6.14 ¸Àà²ð¸ÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ (Touching Circles):

¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¸Àà²ð¹zÁUÀ, ¸Àà±Àð©AzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÁUÀvÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: A ªÀÄvÀÄÛ B PÉÃAzÀæªÁVAiÀÄļÀî JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ P ©AzÀÄ«£À°è ¨ÁºÀåªÁV (avÀæ 1 gÀAvÉ) CxÀªÁ CAvÀ¸ÀܪÁV (avÀæ 2 gÀAvÉ) ¸Àà²ð¸À§ºÀÄzÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: A, B ªÀÄvÀÄÛ PUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃR¸ÀÜ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

gÀZÀ£É: ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀ RPQªÀ£É߼ɢzÉ. AP ªÀÄvÀÄÛ BPUÀ¼À£Àß ¸ÉÃjzÉ.

¸ÁzsÀ£É: (¨ÁºÀå ¸Àà±ÀðªÁzÁUÀ)

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	APQ = 90^0=BPQ	RQªÀÅ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ PAiÀÄ°è£À ¸Àà±ÀðPÀ, AP ªÀÄvÀÄÛ BPUÀ¼ÀÄ wædåUÀ¼ÀÄ
2	APQ+BPQ = 180^0	1 jAzÀ
3	APBAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ	2 jAzÀ, A ªÀÄvÀÄÛ B ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ.
A, B ªÀÄvÀÄÛ PUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃR¸ÀÜ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

¸ÁzsÀ£É: (CAvÀ¸ÀÜ ¸Àà±ÀðªÁzÁUÀ)

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AP ªÀÄvÀÄÛ BP UÀ¼ÀÄ MAzÉà gÉÃSÉ RQUÉ ®A§UÀ¼ÀÄ	RQªÀÅ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ PAiÀÄ°è£À ¸Àà±ÀðPÀ, AP ªÀÄvÀÄÛ BPUÀ¼ÀÄ wædåUÀ¼ÀÄ
2	BAiÀÄÄ APAiÀÄ ªÉÄð£À ©AzÀÄ
3	ABPAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ
A, B ªÀÄvÀÄÛ PUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃR¸ÀÜ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

6.14 ¸ÀªÀĸÉå 1: A ªÀÄvÀÄÛ B PÉÃAzÀæªÁVAiÀÄļÀî JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À ¸Àà±Àð©AzÀÄ«£À°è J¼ÉzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ D JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£Àß P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ. AP ªÀÄvÀÄÛ BQ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è A ªÀÄvÀÄÛ B PÉÃAzÀæUÀ¼ÀļÀî JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ M ©AzÀÄ«£À°è ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛªÉ. FUÀ £ÁªÀÅ AP || BQ JAzÀÄ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁVzÉ.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AM=AP	MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ
2	APM = AMP	¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
3	AMP= QMB	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
4	BM=BQ	MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ
5	QMB = BQM	¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
6	APM = BQM	2, 3, 5 jAzÀ,

DzÀgÉ F PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ AP ªÀÄvÀÄÛ BQUÀ¼À£Àß bÉâ¹zÁUÀ GAmÁzÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ, AP || BQ

6.14 ¸ÀªÀĸÉå2: PÉÆnÖgÀĪÀ avÀæzÀ°è ABAiÀÄÄ MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀ. M JA§ÄzÀÄ ABAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ. AB gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É AM ªÀÄvÀÄÛ MBUÀ¼ÀÄ ªÁå¸ÀUÀ¼ÁVgÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ CzsÀðªÀÈvÀÛUÀ¼À£É߼ɢzÉ. ‘O’ PÉÃAzÀæªÁVAiÀÄļÀî MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀÅ F ªÀÄÆgÀÆ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£Àß ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛzÉ. F ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÀÅ (1/6)AB JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

‘O’ PÉÃAzÀæªÁVAiÀÄļÀî ªÀÈvÀÛzÀ wædå x DVgÀ°.

OR=OP =x

AB=a DVgÀ°

CP = CM= a/4, MR=a/2

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	OMCAiÀÄÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ	OM JA§ÄzÀÄ C1ªÀÈvÀÛPÉÌ M£À°è ¸Àà±ÀðPÀ
2	OC^2 = MC^2+OM^2	OMCUÉ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ.
3	JqÀ¨sÁUÀ = (x+(a/4))^2 = x^2+ax/2+ (a^2/16)	OC = OP+PC = x+(a/4)
4	§®¨sÁUÀ = (a^2/16)+ (a^2/4)-ax+ x^2	MC=a/4,OM = MR-OR=a/2-x
5	x^2+ax/2+ (a^2/16) =(a^2/16)+ (a^2/4)-ax+ x^2	JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ
6	3ax/2=(a^2/4)
7	x = a/6 i.e. OP =(1/6)AB

6.14 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: ¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ

(i) ¸ÀªÀĪÁVAiÀÄÆ

(ii) ¨ÁºÀå ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæPÉÌ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÉÆqÀ£É ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ

PÉÆãÀªÀ£Àß ªÀÄvÀÄÛ

(iii) PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀĪÁzÀ PÉÆãÀªÀ£Àß K¥Àðr¸ÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ‘O’ PÉÃAzÀæªÁVAiÀÄļÀî ªÀÈvÀÛPÉÌ PA ªÀÄvÀÄÛ PBUÀ¼ÀÄ P ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ:

(i) PA=PB

(ii) APO= BPO

(iii) AOP= BOP

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	OA = OB	MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ
2	OAP= OBP= 90^0	PA ªÀÄvÀÄÛ PBUÀ¼ÀÄ A ªÀÄvÀÄÛ BUÀ¼À°è ¸Àà±ÀðUÀ¼ÀÄ, AO ªÀÄvÀÄÛ BOUÀ¼ÀÄ wædåUÀ¼ÀÄ.
3	OPAiÀÄÄ AOP ªÀÄvÀÄÛ BOPUÀ½UÉ G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ.
4	AOP BOP	®A.PÀ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	PA=PB	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
6	APO= BPO	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
7	AOP= BOP	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ

6.14 ¸ÀªÀĸÉå 3: avÀæzÀ°è£À XY ªÀÄvÀÄÛ PCUÀ¼ÀÄ 2 ¸Àà²ð¸ÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ.

XPY = 90 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	CX= CP	CX ªÀÄvÀÄÛ CPUÀ¼ÀÄ C ©AzÀÄ«¤AzÀ C1ªÀÈvÀÛPÉÌ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ.
2	CXP =CPX =x^0	CXPAiÀÄ°è 2 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
3	CY =CP	CY ªÀÄvÀÄÛ CPUÀ¼ÀÄ C ©AzÀÄ«¤AzɼÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ.
4	PYC =CPY =y^0	2 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
5	CXP + XPC + CPY +PYC = 180^0	PXYAiÀÄ J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
6	i.e. x^0+x^0+y^0+y^0= 180^0
7	2(x^0+y^0)= 180^0
8	i.e. (x^0+y^0) =XPY = 90^0

6.14 ¸ÀªÀĸÉå 4: avÀæzÀ°è£À ªÀÈvÀÛPÉÌ ¨ÁºÀå©AzÀÄ P¬ÄAzÀ PQ ªÀÄvÀÄÛ PR ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£É߼ɢzÉ. PQR = 60⁰ DzÀgÉ, eÁå QR£À GzÀݪÀÅ ¸Àà±ÀðPÀzÀ GzÀÝPÉÌ ¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	PQ=PR	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
2	PQR =PRQ	PQ ªÀÄvÀÄÛ PRUÀ¼ÀÄ P¬ÄAzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ.
3	PQR =60^0	2 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
4	PQR =PRQ = 60^0	zÀvÀÛ
5	PQR MAzÀÄ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæPÉÆãÀ	2 jAzÀ
6	PQ=PR=QR

6.14 ¸ÀªÀĸÉå5: avÀæzÀ°è PQ ªÀÄvÀÄÛ PRUÀ¼ÀÄ O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄQPR= 90⁰ DzÀgÉ PQOR MAzÀÄ ªÀUÀð JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	OQP= 90^0 =ORP	PQ ªÀÄvÀÄÛ PRUÀ¼ÀÄ P¬ÄAzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ.
2	QPR=90^0	zÀvÀÛ
3	OQ || PR
4	QOR =360^0-OQP-QPR -ORP = 360^0-90^0-90^0-90^0= 90^0
5	OR || QP
6	PQOR MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd	OQ=OR (wædåUÀ¼ÀÄ)
7	PQOR MAzÀÄ ªÀUÀð

6.14 ¸ÀªÀĸÉå 6: O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ AT ªÀÄvÀÄÛ BTUÀ¼ÀÄ T ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ TP=TQ DUÀĪÀAvÉ E£ÉÆßAzÀÄ ¸Àà±ÀðPÀ PQªÀ£Àß J¼É¢zÉ.TAB ||| TPQ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AT=BT	TA, TBUÀ¼ÀÄ T ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ
2	TAB=TBA	2 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
3	PT=QT	TP ªÀÄvÀÄÛ TQ T ©AzÀÄ«¤AzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ
4	TPQ=TQP	2 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
5	ATB= 180^0- (TAB+TBA) = 180^0- 2TAB	TABAiÀÄ°è 3 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ= 180^0
6	ATB= 180^0- (TPQ+TQP) = 180^0- 2TPQ	TPQAiÀÄ°è 3 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ= 180^0
7	TAB =TPQ	5 ªÀÄvÀÄÛ 6gÀ §®¨sÁUÀ ºÉÆð¹.
8	TAB =TPQ=TQP =TBA	7, 4, 2 jAzÀ
9	TAB ||| TPQ	wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀĪÁVªÉ.

6.14 ¸ÀªÀĸÉå 7: PÉÆlÖ avÀæzÀ°è A,B,C ¨ÁºÀå ©AzÀÄUÀ½AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼À£ÀÄß J¼É¢zÉ.

AP+BQ+CR =BP+CQ+AR C®èzÉ AP+BQ+CR = 1/2 *ABC AiÀÄ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.ªÀÄvÀÄÛ AB=AC DzÀgÉ, BQ=QC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	PA=AR	A ¬ÄAzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ
2	BQ=BP	B¬ÄAzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ
3	CR=CQ	C¬ÄAzÀ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ
4	PA+BQ+CR =AR+BP+CQ	1+2+ 3jAzÀ
5	AB=AP+PB, BC=BQ+QC,AC=AR+RC
6	AB+BC+AC = PA+BQ+CR +AR+BP+CQ
7	= 2 (AP+BQ+CR) = ABCAiÀÄ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ
8	AB=AC	zÀvÀÛ
9	AP+PB=AR+RC
10	PB=RC	1 ªÀÄvÀÄÛ 9 jAzÀ
11	BQ=CQ	2,10 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ

6.14 ¸ÀªÀĸÉå 8: avÀæzÀ°è TP ªÀÄvÀÄÛ TQUÀ¼ÀÄ ‘O’ PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ DzÀgÉ

1. OTAiÀÄÄ PQzÀ ®A§¢é¨sÁdPÀ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

2. PTQ =2OPQ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
TPR ªÀÄvÀÄÛ TQRUÀ¼À°è
1	TP=TQ, PTR=QTR	6.14 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ (TP, TQUÀ¼ÀÄ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ)
2	TR ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ
3	TPR TQR	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
4	PR=RQ and PRT =QRT
5	PRT = 90^0	4 jAzÀ
6	PTR +RPT = 90^0	®A§PÉÆãÀ PRTAiÀÄ°è ®A§PÉÆãÀ ©lÄÖ G½zÉgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
7	OPT = 90^0=OPR+RPT	PT ¸Àà±ÀðPÀ OP wædå P = 90^0
8	PTR =OPR	6 ªÀÄvÀÄÛ7
9	PTQ = 2 PTR	1jAzÀ
10	= 2 OPR	8 jAzÀ

6.14 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀA.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	¨ÁºÀå ©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÈvÀÛPÉÌ J¼ÉzÀ ¸Àà±ÀðPÀUÀ¼ÀÄ -¸ÀªÀĪÁVAiÀÄÆ -¨ÁºÀå ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæPÉÌ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÉÆqÀ£É ¸ÀªÀĪÁzÀ PÉÆãÀªÀ£Àß ªÀÄvÀÄÛ -PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀĪÁzÀ PÉÆãÀªÀ£Àß K¥Àðr¸ÀÄvÀÛªÉ.