6.4 wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ (Triangles):

6.4.1 wæ¨sÀÄdUÀ¼À ªÀVÃðPÀgÀt ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ (Classification and Theorems on triangles):

wæPÉÆãÀ = wæ+PÉÆãÀ = ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. wæ¨sÀÄd = wæ+¨sÀÄd = ªÀÄÆgÀÄ ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÁåSÉå: ªÀÄÆgÀÄ RAqÀUÀ½AzÀ DªÀÈvÀªÁzÀ DPÀÈwAiÉÄà ‘wæPÉÆãÀ’ CxÀªÁ ‘wæ¨sÀÄd’(Triangle) MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è: ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ½ªÉ :- AB, BC, CA ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ½ªÉ :- A, B, C ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ½ªÉ:- ABC, BCA, CAB

wæ¨sÀÄdzÀ°è C¼ÉAiÀħºÀÄzÁzÀzÀÄÝ ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ(©AzÀĪÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?)

wæPÉÆãÀzÀ°ègÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆãÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ½UÀ£ÀÄUÀÄtªÁV CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß F PɼÀV£ÀAvÉ ªÀVÃðPÀj¸À§ºÀÄzÀÄ:

ªÀVÃðPÀgÀt	wæPÉÆãÀzÀ «zsÀ	®PÀët	GzÁºÀgÀuÉ avÀæ
PÉÆãÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÉ C£ÀĸÁgÀªÁV	®WÀÄPÉÆãÀ wæPÉÆãÀ	¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆãÀªÀÇ 90^0VAvÀ PÀrªÉÄ.
	®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ	MAzÀÄ PÉÆãÀªÀÅ 90^0 PQR =90^0
	«±Á®PÉÆãÀ  wæPÉÆãÀ	MAzÀÄ PÉÆãÀªÀÅ  90^0 VAvÀ ºÉZÀÄÑ («±Á®PÉÆãÀ) BCA > 90^0
	¸ÀªÀÄPÉÆãÀ wæPÉÆãÀ	J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ PQR =QRP =RPQ = 60^0
	¸ÀªÀÄ¢éPÉÆãÀ wæPÉÆãÀ	JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ ABC =BCA
¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÉ C£ÀĸÁgÀªÁV	C¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæPÉÆãÀ	J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉ ©ü£Àß PQ≠QR≠RP
	¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæPÉÆãÀ (¸ÀªÀÄPÉÆãÀ wæPÉÆãÀªÀÅ ºËzÀÄ)	J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ AB=BC=CA
	¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæPÉÆãÀ	JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ PQ=PR
	¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ	®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ°è 2 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ. ABC =90^0  AB=BC

£ÀªÀÄUÉ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180⁰ JAzÀÄ w½¢zÉ. EzÀ£ÀÄß vÁQðPÀªÁV ¸Á¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ?

6.4.1 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180⁰ DVzÉ.

zÀvÀÛ: ABCAiÀÄÄ MAzÀÄ wæPÉÆãÀ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ : ABC+BAC +ACB = 180⁰

gÀZÀ£É : A ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ, BCUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV DE gÉÃSÁRAqÀªÀ£É߼ɢzÉ.

¸ÀA.	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	EAB =  ABC	DE || BC, AB bÉÃzÀPÀgÉÃSÉ, ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
2	EAC = ACB	DE || BC, AC bÉÃzÀPÀgÉÃSÉ, ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
3	EAB+BAC +EAC= 180^0	MAzÉà ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄð£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
4	ABC+BAC +ACB= 180^0	3gÀ°è EABUÉ  ACBAiÀÄ£ÀÄß EACUÉ  ABCAiÀÄ£ÀÄß DzÉò¹zÉ.

6.4.1 ¸ÀªÀĸÉå 1: MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è MAzÀÄ PÉÆãÀ 40⁰ DzÀgÉ G½zÉgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹

(ªÀÄÄAzÉ 6.4.3 gÀ°è EzÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À°zÉÝêÉ). wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180⁰.

JgÀqÀÄ ¸ÁzsÀåvÉUÀ½ªÉ:

1). ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ«gÀĪÀ ¥Àæwà PÉÆãÀ  x DVgÀ°. ªÀÄÆgÀ£Éà PÉÆãÀ 40^0 DUÀ, x + x + 40^0= 180^0 2x =180^0- 40^0 = 140^0 x = 70^0 wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ: 70^0,70^0 ªÀÄvÀÄÛ 40^0.
2)  ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ«gÀĪÀ ¥Àæwà PÉÆãÀ 40^0DVgÀ°. ªÀÄÆgÀ£Éà PÉÆãÀ x DVgÀ°. DUÀ, 40^0+ 40^0+ x = 180^0 80^0+ x = 180^0  x = 100^0 wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ: 40^0,40^0 ªÀÄvÀÄÛ 100^0.

6.4.1 ¸ÀªÀĸÉå 2: ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄ (¸ÀªÀĨÁºÀÄ) wæPÉÆãÀzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

MAzÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄ (¸ÀªÀĨÁºÀÄ) wæPÉÆãÀzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ. wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÉÆvÀÛ 180^0. DzÀÝjAzÀ, ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæPÉÆãÀzÀ MAzÀÄ PÉÆãÀ x DVzÀÝgÉ, x + x + x = 180^0 3x =180^0 x = 60^0.

ªÁåSÉå: wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ, ±ÀÈAUÀzÀ°è GAmÁUÀĪÀ PÉÆãÀªÀ£ÀÄß ‘§»gïPÉÆãÀ’ (exterior) J£ÀÄßvÉÛêÉ. avÀæzÀ°è ACD AiÀÄÄ §»gïPÉÆãÀ. §»gïPÉÆãÀzÀ ¥ÀPÀÌzÀ°ègÀĪÀ PÉÆãÀzÀ JzÀÄgÀÄ, wæPÉÆãÀzÀ M¼À¨sÁUÀzÀ°è EgÀĪÀ JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß ‘CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ’(interior opposite angles) J£ÀÄߪÀgÀÄ. avÀæzÀ°è BAC ªÀÄvÀÄÛ ABC UÀ¼ÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ

avÀæ	§»gïPÉÆãÀ	CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀ
k	ACD E°è §»gïPÉÆãÀªÀÅ «±Á®PÉÆãÀªÁVzÉ (ACD > 90^0)	BAC ªÀÄvÀÄÛ ABC
	CBD E°è §»gïPÉÆãÀªÀÅ ®WÀÄPÉÆãÀªÁVzÉ (CBD < 90^0)	BAC ªÀÄvÀÄÛ ACB
	ABD E°è §»gïPÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVzÉ (ABD =90^0)	BAC ªÀÄvÀÄÛ BCA

UÀªÀĤ¹: wæPÉÆãÀzÀ°è 3 ¨ÁºÀÄUÀ½gÀĪÀÅzÀjAzÀ, ªÀÄÆgÀÄ §»gïPÉÆãÀUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.

6.4.1 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 2: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ §»gïPÉÆãÀªÀÅ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ.

zÀvÀÛ: ABC wæPÉÆãÀzÀ°è BC ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß D ªÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¹zÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄACD = ABC + BAC

¸ÁzsÀ£É:

¸ÀA.	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	ABC+BCA +CAB = 180^0	¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ : wæPÉÆãÀzÀ 3 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ= 180^0
2	BCA+ACD = 180^0	¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	ABC+BCA +BAC = BCA+ACD	¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ1
4	ABC + BAC= ACD	¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ 2 BCAAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼É¢zÉ.

UÀªÀĤ¹:

¸ÀA.	ªÉÄð£ÉgÀqÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À G¥À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ(x,y,z UÀ¼ÀÄ wæPÉÆãÀzÀ 3 PÉÆãÀUÀ¼ÁVgÀ°)
1	§»gïPÉÆãÀªÀÅ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀQÌAvÀ®Æ zÉÆqÀØzÀÄ.	§»gïPÉÆãÀ= x+y x,y > 0 DzÁUÀ, x+y >x, x+y > y
2	MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ®A§ PÉÆãÀUÀ½gÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è.	x+y+z =180 DUÀ  x ªÀÄvÀÄÛ yUÀ¼ÉgÀqÀÆ 90 DUÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è.
3	MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ «±Á® PÉÆãÀUÀ½gÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è.	x>90 DzÀgÉ y+z <90 DVgÀÄvÀÛzÉ.
4	AiÀiÁªÀÅzÉà wæPÉÆãÀzÀ°è PÀ¤µÀÖ 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ®WÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.	x < 90 DzÁUÀ, y, zUÀ¼ÉgÀqÀÆ 90QÌAvÀ ºÉaÑgÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è.
5	MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ°è G½zÉgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 90^0	x=90 DzÁUÀ, x+y+z = 180 DzÀÝjAzÀ y+z = 90 DVgÀ¯ÉèÉÃPÀÄ.
6	MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ 2 PÉÆãÀUÀ½UÉ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ. D JgÀqÀÆ wæPÉÆãÀUÀ¼À 3£Éà PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.	x+y+z = 180, a+b+c = 180 ªÀÄvÀÄÛ x=a, y=b DzÀgÉ z =c DVgÀ¯ÉèÉÃPÀÄ.

6.4.1 ¸ÀªÀĸÉå 3: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ MAzÀÄ §»gïPÉÆãÀªÀÅ 90⁰ DVzÀÄÝ, MAzÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀ 45⁰ DzÀgÉ wæPÉÆãÀzÀ G½zÉgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

zÀvÀÛ: MAzÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀ 45^0. E£ÉÆßAzÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀ = x DVgÀ° PÉÆãÀzÀ §»gïPÉÆãÀ = CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 90^0 = x+45^0 x = 45^0.

6.4.1 ¸ÀªÀĸÉå 4:  PɼÀUÉ PÉÆlÖ wæPÉÆãÀzÀ J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

p+q = 100^0 ------(1) r+q = 130^0------(2) p + q + r = 180^0 DVzÉ 100^0 + r = 180^0 r = 180^0-100^0=80^0 DzÉñÀUÀ½AzÀ q= 50^0 ,p= 50^0. wæPÉÆãÀzÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ 50^0 (=p) 50^0 (=q) ªÀÄvÀÄÛ 80^0(=r) DVªÉ.

6.4.1 ¸ÀªÀĸÉå 5:  MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ £Á®ÄÌ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 360⁰ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

AiÀiÁªÀÅzÉà ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è MAzÀÄ PÀtðªÀ£Éß¼ÉzÁUÀ, CzÀÄ 2 wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. AiÀiÁªÀÅzÉà wæPÉÆãÀzÀ 3 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180^0 ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ £Á®ÄÌ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 2*(¥Àæw wæPÉÆãÀzÀ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ) = 2*180^0 =360^0

6.4.1 ¸ÀªÀĸÉå 6:  ABCAiÀÄ°è, 2(A-20) = B+10= 2(C-10)DzÀgÉ ¥Àæw PÉÆãÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

A+B+C =180 DzÀÝjAzÀ B = 180-C-A 2(A-20) = B+10  à zÀvÀÛ 2A-40 =B+10 2A = B+50 = (180-C-A)+50 = 230 –C –A.  3A = 230-C ------(1) 2(A-20) = 2(C-10) à zÀvÀÛ A-20  = C-10 A = C+10 -----(2) AAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt (1)gÀ°è DzÉò¹zÁUÀ, 3A = 3C+ 30 =230-C 4C = 200 C = 50 CAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀt (2)gÀ°è DzÉò¹zÁUÀ, A =60. A+B+C = 180 B = 70 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ: A = 60, B=70,C=50.

6.4.1 ¸ÀªÀĸÉå7:  MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀªÀ£ÀÄßAlÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹

¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀzÀÄÝ: POQ = 90⁰.

¸ÁzsÀ£É:

¸ÀA.	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	SPQ+PQR =180^0	PQRS MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw. PS||QR DUÀ CAvÀgïPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥Àj¥ÀÇgÀPÀ.
2	2(OPQ+PQO) = 180^0	PO ªÀÄvÀÄÛ QOUÀ¼ÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ
3	OPQ+PQO = 90^0	ºÀAvÀ2
4	POQ = 180- (OPQ+PQO) = 90^0

6.4.2 wæ¨sÀÄdUÀ¼À gÀZÀ£É(Construction of Triangles):

wæPÉÆãÀzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ½ªÉ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆãÀUÀ½ªÉ. MlÄÖ 6 ¨sÁUÀUÀ½ªÉ. DzÀgÉ MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä F DgÀÆ CªÀAiÀĪÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÁUÀĪÀÅ¢®è. §zÀ¯ÁV §gÉà ªÀÄÆgÀÄ CªÀAiÀĪÀUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ. DzÀgÉ CzÀgÀ°è PÀ¤µÀÖ MAzÁzÀgÀÆ ¨ÁºÀÄ DVgÀ¨ÉÃPÀÄ.

6.4.2.1. ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ wæ¨sÀÄdzÀ gÀZÀ£É(Construction of a triangle when 3 sides are given):

6.4.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: AB = 3¸ÉA.«Ä., BC = 4¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ AC = 5¸ÉA.«Ä. ABC EgÀĪÀAvÉ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹.

gÀZÀ£Á PÀæªÀÄ:

ªÉÆvÀÛªÉÆzÀ°UÉ ABC wæPÉÆãÀzÀ PÀgÀqÀÄ avÀæ gÀa¹.

1)3¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ AB ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj(PÀA¸ÀzÀ ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ) 2) AAiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 5 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. 3) BAiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 4 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄÃ¯É J¼ÀzÀ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß C AiÀÄ°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ E£ÉÆßAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. 4) AC ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹. ABC AiÀÄÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ wæPÉÆãÀ.

6.4.2 ¸ÀªÀĸÉå2: MAzÀÄ ªÉÄÊzÁ£ÀªÀÅ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ°èzÉ. CzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 2490«ÄÃlgïUÀ¼ÀÄ. ¸ÀÆPÀÛªÁzÀ C¼ÀvÉUÀ£ÀĸÁgÀªÁV ªÉÄÊzÁ£ÀzÀ avÀæ gÀa¹j.

¥ÀjºÁgÀ:

wæPÉÆãÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ CzÀgÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÁVzÉ. ªÉÄÊzÁ£ÀªÀÅ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæPÉÆãÁPÀÈwAiÀÄ°ègÀĪÀÅzÀjAzÀ CzÀgÀ J¯Áè §¢UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ. 3*§¢= 2490«Ä. §¢ = 2490/3 = 830«Ä. FUÀ = 830«Ä. §¢AiÀÄļÀî wæPÉÆãÀ gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è. CzÀPÁÌV ¸ÀÆPÀÛ ¥ÀæªÀiÁt ElÄÖPÉƼÀÄîªÁ. 100«Ä. = 1¸ÉA.«Ä. DUÀ £ÁªÀÅ gÀa¸À¨ÉÃPÁzÀÄÝ = 8.3¸ÉA.«Ä. ¨ÁºÀĪÀżÀî ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄd. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ wæ¨sÀÄdzÀ J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ 8.3¸ÉA.«Ä., 8.3¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 8.3¸ÉA.«Ä. C¨sÁå¸À: 6.4.2.1(»A¢£À) ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄAvÉAiÉÄà F wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹.

6.4.2.2. JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ wæ¨sÀÄdzÀ gÀZÀ£É(Construction of a triangle when 2 sides and an included angle are given)

6.4.2 ¸ÀªÀĸÉå 3: AB = 3¸ÉA.«Ä., BC = 4¸ÉA.«Ä., ªÀÄvÀÄÛ ABC =120⁰ EgÀĪÀAvÉ ABC wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹.

gÀZÀ£ÁPÀæªÀÄ:

ªÉÆvÀÛ ªÉÆzÀ°UÉ ABC wæ¨sÀÄdzÀ  PÀgÀqÀÄ avÀæ gÀa¹.

A ©AzÀĪÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹ C°èAzÀ  MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉ J¼ÉzÀÄ, 3 ¸ÉA.«Ä zÀÆgÀzÀ°è(PÀA¸ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ) B ©AzÀĪÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. B ¬ÄAzÀ  PÉÆãÀªÀiÁ¥ÀPÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ 120^0DUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉ J¼É¬Äj. B PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, 4 ¸ÉA.«Ä. PÀA¸À¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉ£ÀÄß C AiÀÄ°è PÀr¬Äj. AC eÉÆÃr¹zÉ. ABCAiÀÄÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ wæPÉÆãÀ.

UÀªÀĤ¹: ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀzÀ°è 2 ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ EzÉà PÀæªÀĪÀ£ÀÄß C£ÀĸÀj¹ wæPÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄvÉÛêÉ.

6.4.3 wæPÉÆãÀUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ(Congruency of Triangles):

¤ÃªÀÅ PÉgÉ, PÉƼÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr¢ÝÃj. ¤ÃjV½AiÀÄzÉ, CzÀgÀ CUÀ®ªÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉAzÀÄ D¯ÉÆÃa¹¢ÝÃgÁ?

CzÉà jÃw, ¤ÃjV½AiÀÄzÉ MAzÀÄ £À¢AiÀÄ CUÀ®ªÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ? ¢£À¤vÀåzÀ EAvÀºÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ½UÉ gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ°è ¥ÀjºÁgÀ«zÉ.

gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ°è JgÀqÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ J¯Áè «zsÀzÀ®Æè MAzÀPÉÆÌAzÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ. (JgÀqÀÄ gÉÃSÁUÀtÂvÀ ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈwUÀ¼À£ÀÄß MAzÀgÀ°è E£ÉÆßAzÀÄ LPÀåªÁUÀĪÀAvÉ EqÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÁzÀgÉ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄð¸ÀªÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.)

JgÀqÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À GzÀÝUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, CªÀÅ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ.	JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ MAzÉà C¼ÀvÉ AiÀĪÀÅUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, CªÀÅ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ	JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼Éà C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (corresponding sides). JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ (corresponding angles). avÀæ 3 gÀ°è AC ªÀÄvÀÄÛ DF, AB ªÀÄvÀÄÛE, BC ªÀÄvÀÄÛ ED UÀ¼ÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ. ABC ªÀÄvÀÄÛ DEF, ACB ªÀÄvÀÄÛ EDF, CAB ªÀÄvÀÄÛ EFD UÀ¼ÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è MAzÀgÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ E£ÉÆßAzÀgÀ 3 C£ÀÄgÀÆ¥À¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ªÀÄvÀÄÛ C£ÀÄgÀÆ¥ÀPÉÆãÀUÀ½UÉ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, CªÀÅ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ(congruent).
avÀæ 1 : AB=CD=3¸ÉA.«Ä.	avÀæ 2 : ABC =FDE = 60^0	avÀæ 3: AC=DF,AB=EF BC=ED, CAB =EFD, ABC=DEF, ACB=EDF
¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß aºÉß ¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.
avÀæ 1 : ABCD	avÀæ 2 : ABCFDE	avÀæ 3: ABCDEF

UÀªÀĤ¹: JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ MAzÀgÀ¯ÉÆèAzÀÄ ¸ÀA¥ÀÇtð LPÀåªÁUÀĪÀAvÉ EgÀĪÀÅzÀjAzÀ CªÀÅUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

6.4.3 GzÁ.1: JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è MlÄÖ 6 CªÀAiÀĪÀUÀ¼ÀÄ (3 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ) EzÀÝgÀÆ ¸ÀºÀ, £Á«ÃUÀ PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ

ªÀÄÆgÀÄ C¼ÀvÉUÀ½AzÀ ABC wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀĪÁ:

1.  BC = 4 ¸ÉA.«Ä., CA = 4.5 ¸ÉA.«Ä., BA= 5 ¸ÉA.«Ä.

2.  BC = 3 ¸ÉA.«Ä., ABC =40⁰, BCA =50⁰

3.  BC = 5 ¸ÉA.«Ä., CA=6 ¸ÉA.«Ä., BCA = 60⁰

4,5.  MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ 60⁰, 50⁰, 70⁰

UÀªÀĤ¹: wæPÉÆãÀzÀ 3 PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ £ÁªÀÅ ºÀ®ªÁgÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ:

(avÀæ 4 ªÀÄvÀÄÛ avÀæ 5 gÀ°è C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÀÆ ¸ÀºÀ, AB ≠ DE, BC ≠ FE, AC ≠ DF) 

wêÀiÁð£À: PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ ªÀÄÆgÀÄ CA±ÀUÀ½AzÀ £ÁªÀÅ KPÉÊPÀ(Unique) wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

1. ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ

2. MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ

3. JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀ.

vÀBSÉÛ A: £ÁªÀÅ PÀAqÀÄPÉÆAqÀ «µÀAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV »ÃUÉ ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ:

¨ÁºÀÄ	¨ÁºÀÄ	¨ÁºÀÄ	PÉÆãÀ	PÉÆãÀ	PÉÆãÀ	¥sÀ°vÁA±À
Y	Y	Y	-	-	-	KPÉÊPÀ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
Y	-	-	Y	Y	-	KPÉÊPÀ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
Y	Y	-	Y	-	-	zÀvÀÛ PÉÆãÀªÀÅ zÀvÀÛ ¨ÁºÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀªÁVzÀÝgÉ, KPÉÊPÀ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.
-	-	-	Y	Y	Y	ºÀ®ªÁgÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ (KPÉÊPÀ wæ¨sÀÄd ¸ÁzsÀå«®è)

UÀªÀĤ¹:

1. wæPÉÆãÀzÀ 3 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180⁰. DzÀÝjAzÀ 2 PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ 3£Éà PÉÆãÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀħºÀÄzÀÄ.

2. ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ ªÁåSÉåAiÀÄAvÉ, JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁUÀ®Ä JgÀqÀÆ wæPÉÆãÀUÀ¼À 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ. DzÀgÉ £ÁªÀÅ wæPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß KPÉÊPÀ jÃwAiÀÄ°è  gÀa¸À®Ä 6 CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃQ®è, §gÉà 3 CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß 6.4.2 gÀ°è £ÉÆÃrzÉÝÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀ AiÀiÁªÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è wæPÉÆãÀ gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ ªÉÄÃ¯É vÀBSÉÛ ªÀiÁrzÉÝêÉ.

£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯Éà £ÉÆÃrzÀAvÉ, MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÉÆãÀªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ MAzÉà MAzÀÄæ wæ¨sÀÄd gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ £ÉÆÃrzÉÝêÉ. DzÀÝjAzÀ, JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è MAzÀgÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ½AzÀ K¥ÀðlÖ PÉÆãÀªÀÅ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ ¨Á.PÉÆÃ.¨Á. (¨ÁºÀÄ, PÉÆãÀ, ¨ÁºÀÄ) ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ J£ÀÄßvÉÛêÉ.

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 1: MAzÀÄ PÉƼÀzÀ CUÀ®ªÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ: PɼÀV£À PÉƼÀzÀ CUÀ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

PÉƼÀzÀ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è JgÀqÀÄ PÀA§UÀ¼À£ÀÄß (A, B UÀ¼ÀÄ) ¸Áܦ¹. PÉƼÀzÀ JzÀÄgÀÄ ¨sÁUÀzÀ°è A, B UÀ¼ÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁV PÁt¸ÀĪÀAvÉ C PÀA§ªÀ£ÀÄß ¸Áܦ¹. AC=CE DUÀĪÀAvÉ ACAiÀÄ£ÀÄß EªÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¹. BC=CD DUÀĪÀAvÉ BCAiÀÄ£ÀÄß D ªÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¹. DUÀACB = DCE (±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ) DUÀ, ¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA ¹zÀÞzÀAvÉ, ABC  DEC AB=DE DEAiÀÄ GzÀݪÀÅ PÉƼÀzÀ CUÀ®ªÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå2: ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è PQRS MAzÀÄ ªÀUÀð PQzÀ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ M DzÀgÉ, SM=RM JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

PQRS MAzÀÄ ªÀUÀð. DzÀÝjAzÀ  PS=QR, SPQ =90^0 & PQR = 90^0(SPQ = PQR ) PQzÀ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ M DzÀÝjAzÀ, PM=MQ. DzÀÝjAzÀ wæPÉÆãÀ SPM ªÀÄvÀÄÛ MQRUÀ¼À°è JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ½AzÀ K¥ÀðlÖ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ, SPM  MQR wæPÉÆãÀUÀ¼À 3^£ÉèÁºÀÄUÀ¼ÀÄ SM ªÀÄvÀÄÛ MRUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.

ZÀlĪÀnPÉ: AB=4¸ÉA.«Ä., AC=BC=5¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ MAzÀÄ wæPÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. CAB ªÀÄvÀÄÛ ABCUÀ¼À£ÀÄß C¼É¬Äj. ¤ÃªÉãÀÄ UÀªÀĤ¸ÀÄ«j? CAB =ABC? ¥sÀ°vÁA±À: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è ¸ÀªÀĪÁzÀ 2 ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ. EzÀ£ÀÄß FUÀ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛç jÃwAiÀÄ°è ¸Á¢ü¸ÀĪÁ.

6.4.3 ¥ÁzÀ – PÉÆãÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ:

MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ABCAiÀÄ°è AC=BC

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: CAB= ABC

gÀZÀ£É: ACBAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj. CzÀÄ ABAiÀÄ£ÀÄß D ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸À°.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AC=BC	zÀvÀÛ
2	ACD=DCB	CDAiÀÄÄ ACBAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉ.
3	CD ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ	ACD ªÀÄvÀÄÛ DCB UÀ½UÉ
4	wæPÉÆãÀ ACD DCB	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	CAB= ABC	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 3: ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è AB=AC. AL=AM DUÀĪÀAvÉ L ªÀÄvÀÄÛ MUÀ¼ÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ ACAiÀÄ ªÉÄð£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ.

ALM =AML. C®èzÉ, ABM ACL  ªÀÄvÀÄÛ LCB MBC, LM||BC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AL=AM	zÀvÀÛ
2	BL = CM	AB=AC, ºÀAvÀ: 1
3	ALM =LMA	ALM£À°è AL=AM DzÀÝjAzÀ ¥ÁzÀPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ)
4	AB=AC	zÀvÀÛ
5	BAM ¸ÁªÀiÁ£Àå PÉÆãÀ	ABM , ACL UÀ½UÉ
6	ABM ACL	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ (ºÀAvÀ: 1,5,4)
7	ABC =BCA	¥ÁzÀPÉÆãÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ(AB=AC)
8	LB=CM	ºÀAvÀ 1,2,3
9	BC ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ	LCB, MBCUÀ½UÉ
10	LCB MBC	(ºÀAvÀ 2, 7, 9) ¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
11	2ALM = 180^0-LAM	ALM+LMA+LAM = 180^0  , ALM = LMA
12	2ABC = 180^0-LAM	ABC+BCA+LAM = 180^0  , ABC = BCA
13	ALM = ABC	ºÀAvÀ 11 ªÀÄvÀÄÛ 12 jAzÀ §®¨sÁUÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ ¸ÀªÀĪÁVzÉ.
14	LM ||BC	C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ(ºÀAvÀ 13)

ZÀlĪÀnPÉ: C£ÀÄPÀÆ®ªÁzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà C¼ÀvÉAiÀÄ ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ¥ÁzÀPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀAv(30⁰ªÀÄvÀÛ 30⁰ DVgÀ°)

JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹j. ¤ÃªÉãÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j? ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

6.4.3 ¥ÁzÀPÉÆãÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ: AiÀiÁªÀÅzÉà wæPÉÆãÀzÀ°è ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ABCAiÀÄ°è CAB= ABC

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AC=BC

gÀZÀ£É: ACBAiÀÄ£ÀÄß C¢üð¹. F PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ABAiÀÄ£ÀÄß D©AzÀÄ«£À°è bÉâ¹zÉ.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	CAB= ABC	zÀvÀÛ
2	CD ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ	ACD ªÀÄvÀÄÛ DCBUÀ½UÉ
3	ACD =DCB	gÀZÀ£É
4	ACD  DCB	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	AC=BC	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 4: MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ°è ±ÀÈAUÀPÉÆãÀªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ¥ÁzÀªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁzÀPÉÌ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

zÀvÀÛ: ABCAiÀÄ°è AC=BC

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AD=DB ªÀÄvÀÄÛ ADC =CDB = 90⁰

gÀZÀ£É: ACB AiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj. D gÉÃSÉAiÀÄÄ ABAiÀÄ£ÀÄß D AiÀÄ°è ¸ÀA¢ü¸À°.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AC=BC	zÀvÀÛ
2	CAB = ABC	gÀZÀ£É
3	CDAiÀÄÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ	ACD ªÀÄvÀÄÛ DCB UÀ½UÉ
4	ACD DCB	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	AD=DB	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
6	ADC = CDB	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
7	ADC+CDB=180^0	¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
8	ADC =CDB = 90^0

ZÀlĪÀnPÉ: ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ 4¸ÉA.«Ä., 5¸ÉA.«Ä., ªÀÄvÀÄÛ 6¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ PÉ®ªÀÅ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹. ¤ÃªÉãÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄwÛÃj? EªÉ®èªÀÇ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ. wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ, “MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ”. F ºÉýPÉAiÀÄ£Àß wæPÉÆãÀUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ ¨Á.¨Á.¨Á. (¨ÁºÀÄ, ¨ÁºÀÄ, ¨ÁºÀÄ) ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ J£ÀÄߪÀgÀÄ.

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå5:  PQRS MAzÀÄ ªÀUÀð. A, B, C, D UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV PQ, QR, RS ªÀÄvÀÄÛ SPUÀ¼À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ. BAC=BCA JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

PQ=SR MAzÀÄ ªÀUÀð. DzÀÝjAzÀ PQ = SR. A ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼ÀÄ PQ ªÀÄvÀÄÛ SRUÀ¼À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ.  AQ=CR. BAiÀÄÄ QR£À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ QB=BR. PQRS MAzÀÄ ªÀUÀð AQB=90^0 =BRC AQB CRB ¨Á.PÉÆÃ.¨Á ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ. AB=BC ……. ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀzÀ C£ÀÄgÀÆ¥À¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ CBA MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæPÉÆãÀ. ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ, ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ. BAC=BCA

ZÀlĪÀnPÉ: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ£Àå¨ÁºÀĪÀÅ (60⁰,70⁰ ,4¸ÉA.«Ä. DVgÀ°) E£ÉÆßAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀĪÁV EgÀĪÀAvÉ PÉ®ªÀÅ eÉÆvÉ wæPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹. ¤ÃªÉãÀ£Àß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j? ¥Àæwà eÉÆvÉAiÀÄ°ègÀĪÀ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

AiÀiÁªÀÅzÉà PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ KPÉÊPÀ wæPÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆvÀÄÛ. ºÁUÁzÀgÉ £ÁªÀÅ »ÃUÉ wêÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÀÄ:

“MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀĪÀÅ E£ÉÆßAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ C£ÀÄgÀÆ¥ÀPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀ۪ɔ. F ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß wæPÉÆãÀzÀ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. (PÉÆãÀ, ¨ÁºÀÄ, PÉÆãÀ) ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ J£ÀÄߪÀgÀÄ.

G¥À¤§AzsÀ£É:- (corollary)

“JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À°è, MAzÀgÀ JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀ۪ɔ. EzÀ£ÀÄß PÉÆãÀ, PÉÆãÀ, ¨ÁºÀÄ (PÉÆÃ.PÉÆÃ.¨Á) ¤§AzsÀ£É J£ÀÄßvÉÛêÉ.

ªÉÄð£À G¥À¤§AzsÀ£ÉAiÀÄ ¸ÁzsÀ£É:

1) wæPÉÆãÀzÀ J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ =180⁰

2)  JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ 3£Éà PÉÆãÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ (=180⁰ –2 PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ)

3) ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ«£À ªÉÄïÉAiÉÄà EgÀÄvÀÛzÉ.

DUÀ JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀĪÀÅ ¸ÀªÀĪÁUÀĪÀÅzÀjAzÀ PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞzÀ jÃvÁå D JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁUÀÄvÀÛªÉ.

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 6: £À¢AiÀÄ CUÀ®ªÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ:

¥ÀjºÁgÀ:

£À¢AiÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ zÀqÀzÀ°è MAzÀÄ ¹ÜgÀªÁzÀ ªÀ¸ÀÄÛ (ªÀÄgÀ) B AiÀÄ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. ¤ÃªÀÅ ¤AvÀ FZÉ zÀqÀzÀ°è BUÉ JzÀÄgÁV  A PÀA§ªÀ£ÀÄß ¤°è¹. A¬ÄAzÀ ¸Àé®à zÀÆgÀzÀ°è zÀqÀzÀ ªÉÄÃ¯É E£ÉÆßAzÀÄ PÀA§ CAiÀÄ£ÀÄß ¤°è¹. C¬ÄAzÀ AC AiÀĵÉÖà zÀÆgÀzÀ°è D PÀA§ªÀ£ÀÄß ¤°è¹.(CAiÀÄÄ ADAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ). AD UÉ ®A§ªÁV, B,C ªÀÄvÀÄÛ EUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ°ègÀĪÀAvÉ E PÀA§ªÀ£ÀÄß ¤°è¹. DUÀ 1) BAC = 90^0= CDE (BA ªÀÄvÀÄÛ DE ADUÉ ®A§ªÁV gÀa¸À®àlÖªÀÅUÀ¼ÀÄ). 2) AC=CD (gÀZÀ£É) 3) ACB = DCE (±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀ) ABC DEC PÉÆÃ.¨Á.PÉÆ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ AB=DE DE AiÀÄ GzÀݪÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀjAzÀ, ¤ÃjV½AiÀÄzÉà £À¢AiÀÄ CUÀ®ªÀ£ÀÄß w½AiÀħºÀÄzÀÄ.

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå7: ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è ACAiÀÄÄ DF£Àß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ. ªÀÄvÀÄÛ EDC =AFE DzÀgÉ AE=EC  JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:

avÀæzÀ°è AEF =DEC (±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀ) DE=EF, EDC =AFE (zÀvÁÛA±ÀUÀ¼ÀÄ) AEF DEC PÉÆÃ.¨Á.PÉÆ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ AE=EC ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ

vÀBSÉÛ: wæPÉÆãÀUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞUÀ¼ÀÄ

¨ÁºÀÄ	¨ÁºÀÄ	¨ÁºÀÄ	PÉÆãÀ	PÉÆãÀ	PÉÆãÀ	¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
Y	Y	Y	-	-	-	¨Á.¨Á.¨Á.
Y	-	-	Y	Y	-	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ.
Y	Y	-	Y	-	-	¨Á.PÉÆÃ.¨Á.

UÀªÀĤ¹: ªÉÄð£À vÀBSÉÛ UÀªÀĤ¹. wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DUÀ®Ä PÀ¤µÀÖ MAzÀÄ ¨ÁºÀĪÁzÀgÀÆ ¸ÀªÀĪÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ.

6.4.3 C¨sÁå¸À: ªÉÄð£À ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹, F PɼÀV£À gÀZÀ£ÉAiÀÄ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ (CzsÁåAiÀÄ 6.1 £ÉÆÃr: C°è gÀa¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÀ°wzÉݪÀÅ) ¸ÀjAiÉÄAzÀÄ ¸Á¢ü¹:

1)  PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉAiÀÄ£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

2)  MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄð£À ©AzÀÄ«£À°è ®A§ªÀ£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

3) zÀvÀÛ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ ®A§ ¢é¨sÁdPÀªÀ£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

6.4.3 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: JgÀqÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼À°è MAzÀgÀ PÀtð ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ, ªÀÄvÉÆÛAzÀgÀ PÀtð ªÀÄvÀÄÛ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D JgÀqÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ABC ªÀÄvÀÄÛ DEF UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ

(ABC =DEF= 90⁰)

AB=DE, AC=DF

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ABC DEF

gÀZÀ£É: FEAiÀÄ£ÀÄß GE=BC DUÀĪÀAvÉ GªÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¹zÉ. DGAiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÉ.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB=DE	zÀvÀÛ
2	ABC =DEF= 90^0	zÀvÀÛ
3	ABC =DEG = 90^0	DEG+DEF = 180^0
4	BC=GE	gÀZÀ£É
5	ABC DEG	ºÀAvÀ1, 3, 4jAzÀ, ¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
6	ACB=DGE	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
7	DG=AC	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
8	AC=DF	zÀvÀÛ
9	DG=DF	ºÀAvÀ7, 8
10	DE AiÀÄÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ.	DEF  ªÀÄvÀÄÛ DEGUÀ½UÉ
11	DEG = DEF = 90^0	gÀZÀ£É
12	DFE = DGE	GDFUÉ ¥ÁzÀ-PÉÆãÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
13	GDE = EDF	GDE =180^0–DEG-DGE =180^0–DEF -DFE= EDF
13	DEG DEF	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ  (ºÀAvÀ13, 10, 11)
14	ABC DEF	ºÀAvÀ 5,13

EzÀ£ÀÄß ®A.PÀ.¨Á. (®A§ PÉÆãÀ, PÀtð, ¨ÁºÀÄ) ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ JAvÀ®Æ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

6.4.3 ¸ÀªÀĸÉå8: MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ. CzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæPÉÆãÀ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¥ÀjºÁgÀ:(wæPÉÆãÀzÀ ±ÀÈAUÀ ©AzÀÄ«¤AzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ«UÉ J¼ÉzÀ ®A§UÀ¼Éà wæPÉÆãÀzÀ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ).

¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è EC,BF ªÀÄvÀÄÛ ADUÀ¼ÀÄ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BEC ªÀÄvÀÄÛ BFCUÀ¼À°è
2	EC=BF	JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ (zÀvÀÛ)
3	BEC=BFC = 90^0	BE ªÀÄvÀÄÛ BFUÀ¼ÀÄ ®A§UÀ¼ÀÄ
4	BC ¸ÁªÀiÁ£Àå¨ÁºÀÄ
5	BEC BFC	®A.PÀ.¨Á.¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
6	ABC = BCA	C£ÀÄgÀÄ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
7	ADB  ªÀÄvÀÄÛ ADCUÀ¼À°è
8	ADB=ADC = 90^0	ADAiÀÄÄJvÀÛgÀ
9	AD ¸ÁªÀiÁ£Àå¨ÁºÀÄ
10	ABC = BCA	ºÀAvÀ  6jAzÀ
11	ADB ADC	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
12	AB =AC	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
13	BC= AC	ªÉÄð£ÀAvÉAiÉÄà BFC BFA JAzÀÄ ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.
14	AB=AC=BC	ºÀAvÀ 12,13jAzÀ

6.4 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀA.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	AiÀiÁªÀÅzÉà wæPÉÆãÀzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180^0
2	wæPÉÆãÀzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ §»gïPÉÆãÀªÀÅ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ.
3	JgÀqÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, CªÀÅ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
4	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	wæ¨sÀÄdzÀ°è ¸ÀªÀĪÁzÀ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ (¥ÁzÀ-PÉÆãÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ) ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ «¯ÉÆêÀĪÀÇ ¸ÀvÀå.
6	¨Á.¨Á.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
7	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ