6.5 ««zsÀ gÉÃSÉUÀ¼À£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ (Concurrent lines of triangles):

 

 

ªÁåSÉå:

 

wæ¨sÀÄdzÀ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄ«¤AzÀ CzÀgÀ C©üªÀÄÄR(JzÀgÀÄ §¢) ¨ÁºÀÄ«UÉ J¼ÉzÀ ®A§ªÀ£ÀÄß ®A§gÉÃSÉ(JvÀÛgÀ ) (altitude).J£ÀÄßvÉÛêÉ.

¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è C ±ÀÈAUÀ©AzÀÄ. CM, C ¬ÄAzÀ AB UÉ J¼ÉzÀ ®A§ªÁzÀÄzÀjAzÀ CzÀÄ JvÀÛgÀ.

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdPÉÌ ªÀÄÆgÀÄ ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ EgÀĪÀÅzÀjAzÀ ªÀÄÆgÀÄ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ EgÀÄvÀÛªÉ J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.

 

ªÀÄÆgÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ  MAzÉà ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃzÀgÉCªÀÅUÀ¼À£ÀÄß KQèsÀªÀ£À gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ(concurrent lines) J£ÀßvÉÛêÉ.

 

¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è AB,CD,EF ªÀÄvÀÄÛ GH  gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀÅzÀjAzÀ CªÀÅ KQèsÀªÀ£À gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ.

 

 

 

6.5.1 ®A§gÉÃSÉAiÀÄ£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ(Construction of Altitudes):

 

1) zÀvÀÛ C¼ÀvÉUÉ ¸ÀjAiÀiÁV MAzÀÄ wæPÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¹ (AB =7.5 ¸ÉA.«Ä., AC=4 ¸ÉA.«Ä. , BC =7 ¸ÉA.«Ä.,)

2) C ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ C£ÀÄPÀÆ®ªÁzÀ wædå¢AzÀ AB AiÀÄ£ÀÄß (¨ÉÃPÁzÀgÉ ªÀÈ¢Þ¹)JgÀqÀÄ ¥ÀævÉåÃPÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ X ªÀÄvÀÄÛ YAiÀÄ°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. 

3) X ªÀÄvÀÄÛ Y UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ XY AiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑUÉ wædå¢AzÀ

JgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. CªÀÅUÀ¼ÀÄ Z £À°è bÉâ¸À°.

4) C ªÀÄvÀÄÛ Z UÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹. CZ gÉÃSÉAiÀÄÄ ABAiÀÄ£Àß L ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸À°. CL JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ®A§gÉÃSÉ (JvÀÛgÀ)

5) ±ÀÈAUÀ A AiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ C£ÀÄPÀÆ®ªÁzÀ wædå¢AzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ BC AiÀÄ£Àß (CUÀvÀå«zÀÝgÉ ªÀÈ¢Þ¹) JgÀqÀÄ ¥ÀævÉåÃPÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ G ªÀÄvÀÄÛ H UÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. 

6) G ªÀÄvÀÄÛ H UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, HG £À CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ

JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄßI AiÀÄ°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj.

7) A ªÀÄvÀÄÛ I UÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹. D gÉÃSÉAiÀÄÄ BC AiÀÄ£Àß N £À°è bÉâ¸À°. DUÀ AN MAzÀÄ ®A§gÉÃSÉ (JvÀÛgÀ)

8) ±ÀÈAUÀ B AiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ C£ÀÄPÀÆ®ªÁzÀ wædå¢AzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ AC AiÀÄ£Àß (CUÀvÀå«zÀÝgÉ ªÀÈ¢Þ¹) JgÀqÀÄ ¥ÀævÉåÃPÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

E ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj.

9) E ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, ED AiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄß F £À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ J¼É¬Äj.

10) B ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. D gÉÃSÉAiÀÄÄ AC AiÀÄ£Àß M £À°è bÉâ¸À°. DUÀ BM MAzÀÄ ®A§gÉÃSÉ (JvÀÛgÀ)

 

 

UÀªÀĤ¹: ªÀÄÆgÀÄ ®A§gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀÄ ‘O’ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛªÉ.

 

ªÁåSÉå:

 

wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ½AzÀ CªÀÅUÀ¼À C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ®A§UÀ¼À£Éß¼ÉzÁUÀ, D ®A§UÀ¼ÀÄ KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀ£ÀÄß ‘®A§PÉÃAzÀæ’ (orthocenter)J£ÀÄߪÀgÀÄ. F ©AzÀĪÀ£Àß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ‘O’  ¢AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

 

 

 

FUÀ £ÁªÀÅ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ «zsÀzÀ («±Á®PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ, ®WÀÄPÉÆãÀ wæPÉÆãÀ, ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ) wæPÉÆãÀUÀ¼À°è ®A§PÉÃAzÀæ ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀĪÁ:

avÀæ 1 gÀ°è ABC AiÀÄÄ «±Á®PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ.

®A§PÉÃAzÀæªÀÅ wæPÉÆãÀzÀ ºÉÆgÀUÉ EzÉ.

 

avÀæ 2 gÀ°è ABC AiÀÄÄ ®WÀÄPÉÆãÀ wæPÉÆãÀ. E°è ®A§PÉÃAzÀæªÀÅ wæPÉÆãÀzÀ M¼À¨sÁUÀzÀ°èzÉ.

avÀæ 3 gÀ°è ABC AiÀÄÄ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ. E°è ®A§PÉÃAzÀæªÀÅ wæPÉÆãÀzÀ ®A§PÉÆãÀzÀ  ±ÀÈAUÀzÀ°è EzÉ.

 

 

ªÁåSÉå:

 

wæPÉÆãÀzÀ°è MAzÀÄ ±ÀÈAUÀ©AzÀĪÀ£Àß CzÀgÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ«£À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ«UÉ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdzÀ ‘ªÀÄzsÀågÉÃSÉ’(median).

¥ÀPÀÌzÀ avÀæ ABC AiÀÄ°èA, B, C UÀ¼ÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ.

L, M, N UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV AB, BC ªÀÄvÀÄÛ AC UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

±ÀÈAUÀ©AzÀÄ CAiÀÄ£ÀÄß C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ L UÉ eÉÆÃr¸ÀĪÀ gÉÃSÉ.

CL à MAzÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.

±ÀÈAUÀ©AzÀÄ AAiÀÄ£ÀÄß C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ BC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ M UÉ eÉÆÃr¸ÀĪÀ gÉÃSÉ.

AM à MAzÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.

±ÀÈAUÀ©AzÀÄ B AiÀÄ£ÀÄß C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ CA AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ N UÉ eÉÆÃr¸ÀĪÀ gÉÃSÉ.

BN à MAzÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.

 

 

 

 

 

 

6.5.2 ªÀÄzsÀågÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ(Construction of Medians):

 

1) zÀvÀÛ C¼ÀvÉAiÀÄ wæPÉÆãÀªÀ£ÀÄß gÀa¹ (AB = 5¸ÉA.«Ä., AC = 5¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ

CAB = 500 DVgÀ°.)

2) AB AiÀÄ£ÀÄß «¨sÁV¹. (ABAiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ ABAiÀÄ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À°è PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. F PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼À°è

¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¸À°.).

3) X ªÀÄvÀÄÛ Y UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. XY gÉÃSÉAiÀÄÄ AB AiÀÄ£Àß L £À°è bÉâ¸À°. CL eÉÆÃr¹. DUÀ CL gÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.

 

4) BC AiÀÄ£ÀÄß «¨sÁV¹.(BC AiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ BC AiÀÄ JgÀqÀÆ §¢UÀ¼À°è PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.F PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸À°.

5) P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹j. PQ gÉÃSÉAiÀÄÄ BC AiÀÄ£ÀÄß M £À°è PÀrAiÀÄ°. AM ¸ÉÃj¹. EzÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉ.

 

EzÉÃjÃw B ©AzÀÄ«¤AzÀ®Æ ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.

 

 

 

UÀªÀĤ¹: ªÀÄÆgÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀÄ G ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛªÉ.

 

ªÁåSÉå:

wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉUÀ¼ÀÄ KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀ£ÀÄß “UÀÄgÀÄvÀéPÉÃAzÀæ”(centroid)J£ÀÄßvÉÛêÉ. EzÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ‘G’ ¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

  

 

FUÀ ««zsÀ jÃwAiÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À°è («±Á®PÉÆãÀ, ®WÀÄPÉÆãÀ, ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ) UÀÄgÀÄvÀéPÉÃAzÀæzÀ ¸ÁÜ£ÀUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀĪÁ.

ªÉÄð£À avÀæUÀ¼À°è G ¬ÄAzÀ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄ«UÀÆ ªÀÄvÀÄÛ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ«UÀÆ EgÀĪÀ zÀÆgÀUÀ¼À£ÀÄß C¼É¬Äj.

 

avÀæ 1 gÀ°è  (®WÀÄPÉÆãÀ wæPÉÆãÀ)

2GH = AG, 2GI= BG, 2GJ=GC.

 

avÀæ 2 gÀ°è (®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ)

2GX = DG, 2GY=EG, 2GZ=GF.

 

avÀæ 3 gÀ°è («±Á®PÉÆãÀ wæPÉÆãÀ) 2GS=PG, 2GT=QG, 2UG=GR.

 

       

EzÀjAzÀ £ÁªÉãÀ£ÀÄß wêÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÀÄ?

 

UÀÄgÀÄvÀéPÉÃAzÀæªÀÅ ¥Àæwà ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ±ÀÈAUÀ©AzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ 2:1 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°è «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ CzÀÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ wæPÉÆãÀzÀ M¼ÀUÉà EgÀÄvÀÛzÉ.

 

ªÁåSÉå: wæPÉÆãÀzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®A§¢é¨sÁdPÀUÀ¼ÀÄ “®A¨ÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ”(perpendicular bisector).

 

6.5.3 wæPÉÆãÀzÀ ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ®A¨ÁzsÀðPÀgÉÃSÉUÀ¼À£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

(Construction of perpendicular bisector):-

 

ºÀAvÀ 1: zÀvÀÛ C¼ÀvÉAiÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹j. (AB=7.5¸ÉA.«Ä., ABC=45,AC=4¸ÉA.«Ä.)

 

ºÀAvÀ 2: A ªÀÄvÀÄÛ BUÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ AB AiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ AB AiÀÄÄ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À°è JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.

F PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ X ªÀÄvÀÄÛ Y ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸À°.

 

ºÀAvÀ 3: X ªÀÄvÀÄÛ Y UÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹. XY  gÉÃSÉAiÀÄÄ AB AiÀÄ£ÀÄß L ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸À°. (XY gÉÃSÉAiÀÄÄ AB AiÀÄ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ AB UÉ ®A§ªÁVzÉ.)

 

ºÀAvÀ 4: B ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ BC AiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ BC AiÀÄ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À°è JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. F PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¸À°.

 

ºÀAvÀ 5: PQ eÉÆÃr¹. F gÉÃSÉAiÀÄÄ BC AiÀÄ£ÀÄß M ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸À°(PQ gÉÃSÉAiÀÄÄ BC UÉ ®A§ªÁVzÀÄÝ BC AiÀÄ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.)

 

 

ºÀAvÀ 6: A ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ AC AiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ ACAiÀÄ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À°è JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. F PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ T ªÀÄvÀÄÛ U ©AzÀÄUÀ¼À°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¸À°.

 

ºÀAvÀ 7: T,U UÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹. F gÉÃSÉAiÀÄÄ AC AiÀÄ£ÀÄß  N ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸À° (TU gÉÃSÉAiÀÄÄ AC AiÀÄ£ÀÄß ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.)

 

 

UÀªÀĤ¹: ªÉÄð£À ªÀÄÆgÀÄ ®A¨ÁzsÀðgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀÄ ‘S’ £À°è KQèsÀ«¸ÀÄvÀÛªÉ.

 

ªÁåSÉå:

 

wædåzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®A¨ÁzsÀðgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀ£ÀÄß “¥ÀjPÉÃAzÀæ”(Circumcenter) J£ÀÄßvÉÛêÉ. ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV F ©AzÀĪÀ£ÀÄß ‘S’  CxÀªÁ ‘C’ ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

 

UÀªÀĤ¹:- ABAiÀÄ ®A§¢é¨sÁdPÀ XYAiÀÄ ªÉÄð£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©AzÀÄ PÀÆqÁ A ªÀÄvÀÄÛ B¬ÄAzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ ‘S’ PÀÆqÁ A ªÀÄvÀÄÛ B¬ÄAzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.

CzÉÃjÃw, PQ ®A§¢é¨sÁdPÀzÀ ªÉÄð£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©AzÀĪÀÇ B ªÀÄvÀÄÛ C¬ÄAzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ ‘S’ PÀÆqÁ B ªÀÄvÀÄÛ C ¬ÄAzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ, SA=SB=SC.

DzÀÝjAzÀ £Á«ÃUÀ  S £Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ SA wædå¢AzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Éß¼ÉzÀgÉ, D ªÀÈvÀÛªÀÅ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀ ©AzÀÄ (A, B, C)UÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ.

 

ªÁåSÉå:

wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß D wæPÉÆãÀzÀ “¥ÀjªÀÈvÀÛ” (circumcircle’) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

£Á«ÃUÀ, ªÀÄÆgÀÄ «zsÀzÀ(«±Á®PÉÆãÀ, ®A§PÉÆãÀ ªÀÄvÀÄÛ ®WÀÄPÉÆãÀ) wæPÉÆãÀUÀ¼À°è ¥ÀjPÉÃAzÀæzÀ ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀĪÁ.

 

avÀæ1

avÀæ 2

avÀæ 3

avÀæ 1 gÀ°è PQR ªÀÅ «±Á®PÉÆãÀ wæPÉÆãÀªÁVzÀÄÝ,

¥ÀjPÉÃAzÀæ ‘S’ , wæPÉÆãÀzÀ ºÉÆgÀ ¨sÁUÀzÀ°èzÉ

avÀæ 2 gÀ°è ABC AiÀÄÄ ®WÀÄPÉÆãÀ wæPÉÆãÀªÁVzÀÄÝ

¥ÀjPÉÃAzÀæ ‘S’, wæPÉÆãÀzÀ M¼ÀVzÉ.

avÀæ 3 gÀ°è DEF ªÀÅ ®A§PÉÆãÀ wæPÉÆãÀªÁVzÀÄÝ,

¥ÀjPÉÃAzÀæ ‘S’, wæPÉÆãÀzÀ «PÀtðzÀ ªÉÄðzÉ.

 

 

            

 

6.5.4 PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼À£Éß¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ(Construction of angular bisector):

 

ºÀAvÀ 1: zÀvÀÛ C¼ÀvÉAiÀÄ ABC wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹j.

 

ºÀAvÀ 2: A AiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ AC UÀ¼À£ÀÄß P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ MAzÉà wædå¢AzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.

 

 

ºÀAvÀ 3: P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ PQ £À CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ, R £À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.

 

ºÀAvÀ 4: AR eÉÆÃr¹. EzÀÄ CABAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀgÉÃSÉ.

 

ºÀAvÀ 5: B AiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, C£ÀÄPÀÆ®ªÁzÀ MAzÉà wædå¢AzÀ, BC ªÀÄvÀÄÛ BA UÀ¼À£ÀÄß T ªÀÄvÀÄÛ S UÀ¼À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.

ºÀAvÀ 6: T ªÀÄvÀÄÛ S UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, TS £À CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. CªÀÅUÀ¼ÀÄ U £À°è bÉâ¸À°.

ºÀAvÀ 7: BU eÉÆÃr¹. EzÀÄ ABCAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀgÉÃSÉ.

ºÀAvÀ 8: C AiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, C£ÀÄPÀÆ®ªÁzÀ MAzÉà wædå¢AzÀ, CA ªÀÄvÀÄÛ CB UÀ¼À£ÀÄß W ªÀÄvÀÄÛ V UÀ¼À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.

ºÀAvÀ 9: W ªÀÄvÀÄÛ V UÀ¼À£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, WV £À CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. CªÀÅUÀ¼ÀÄ X £À°è bÉâ¸À°.

 ºÀAvÀ 10: CX £Àß eÉÆÃr¹. EzÀÄ ACBAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀgÉÃSÉ.

ºÀAvÀ 11: ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ MAzÉà ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀĪÀÅzÀÄ. CzÀ£ÀÄß I JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹.

 

 

UÀªÀĤ¹: ªÉÄð£À ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀÄ ‘I’ £À°è KQèsÀ«¸ÀÄvÀÛªÉ.

 

ªÁåSÉå:

 

MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀ£ÀÄß “CAvÀBPÉÃAzÀæ” (Incenter) J£ÀÄߪÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£Àß ‘I’ ¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

 

 

6.5.5 CAvÀBªÀÈvÀÛzÀ gÀZÀ£É(Construction of Incircle):

 

ºÀAvÀ 1: ªÉÄÃ¯É w½¹zÀAvÉ wæPÉÆãÀzÀ CAvÀBPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.(I)

 

ºÀAvÀ 2: I ¬ÄAzÀ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÁzÀ AB, BC ªÀÄvÀÄÛ CAUÀ½UÉ ®A§UÀ¼À£É߼ɬÄj. CªÀÅUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV D ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß L,M ªÀÄvÀÄÛ N UÀ¼À°è bÉâ¸À°. IL=IM=IN DVgÀĪÀÅzÀ£Àß UÀªÀĤ¹.

 

ºÀAvÀ 3: I AiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ  IL wædå¢AzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj. F ªÀÈvÀÛªÀÅ wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛzÉ.

 

 

 

 

 

 

ªÁåSÉå:

 

MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ CAvÀBPÉÃAzÀæªÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVAiÀÄļÀî ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß ¸Àà²ð¸ÀĪÀ ªÀÈvÀÛªÉà D wæPÉÆãÀzÀ CAvÀBªÀÈvÀÛ.(incircle).

 

UÀªÀĤ¹:

1. ªÀÄÆgÀÄ «zsÀzÀ(«±Á®PÉÆãÀ, ®A§PÉÆãÀ ªÀÄvÀÄÛ ®WÀÄPÉÆãÀ) wæPÉÆãÀUÀ¼À°è CAvÀ:PÉÃAzÀæzÀ ¸ÁÜ£ÀªÀÅ  wæPÉÆãÀzÀ M¼ÀUÉAiÉÄà EgÀÄvÀÛzÉ.

2. ¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæPÉÆãÀzÀ°è ®A§PÉÃAzÀæ = UÀÄgÀÄvÀéPÉÃAzÀæ = ¥ÀjPÉÃAzÀæ =  CAvÀBPÉÃAzÀæ 

 

¸ÀASÉå

KQèsÀªÀ£À gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

KQèsÀªÀ£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

©AzÀÄ«£À ºÉ¸ÀgÀÄ

wæPÉÆãÀzÀ°è

©AzÀÄ«£À ¸ÁÜ£À

1

®A§UÀ¼ÀÄ

O

®A§ PÉÃAzÀæ

***

2

PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

I

CAvÀBPÉÃAzÀæ

AiÀiÁªÁUÀ®Æ

M¼ÀUÉ

3

ªÀÄzsÀå gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ

G

UÀÄgÀÄvÀéPÉÃAzÀæ

AiÀiÁªÁUÀ®Æ

M¼ÀUÉ

4

®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ

S/C

¥ÀjPÉÃAzÀæ

***

 

*** : «±Á®PÉÆãÀªÁzÀgÉ wæPÉÆãÀzÀ ºÉÆgÀUÀÆ, ®WÀÄPÉÆãÀªÁzÀgÉ wæPÉÆãÀzÀ M¼ÀUÀÆ, ªÀÄvÀÄÛ ®A§PÉÆãÀªÁzÀgÉ ±ÀÈAUÀ/«PÀtðzÀ ªÉÄÃ®Æ ©AzÀÄ«£À ¸ÁÜ£À EgÀÄvÀÛzÉ.

 

How to Remember?

 

OIGS stands for On India Government Services is for All (Altitudes) Indian (Angular) Middle(Medians) class People (Perpendicular bisectors).

 

 

C¨sÁå¸À:

 

ªÉÄÃ¯É «ªÀj¹zÀAvÉ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ wæPÉÆãÀPÀÆÌ 4 PÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ EzÉÝà EgÀÄvÀÛªÉ.

ºÁVzÀÝ°è ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹zÀAwgÀĪÀ wæ¨sÀÄeÁPÀÈwAiÀÄ MAzÀÄ ªÀÄgÀzÀ ºÀ®UÉ EzÀÝ°è, CzÀgÀ ªÉÄÃ¯É J°èAiÉÄà PÉÆgÉzÀ gÀAzsÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÉêÀ® MAzÉà ºÀUÀÎzÀ DzsÁgÀ¢AzÀ D ºÀ®UÉAiÀÄ£ÀÄß £É®PÉÌ ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀªÁV DPÁ±ÀzÀ°è £ÉÃvÁr¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? ¸ÁzsÀå«zÀÝ°è D gÀAzsÀæ AiÀiÁªÀ ©AzÀÄ DVgÀÄvÀÛzÉ?

 

 

 

6.5 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

 

¸ÀA.

£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ

1

MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄ«¤AzÀ, CzÀgÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ«UÉ J¼ÉzÀ ®A§ªÉà wæPÉÆãÀzÀ JvÀÛgÀ.

 

2

ªÀÄÆgÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ KQèsÀªÀ£À gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀĪÉà KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀÄ.

3

wæPÉÆãÀzÀ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀÅ CzÀgÀ ®A§PÉÃAzÀæ(O)

4

wæPÉÆãÀzÀ ªÀÄzsÀågÉÃSÉUÀ¼ÀÄ KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀÅ CzÀgÀ UÀÄgÀÄvÀéPÉÃAzÀæ (G)

5

wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®A¨ÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ KQÃPÀj¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀÅ ¥ÀjPÉÃAzÀæ(S). ¥ÀjPÉÃAzÀææªÀÅ PÉÃAzÀæªÁVzÀÄÝ, wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀUÀ¼À£Àß ¸Àà²ð¸ÀĪÀ ªÀÈvÀÛªÀÅ ¥ÀjªÀÈvÀÛ.

6

wæPÉÆãÀzÀ PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ KQèsÀ«¸ÀĪÀ ©AzÀĪÀÅ CzÀgÀ CAvÀBPÉÃAzÀæªÀÅæ(I).

CAvÀBPÉÃAzÀæªÀÅ PÉÃAzÀæªÁVzÀÄÝ, wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß ¸Àà²ð¸ÀĪÀ ªÀÈvÀÛªÀÅ CAvÀBªÀÈvÀÛ.

 

 

UÀªÀĤ¹: ªÀÄÄAzÉ «¨sÁUÀ 6.13 gÀ°è F gÉÃSÉUÀ¼À KQèsÀªÀ£ÀªÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À°QÌzÉÝêÉ.