6.9 ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ - ¨sÁUÀ 1 (Circles- Part 1)

»A¢£À ¥ÁoÀUÀ¼À°è ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉ, ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉUÀ½AzÀ ¸ÀÄvÀÄÛªÀjAiÀÄ®àlÖ DPÀÈwUÀ¼À §UÉÎ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À UÀÄt ®PÀëtUÀ¼À §UÉÎ PÀ°vɪÀÅ. E£ÀÆß EvÀgÀ vÉgÀ£ÁzÀ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ E®èªÉÃ?

GzÁºÀgÀuÉAiÀiÁV £ÀªÀÄä ¸ÀÆAiÀÄðªÀÄAqÀ®ªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄ PÉƼÉÆîÃt, ¨sÀÆ«ÄAiÀÄÄ ¸ÀÆAiÀÄð£À ¸ÀÄvÀÛ CAqÁPÁgÀzÀ PÀPÉëAiÀÄ°è ¸ÀÄvÀÄÛvÀÛzÉ. ZÀAzÀæ£ÀÄ ¨sÀÆ«ÄAiÀÄ ¸ÀÄvÀÛ ¸ÀĪÀiÁgÁV

ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ°è ¸ÀÄvÀÄÛvÀÛzÉ. ¨sÀÆ«Ä ¸ÀĪÀiÁjUÉ zÀÄAqÀVzÀÄÝ vÀ£Àß CPÀëzÀ ¸ÀÄvÀÛ ¸ÀÄvÀÄÛvÀÛzÉ. §¸ï ªÀÄvÀÄÛ ¸ÉÊPÀ¯ï £À ZÀPÀæUÀ¼ÀÄ ZËPÀ CxÀªÁ DAiÀÄvÀ DPÁgÀzÀ°è E¢ÝzÀÝgÉ CªÀÅUÀ¼ÀÄ

¸ÀÄ®¨sÀªÁV ZÀ°¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?

£ÁªÀÅ ¤vÀå fêÀ£ÀzÀ°è PÁtĪÀ £ÁtåUÀ¼ÀÄ, ZÀPÀæUÀ¼ÀÄ, ¸ÉÊPÀ¯ï lAiÀÄgÀÄ, GAUÀÄgÀ,§¼É, ¨Á« EªÉ¯Áè ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ°èªÉ. £Á«ÃUÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼À ®PÀëtUÀ¼À£Àß C¨sÀ幸ÀĪÁ.

6.9.1 ªÁåSÉåUÀ¼ÀÄ

avÀæ	ªÁåSÉå
	ªÀÈvÀÛªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è£À DªÀÈvÀ gÉÃSÉAiÀiÁVzÉ. EzÀgÀ ªÉÄð£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©AzÀĪÀÇ MAzÀÄ zÀvÀÛ ¹ÜgÀ ©AzÀÄ«¤AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ. F ¹ÜgÀ ©AzÀĪÀ£Àß ‘ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæ’(Center) (O)J£ÀÄßvÉÛêÉ. avÀæzÀ°è P,A,Q,R, S©AzÀÄUÀ¼É¯Áè O ¢AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°èªÉ.
	ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀĪÀ£Àß ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæPÉÌ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄ£Àß ‘wædå’(Radius) J£ÀÄßvÉÛêÉ. EzÀ£Àß  ‘r’ ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ºÀ®ªÁgÀÄ wædåUÀ½gÀÄvÀÛªÉ. avÀæzÀ°è OP,OQ ªÀÄvÀÄÛ OA UÀ¼É¯Áè wædåUÀ¼ÀÄ. OP=OA=OQ.
	ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£Àß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÉà ‘eÁå’(Chord). avÀæzÀ°è AQ ªÀÄvÀÄÛ RS UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ.
	ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄÃ¯É JgÀqÀÄ CAvÀå ©AzÀÄUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ, ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÉà ªÀÈvÀÛzÀ ‘ªÁå¸À’(Diameter). EzÀ£Àß  ‘d’¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. ªÀÈvÀÛzÀ°è ªÁå¸ÀªÀÅ CvÀåAvÀ GzÀÝzÀ eÁå DVzÉ. avÀæzÀ°è PQ ªÀÅ ªÁå¸À. EzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ ‘O’zÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ºÀ®ªÁgÀÄ ªÁå¸ÀUÀ½ªÉ. UÀªÀĤ¹:- d=PQ= PO+OQ =r+r =2r
	ªÀÈvÀÛªÀÅ DªÀÈvÀªÁVgÀĪÀ ªÀPÀægÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ¥Àj¢ü (Circumference) J£ÀÄßvÉÛêÉ. EzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÆ ºËzÀÄ. avÀæzÀ°è EzÀgÀ GzÀݪÀ£Àß  P¬ÄAzÀ PUÉ A, Q, S,RUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ C¼ÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.
	MAzÉà ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ, ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ wædåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß KPÀPÉÃA¢æÃAiÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼É£ÀߪÀgÀÄ(Concentric circles).  C1, C2,  C3 UÀ¼ÀÄ ªÀÄÆgÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ.  O ªÀÄÆgÀgÀ PÉÃAzÀæ OA, OB,  OC UÀ¼ÀÄ wædåUÀ¼ÀÄ.
	MAzÉà wædåªÀ£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£Àß ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼É£ÀÄßvÉÛêÉ(Congruent circles).  C1 ªÀÄvÀÄÛ C2 UÀ¼ÀÄ MAzÉà wædå (OA=OB) ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ PÉÃAzÀæUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ.
	ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢üAiÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀªÀ£Àß ªÀÈvÀÛzÀ PÀA¸À(Arc) J£ÀÄßvÉÛêÉ. avÀæzÀ°è RS MAzÀÄ PÀA¸À.
	ªÀÈvÀÛzÀ°è eÁå ªÀÄvÀÄÛ PÀA¸À¢AzÀ DªÀÈvÀÛªÁzÀ ¨sÁUÀªÀ£Àß ªÀÈvÀÛRAqÀ(Segment) J£ÀÄßvÉÛêÉ. avÀæzÀ°è RXSR MAzÀÄ ªÀÈvÀÛRAqÀ. ¥Àæwà eÁåªÀÅ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß JgÀqÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ. CzÀPÀÌ£ÀÄUÀÄtªÁV JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛ RAqÀUÀ¼ÀÄ £ÀªÀÄUÉ ¹UÀÄvÀÛªÉ - ®WÀÄ ªÀÈvÀÛRAqÀ ªÀÄvÀÄÛ C¢üPÀ ªÀÈvÀÛRAqÀ.
	ASBA MAzÀÄ ®WÀÄ(minor) ‘ªÀÈvÀÛ’ RAqÀ. (ASB PÀA¸À ªÀÄvÀÄÛ AB eÁå¢AzÀ DªÀÈvÀÛªÁzÀ ¨sÁUÀ.)
	avÀæzÀ°è AB AiÀÄÄ ªÁå¸À. ASBOA ªÀÄvÀÄÛ ACBOA UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ‘CzsÀð’ªÀÈvÀÛ RAqÀUÀ¼ÀÄ(Semi circles). (ªÁå¸À AB ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ASB ªÀÄvÀÄÛ ACB PÀA¸ÀUÀ½AzÀ DªÀÈvÀÛªÁzÀ ¨sÁUÀ.)
	ASBA AiÀÄÄ MAzÀÄ ‘C¢üPÀ/«±Á®’(major) ªÀÈvÀÛRAqÀ. (D¢üPÀ PÀA¸À ASB ªÀÄvÀÄÛ eÁå AB ¬ÄAzÀ DªÀÈvÀÛªÁzÀ ¨sÁUÀ.)

6.9.2 ®PÀëtUÀ¼ÀÄ (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ) [Properties (Theorems)]:

6.9.2.1. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉÌ J¼ÉzÀ ®A§ªÀÅ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.

zÀvÀÛ: O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è AQªÀÅ MAzÀÄ eÁå OBAiÀÄÄ AQUÉ J¼ÉzÀ ®A§.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AB=BQ

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
	OAB ªÀÄvÀÄÛ OQBUÀ¼À°è
1	OA = OQ	ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ
2	OBA =OBQ=90^0	OB AQ (zÀvÀÛ)
3	OBAiÀÄÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ.
4	OAB OQB	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ.
5	AB=BQ	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.

6.9.2.2 «¯ÉÆêÀĪÁV:- ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæªÀ£Àß eÁåzÀ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ«UÉ eÉÆÃr¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ eÁåPÉÌ ®A§ªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.

C¨sÁå¸À: EzÀ£Àß ¸Á¢ü¹. (¸ÁzsÀ£É ªÉÄð£ÀAvÉAiÉÄà EgÀÄvÀÛzÉ.)

6.9.2.2. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: avÀæzÀ°è OªÀÅ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ. PQ ªÀÄvÀÄÛ RSUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ. OX ªÀÄvÀÄÛ OYUÀ¼ÀÄ PQ ªÀÄvÀÄÛ RS UÀ½UÉ O ¢AzÀ J¼ÉzÀ ®A§UÀ¼ÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: OX=OY

gÀZÀ£É: OP ªÀÄvÀÄÛ OR gÉÃSÉ J¼É¬Äj.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
	OPX ªÀÄvÀÄÛ ORYUÀ¼À°è
1	2PX=PQ	OX ®A§ªÀÅ PQªÀ£Àß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
2	2RY=RS	OY ®A§ªÀÅ RS£Àß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
3	PQ=RS	zÀvÀÛ. ªÀÄÃ¯É w½¹zÀAvÉ
4	2PX=2RY: PX=RY
5	OP =OR	ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ
6	PXO =OYR=90^0	6.9.2.2
4	PXO RYO	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	OX=OY	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.

6.9.2.3. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è PÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

F ®PÀëtªÀÅ 6.9.2.2 gÀ «¯ÉÆêÀĪÉà DVzÉ.

zÀvÀÛ: avÀæzÀ°è OªÀÅ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ. PQ ªÀÄvÀÄÛ RSUÀ¼ÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ.

OX ªÀÄvÀÄÛ OYUÀ¼ÀÄ PQ ªÀÄvÀÄÛ RSUÀ½UÉ J¼ÉzÀ ®A§UÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ OX=OY ¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: PQ=RS gÀZÀ£É: OP ªÀÄvÀÄÛ OR UÀ¼À£Àß J¼É¬Äj. C¨sÁå¸À: ªÉÄÃ¯É (6.9.2.2)gÀ°è C£ÀĸÀj¹zÀ ºÀAvÀUÀ¼À£Éßà C£ÀĸÀj¹, PXO RYO JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. PX=RY: RS=PQ

6.9.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: avÀæzÀ°è AB ªÀÄvÀÄÛ CDUÀ¼ÀÄ O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ. F eÁåUÀ¼À£Àß ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ CªÀÅUÀ¼ÀÄ E ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛªÉ. EB=ED JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

gÀZÀ£É: O ¢AzÀ AB ªÀÄvÀÄÛ CDUÀ½UÉ OP ªÀÄvÀÄÛ OQ ®A§UÀ¼À£É߼ɬÄj.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AP =1/2AB=PB	®A§ªÀÅ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
2	CQ= 1/2CD=QD	®A§ªÀÅ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
3	AP=CQ,PB=QD	AB=CD(zÀvÀÛ),
4	OPB =OQD = 90^0	gÀZÀ£É
5	OP =OQ	¸ÀªÀiÁ£À eÁåUÀ½UÉ PÉÃAzÀæ¢AzÀ J¼ÉzÀ ®A§UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
6	OE ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ
7	OPE OPB	®A.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
8	PE=QE
9	PE-PB =QE-QD EB=ED	ºÀAvÀ 8,3.

6.9.2 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ (CAvÀ¸ÀÜPÉÆãÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ): MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀÅ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ°è K¥Àðr¸ÀĪÀ PÉÆãÀªÀÅ, CzÉà PÀA¸ÀªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ G½zÀ ¨sÁUÀzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À°è K¥Àðr¸ÀĪÀ PÉÆãÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.

zÀvÀÛ: avÀæzÀ°è OªÀÅ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ. AOBAiÀÄÄ AB PÀA¸À¢AzÀ PÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁzÀ PÉÆãÀ. APBAiÀÄÄ CzÉà PÀA¸À¢AzÀ G½zÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ¨sÁUÀ ©AzÀĪÀ°è GAmÁzÀ PÉÆãÀ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AOB = 2APB

gÀZÀ£É: POªÀ£Àß eÉÆÃr¹ D ªÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¹zÉ.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	OA = OP	ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ ºÀAvÀ
2	OPA = OAP	OAP AiÀÄÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd
3	AOD =OAP+OPA	wææ¨sÀÄdzÀ §»gïPÉÆãÀªÀÅ (AOP) CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ.
4	= 2OPA	ºÀAvÀ 2
5	OB = OP	ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ
6	OBP = OPB	OBP AiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd
7	BOD =OBP+OPB	wææ¨sÀÄd (BOP)zÀ §»gïPÉÆãÀªÀÅ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ.
8	= 2OPB	(OBP = OPB)
9	AOD+BOD=2OPA+2OPB =2(OPA+OPB) = 2APB	ºÀAvÀ 3,4,7, 8 jAzÀ
10	AOB =2APB	AOB=AOD+ BOD

G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: CzsÀðªÀÈvÀÛzÀ°è£À PÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ.

¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è ABAiÀÄÄ ªÁå¸À. ACBAiÀÄÄ CzsÀðªÀÈvÀÛzÀ°è£À PÉÆãÀ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀÄzÀÄ: ACB = 90^0 ¸ÀÆZÀ£É: ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÀ, 2 ACB = AOB AOBAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀiÁzÀÄzÀjAzÀ AOB = 180^0 ACB = 90^0

¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: MAzÉà ªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è£À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÉAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: A ªÀÄvÀÄÛ BUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è ¥Àj¢üAiÀÄ ªÉÄð£À JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ. ACB ªÀÄvÀÄÛ ADBUÀ¼ÀÄ CAvÀ¸ÀÜ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ AOBAiÀÄÄ PÉÃA¢æÃAiÀÄ PÉÆãÀ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ACB= ADB

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AOB= 2ADB	MAzÉà PÀA¸À AB ¬ÄAzÁzÀ PÉÃA¢æÃAiÀÄ PÉÆãÀªÀÅ CAvÀ¸ÀÜPÉÆãÀzÀ 2gÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
2	AOB= 2ACB	MAzÉà PÀA¸À AB ¬ÄAzÁzÀ PÉÃA¢æÃAiÀÄ PÉÆãÀªÀÅ CAvÀ¸ÀÜ PÉÆãÀzÀ 2gÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
3	2ACB= 2ADB	1 ªÀÄvÀÄÛ 2 jAzÀ
4	ACB= ADB

6.9.2 ¸ÀªÀĸÉå2: avÀæzÀ°è APC ªÀÄvÀÄÛ DPBUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀĪÉAzÀÄ ¸Á¢ü¹. C®èzÉ,

PC*PD =PA*PB JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: APC ªÀÄvÀÄÛDPBUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ PÉÆäÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ PC*PD =BP*PA

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	ACD = ABD	MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ (AD) PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
2	CAB = CDB	MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ (BC) PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	CPA = BPD	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
4	APC |||DPB	¸ÀªÀÄPÉÆäÃAiÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ
5	AC/BD = PD/PA =PB/PC
6	PC*PD =PA*PB

UÀªÀĤ¹: F ªÉÄð£À ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄÄ PɼÀUÉ PÉÆlÖ ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£Àß ¸Á¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ:-

¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è JgÀqÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ DAvÀjPÀªÁV CxÀªÁ ¨ÁºÀåªÁV bÉâ¹zÁUÀ, CªÀÅUÀ¼À ¨sÁUÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

6.9.2 ¸ÀªÀĸÉå3: ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è AB ªÀÄvÀÄÛ BCUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À ªÁå¸ÀUÀ¼ÀÄ. ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ B ªÀÄvÀÄÛ DUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. A, D ªÀÄvÀÄÛ CUÀ¼ÀÄ KPÀgÉÃSÁUÀvÀ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: AB ªÀÄvÀÄÛ BCUÀ¼ÀÄ ªÁå¸ÀUÀ¼ÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ:ADC = 180⁰

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB AiÀÄÄ ªÁå¸À
2	ADB = 90^0	CzsÀðªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è£À (AB) PÉÆãÀ
3	BCAiÀÄÄ ªÁå¸À
4	BDC = 90^0	CzsÀðªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è£À (BC) PÉÆãÀ
5	ADB+BDC = 180^0

6.9.2 ¸ÀªÀĸÉå 4: avÀæzÀ°è JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ B ªÀÄvÀÄÛ C ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. B ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ABD ªÀÄvÀÄÛ PBQ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£É߼ɢzÉ. CªÀÅ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£Àß PÀæªÀĪÁV A,D ªÀÄvÀÄÛ P,Q ©AzÀÄUÀ¼À°è ¸ÀA¢ü¹ªÉ. ACP = QCDJAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	ACP = ABP	MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ (AP) PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
2	ABP = DBQ	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	DBQ = DCQ	MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ (DQ) PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
4	ACP = QCD	1,2,3 jAzÀ,

6.9.2 ¸ÀªÀĸÉå 5: ABC ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ°è (AB= AC)BAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ABCAiÀÄ ¥ÀjªÀÈvÀÛªÀ£Àß PAiÀÄ°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ. AP ªÀÄvÀÄÛ BCAiÀÄ£Àß ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ CªÀÅ Q£À°è ¸ÀA¢ü¹ªÉ. CQ=CA JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

gÀZÀ£É: CPAiÀÄ£Àß eÉÆÃr¹zÉ.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	ABC = 2CBP	BPAiÀÄÄ ABCAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ
2	CBP=CAQ	MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ (CP) PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	ABC = 2CAQ	1 ªÀÄvÀÄÛ 2 jAzÀ
4	BCA = CAQ+CQA	wæPÉÆãÀzÀ §»gïPÉÆãÀªÀÅ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ.
5	CQA = BCA-CAQ	4 jAzÀ
6	= ABC-CAQ	BCA =ABC as AB=AC (zÀvÀÛ)
7	=2CAP-CAQ =CAQ	3 jAzÀ
8	CQ=CA	5 ªÀÄvÀÄÛ 6 jAzÀ

ªÀÈvÀÛUÀ¼À gÀZÀ£É:

1) MAzÀÄ ©AzÀĪÀ£Àß ªÀiÁvÀæ PÉÆmÁÖUÀ MAzÉà ªÀÈvÀÛ gÀa¸À§ºÀÄzÉ? ¸ÁzsÀå«®è. KPÉAzÀgÉ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÀ®ªÁgÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ 2) JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ MAzÉà ªÀÈvÀÛ gÀa¸À§ºÀÄzÉ? ¸ÁzsÀå«®è. KPÉAzÀgÉ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£Àß ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ §ºÀ¼À ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

3. ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀgÀ¼À gÉÃSÁUÀvÀªÀ®èzÀ ©AzÀÄUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ, CªÀÅUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ MAzÉà ªÀÈvÀÛ gÀa¸À§ºÀÄzÉ?

ºËzÀÄ. PɼÀV£À ºÀAvÀUÀ¼À£Àß C£ÀĸÀj¹j:-

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	A, B, C JA§ 3 ©AzÀÄUÀ¼À£Àß vÉUÉzÀÄPÉƽî
2	AB, BCUÀ¼À£Àß eÉÆÃr¹.
3	AB ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼À ®A§¨sÁdPÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. (6.4.3 £ÉÆÃr)
4	F ®A§¢é¨sÁdPÀUÀ¼ÀÄ ‘S’ £À°è ¸ÀA¢ü¸À°.
5	‘SA’ wædå¢AzÀ S£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ ªÀÈvÀÛ J¼É¬Äj.

F ªÀÈvÀÛªÀÅ B, CUÀ¼À£Àß ¸Àà²ð¸ÀÄvÀÛzÉ. F ªÀÈvÀÛªÀÅ ABCAiÀÄ ¥ÀjªÀÈvÀÛ. S JA§ÄzÀÄ ¥ÀjPÉÃAzÀæ( ¥ÁoÀ 6.5 £ÉÆÃrj)

DzÀÝjAzÀ ¸ÀgÀ¼À gÉÃR¸ÀܪÀ®èzÀ 3 ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ MAzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß J¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ.

6.9.3 ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd (cyclic Quadrilateral)

ªÁåSÉå: MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄðzÀÝgÉ CAvÀºÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd (cyclic quadrilateral) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

6.9.3 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. (CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180⁰).

zÀvÀÛ: O PÉÃA¢æÃAiÀÄ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: BAD + BCD = 180⁰

ABC +ADC = 180⁰.

gÀZÀ£É: OB ªÀÄvÀÄÛ ODUÀ¼À£Àß eÉÆÃr¹zÉ. DUÀ BODAiÀÄÄ PÉÃA¢æÃAiÀÄ PÉÆãÀ. BADAiÀÄÄ CAvÀ¸ÀÜ PÉÆãÀ.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BAD = 1/2 BOD	CAvÀ¸ÀÜ PÉÆãÀªÀÅ PÉÃAzÀæ PÉÆãÀzÀ CzsÀð
2	BCD = 1/2 C¢üPÀ BOD	CAvÀ¸ÀÜ PÉÆãÀªÀÅ PÉÃAzÀæ PÉÆãÀzÀ CzsÀð
3	BAD +BCD = 1/2 BOD + 1/2 C¢üPÀ BOD = 1/2(BOD+ C¢üPÀ BOD) = 1/2(360^0) = 180^0
4	EzÉÃ jÃwAiÀÄ°è ABC +ADC = 180^0

DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÁVªÉ. (CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180⁰).

¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀÄ:MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÁzÀgÉ, CzÀÄ MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd.

(¸ÁzsÀ£É PÉÆnÖ®è. vÁQðPÀªÁV PÁgÀtPÉÆlÄÖ ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.)

6.9.3 ¸ÀªÀĸÉå 1: ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£Àß ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ ºÉÆgÀ PÉÆãÀªÀÅ CAvÀ¸ÁÜ©üªÀÄÄR PÉÆãÀPÉÌ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀÅzÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd. DCEAiÀÄÄ MAzÀÄ ºÉÆgÀ PÉÆãÀ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: BAD =DCE

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BAD+ BCD = 180^0	ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀA¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÀÄ.
2	BCD + DCE = 180^0	¸ÀgÀ¼À AiÀÄÄUÀä PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	BAD+ BCD = + DCE BAD =DCE	JgÀqÀÆ §¢UÀ½AzÀ BCDAiÀÄ£Àß PÀ¼ÉzÁUÀ,

6.9.3 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è CAvÀ¸ÀܪÁV gÀa¹zÀgÉ, CzÀÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ABC = BCD = ADC = DAB = 90⁰

(ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ)

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BAD+ BCD = 180^0	ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀA¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÀÄ.
2	BAD = BCD	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
3	BAD =BCD =90^0

DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è CAvÀ¸ÀܪÁVgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ DAiÀÄvÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

6.9.4 ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£É(Construction of a cyclic Quadrilateral)

C£ÀĸÀj¸À¨ÉÃPÁzÀ ºÀAvÀUÀ¼ÀÄ (¸ÁªÀiÁ£Àå)

UÀªÀĤ¹: £Á«ÃUÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ £Á®ÄÌ ±ÀÈAUÀUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß gÀa¸À¨ÉÃPÁVzÉ.

MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjªÀÈvÀÛªÀÅ wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉA§ÄzÀ£Àß £Á«ÃUÁUÀ¯Éà PÀ°wzÉÝÃªÉ (¥ÁoÀ 6.5).

DzÀÝjAzÀ £Á«ÃUÀ MAzÀÄ ¥ÀjªÀÈvÀÛªÀ£Àß gÀa¹, £ÀAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ £Á®Ì£Éà ±ÀÈAUÀ ©AzÀĪÀ£Àß ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢üAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹zÀgÉ £ÀªÀÄä ¸ÀªÀĸÉå ¥ÀjºÁgÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

ºÀAvÀ1: zÀvÁÛA±ÀPÉÌ ¸ÀjAiÀiÁV MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£Àß gÀa¹.

ºÀAvÀ2: AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®A§¢é¨ÁdPÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.

ºÀAvÀ3: F ®A§¢é¨ÁdPÀUÀ¼ÀÄ ‘O’ ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸À°.

ºÀAvÀ4: ‘O’ ªÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄÆgÀÄ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß gÀa¹.

ºÀAvÀ5: zÀvÀÛ C¼ÀvÉUÀ£ÀĸÁgÀªÁV 4^£Éà ±ÀÈAUÀ ©AzÀĪÀ£Àß ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢üAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹.

UÀªÀĤ¹: MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£Àß gÀa¸À®Ä F PɼÀV£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ 3 CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ

1. ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉ. CxÀªÁ

2. MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ D ¨ÁºÀÄ«£À ªÉÄð£À 2 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ

3. 2 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ½AzÉƼÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ PÉÆãÀ.

6.9.4 ¸ÀªÀĸÉå 1: KL = 4¸ÉA.«Ä., LM = 4.8¸ÉA.«Ä., KM = 6.8¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ KN = 4.3¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ KLMN ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹.

ºÀAvÀUÀ¼ÀÄ:

1) F PɼÀV£ÀAvÉ KLM gÀa¹: (i) 4¸ÉA.«Ä.GzÀÝzÀ KLM gÉÃSÉ J¼É¬Äj. (ii) K¬ÄAzÀ 6.8¸ÉA.«Ä. wædåzÀ ©AzÀÄ PÀA¸À J¼É¬Äj. L¤AzÀ 4.8¸ÉA.«Ä. wædåzÀ ©AzÀÄ PÀA¸À J¼É¬Äj.F JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ M£À°è bÉâ¸À°. (iii) KM ªÀÄvÀÄÛ LM eÉÆÃr¹. KLM zÀÆgÀ zÉÆgÉwzÉ. 2) KL ªÀÄvÀÄÛ LM ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®A§¢é¨ÁdPÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. EªÀÅ ‘O’ ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸À°. 3) OªÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, OKwædå¢AzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj. F ªÀÈvÀÛªÀÅ K, L, M ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ. 4) KAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖ 4.3¸É.«Ä. wædå¢AzÀ ªÀÈvÀÛ ¥Àj¢üAiÀÄ£Àß N£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. 5) KLMN £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðd .

6.9.4 ¸ÀªÀĸÉå 2: XY= 2.5¸ÉA.«Ä., YZ=5.5¸ÉA.«Ä., ZT=3¸ÉA.«Ä.XTZ = 60⁰ EgÀĪÀAvÉ XYZT ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹.

UÀªÀĤ¹: XYZT MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁzÀÝjAzÀ, C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ XTZ ªÀÄvÀÄÛ XYZ UÀ¼ÀÄ ¸ÀA¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÀÄ. DzÀÄzÀjAzÀ XYZ= 120⁰ .

ºÀAvÀUÀ¼ÀÄ:

1) XYZ wæ¨sÀÄdªÀ£Àß gÀa¹: (i) 2.5¸ÉA.«Ä. GzÀÝzÀ XY ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ J¼É¬Äj. (ii) YAiÀÄ°è XYAiÉÆA¢UÉ 120^0 DUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ J¼É¬Äj. Y¬ÄAzÀ 5.5¸ÉA.«Ä.wædå¢AzÀ F gÉÃSÉAiÀÄ£Àß Z£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. (iii) XZ ¸ÉÃj¹ XYZ wæ¨sÀÄd £ÀªÀÄUÉ zÉÆgɬÄvÀÄ. 2) XY ªÀÄvÀÄÛ YZ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. bÉÃzÀ£À ©AzÀÄ ‘O’. 3) ‘O’ ªÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖ, X, Y ªÀÄvÀÄÛ ZUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£É߼ɬÄj. 4) Z£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÀÈvÀÛªÀ£Àß TAiÀÄ°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. 5) XYZT £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.

6.9.5 ªÀÈvÀÛzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ ªÀÄvÀÄÛ «¹ÛÃtð(Circumference and area of a circle)

ªÀÈvÀÛzÀ wædå r DzÀgÉ

ªÀÈvÀÛzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ(¥Àj¢ü) = 2 r
ªÀÈvÀÛzÀ «¹ÛÃtð = r^2

UÀªÀĤ¹:

JAzÁUÀ £É£À¥ÁUÀĪÀÅzÀÄ DAiÀÄð¨sÀl£ÀzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁ¸ÀÌgÀ£ÀzÀÄ

1) DAiÀÄð¨sÀl£À ¸ÀÆvÀæ:

4 £ÀÄß 100 PÉÌ ¸ÉÃj¹, 8 jAzÀ UÀÄt¹ 62,000 ¸ÉÃj¹zÀgÉ CzÀÄ 20000 ªÀiÁ£ÀzÀ ªÁå¸À«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ CAzÁdÄ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = {(4+100)*8+62000} = 62832. ªÁå¸À : 20000

¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ/ ªÁå¸À = 62832/20000 = 3.1416(=)

2) ¨sÁ¸ÀÌgÀ£À ¸ÀÆvÀæ(°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 202) :

ªÀÈvÀÛzÀ ªÁå¸ÀªÀ£ÀÄß 3927 jAzÀ UÀÄt¹ 1250 jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ ¸ÀÆPÀë÷ä ¥Àj¢üAiÀÄÆ, 22 jAzÀ UÀÄt¹ 7 jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ ªÀåªÀºÁgÀ AiÉÆÃUÀåªÁzÀ ¸ÀÆÜ® ¥Àj¢üAiÀÄÆ §gÀÄvÀÛzÉ.

¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = (ªÁå¸À*3927)/1250

¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ/ ªÁå¸À = 3927/1250 = 3.1416(=)

(CAzÁdÄ) = 22/7

6.9 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

PÀæ.¸ÀA.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉ̼ÉzÀ ®A§ªÀÅ eÁåªÀ£Àß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
2	MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸ÀªÀĪÁV eÁåUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.
3	ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀÄ zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
4	MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀÅ PÉÃAzÀæzÀ°è K¥Àðr¸ÀĪÀ PÉÆãÀªÀÅ, CzÉà PÀA¸ÀªÀÅ. ªÀÈvÀÛzÀ G½zÀ ¨sÁUÀzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À°è K¥Àðr¸ÀĪÀ PÉÆãÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
5	MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆãÀ ¥ÀÇgÀPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. (CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180^0DVgÀÄvÀÛzÉ.).