3.1 UÀtUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ (Introduction to Sets):

MAzÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ 60 «zÁåyðUÀ¼À°è ¥ÀæwAiÉƧâgÀÆ PÀ§rØ CxÀªÁ ºÁQ nÃA £À°è CxÀªÁ JgÀlÆ nÃA £À°è ¸ÉÃjPÉƼÀî ¨ÉÃPÀÄ. 45 ªÀÄA¢ PÀ§rØ nÃA ¸ÉÃjzÁÝgÉ ªÀÄvÀÄÛ 30 ªÀÄA¢ ºÁQ nÃA ¸ÉÃjzÁÝgÉ. ºÁUÁzÀgÉ JgÀqÀÆ nÃAUÀ¼À°è ¸ÉÃjPÉÆAqÀ «zÁåyðUÀ¼ÉµÀÄÖ?

ªÉÄð£À ¸ÀªÀĸÉåUÉ PÀÆqÀ¯Éà GvÀÛgÀ ºÉüÀÄ«gÁ? EzÀPÉÌ ¥ÀjºÁgÀ ¥ÁoÀ 3.3 £À°è EzÉ.

EAvÀºÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À ¥ÀjºÁgÀPÉÌ UÀtUÀ¼ÀÄ J£ÀÄߪÀ ¥ÁoÀ ¸ÀºÁAiÀÄPÉÌ §gÀÄvÀÛzÉ. UÀt JAzÀgÉ UÀÄA¥ÀÅ.

ªÁåSÉå : «²µÀÖ jÃwAiÀÄ°è UÀÄgÀÄw¹, UÀÄA¥ÁV ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÁzsÀå«gÀĪÀ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À CxÀªÁ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À UÀÄA¥À£ÀÄß ‘UÀt’ (‘set’) J£ÀÄßvÉÛêÉ. UÀtzÀ°ègÀĪÀ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À£ÀÄß D UÀtzÀ ‘UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ’(‘elements’) J£ÀÄßvÉÛêÉ. MAzÀÄ UÀtzÀ°ègÀĪÀ UÀuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀŵÁàªÀgÀtzÀ ({ }) M¼ÀUÉ §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

A = {1, 4, 9, 16…} E°è A AiÀÄÄ UÀt ªÀÄvÀÄÛ 1, 4, 9, 16 . . UÀ¼ÀÄ UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ.

B= {1, 8, 27, 64…} E°è B AiÀÄÄ UÀt ªÀÄvÀÄÛ 1, 8, 27 . . UÀ¼ÀÄ UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ.

MAzÀÄ UÀtªÀ£ÀÄß CzÀgÀ°ègÀĪÀ J¯Áè UÀuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀÄ CxÀªÁ ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß §gÉzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. ªÉÄð£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß »ÃUÀÆ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ:

C = {±ÀÄzÀÞ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ}

D = {¥ÀÇtð WÀ£ÀUÀ¼ÀÄ}

MAzÀÄ UÀtzÀ°ègÀĪÀ J¯Áè UÀuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀĪÀ PÀæªÀĪÀ£ÀÄß “UÀuÁAPÀ ¥ÀzÀÞw” (roster method)J£ÀÄßvÉÛêÉ. ªÉÄÃ¯É «ªÀj¹zÀ UÀtUÀ¼À°è UÀt A ªÀÄvÀÄÛ B EzÀPÉÌ GzÁºÀgÀuÉAiÀiÁVzÉ.

MAzÀÄ UÀtzÀ UÀuÁAPÀUÀ¼À ¸ÁªÀiÁ£Àå ®PÀët(¤AiÀĪÀÄ)ªÀ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ §gÉAiÀÄĪÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß “¤AiÀĪÀÄ ¥ÀzÀÞw” CxÀªÁ “gÀÆ¯ï «zsÁ£À” (rule method) J£ÀÄߪÀgÀÄ. ªÉÄÃ¯É «ªÀj¹zÀ UÀtUÀ¼À°è UÀt C ªÀÄvÀÄÛ D EzÀPÉÌ GzÁºÀgÀuÉAiÀiÁVzÉ.

n¥ÀàtÂUÀ¼ÀÄ

1. MAzÀÄ UÀtªÀ£ÀÄß ºÉüÀĪÁUÀ, CzÀgÀ°ègÀĪÀ J¯Áè UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀjAiÀiÁV UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀAwgÀ¨ÉÃPÀÄ. ¸ÀjAiÀiÁzÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå ®PÀët«zÀÝgÉ ªÀiÁvÀæ MAzÀÄ ¥ÀjªÀiÁt MAzÀÄ UÀtzÀ°è EzÉAiÉÆà E®èªÉÇà JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.

“JvÀÛgÀzÀ ªÀåQÛUÀ¼À UÀÄA¥ÀÅ” - EzÀÄ MAzÀÄ UÀtªÀ®è, KPÉAzÀgÉ “JvÀÛgÀ” ªÀiÁ£ÀzÀAqÀ¢AzÀ ªÀåQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä C¸ÁzsÀå. DzÀgÉ “175 ¸É.«ÄÃ. VAvÀ JvÀÛgÀzÀ ªÀåQÛUÀ¼ÀÄ” - MAzÀÄ UÀt. KPÉAzÀgÉ UÀuÁAPÀUÀ¼À ¸ÁªÀiÁ£Àå ®PÀët “175 ¸É.«ÄÃ. VAvÀ JvÀÛgÀ”.

2. UÀtzÀ UÀuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀħzÀÞªÁV §gÉAiÀĨÉÃPÁV®è.

E = {1, 4, 9, 16…} = {4, 9, 16, 1, ..}.

3. AiÀiÁªÀÅzÉà UÀuÁAPÀ MAzÀÄ UÀtzÀ°è MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¸Áj ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁzÀgÉ, CzÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¸Áj ªÀiÁvÀæ §gÉzÀgÉ ¸ÁPÀÄ.

F ={1,2,3,4 } ªÀÄvÀÄÛ {1,2,3,3,4,4} JgÀqÀÆ MAzÉÃ.

FUÀ X = {x: x MAzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ 2<x<10} DVgÀ°.

¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ = 1,3,5,7,11,13….

DzÀgÉ ªÁåSÉåAiÀÄAvÉ X £À°ègÀĪÀ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10 QÌAvÀ PÀrªÉÄ, 2QÌAvÀ ºÉaÑgÀ¨ÉÃPÀÄ X = {3, 5, 7}.

E°è 3 JA§ÄzÀÄ X £À MAzÀÄ UÀuÁAPÀ. ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁAPÉÃwPÀªÁV 3 X JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

11 MAzÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀiÁzÀgÀÆ PÀÆqÁ X UÀtzÀ UÀuÁA±ÀªÀ®è. 11 X.

1900 ªÀÄvÀÄÛ 2000 F ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ C¢üPÀ ªÀµÀðUÀ¼É?

1900£ÀÄß 4 ªÀÄvÀÄÛ 100 JgÀqÀjAzÀ®Æ ¨sÁV¸À§ºÀÄzÀÄ.

1900 – C¢üPÀ ªÀµÀðªÀ®è .

2000£ÀÄß 4 ªÀÄvÀÄÛ 400 jAzÀ ¨sÁV¸À§ºÀÄzÀÄ.

2000 – C¢üPÀ ªÀµÀð.

1900 {C¢üPÀ ªÀµÀðUÀ¼À®è} ªÀÄvÀÄÛ 2000 {C¢üPÀ ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ}

ªÉÆzÀ®Ä PÉÆlÖ E UÀtªÀ£ÀÄß £ÉÆÃr, E°è UÀuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß Jt¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è. DzÀgÉ X UÀtzÀ°è UÀuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß Jt¸À§ºÀÄzÀÄ. (= 3)

ªÁåSÉå : UÀuÁAPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå ¤¢ðµÀÖ«zÁÝUÀ (Jt¸À®Ä ¸ÁzsÀå«zÀÝgÉ) CzÀÄ ¹Ã«ÄvÀ UÀt CxÀªÁ ¥Àj«ÄvÀ UÀt (finite set).

UÀuÁAPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå Jt¸À®Ä C¸ÁzsÀåªÁzÀgÉ CzÀÄ C¥Àj«ÄvÀ UÀt CxÀªÁ C£ÀAvÀ UÀt (infinite set).

MAzÀÄ UÀtzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉà UÀuÁAPÀ«®è¢gÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉ?

Y = {ZÀAzÀæ£À°ègÀĪÀ ªÀÄ£ÀĵÀågÀ ¸ÀASÉå ¸ÉÆ£Éß JAzÀÄ ºÉüÀĪÀÅ¢®è. ªÀÄ£ÀĵÀågÉà E®è J£ÀÄßvÉÛêÉ}

Z = {z : z JA§ÄzÀÄ 8 ªÀÄvÀÄÛ 10gÀ £ÀqÀÄ«£À C«¨sÁdå ¸ÀASÉå}

F JgÀqÀÆ UÀtUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉà UÀuÁAPÀUÀ½®è.

AiÀiÁªÀÅzÉà UÀuÁAPÀUÀ½®èzÀ UÀtªÀ£ÀÄß ‘SÁ° UÀt’(empty set) CxÀªÁ ‘±ÀÆ£Àå UÀt’(null set) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

±ÀÆ£ÀåUÀtªÀ£Àß { } CxÀªÁ (¥ÉÊ) ¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

UÀªÀĤ¹ :- {0} EzÀÄ ±ÀÆ£Àå UÀtªÀ®è. KPÉAzÀgÉ ‘0’ EzÀÄ MAzÀÄ UÀuÁA±À.

FUÀ PɼÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹ :

P = {¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ°ègÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ} Q = {¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ} R = {¤ªÀÄä «¨sÁUÀzÀ°ègÀĪÀ (section) «zÁåyðUÀ¼ÀÄ} F ªÀÄÆgÀÄ UÀtUÀ¼ÉƼÀUÉ K£ÁzÀgÀÆ ¸ÀA§AzsÀ«zÉAiÉÄ? 1) ’¤ªÀÄä «¨sÁUÀzÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ’ ‘¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÉÃ’ DVzÁÝgÉ. ‘¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ’ ‘¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÉÃ’ DVzÁÝgÉ. 2) P UÀtzÀ° è Q UÀtQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ UÀuÁA±ÀUÀ½ªÉ. Q UÀtzÀ°è R UÀtQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ UÀuÁA±ÀUÀ½ªÉ. PAiÀÄÄ Q VAvÀ zÉÆqÀØzÀÄ, Q ªÀÅ R VAvÀ zÉÆqÀØzÀÄ. { P > Q > R CxÀªÁ R < Q < P } Q UÀtªÀÅ P UÀtzÀ G¥ÀUÀt, R UÀtªÀÅ Q UÀtzÀ G¥ÀUÀt. ¸ÁAPÉÃwPÀªÁV :- Q P ªÀÄvÀÄÛ R Q £ÀÄß `G¥ÀUÀt’ (‘sub set’) JAzÀÄ NzÀÄvÉÛêÉ. ªÀiÁvÀÈUÀt P AiÀÄ£ÀÄß Q ªÀÄvÀÄÛ R UÀtUÀ¼À «±ÀéUÀt J£ÀÄßvÉÛêÉ.

ªÁåSÉå : A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÁVzÀÄÝ, BAiÀÄ ¥Àæwà UÀuÁA±ÀªÀÇ AAiÀÄ UÀuÁA±ÀªÉà DVzÀÝgÉ, BAiÀÄ£ÀÄß A UÀtzÀ ‘G¥ÀUÀt’ (‘sub set’ ) J£ÀÄßvÉÛêÉ. EªÀÅUÀ¼À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß ¸ÀAPÉÃvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è B A JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

MAzÀÄ ªÀÄÆ®UÀt¢AzÀ EvÀgÀ UÀtUÀ¼À UÀuÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉ¢zÀÝgÉ, D ªÀÄÆ®UÀtªÀ£ÀÄß «±ÀéUÀt (U) ‘universal set’ J£ÀÄßvÉÛêÉ. «±ÀéUÀtzÀ°è CzÀgÀ G¥ÀUÀtUÀ¼À°ègÀĪÀ J¯Áè UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÆ EgÀÄvÀÛªÉ. J¯Áè G¥ÀUÀtUÀ¼À UÀuÁA±ÀUÀ¼ÀÄ «±ÀéUÀt¢AzÀ ¥ÀqÉzÀªÀÅUÀ¼Éà DVgÀÄvÀÛzÉ.

X= {1,3,5,7}

ºÁUÁzÀgÉ {3,5,7,1} F UÀtªÀÅ X UÀtzÀ G¥ÀUÀtªÉÃ? ºËzÀÄ.

ºÁUÁzÀgÉ ±ÀÆ£ÀåUÀt? ±ÀÆ£ÀåUÀtzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉà UÀuÁA±ÀUÀ½®è¢gÀĪÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ J¯Áè UÀtUÀ¼À G¥ÀUÀtªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

¥Àæw UÀtªÀÇ CzÉà UÀtzÀ G¥ÀUÀtªÁVgÀÄvÀÛzÉ. A A

±ÀÆ£ÀåUÀtªÀÅ J¯Áè UÀtUÀ¼À G¥À UÀt: J¯Áè UÀtUÀ¼ÀÄ.

ªÁåSÉå: MAzÉà MAzÀÄ UÀuÁAPÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ UÀtªÀ£ÀÄß ‘«±ÁAPÀUÀt’(‘singleton set’) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

P = {¸ÀªÀÄ C«¨sÁdå ¸ÀARåUÀ¼À UÀt}={2}, X = {¸ÀAPÀ®£ÀzÀ C£À£ÀåvÁA±À= 0}, Y= {1} EªÀÅUÀ¼É¯Áè «±ÁAPÀUÀtUÀ¼ÀÄ.

Q = DVgÀ°.

DUÀ AiÀÄÄ Q zÀ MAzÀÄ G¥ÀUÀt. (UÀtzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉà UÀuÁAPÀ«®è¢zÀÝgÉ, CzÀPÉÌ MAzÀÄ G¥ÀUÀt«gÀÄvÀÛzÉ.)

P = {p, q) DVgÀ°.

P₀ =, P₁ = {p}, P₂ = {q}, P = {p, q), EªÀÅUÀ¼É¯Áè P AiÀÄ G¥ÀUÀtUÀ¼ÀÄ, (UÀtzÀ°è 2 UÀuÁAPÀUÀ½zÀÝgÉ, D UÀtPÉÌ 4 G¥ÀUÀtUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.)

A = {a, b, c} – DVgÀ°. ¸Áé

A₀ =, A₁ = {a}, A₂ = {b} A₃ ={C}, A₄ = {a, b}, A₅ = {b, c}, A₆ ={c, a} A = {a, b, c} – EªÀÅUÀ¼É¯Áè A AiÀÄ G¥ÀUÀtUÀ¼ÀÄ.

(MAzÀÄ UÀtzÀ°è 3 UÀuÁAPÀUÀ½zÀÝgÉ, CzÀPÉÌ 8 G¥ÀUÀtUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.)

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À, ¥ÀÆtð¸ÀASÉåUÀ¼À, ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÁoÀ 1.1 gÀ°è PÀ°wzÉÝÃªÉ CzÀ£ÀÄß UÀtUÀ¼À ¸ÀAPÉÃvÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ ªÀåPÀÛ ¥Àr¸ÀĪÀ. N = {¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Natural numbers) }, W ={¥ÀÆtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Whole Numbers) }. Z = {¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ (Integers) }, ªÀÄvÀÄÛ Q = {¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Rational numbers) } DzÁUÀ, N W Z Q ºÁUÀÆ EªÀÅUÀ¼É¯Áè C¥Àj«ÄvÀUÀtUÀ¼ÀÄ.

3.1 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

PÀæ.¸ÀA.	PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
1.	¥Àj«ÄvÀUÀt, C¥Àj«ÄvÀUÀt, UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ, ±ÀÆ£ÀåUÀt, G¥ÀUÀt, C£ÀAvÀUÀt , EªÀÅUÀ¼À ªÁåSÉåUÀ¼ÀÄ.