6.15 WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ (Solid figures):

£ÀªÀÄä zÉÊ£ÀA¢£À ªÀåªÀºÁgÀzÀ°è £ÀªÀÄUÉ JzÀÄgÁUÀĪÀ PɼÀUÉ PÁt¹gÀĪÀ ¸ÀªÁ®ÄUÀ½UÉ GvÀÛgÀ«zÉAiÀiÁ J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß E°è PÀ°AiÀÄÄvÉÛêÉ.

1. MAzÀÄ ºÁ°£À/¥ÉmÉÆæïï mÁåAPï£À°è JµÀÄÖ °Ãlgï ºÁ®Ä/¥ÉmÉÆæÃ¯ï »r¸ÀÄvÀÛzÉ?

2. §vÀÛzÀ/gÁVAiÀÄ/eÉÆüÀzÀ/ªÀÄgÀ½£À/d°è PÀ°è£À gÁ²AiÀÄ£ÀÄß £É®zÀ ªÀÄzsÀåzÀ°è, UÉÆÃqÉUÉ vÁV, UÉÆÃqÉAiÀÄ MAzÀÄ ªÀÄƯÉAiÀÄ°è UÀÄqÉØ ºÁQzÁUÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ?

3. MAzÀÄ PÀA¨sÀPÉÌ §tÚ ºÁPÀ®Ä JµÀÄÖ °Ãlgï §tÚ ¨ÉÃPÀÄ ºÁUÀÆ JµÀÄÖ PÀÆ° PÉÆqÀ¨ÉÃPÀÄ.

4. MAzÀÄ qÉÃgÉAiÀÄ£ÀÄß(mÉAmï) PÀlÖ®Ä JµÀÄÖ §mÉÖ ¨ÉÃPÀÄ?

5. ¨sÀÆ«ÄAiÀÄ UÁvÀæ, ¨sÁgÀ JµÀÄÖ?

6.15.1 ¹°AqÀgï(Cylinder)

¹°AqÀj£À ºÉÆgÀªÉÄÊ «¹ÛÃtð:

¤ÃªÀÅ ¤vÀå fêÀ£ÀzÀ°è ¤Ãj£À ¥ÉÊ¥ÀÅUÀ¼ÀÄ, gÉÆÃqï gÉÆîgï£À ZÀPÀæUÀ¼ÀÄ, PÀ©âtzÀ ¸ÀgÀ¼ÀÄ, ¨Á«, EªÀÅUÀ¼À£É߯Áè £ÉÆÃr¢ÝÃj. EªÀÅUÀ¼É¯Áè ¹°AqÀgï£À DPÁgÀzÀ°èªÉ. CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¥ÉÊ¥ÀÅUÀ¼À jÃw mÉƼÁîVgÀ§ºÀÄzÀÄ, gÉÆÃqïgÉÆîgï ZÀPÀæzÀAvÉ WÀ£ÀªÀ¸ÀÄÛªÀÇ DVgÀ§ºÀÄzÀÄ. CªÉ®èªÀÅUÀ½UÀÆ JgÀqÀÄ §¢UÀ¼À°è ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ (¸ÀªÀÄvÀ®) EgÀÄvÀÛzÉ.

¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è AB AiÀÄÄ ¹°AqÀj£À CPÀë. PQ ªÀÅ ¹°AqÀj£À JvÀÛgÀ AP ªÀÄvÀÄÛ BQ (AP=BQ)UÀ¼ÀÄ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ªÉÄïÉäöÊUÀ¼À wædåUÀ¼ÀÄ.

£ÉÃgÀ ¹°AqÀj£À ®PÀëtUÀ¼ÀÄ:

1. EªÀÅUÀ½UÉ JgÀqÀÄ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ(ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ PɼÀUÉ) ¸ÀªÀÄvÀ®UÀ½ªÉ. 2. JgÀqÀÄ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¸ÀªÀÄvÀ®UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ. 3. JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ® ªÉÄïÉäöÊAiÀÄ£Àß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ ªÀPÀægÉÃSÉAiÀÄÄ ¹°AqÀgï£À ¥Á±Àéð ªÉÄïÉäöÊ DVgÀÄvÀÛzÉ. 4. JgÀqÀÄ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¸ÀªÀÄvÀ®UÀ¼À PÉÃAzÀæ ©AzÀĪÀ£Àß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ¹°AqÀgï£À CPÀëªÁVgÀÄvÀÛzÉ. 5. ªÀÈvÀÛ¥ÁzÀ ¹°AqÀgï£À ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊAiÀÄ J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¹°AqÀgï£À CPÀë¢AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°è EgÀÄvÀÛªÉ. 6. ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¸ÀªÀÄvÀ®UÀ¼À wædåªÀÅ D ¹°AqÀgï£À wædå DVgÀÄvÀÛzÉ. FUÀ ªÉÄð£À ¹°AqÀgï£À ºÉÆgÀ ¥ÀzÀgÀªÀ£Àß PÀvÀÛj¹, ©r¹zÁUÀ avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÀAvÉ ABCD DAiÀÄvÀ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. F DAiÀÄvÀzÀ CUÀ® = ¹°AqÀgï£À GzÀÝ (JvÀÛgÀ) (AB=h). DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ = ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ vÀ¼ÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ: P =2r ¹°AqÀj£À ¥Á±Àéð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtð =GzÀÝ*CUÀ®= P*h = 2 r *h =2rh ¹°AqÀgï£À ¥ÀÇtð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ (ªÉÄïÁãUÀ) «¹ÛÃtð+ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð+ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ (PɼÀ¨sÁUÀ)«¹ÛÃtð = r^2+2rh+r^2 = 2r^2+2rh =2r(r+h) ZÀzÀgÀ ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ

¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÀÄ®¨sÀªÁUÀĪÀAvÉ £ÁªÀÅ =22/7 JAzÀÄ(CAzÁdÄ) vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîvÉÛêÉ.

6.15.1 ¸ÀªÀĸÉå1: MAzÀÄ ¨sÀªÀ£ÀzÀ°è 3.5 «Ä. JvÀÛgÀ«gÀĪÀ 12 ¸ÀÛA¨sÀUÀ½ªÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀÛA¨sÀzÀ ¥Àj¢üAiÀÄÄ 50 ¸É.«Ä. DVgÀÄvÀÛzÉ. ¸ÀÛA¨sÀUÀ¼À ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊUÀ½UÉ §tÚ ºÀZÀÑ®Ä ZÀ.«Ä.UÉ 25gÀÆ.£ÀAvÉ vÀUÀ®ÄªÀ RZÉðµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ:

£Á«ÃUÀ ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀ®Ä J¯Áè C¼ÀvÉUÀ¼À£Àß «ÄÃlgï£À°èAiÉÄà vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÁ. ¸ÀÛA¨sÀzÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = Ph = 0.5*3.5 = 7/4 ZÀ.«Ä. 12 ¸ÀÛA¨sÀUÀ¼À MlÄÖ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = 12*7/4 = 21 ZÀ.«Ä. §tÚ ºÀZÀÑ®Ä vÀUÀ®ÄªÀ RZÀÄð = («¹ÛÃtð *zÀgÀ) =21*25 = 525 gÀÆ.UÀ¼ÀÄ.

6.15.1 ¸ÀªÀĸÉå 2: ¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ DlzÀ ªÉÄÊzÁ£ÀªÀ£Àß ¸ÀªÀÄvÀlÄÖ ªÀiÁqÀ®Ä 70¸É.«Ä. ªÁå¸ ªÀÄvÀÄÛ 1 «ÄÃlgï GzÀÝzÀ gÉÆîgÀ£Àß G¥ÀAiÉÆÃV¹zÉ. DlzÀ ªÉÄÊzÁ£ÀªÀ£Àß MAzÀÄ ¨Áj PÀæ«Ä¸À®Ä 200 ¥ÀÇtð ¸ÀÄvÀÄÛUÀ¼À£Àß ºÁQzÀgÉ, ªÉÄÊzÁ£ÀzÀ «¹ÛÃtð JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ:

gÉÆîgï£À wædå= 35¸É.«Ä.= 0.35 «Ä.( d=2r =70) gÉÆîgï£À ¥Á±ÀéðªÉÄïÉåöÊ «¹ÛÃtð = 2rh = 2*(22/7)*.35*1 = 44*.05 = 2.2 ZÀ.«Ä. gÉÆîgï 200 ¸ÀÄvÀÄÛ ºÁPÀĪÀÅzÀjAzÀ, ªÉÄÊzÁ£ÀzÀ MlÄÖ «¹ÛÃtð= 200*2.2 = 440 ZÀ.«Ä.

6.15.1 ¸ÀªÀĸÉå 3: MAzÀÄ ¥ÉmÉÆæïï mÁåAPÀgÀ£Àß ¯ÉÆúÀzÀ ºÁ¼É G¥ÀAiÉÆÃV¹ vÀAiÀiÁj¸À¯ÁVzÉ. mÁåAPÀj£À GzÀÝ 2.6 «ÄÃlgï ªÀÄvÀÄÛ ¹°AqÀgÁPÁgÀzÀ mÁåAPÀj£À wædå 140¸É.«Ä. DzÀgÉ F mÁåAPÀj£À vÀAiÀiÁj¸À®Ä JµÀÄÖ ZÀzÀgÀ «ÄÃlgï ¯ÉÆúÀzÀ ºÁ¼É ¨ÉÃPÀÄ?

¥ÀjºÁgÀ:

mÁåAPÀgÀ£Àß J¯Áè §¢UÀ¼À°èAiÀÄÆ ªÀÄÄaÑgÀĪÀÅzÀjAzÀ £ÁªÀÅ CzÀgÀ ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = 2r(r+h) = 2*(22/7)*1.4*(1.4+2.6) = 2*22*.2*4 = 35.2 ZÀ.«Ä.

¹°AqÀj£À WÀ£À¥sÀ®

£ÀªÀÄVÃUÁ¯Éà w½¢gÀĪÀAvÉ, MAzÀÄ WÀ£ÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = GzÀÝ*CUÀ®*JvÀÛgÀ =(vÀ¼ÀzÀ «¹ÛÃtð)*JvÀÛgÀ EzÉà jÃw ¹°AqÀgï£À WÀ£À¥sÀ® = (vÀ¼ÀzÀ «¹ÛÃtð)*JvÀÛgÀ = (ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ «¹ÛÃtð)*JvÀÛgÀ= (r^2)*h = r^2h WÀ£ÀªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ

£É£À¦r:- UÁvÀæªÀ£Àß AiÀiÁªÁUÀ®Æ WÀ£ÀªÀiÁ£ÀzÀ°èAiÉÄà ºÉüÀ¨ÉÃPÀÄ.

6.15.1 ¸ÀªÀĸÉå4: ¤ÃªÀÅ gÀ¸ÉÛAiÀÄ°è ºÉÆÃUÀĪÁUÀ ¥ÉmÉÆæïï mÁåAPÀgï£À £ÉÆÃr¢ÝÃj. CzÀgÀ ¸ÁªÀÄxÀåðªÀ£Àß CzÀgÀ ªÉÄÃ¯É §gÉ¢gÀÄvÁÛgÉ.

mÁåAPÀj£À ¸ÁªÀÄxÀåð = ?? °Ãlgï ªÀÄvÀÄÛ mÁåAPÀj£À GzÀÝ = ? «ÄÃlgïUÀ¼ÁzÀgÉ, mÁåAPÀj£À ªÁå¸ÀªÀ£Àß «ÄÃlgï UÀ¼À°è PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ: mÁåAPÀgï £À C¼ÀvÉ vÉUÉzÀÄ ¤ÃªÉà ªÀiÁr.

6.15.1 ¸ÀªÀĸÉå 5: M§â ¥ÉÊAmï vÀAiÀiÁgÀPÀ£ÀÄ ¥ÉÊAl£Àß 14¸É.«Ä. ªÁå¸ÀzÀ 1 °Ãlgï£À qÀ§âzÀ°è vÀÄA©¸ÀÄvÁÛ£É. CªÀ£À zÁ¸ÁÛ£ÀÄ PÉÆÃuÉAiÀÄ JvÀÛgÀ 3.245 «Ä. DzÀgÉ MAzÀgÀ ªÉÄÃ¯É MAzÀgÀAvÉ JµÀÄÖ qÀ§âUÀ¼À£Àß eÉÆÃr¸À§ºÀÄzÀÄ?

¥ÀjºÁgÀ:

ªÉÆzÀ®Ä £Á«ÃUÀ qÀ§âzÀ JvÀÛgÀªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ qÀ§âzÀ ªÁå¸À = 14¸É.«Ä. wædå = 7cm qÀ§âzÀ UÁvÀæ= r^2h = (22/7)7*7*h = 154h qÀ§âzÀ UÁvÀæ 1 °Ãlgï JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ. 1 °Ãlgï = 1000WÀ.¸É.«Ä. 154h =1000 h =6.49¸É.«Ä. zÁ¸ÁÛ£ÀÄ PÉÆÃuÉAiÀÄ JvÀÛgÀ = 3.245 «Ä. MAzÀgÀ ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ EqÀ §ºÀÄzÁzÀ qÀ§âUÀ¼ÀÄ =3.245*100/6.49 = 50

6.15.1 ¸ÀªÀĸÉå 6: MAzÀÄ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¨Á«AiÀÄ°è 7 «Ä. JvÀÛgÀzÀªÀgÉUÉ ¤ÃgÀÄ ¸ÀAUÀæºÀªÁVzÉ. ¨Á«AiÀÄ ªÁå¸À 10 «Ä. EzÀÝgÉ, ¨Á«AiÀÄ°è ¸ÀAUÀæºÀªÁzÀ ¤Ãj£À ¥ÀæªÀiÁt JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ:

¨Á«AiÀÄ ªÁå¸À 10 «Ä. CzÀgÀ wædå = r = 5 «Ä. ¤Ãj£À UÁvÀæ= r^2h = (22/7)*5^2*7 = 22*25 = 550 WÀ.«Ä. = 5, 50,000 °Ãlgï ( 1WÀ.«Ä.= 100*100*100 WÀ.¸É.«Ä., 1000WÀ.¸É.«Ä. = 1 °Ãlgï )

6.15.2 ±ÀAPÀÄ(Circular cones):

±ÀAPÀÄ«£À ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð(Surface Area of Cone)

zsÁ£ÀåzÀ gÁ², ªÀÄgÀ½£À gÁ², L¸ïQæÃA PÀ¥ï EvÁå¢UÀ¼ÀÄ ±ÀAPÀÄ«£À ¥ÀjPÀ®à£É ªÀÄÆr¸ÀÄvÀÛªÉ.

¹°AqÀgï£ÀAvÉ E°èAiÀÄÆ PÀÆqÁ £ÁªÀÅ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð ªÀÄvÀÄÛ WÀ£À¥sÀ®UÀ¼À£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ PÀæªÀÄUÀ¼À£Àß £ÉÆÃqÀĪÁ.

¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è ±ÀAPÀĪÀ£Àß vÉÆÃj¹zÉ.

±ÀAPÀÄ«£À ®PÀëtUÀ¼ÀÄ:

1. ±ÀAPÀĪÀÅ MAzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¸ÀªÀÄvÀ®ªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ, CzÀgÀ wædå = OC =r 2. ±ÀAPÀÄ«£À CPÀë (A) ªÀÄvÀÄÛ NgÉ JvÀÛgÀ (AC) ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀ ©AzÀĪÉà ±ÀÈAUÀ ©AzÀÄ A (CA=l) 3. ¥ÁzÀzÀ PÉÃAzÀæ ©AzÀĪÀ£Àß ±ÀÈAUÀPÉÌ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ±ÀAPÀÄ«£À JvÀÛgÀ (OA=h) 4. ¥ÁzÀzÀ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ CAZÀ£Àß ±ÀÈAUÀ ©AzÀÄ«UÉ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ ªÀPÀæ ªÉÄïÉäöÊAiÀÄÄ ±ÀAPÀÄ«£À ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ DVgÀÄvÀÛzÉ.

MAzÀÄ ±ÀAPÀĪÀ£Àß £ÉÃgÀªÁV PɼÀV£À avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÀAvÉ PÀvÀÛj¹ ©r¹zÀgÉ, £ÀªÀÄUÉ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ RAqÀ ¹UÀÄvÀÛzÉ.

JqÀUÀqÉ avÀæzÀ°è£À APQ ±ÀAPÀÄ«£À NgÉ JvÀÛgÀ(l)zÀµÀÄÖ wædå¢AzÀ J¼ÉzÀ ªÀÈvÀÛ RAqÀUÀ¼À£ÀÄß §®UÀqÉ avÀæzÀ°èPÉÆqÀ¯ÁVzÉ. APQ ±ÀAPÀĪÀÅ, Cwà aPÀÌ wæPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß(AX1X2, AX2X3,,AX3X4, …..) MlÄÖ ¸ÉÃj¹zÁUÀ GAmÁzÀÄzÀÄJAzÀÆ ¨sÁ«¸À§ºÀÄzÀÄ.. X1X2, X2X3, X3X4 UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À®è¢zÀÝgÀÆ, APQªÀ£Àß Cwà aPÀÌ aPÀÌ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁrzÁUÀ, CªÀÅUÀ¼À£Àß ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼ÉAzÉà PÀ°à¸À§ºÀÄzÀÄ. DUÀ CªÀÅUÀ¼ÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À ¥ÁzÀUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ. AX1X2zÀ «¹ÛÃtð= (1/2)*¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ=(1/2)*¥ÁzÀ*l ±ÀAPÀÄ«£À ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = aPÀÌ aPÀÌ wæPÉÆãÀUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = (1/2)*B1l +(1/2)*B2l+(1/2)*B3l+ …….+(1/2)*B1l= (1/2)l [B1+ B2+ B3+ ………+ Bn] DzÀgÉ [B1+ B2+ B3+ ………+ Bn] = ±ÀAPÀÄ«£À ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = 2r ±ÀAPÀÄ«£À ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð =(1/2) l *2r= rl ±ÀAPÀÄ«£À ¥ÀÇtð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = ªÀÈvÀÛ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð+ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = r^2 +rl=r(r+l)

±ÀAPÀÄ«£À°è ¥ÁzÀ, JvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ NgÉ JvÀÛgÀUÀ½gÀĪÀ ¸ÀA§AzsÀ:

§®§¢AiÀÄ avÀæªÀ£Àß UÀªÀĤ¹. ±ÀAPÀÄ«£À ¥ÁzÀzÀ wædå = r DVgÀ°. ±ÀAPÀÄ«£À JvÀÛgÀ = h DVgÀ°. NgÉ JvÀÛgÀ = l DVgÀ° ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, l^2= h^2+r^2

6.15.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: ±ÀAPÀÄ«£ÁPÀÈwAiÀÄ qÉÃgÉAiÀÄ£Àß ªÀÄzsÀåzÀ°è 28 «ÄÃlgï PÀA§¢AzÀ DzsÀj¹ gÀa¸À¯ÁVzÉ. qÉÃgÉAiÀÄ vÀ¼ÀzÀ ªÁå¸À 42 «ÄÃlgï EzÀÝgÉ, ZÀ.«Ä.UÉ 20gÀÆ.£ÀAvÉ qÉÃgÉUÉ §¼À¹zÀ PÁå£Áé¸ï §mÉÖAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£Àß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

E°è r=21«Ä.( d=2r =42): h=28 £Á«ÃUÀ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð £ÉÆÃqÀ¨ÉÃPÁVzÉ. CzÀPÉÌ £ÀªÀÄUÉ qÉÃgÉAiÀÄ NgÉ JvÀÛgÀ ¨ÉÃPÀÄ. NgÉ JvÀÛgÀªÀÅ ¥ÁzÀzÀ wædåªÀÅ ¥ÁzÀªÁVzÀÄÝ JvÀÛgÀªÀÅ E£ÉÆßAzÀÄ ¨ÁºÀĪÁVgÀĪÀ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ «PÀtðªÁVgÀÄvÀÛzÉ. ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ,(«PÀtð)^2= (¥ÁzÀ)^2+(JvÀÛgÀ)^2= (21)^2+(28)^2= 441+784 =1225 =(35)^2 NgÉJvÀÛgÀ = l = 35 «ÄÃlgï qÉÃgÉAiÀÄ ¥Á±ÀéðªÉÄïÉåöÊ «¹ÛÃtð=rl =(22/7)*21*35 = 22*3*35 =2310 ZÀ.«Ä. PÁå£Áé¸ï §mÉÖAiÀÄ ¨É¯É = «¹ÛÃtð*zÀgÀ= 2310*20 = 46,200 gÀÆ.UÀ¼ÀÄ

6.15.2 ¸ÀªÀĸÉå2: ¥ÁzÀzÀ ªÁå¸À 12 «ÄÃlgï, NgÉ JvÀÛgÀ 8 «ÄÃlgï EgÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ±ÀAPÀÄ«£ÁPÁgÀzÀ UÉÆÃ¥ÀÅgÀªÀ£Àß ¯ÉÆúÀzÀ ºÁ¼É G¥ÀAiÉÆÃV¹ ªÀiÁqÀ®Ä MAzÀÄ PÁSÁð£ÉUÉ w½¸À¯Á¬ÄvÀÄ.

EzÀPÉÌ ¨ÉÃPÁUÀĪÀ ¯ÉÆúÀzÀ ºÁ¼ÉAiÀÄ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

E°è r=6( d=2r =12), l=8 ±ÀAPÀÄ«£À ¥ÀÇtðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð =r(r+l) = (22/7)*6*(6+8) = (22/7)*6*14 = 22*6*2 =264 ZÀ.«Älgï

±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ® (UÁvÀæ)(Volume of Cone):

¥ÀjÃPÉë ªÀÄvÀÄÛ C¼ÀvÉUÀ½AzÀ £ÀªÀÄUÉ w½zÀÄ §gÀĪÀ «µÀAiÀĪÉãÉAzÀgÉ, MAzÀÄ ¹°AqÀgï ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ±ÀAPÀÄ EªÀÅUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ªÀÈvÀÛ ¥ÁzÀªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ MAzÉà JvÀÛgÀzÀªÀÅUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, ¹°AqÀj£À WÀ£À¥sÀ® ±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ® ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ. ±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ® = (1/3)*¹°AqÀj£À WÀ£À¥sÀ® = (1/3)* (r^2)h WÀ£À ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ ( ¹°AqÀgï £À UÁvÀæ =r^2h) = (1/3)* (¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð)*h

6.15.2 ¸ÀªÀĸÉå 3: M§â PÁSÁð£ÉAiÀÄ PÉ®¸ÀUÁgÀ¤UÉ 3.5¸É.«Ä. wædå«gÀĪÀ MAzÀÄ «ÄÃlgï GzÀÝzÀ ¹°AqÀgÁPÁgÀzÀ ¯ÉÆúÀzÀ PÀrØAiÀÄ£Àß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ. CªÀ£ÀÄ CzÀ£Àß PÀgÀV¹, 1¸É.«Ä. wædåzÀ, 2.1 ¸É.«Ä. JvÀÛgÀzÀ ±ÀAPÀÄ«£ÁPÀÈwUÀ¼À£Àß ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁVzÉ. CªÀ£ÀÄ JµÀÄÖ ±ÀAPÀÄUÀ¼À£Àß ªÀiÁqÀ§®è?

¥ÀjºÁgÀ:

¹°AqÀgÁPÁgÀzÀ PÀrØAiÀÄ wædå = r=3.5¸É.«Ä. JvÀÛgÀ (GzÀÝ) h=100¸É.«Ä. ¹°AqÀj£À WÀ£À¥sÀ® = r^2h = (22/7)*3.5*3.5*100 = 22*3.5*.5*100 =3850WÀ.¸É.«Ä. ¹°AqÀgï £À PÀgÀV¹ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁzÀ ±ÀAPÀÄ«£À C¼ÀvÉ (E°è r=1, h=2.1) DVzÉ. vÀAiÀiÁj¸À¨ÉÃPÁzÀ ±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ® = (1/3)* r^2h = (1/3)*(22/7)*1*1*2.1 = 22*.1 =2.2WÀ.¸É.«Ä. vÀAiÀiÁj¸À§®è ±ÀAPÀÄUÀ¼ÀÄ = (PÀgÀV¹zÀ ¯ÉÆúÀzÀ UÁvÀæ)/±ÀAPÀÄ«£À UÁvÀæ= 3850/2.2 = 1750

6.15.2 ¸ÀªÀĸÉå 4: M§â gÉÊvÀ£ÀÄ vÁ£ÀÄ ¨É¼ÉzÀ zsÁ£ÀåªÀ£Àß MAzÀÄ gÁ² ºÁQzÀ£ÀÄ. D gÁ²AiÀÄ NgÉ JvÀÛgÀ 35 Cr. vÀ¼ÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 132 Cr. CªÀ£ÀÄ zsÁ£ÀåªÀ£Àß CzÀgÀ UÁvÀæPÀÌ£ÀÄUÀÄtªÁV ªÀiÁjzÀgÉ. D gÁ²AiÀÄ DPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ UÁvÀæ PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

gÁ²AiÀÄ DPÁgÀ ±ÀAPÀÄ DPÁgÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. FUÀ F ±ÀAPÀÄ DPÀÈwAiÀÄ gÁ²AiÀÄ UÁvÀæ (WÀ£À¥sÀ®) PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÁVzÉ. vÀ¼ÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ ªÀÄvÀÄÛ gÁ²AiÀÄ NgÉ JvÀÛgÀ PÉÆnÖzÁÝgÉ. WÀ£À¥sÀ®ªÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä £ÀªÀÄUÉ wædå ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀ ¨ÉÃPÀÄ. ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ (¥Àj¢ü) = 2r r = (¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ)/ 2 = 132*7/(2*22) = 3*7 = 21 Cr NgÉ JvÀÛgÀ: l^2=h^2- r^2 h^2=l^2- r^2= (35)^2-(21)^2= 1225-784=441 =(28)^2 JvÀÛgÀ = h = 28 Cr ±ÀAPÀÄ DPÀÈwAiÀÄ gÁ²AiÀÄ WÀ£À¥sÀ® = (1/3)* (r^2)h = (1/3)*(22/7)*21*21*28= 22*21*28 = 12,936 WÀ£À CrUÀ¼ÀÄ

6.15.2 ¸ÀªÀĸÉå 5: UÉÆÃqÉAiÀÄ ¥ÀPÀÌzÀ°ègÀĪÀ zsÁ£Àå gÁ²AiÀÄ ¥Àj¢ü 30, M¼À PÉÆãÀzÀ°ègÀĪÀ gÁ²AiÀÄzÀÄ 15, ºÉÆgÀUÀqÉ 45 ºÀ¸ÀÛ UÀ¼ÁVzÀÄÝ JvÀÛgÀ 6 ºÀ¸ÀÛUÀ¼ÁzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À UÁvÀæUÀ¼À£ÀÄß ºÉüÀÄ(°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 237)

¥ÀjºÁgÀ:

gÁ²AiÀÄ DPÁgÀ ±ÀAPÀÄ DPÁgÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

zsÁ£ÀåzÀ gÁ²UÀ¼À ¥ÁzÀ ªÀÈvÀÛzÀ ¨sÁUÀªÁVzÀÄÝ CªÀÅUÀ¼À wædå PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÀÄ.CªÀÅ J®èªÀÇ 60 ºÀ¸ÀÛ ¥Àj¢ü EgÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ CzsÀð, PÁ®Ä ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÄPÁÌ®Ä ¥ÁzÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. 2r = 60 , =3 DzÀgÉ, r = 60/6 = 10 ±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ® =(1/3)* (¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð)*h: JvÀÛgÀ=6 30 ¥Àj¢ü EgÀĪÀ gÁ²AiÀÄ UÁvÀæ = {1/2}*(1/3)*(r^2)*h= (1/6)*3*10^2*6 = 300 15 ¥Àj¢ü EgÀĪÀ gÁ²AiÀÄ UÁvÀæ = {1/4}*(1/3)*(r^2)*h= (1/12)*3*10^2*6 = 150 45 ¥Àj¢ü EgÀĪÀ gÁ²AiÀÄ UÁvÀæ = {3/4}*(1/3)*(r^2)*h= (3/12)*3*10^2*6 = 450

6.15.3 UÉÆüÀ(Sphere)

PÁ¯ÉÑAqÀÄ, QæPÉmï ¨Á¯ï, PÀ©âtzÀ UÀÄAqÀÄ EªÉ¯Áè UÉÆüÀUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ.

UÉÆüÀzÀ ®PÀëtUÀ¼ÀÄ:

1. UÉÆüÀzÀ°è MAzÀÄ PÉÃAzÀæ(O)«zÉ. 2. UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊAiÀÄ ªÉÄð£À J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼ÀÆ PÉÃAzÀæ¢AzÀ MAzÉà zÀÆgÀzÀ°èªÉ. 3. F ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀªÉà UÉÆüÀzÀ wædåªÁVzÉ. 4. PÉÃAzÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®ªÀÅ UÉÆüÀªÀ£Àß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀªÀÇ CzsÀðUÉÆüÀ.

UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð(Surface area of sphere):

¥ÀjÃPÉëUÀ½AzÀ ªÀÄvÀÄÛ C¼ÀvÉUÀ½AzÀ £ÁªÀÅ wêÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÉãÉAzÀgÉ, MAzÀÄUÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtðªÀÅ UÉÆüÀzÀ ªÁå¸ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ(avÀæzÀ°è ºÀ¼À¢ §tÚ) ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ «¹ÛÃtðzÀ £Á®ÌgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ. UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = 4 r^2 ZÀ.ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ (ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ «¹ÛÃtð = ªÀÈvÀÛzÀ «¹ÛÃtð= r^2)

PÀÄvÀƺÀ®zÀ «µÀAiÀĪÉãÉAzÀgÉ, MAzÀÄ UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtðªÀÅ D UÉÆüÀªÀÅ »r¸À®àqÀĪÀ ¹°AqÀj£À ¥Á±ÀéðªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtðPÉÌ ¸ÀªÀÄ. (avÀæ £ÉÆÃr) ¹°AqÀj£À ¥Á±Àéð ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð =2rh = 2r*2r = 4 r^2 ( 6.15.1 £ÉÆÃr) (¹°AqÀgï £À JvÀÛgÀ= h = UÉÆüÀzÀ ªÁå¸À = 2r)

6.15.3 ¸ÀªÀĸÉå1: MAzÀÄ CzsÀð UÉÆüÁPÁgÀzÀ UÉƪÀÄälzÀ ¥ÁzÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 44 «ÄÃlgï EzÉ. EzÀPÉÌ §tÚ ºÀZÀÑ®Ä ZÀ.«Ä.UÉ gÀÆ.200 gÀAvÉ JµÀÄÖ ºÀt ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ?

¥ÀjºÁgÀ:

¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ(¥Àj¢ü) = 2r r = ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ/2 = (1/2)*44*(7/22) = 7 «Ä. UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð(avÀæzÀ°è ªÉÄð£À ¨sÁUÀ) = 4r^2 = 4*(22/7)*7*7 = 4*22*1*7 = 616 ZÀ.«Ä. CzsÀð UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð= ½ * UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = 308 ZÀ.«Ä. §tÚ ºÀZÀÑ®Ä ¨ÉÃPÁzÀ ºÀt = «¹ÛÃtð *zÀgÀ= 308*200 = 61,600 gÀÆ.

UÉÆüÀzÀ WÀ£À¥sÀ® (UÁvÀæ)(Volume of sphere):

«l«Ä£ï A, C , PÀ©ât ªÀÄvÀÄÛ PÁå°åAiÀÄAUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄÈzÀÞªÁzÀ PÀ®èAUÀr ºÀtÚ£Àß AiÀiÁgÀÄ vÁ£É £ÉÆÃr®è? ªÁå¥ÁjAiÀÄÄ ¤ªÀÄUÉ ºÀtÚ£Àß ªÀiÁgÀĪÀ ªÉÆzÀ®Ä CzÀgÀ ¥ÀjÃPÉëUÁV, CzÀ£Àß ºÉÃUÉ PÀvÀÛj¹, ZÀÆgÀ£Àß ºÉÆgÀvÉUÉAiÀÄÄvÁÛ£ÉAzÀÄ UÀªÀĤ¹¢ÝÃgÁ? CªÀ£ÀÄ ªÉÆzÀ®Ä ZÀÆjAiÀÄ£Àß ºÀtÂÚ£ÉƼÀUÉ vÀÆj¹, wgÀÄV¹, ZÀÆgÀ£Àß vÉUÉAiÀÄÄvÁÛ£É.(avÀæ £ÉÆr) EzÉà vÀvÀéªÀ£Àß UÉÆüÀPÀÆÌ C£Àé¬Ä¸ÀĪÁ.

UÉÆüÀªÀ£Àß CzÀgÀ wædåzÀµÉÖà JvÀÛgÀªÀżÀî, ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¥ÁzÀªÀżÀî aPÀÌ aPÀÌ ±ÀAPÀÄUÀ¼À£Àß MlÄÖ ¸ÉÃj¹ ªÀiÁrzÀÄÝ JAzÀÄ ¥ÀjUÀt¸À§ºÀÄzÀÄ. (§¢AiÀÄ°è£À avÀæ £ÉÆÃr) £ÀªÀÄUÉ FUÀ¯Éà w½¢gÀĪÀAvÉ, ±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ® = 1/3 (±ÀAPÀÄ«£À ªÀÈvÀÛ ¥ÁzÀzÀ «¹ÛÃtð)*JvÀÛgÀ 1^£ÉñÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ®= 1/3 B1r 2^£ÉñÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ®= 1/3 B2r … n^£ÉñÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ®=1/3 Bnr UÉÆüÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = ±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ®zÀ ªÉÆvÀÛ= (1/3) B1r+(1/3) B2r.......... (1/3) Bnr = (1/3)*r(B1+B2.......... +Bn) = (1/3)*r*(UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉåöÊ «¹ÛÃtð) ( IaPÀÌ ±ÀAPÀÄUÀ¼À ¥ÁzÀUÀ¼À£Àß ¸ÉÃj¹zÁUÀ UÉÆüÀzÀ ºÉÆgÀªÉÄÊ ¹UÀĪÀÅzÀÄ) = (1/3)*r*4r^2 = 4/3 r^3(UÉÆüÀzÀ ªÉÄïÉäöÊ «¹ÛÃtð = 4r^2)

UÀªÀĤ¹: avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÀAvÉ, MAzÀÄ ±ÀAPÀĪÀ£Àß MAzÀÄ UÉÆüÀzÀ°è vÀÆj¹zÀgÉ, UÉÆüÀzÀ WÀ£À¥sÀ®ªÀÅ ±ÀAPÀÄ«£À WÀ£À¥sÀ®zÀ £Á®ÌgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.

6.15.3 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ ¹»wAr ªÀiÁqÀĪÀ CAUÀrAiÀÄ°è C¼ÀvÉUÁV 14 ¸É.«Ä. wædå«gÀĪÀ CzsÀð UÉÆüÁPÁgÀzÀ §lÖ®£Àß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÁÛgÉ. CzÀgÀ°è »r¸ÀĪÀ vÀÄ¥ÀàzÀ ¥ÀæªÀiÁtªÀ£Àß °Ãlj£À°è PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

E°è r = 21 ¸É.«Ä. UÀªÀĤ¹: CzsÀðUÉÆüÀ = UÉÆüÀzÀ CzsÀð ¨sÁUÀ CzsÀðUÉÆüÁPÁgÀzÀ §lÖ°£À WÀ£À¥sÀ® = 2/3 r^3= 2/3 *22/7*14*14*14 = 5749.3 WÀ.¸É.«Ä. = 5.75 °Ãlgï ( 1000 WÀ.¸É.«Ä. = 1 °Ãlgï)

6.15.3 ¸ÀªÀĸÉå 3: MAzÉà UÁvÀæ«gÀĪÀ 2¸É.«Ä. wædå«gÀĪÀ 21 ¹Ã¸ÀzÀ UÉÆðUÀ¼À£Àß PÀgÀV¹, MAzÀÄ zÉÆqÀØ UÉÆüÀªÀ£Àß vÀAiÀiÁj¸À¯ÁVzÉ.

D UÉÆüÀzÀ wædå ªÀÄvÀÄÛ WÀ£À¥sÀ® PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

1 UÉÆðAiÀÄ WÀ£À¥sÀ®= 4/3 r^3= (4/3)*(22/7)*2*2*2 = 32*22/21 21 UÉÆðUÀ¼À WÀ£À¥sÀ®= 21*32*22/21 = 32*22 = 704WÀ.¸É.«Ä. F UÉÆðUÀ¼À£Àß PÀgÀV¹ zÉÆqÀØ UÉÆüÀ vÀAiÀiÁj¹zÉ. zÉÆqÀØ UÉÆüÀzÀ WÀ£À¥sÀ® 704WÀ.¸É.«Ä. UÉÆüÀzÀ WÀ£À¥sÀ® = 4/3 r^3=(4/3)*(22/7)r^3 = 88/21r^3= 704 r^3 = 704*(21/88) =168 r =5.52¸É.«Ä. (PÁå®Ä̯ÉÃlgï G¥ÀAiÉÆÃV¹zÉ) vÁ¼É: 5.52¸É.«Ä. UÉÆüÀzÀ WÀ£À¥sÀ®= 4/3 r^3= (4/3)*(22/7)*5.52*5.52*5.52 = 704

6.15.3 ¸ÀªÀĸÉå 4 : MAzÀÄ PÀ©âtzÀ ±Ámï¥ÀÅmï ¨Á®£Àß ¤ÃgÀÄ vÀÄA©zÀ eÁrAiÀÄ°è ªÀÄļÀÄV¹zÁUÀ, CzÀÄ 1437WÀ.¸É.«Ä. ¤ÃgÀ£Àß ºÉÆgÀZÉ°èvÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ D ¨Á°£À ªÁå¸À PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

±Ámï¥ÀÅmï £À WÀ£À ¥sÀ® = 1437cc4/3 r^3=1437cc i,e (4/3)*(22/7)r^3 =1437 r^3 = 1437*21/(4*22) =343 r=7¸É.«Ä. ±Ámï¥ÀÅmï ¨Á°£À ªÁå¸À = 14¸É.«Ä. vÁ¼É: ±Ámï¥ÀÅmï ¨Á¯ï £À WÀ£À¥sÀ®= 4/3 r^3 = (4/3)*(22/7)*7*7*7 = (4/3)*22*7*7 =1437

6.15 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

l, b, h UÀ¼ÀÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ WÀ£ÀzÀ GzÀÝ, CUÀ®, JvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¹zÀgÉ,a AiÀÄÄ WÀ£ÀzÀ MAzÀÄ §¢AiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÆa¹zÀgÉ, h ªÀÄvÀÄÛ l UÀ¼ÀÄ JvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ NgÉ JvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÆß, r wædåªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¹zÀgÉ: