÀ¦ PÀæ«Ä¹zÀ zÀÆgÀ = DB+BC= 100+200=300 E£ÉÆßAzÀÄ PÀ¦ PÀæ«Ä¹zÀ zÀÆgÀ= DA+AC = x+AC EªÉgÀqÀÆ MAzÉà zÀÆgÀªÀ£ÀÄß PÀæ«Ä¹zÉ JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ. x+AC=300 AC= 300-x AC^2 = (300-x)^2=90000-600x+ x^2 ------- (1) ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, AC^2 = BA^2+BC^2= (100+x)^2+200^2= 10000+200x+x^2+40000 ---------(2) ¸À«ÄÃPÀgÀt 1,2 jAzÀ, 10000+200x+x^2+40000 =90000-600x+ x^2 800x = 40000 x=50 vÁ¼É: AC^2 = (100+50)^2+ 200^2 = 22500+40000 = 625000 = 250^2 100+200 = 50+ 250

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå 6: 9 ªÉƼÀ JvÀÛgÀ«gÀĪÀ PÀA¨sÀzÀ §ÄqÀzÀ°è ºÀÄvÀÛ«zÉ. PÀA¨sÀzÀ vÀÄ¢AiÀÄ°è MAzÀÄ £À«®Ä PÀĽwzÉ. PÀA¨sÀ¢AzÀ, PÀA¨sÀzÀ JvÀÛgÀzÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ zÀÆgÀzÀ°è ºÀÄvÀÛPÉÌ §gÀÄwÛgÀĪÀ ºÁªÀ£ÀÄß £ÉÆÃr CzÀ£ÀÄß w£Àß®Ä £À«®Ä PÀA¨sÀzÀ vÀÄ¢¬ÄAzÀ ºÁgÀÄvÀÛzÉ. CªÉgÀqÀÆ MAzÉà ªÉÃUÀzÀ°è ºÉÆgÀlgÉ ºÀÄvÀÛ¢AzÀ JµÀÄÖ zÀÆgÀzÀ°è CªÉgÀqÀgÀ ¸ÀªÀiÁUÀªÀĪÁUÀĪÀÅzÀÄ(°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 152)

ABAiÀÄÄ 9 ªÉƼÀ JvÀÛgÀzÀ PÀA¨sÀ. A £À°è £À«®Ä PÀĽwzÉ. DAiÀÄÄ PÀA¨sÀ¢AzÀ 27 ªÉƼÀ zÀÆgÀzÀ°è EgÀĪÀ ºÁªÀÅ. £À«®Ä ºÁªÀ£ÀÄß »rAiÀÄ®Ä wæPÉÆãÀzÀ PÀtð ªÀiÁUÀðªÀ£ÀÄß (AC)C£ÀĸÀj¸ÀÄvÀÛzÉ J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. C AiÀÄÄ £À«®Ä ºÁ«£À ªÉÄÃ¯É JgÀUÀĪÀ ¸ÀܼÀ. BC x EgÀ° . CD=27-x £À«®Æ, ºÁªÀÇ MAzÉà ªÉÃUÀzÀ°è EgÀĪÀÅzÀjAzÀ AC=CD. AC=27-x AC^2 = (27-x)^2=729-54x+ x^2------- (1) ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, AC^2 = BA^2+BC^2= (9)^2+x^2= 81+x^2 ---------(2) ¸À«ÄÃPÀgÀt 1,2 jAzÀ, 729-54x+ x^2 =81+x^2 729-81 = 54x x= 648/54=12 vÁ¼É: AC^2 = (27-12)^2 = 9^2 + 12^2 ( 225 = 81+144)

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå 6: MAzÀÄ ¸ÀPÀð¸ï PÀA¥É¤AiÀÄ qÉÃgÉ PÀlÖ®Ä ªÀÄzsÀåzÀ°è 11 «ÄÃlgï JvÀÛgÀzÀ PÀA§ªÀ£Àß £ÉnÖvÀÄ. F PÀA§zÀ §ÄqÀ¢AzÀ 12«Ä. zÀÆgÀzÀ°è ªÀÈvÁÛPÁgÀªÁV 6 «ÄÃlgï JvÀÛgÀzÀ PÉ®ªÀÅ PÀA§UÀ¼À£Àß £ÉlÖgÀÄ. F PÀA§UÀ¼À£Àß vÀÄ¢UÀ¼À£Àß ªÀÄzsÀå PÀA§zÀ vÀÄ¢UÉ PÀnÖzÀgÉ, EzÀPÉÌ ¨ÉÃPÁUÀĪÀ ºÀUÀÎzÀ GzÀݪÀ£Àß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

PÀA§UÀ¼À£Àß £ÉlÖ PÀæªÀĪÀ£Àß ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÉ. BDAiÀÄÄ ªÀÄzsÀåzÀ PÀA§ = 11 «ÄÃlgï, ACAiÀÄÄ DzsÁgÀzÀ PÀA§ = 6 «ÄÃlgï BD PÀA§¢AzÀ AC PÀA§QÌgÀĪÀ zÀÆgÀ: AB = 12 «ÄÃlgï £Á«ÃUÀ DCAiÀÄ GzÀݪÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁVzÉ. C¬ÄAzÀ ABUÉ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj CzÀÄ BDAiÀÄ£Àß EAiÀÄ°è bÉâ¸À°. ABECAiÀÄÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ. CE=12 BE=AC=6 ED=5 CEDAiÀÄÄ MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ. ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, DC^2 = CE^2+ED^2= 12^2+5^2=144+25 =169 = 13^2 CD = 13«Ä. ªÀÄzsÀåzÀ PÀA§PÉÌ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀA§UÀ¼À£Àß PÀlÖ®Ä ¨ÉÃPÁzÀ ºÀUÀÎzÀ GzÀÝ = 13«Ä.

6.13.2 ¸ÀªÀĸÉå7: avÀæzÀ°è ACB = 90⁰ AB=c, BC=a, CDB = 90⁰, CD =p DzÀgÉ1/p² = 1/a² + 1/b² JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB^2 = AC^2+BC^2	ACBAiÀÄ°è ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ
2	c^2 = b^2+a^2
3	(1/2)AB*CD = (1/2)cp	ACBAiÀÄ «¹ÛÃtð(BC ¥ÁzÀ)
4	(1/2)AC*BC = (1/2)ba	ACBAiÀÄ «¹ÛÃtð(AC ¥ÁzÀ)
5	(1/2)cp = (1/2)ba	«¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ MAzÉÃ
6	c = ab/p
7	a^2b^2/ p^2 = b^2+a^2	cAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£Àß 2gÀ°è DzÉò¹zÉ.
8	1/ p^2= (b^2+a^2)/ a^2b^2
9	1/ p^2= 1/a^2+1/b^2

6.13 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀA.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	¥Àæw ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV J¼ÉzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ. (ªÀÄÆ®¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀvÉAiÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ)
2	AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.
3	¸ÀªÀÄgÀÆ¥À wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.
4	®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ°è «PÀtðzÀ ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ.