3.2 UÀtUÀ¼ÀÄ(Sets) - ¨sÁUÀ 1 :

3.2 GzÁºÀgÀuÉ : 1 :

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À, ¥ÀÆtð¸ÀASÉåUÀ¼À, ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÁoÀ 1.1 gÀ°è PÀ°wzÉÝÃªÉ CzÀ£ÀÄß UÀtUÀ¼À ¸ÀAPÉÃvÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ ªÀåPÀÛ ¥Àr¸ÀĪÀ. N = {¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Natural numbers) }, W ={¥ÀÆtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Whole Numbers) }. Z = {¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ (Integers) }, ªÀÄvÀÄÛ Q = {¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ (Rational numbers) } DzÁUÀ, N W Z Q

3.2 GzÁ.2 : PɼÀUÉ ¤ÃrgÀĪÀ avÀæzÀ°è£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr:

A = {DªÀÄèd£ÀPÀ(Oxygen), ¸ÁgÀd£ÀPÀ(Nitrogen), d®d£ÀPÀ(Hydrogen)} B = {¸ÉÆÃrAiÀÄA (Sodium), EAUÁ® (Carbon), PÁå°ìAiÀÄA (Calcium) } U = {DªÀÄèd£ÀPÀ (Oxygen), ¸ÁgÀd£ÀPÀ (Nitrogen), d®d£ÀPÀ (Hydrogen), EAUÁ®zÀ qÉÊ DPÉìöÊqï (Carbon dioxide), ¸ÉÆÃrAiÀÄA (Sodium), EAUÁ® (Carbon), PÁå°ìAiÀÄA (Calcium) } UÀªÀĤ¹ :- A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÉgÀqÀÆ U UÀtzÀ G¥ÀUÀtUÀ¼ÀÄ. ªÁåSÉå : 1. A UÀtzÀ°è, CxÀªÁ B UÀtzÀ°è, CxÀªÁ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À°è EgÀĪÀ J¯Áè UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ MmÁÖV EgÀĪÀ UÀuÁAPÀUÀ¼À UÀtªÉà A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼À ¸ÀAAiÉÆÃUÀ(‘union’). (AB) - A ¸ÀAAiÉÆÃUÀ B. ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è, AB = {DªÀÄèd£ÀPÀ, ¸ÁgÀd£ÀPÀ, d®d£ÀPÀ, ¸ÉÆÃrAiÀÄA, EAUÁ®, PÁå°ëAiÀÄA}. ¥ÀPÀÌzÀ avÀæzÀ°è §tÚºÁQzÀ ¨sÁUÀªÀÅ AB.

2. JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À bÉÃzÀ£À UÀtªÀÅ (‘intersection’) D JgÀqÀÆ UÀtUÀ¼À°ègÀĪÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå UÀuÁAPÀUÀ½AzÁzÀ UÀtªÁVzÉ. bÉÃzÀ£ÀªÀ£Àß () aºÉ߬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

AB = A bÉÃzÀ£À B.

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è ,A ªÀÄvÀÄÛ BUÀtUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÁªÀiÁ£Àå UÀuÁAPÀUÀ½®è. AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À°è ¸ÁªÀiÁ£Àå UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ E®è¢zÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ‘ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÀÄ’(‘disjoint’ ) J£ÀÄßvÉÛêÉ. DzÀÝjAzÀ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtUÀ¼ÀÄ ‘ºÉÆAzÁtÂPÉ E®èzÀ UÀtUÀ¼ÀÄ’.

AB ={ }=(±ÀÆ£ÀåUÀt)

U, A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀĪÀ ªÉÄîÌAqÀ avÀæªÀ£ÀÄß ‘ªÉ£ïavÀæ’ (ven diagram ) J£ÀÄߪÀgÀÄ. «±ÀéUÀtªÀ£ÀÄß DAiÀÄvÁPÀÈw¬ÄAzÀ®Æ(rectangle), G¥ÀUÀtUÀ¼À£ÀÄß ªÀÈvÁÛPÁgÀ (circles) CxÀªÁ ¢ÃWÀðªÀÈvÁÛPÁgÀ (ovals) ¢AzÀ®Æ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

3.2 GzÁ- 3

¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ°è MlÄÖ 22 ªÀÄA¢ «zÁåyðUÀ½zÁÝgÉAzÀÄ Jt¹. EªÀgÀ°è 11 d£À QæPÉmï nëģÀ ¸ÀzÀ¸ÀågÀÄ. C®èzÉà ¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼À°è 11 d£ÀgÀ ºÁQ vÀAqÀ PÀÆqÁ EzÉ JAzÀÄ ¨sÁ«¹.F GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è PÉ®ªÀÅ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÆ nëģÀ°èAiÀÄÆ EgÀzÉà EgÀĪÀ ¸ÁzsÀåvÉ EzÉ. PɼÀUÉ ¤ÃrgÀĪÀ ªÉ£ïavÀæ¢AzÀ JgÀqÀÆ vÀAqÀzÀ°ègÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß, ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀÅzÉà nëģÀ°è EgÀzÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ.

¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼À UÀt U DVgÀ°. U = { X1,X2,X3………… X22 } A = QæPÉmï DqÀĪÀªÀgÀ UÀt DVgÀ°. A = { X1,X3, X4,X6, X8,X11,X12, X14,X17,X19,X21 } B = ºÁQ DqÀĪÀªÀgÀ UÀt DVgÀ°. B = X2,X3,X6.X9,X10,X13,X14,X15,X18,X19,X20} JgÀqÀÆ nëģÀ°ègÀĪÀgÀ£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ?AiÀiÁªÀÅzÉà nëģÀ°è E®è¢gÀĪÀªÀgÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ? avÀæªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹: { X3,X6,X14,X19} F £Á®ÄÌ DlUÁgÀgÀÄ JgÀqÀÆ nëģÀ°èzÁÝgÉ. AB ={ X1,X2, X3,X4, X6,X8, X10,X11,X12,X13,X14,X15,X17,X18, X19,X20, X21 } EªÀgÀÄ QæPÉmï CxÀªÁ ºÁQ nëģÀ°èzÀÝgÉ. (§Æ¢+ºÀ¼À¢+§Æ¢ §tÚUÀ½AzÀ ¸ÀÄvÀÄÛªÀjzÀ ¨sÁUÀ). ºÀ¼À¢ §tÚ¢AzÀ ¸ÀÆa¹zÀ ¨sÁUÀªÀÅ JgÀqÀÆ nëģÀ°ègÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ. (AB). A ªÀÄvÀÄÛ B UÀtzÀ°è®èzÀ: {X5,X7,X9,X16,X22} UÀÄA¥ÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉà nëģÀ°è E®èzÀ «zÁåyðUÀ¼À UÀt.

3.2 GzÁ:4: A = { 2,4,6,8}, B = { 2,4,6} = { } DVgÀ° AiÀiÁªÀÅzÉà UÀtzÀ°è MAzÀÄ UÀuÁAPÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¸Áj ªÀiÁvÀæ §gÉAiÀĨÉÃPÀÄ UÀªÀĤ¹: AA = {2,4,6,8} = A (±ÀÆ£ÀåUÀt) EzÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà UÀtzÀ G¥ÀUÀt, A ={ 2,4,6,8} = A B A = BA = {2,4,6,8}= A. B A = AB = {2,4,6} = B.

3.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: A = {1,5,7,9}, B={1,3,7,10}, C= {5,6,7,8,9,10}DzÁUÀ, ABC ªÀÄvÀÄÛ ABC AiÀÄ ªÉ£ï avÀæ gÀa¹.

¥ÀjºÁgÀ:

A UÀtªÀ£ÀÄß ºÀ¹gÀÄ §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ¢AzÀ ¸ÀÆa¹zÉ. B UÀtªÀ£ÀÄß ¤Ã° §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ¢AzÀ ¸ÀÆa¹zÉ. C UÀtªÀ£ÀÄß PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ¢AzÀ ¸ÀÆa¹zÉ. (AB)C = ({1,3,5,7,9,10}){5,6,7,8,9,10} = {1,3,5,6,7,8,910} (AB)C = ( { 1,7}{5,6,7,8,9,10} = {7}

3. 2 ¸ÀªÀĸÉå 2 :A = {x: x²-8x+12 =0}, B = {x: x²-6x+8 =0} DzÁUÀ AB ªÀÄvÀÄÛ AB UÀ¼À£Àß PÀAqÀÄ»qÀĬÄj.

¥ÀjºÁgÀ:

x^2-8x+12 = (x-6)(x-2). x^2-8x+12 = 0 DzÁUÀ, x=6 or x=2 x^2-6x+8 = (x-4)(x-2) JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆvÀÄÛ. DzÀÝjAzÀ x^2-6x+8 = 0 J£ÀÄߪÀÅzÀÄ x=4 or x=2 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÀvÀå. A = {6,2) (¤Ã° §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ) B= {4,2} (ºÀ¹gÀÄ §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ). AB = {6, 4, 2}, AB ={2}

U = {PÀ¥ÀÅà, UÀįÁ©, PÀAzÀÄ, PÀqÀÄ£ÉÃgÀ¼É, £ÉÃgÀ¼É, HzÁ, ¤Ã°, ºÀ¹gÀÄ, ºÀ¼À¢, PÉøÀj, PÉA¥ÀÅ } A = { £ÉÃgÀ¼É, HzÁ, ¤Ã°, ºÀ¹gÀÄ, ºÀ¼À¢, PÉøÀj, PÉA¥ÀÅ } F ªÉÄð£À UÀtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀPÀÌzÀ°ègÀĪÀAvÉ ªÉ£ï avÀæzÀ°è vÉÆÃj¸À§ºÀÄzÀÄ. FUÀ UÀt:{ PÀ¥ÀÅà, UÀįÁ©, PÀAzÀÄ, PÀqÀÄ£ÉÃgÀ¼É} EzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. F UÀtzÀ «±ÉõÀvÉ K£ÀÄ? F UÀtzÀ UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ U UÀtzÀ°èªÉ,DzÀgÉ A UÀtzÀ°è®è. F UÀtªÀ£ÀÄß A UÀtzÀ ‘¥ÀÇgÀPÀUÀt’ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀ£ÀÄß A^1¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. A^1= { PÀ¥ÀÅà, UÀįÁ©, PÀAzÀÄ, PÀqÀÄ£ÉÃgÀ¼É} ªÁåSÉå: MAzÀÄ UÀtzÀ ‘¥ÀÇgÀPÀUÀt’ (‘complement’) D UÀtzÀ°è®èzÀ, DzÀgÉ «±ÀéUÀtzÀ°è EgÀĪÀ UÀuÁAPÀUÀ¼À UÀtªÁVzÉ. A UÀtzÀ ¥ÀÇgÀPÀUÀt= A^1. A^1 U and A A^1=U. ªÀÄvÀÄÛ AA^1=( A ªÀÄvÀÄÛ A^1 UÀtUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÁªÀiÁ£Àå UÀuÁAPÀUÀ½®è.). (A^1)^1 = {A^1£À°è EgÀzÉà U £À°ègÀĪÀ UÀuÁAAPÀUÀ¼ÀÄ.} = { £ÉÃgÀ¼É, HzÁ, ¤Ã°, ºÀ¹gÀÄ, ºÀ¼À¢, PÉøÀj, PÉA¥ÀÅ }= A

3.2: ¸ÀªÀĸÉå 3 : U = {9 QÌAvÀ PɼÀV£À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ}A = {9 QÌAvÀ PɼÀV£À ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ } B = {9 QÌAvÀ PɼÀV£À ¨É¸À?????? ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ}

DzÀgÉ, A¹B¹ ªÀÄvÀÄÛ A¹B¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8} A = {2,4,6,8} (ºÀ¸ÀgÀÄ §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ) B = {2,3,5,7} (PÀAzÀÄ §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ) A^1= {1,3,5,7} (¤Ã° §tÚzÀ ZÀvÀĨsÀÄðd) B^1= { 1,4,6,8} (PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ ZÀvÀĨsÀÄðd) A^1B^1 = {1,3,4,5,6,7,8} ªÀÄvÀÄÛ A^1B^1= {1} FUÀ, (AB)^1. ªÀÄvÀÄÛ (AB)^1PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÁ. AB= {2,3,4,5,6,7,8} (AB)^1= {1} AB = {2} ( PÉøÀj ¨tÚzÀ ZËPÀ ) (AB)^1= { 1,3,4,5,6,7,8} FUÀ £ÀªÀÄUÉ K£ÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ? (AB)^1= A^1B^1 ªÀÄvÀÄÛ (AB)^1= A^1B^1

JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼ÀÄ A, B UÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ,(‘difference’ ) B UÀtPÉÌ ¸ÉÃj®èzÀ, A UÀtzÀ°è£À UÀuÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ vÉUÉzÀÄ PÉÆAqÀÄ GAmÁzÀ UÀtªÉà A-B. (JgÀqÀÄ UÀtUÀ¼À ªÀåvÁå¸À)

3.2 ¸ÀªÀĸÉå 5 : H = {36QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ} J = {1, ªÀÄvÀÄÛ 36 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ 2 gÀ ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ UÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ}

H = { 1,4,9,16,25} (ºÀ¸ÀgÀÄ §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ) J = {1,2,4,8,16,32} (PÀAzÀÄ §tÚzÀ ªÀÈvÀÛ) HJ = {1,4,16} ( PÉøÀj ¨tÚzÀ DAiÀÄvÀ ) H- J = { H £À°ègÀĪÀ DzÀgÉ J AiÀÄ°è®èzÀ UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ} = {9,25} (PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ DAiÀÄvÀ) J - H = { J AiÀÄ°ègÀĪÀ, DzÀgÉ H £À°è®èzÀ UÀuÁAPÀUÀ¼ÀÄ} = {2,8,32} (¤Ã° §tÚzÀ DAiÀÄvÀ) UÀªÀĤ¹: H-J J-H AiÀiÁªÀÅzÉà UÀtUÀ¼ÀÄ U ªÀÄvÀÄÛ A UÀ¼À°è, ()^1=U ªÀÄvÀÄÛ (U)^1= A-A=

3.2 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

PÀæ.¸ÀA.	PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
1.	UÀtUÀ¼À ªÁåSÉå (¸ÀAAiÉÆÃUÀ, bÉÃzÀ£À, ¥ÀÇgÀPÀ, ªÀåvÁå¸À)
2.	ªÉ£ï avÀæUÀ¼ÀÄ