6.3 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ

(Theorem on Parallel lines):

vÁQðPÀªÁV ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀ ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß ‘¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ’ (Theorem) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

MAzÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ°è F PɼÀV£À ¨sÁUÀUÀ½gÀÄvÀÛªÉ:-

1. zÀvÀÛ: ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ°è PÉÆlÖ CA±ÀUÀ¼ÀÄ.

2. ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ zÀvÁÛA±ÀPÀÌ£ÀÄUÀÄtªÁzÀ MAzÀÄ £ÀPÉë(avÀæ).

3. ¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ.

4. gÀZÀ£É: ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¸ÁzsÀ£ÉUÉ ºÉaÑ£À gÀZÀ£É ¨ÉÃPÁzÀgÉ, CªÀÅUÀ¼À gÀZÀ£É.

5. ¸ÁzsÀ£É: vÀPÀð§zÀÞªÁzÀ ¸ÁzsÀ£É.

‘¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ’PÉÌ MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉ:-

¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ:

“MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ°è «PÀtðzÀ ªÉÄð£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÄð£À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ”.

(«PÀtð)² = (¨ÁºÀÄ)²+(¨ÁºÀÄ)²

EzÀ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¸Á¢ü¸À°PÉÌ EzÉÝêÉ.

6.3 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1: JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ bÉÃzÀPÀgÉÃSÉAiÀÄÄ bÉâ¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ

1) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

2) bÉÃzÀPÀ gÉÃSÉAiÀÄ MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°ègÀĪÀ CAvÀgïPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥Àj¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: AB || CD, EF bÉÃzÀPÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ AB ªÀÄvÀÄÛ CDUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV  G ªÀÄvÀÄÛ H UÀ¼À°è bÉâ¹zÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ:

1) AGH = GHD, BGH=CHG (1 = 3, 2=4)

2) AGH+CHG = 180⁰, BGH+DHG =180⁰(1+4 = 180⁰, 2+3 =180⁰)

¸ÀA.	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	EGB = GHD	ºÉýPÉ3 : C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
2	EGB = AGH	ºÉýPÉ 2 : ±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
3	AGH = GHD	¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ 1: MAzÉà CA±ÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
4	AGE =CHG	ºÉýPÉ 3: C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
5	AGE = BGH	ºÉýPÉ 2: ±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
6	CHG=BGH	¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ 1 MAzÉà CA±ÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
7	AGH+HGB= 180^0	¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
8	BGH = CHG	ºÀAvÀ 5, 6jAzÀ
9	AGH+CHG= 180^0	HGB AiÀÄ §zÀ®Ä CHGAiÀÄ£ÀÄß DzÉò¹zÉ.
10	CHG +GHD = 180^0	¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
11	BGH = CHG	ºÀAvÀ 6jAzÀ
12	GHD+BGH= 180^0	10gÀ°è CHG §zÀ®Ä BGH DzÉò¹zÉ.

6.3 ¸ÀªÀĸÉå 1: PɼÀV£À avÀæzÀ°è AB || PQ ªÀÄvÀÄÛ BC || QR. DzÀgÉ PQR =ABC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ:  AB || PQ, BC || QR

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: PQR =ABC

gÀZÀ£É: PQ ªÀ£Àß ªÀÈ¢Þ¹zÉ. CzÀÄ BC AiÀÄ£ÀÄß T £À°è bÉâ¹zÉ. RQ ªÀ£Àß ªÀÈ¢Þ¹zÉ. CzÀÄ AB AiÀÄ£ÀÄß S £À°è bÉâ¹zÉ.

¸ÁzsÀ£É:

PQR = ASR (AB || PQ : C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)

ASR = ABC (BC || QR : C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)

PQR =ABC

6.3 ¸ÀªÀĸÉå 2 : avÀæzÀ°è AB||CD. EH ªÀÄvÀÄÛ FGUÀ¼À PÀæªÀĪÁV FEB ªÀÄvÀÄÛ EFD UÀ¼ÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ.

DUÀ, EH ªÀÄvÀÄÛ FGUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

gÀZÀ£É: CD UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV G ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ GI gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɢzÉ.

¥ÀjºÁgÀ:

¸ÀA.	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	CFE = BEF	AB ||CD ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
2	BEF = 2FEG	FEBAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ EH.
3	CFE = 2FEG	1 ªÀÄvÀÄÛ 2jAzÀ.
4	EFD = AEF	AB ||CD ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
5	EFD = 2EFG	EFDAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ GF.
6	CFE +EFD = 180^0	CD gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄð£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ (¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä)
7	2FEG +2EFG = 180^0	3 ªÀÄvÀÄÛ 5 jAzÀ 6gÀ°è DzÉò¹zÉ.
8	FEG +EFG = 90^0	7£Àß ¸ÀÄ®©üÃPÀj¹zÉ.
9	FEG = GEB	BEIAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ EG
10	GEB = EGI	AB||IG ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
11	FEG = EGI	9 ªÀÄvÀÄÛ 10jAzÀ
12	EFG=GFD	IFDAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ FG
13	GFD =IGF	CD||IG ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
14	EFG =IGF	12 ªÀÄvÀÄÛ 13jAzÀ.
15	EGI +IGF(=EGF) = 90^0	11 ªÀÄvÀÄÛ 14 jAzÀ 8gÀ°è DzÉò¹zÉ.
16	DzÀÝjAzÀ, EH ªÀÄvÀÄÛ FG UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVªÉ.

6.3 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀASÉå	PÀ°vÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ bÉÃzÀPÀgÉÃSÉAiÀÄÄ PÀrzÁUÀ GAmÁUÀĪÀ 1) ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ. 2)bÉÃzÀPÀgÉÃSÉAiÀÄ MAzÉà ¥Á±ÀééðzÀ°è£À CAvÀgïPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥Àj¥ÀÇgÀPÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

ºÉaÑ£À ªÀiÁ»w:

6.3 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 2(1£Éà ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ): JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ bÉâ¹zÁUÀ,

1): ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ

CxÀªÁ

2): bÉÃzÀPÀ gÉÃSÉAiÀÄ MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°è£À CAvÀgïPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥Àj¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,

D JgÀqÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ:

1) AB ªÀÄvÀÄÛ CD ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß EF bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ

2) AGH = GHD (BGH=CHG)

CxÀªÁ

3) AGH+CHG = 180⁰(BGH+DHG =180⁰)

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ:   AB||CD.

ªÉÆzÀ®Ä C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÉAzÀÄ ¸Á¢ü¹. £ÀAvÀgÀ 6.2.3 ºÉýPÉ 4 gÀ DzsÁgÀzÀAvÉ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁUÀÄvÀÛzÉ