3.4 ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼ÀÄ (¸ÀASÁåAiÀÄvÀUÀ¼ÀÄ)[Introduction to Matrices]:

 

UÀtÂvÀ ±Á¸ÀÛçzÀ F ¨sÁUÀªÀÅ «eÁÕ£À, vÀAvÀæeÁÕ£À, CxÀð±Á¸ÀÛç, E¤ßvÀgÀ PÉëÃvÀæUÀ¼À°è ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä £ÉgÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

     GzÁºÀgÀuÉUÉ  PɼÀV£À ¸ÀªÀĸÉåUÉ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV GvÀÛgÀ ¤ÃqÀÄ«gÁ?

     PÀ£ÁðlPÀ ªÀĺÁgÁµÀÖç ªÀÄvÀÄÛ UÀÄdgÁvï £À°è£À ªÀÄÆgÀÄ £ÀUÀgÀUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ 11 gÉÃ®ÄªÉ ¸ÀA¥ÀPÀð  PɼÀV£ÀAwzÉ.  

 

¸ÀA

ºÉÆgÀqÀĪÀ ¸ÀܼÀ

vÀ®¥ÀĪÀ ¸ÀܼÀ

1

ªÀÄAUÀ¼ÀÆgÀÄ

ªÀÄÄA§¬Ä

2

ªÀÄAUÀ¼ÀÆgÀÄ

¥ÀÄuÉ

3

ºÀħâ½î

¥ÀÄuÉ

4

¨É¼ÀUÁ«

£ÁUÀ¥ÀÄgÀ

5

ªÀÄÄA§¬Ä

CºÀäzÁ¨Ázï

6

ªÀÄÄA§¬Ä

¸ÀÆgÀvï

7

¥ÀÄuÉ

CºÀäzÁ¨Ázï

8

¥ÀÄuÉ

¸ÀÆgÀvï

9

¥ÀÄuÉ

ªÀqÉÆÃzÀgÀ

10

£ÁUÀ¥ÀÄgÀ

¸ÀÆgÀvï

11

£ÁUÀ¥ÀÄgÀ

ªÀqÉÆÃzÀgÀ

 

     ¸ÀÄvÀÄÛ §¼À¹ ºÉÆÃUÀzÉ ªÀÄAUÀ¼ÀÆj¤AzÀ CºÀäzÁ¨Ázï UÉ ªÀÄvÀÄÛ ¨É¼ÀUÁ«¬ÄAzÀ ªÀqÉÆÃzÀgÀ PÉÌ £ÉÃgÀªÁV ºÉÆÃUÀ®Ä JµÀÄÖ gÉÃ®ÄªÉ ªÀiÁUÀðUÀ½ªÉ?

    ¸ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀ PÀæªÀĪÁV 2 ªÀÄvÀÄÛ 1 ªÀiÁUÀðUÀ¼ÀÄ!!.  EzÀPÉÌ GvÀÛgÀ ¥ÁoÀ 3.6 gÀ°è ¹UÀÄvÀÛzÉ. 

 

FUÀ PɼÀUÉ PÉÆlÖ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÀĪÁ:

¸ÉÆêÀĪÁgÀ ¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ°è 30 ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 22 ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ ºÁdgÁV, 7 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÉÊgÀĺÁdgÁVzÀÝgÀÄ. ªÀÄAUÀ¼ÀªÁgÀ 28 ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 26 ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ ºÁdgÁV, UÉÊgÀĺÁdgÁzÀªÀgÀ ¸ÀASÉå 5.§ÄzsÀªÁgÀ, 26 ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 27 ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀÄ ºÁdgÁV 6 ªÀÄA¢ UÉÊgÀĺÁdgÁVzÀÝgÀÄ. UÀÄgÀĪÁgÀ ¥ÀæeÁ¥Àæ¨sÀÄvÀé ¢£ÀªÁzÀÝjAzÀ vÀgÀUÀwUÀ¼ÀÄ £ÀqÉ¢®è. ±ÀÄPÀæªÁgÀ 30 ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 23 ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀÄ ºÁdgÁV,6 ªÀÄA¢ UÉÊgÀĺÁdgÁVzÀÝgÀÄ.±À¤ªÁgÀ 34 ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 24 ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀÄ ºÁdgÁV,M§â «zÁåyð UÉÊgÀĺÁdgÀÄ.

F ªÉÄð£À zÀvÁÛA±ÀUÀ½AzÀ PɼÀV£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ PÀÆqÀ¯Éà GvÀÛj¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉ?

 

1. AiÀiÁªÀ ¢£À, CwºÉZÀÄÑ ºÁdj E¢ÝvÀÄÛ?

2. AiÀiÁªÀ ¢£À, CwºÉZÀÄÑ ªÀÄA¢ UÉÊgÀÄ ºÁdgÁVzÀÝgÀÄ?

3. AiÀiÁªÀ ¢£À, ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀ ºÁdgÁw ºÀÄqÀÄUÀjVAvÀ ºÉaÑvÀÄÛ?

4. JµÀÄÖ¢£À, ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀ ºÁdgÁw ºÀÄqÀÄUÀjVAvÀ ºÉaÑvÀÄÛ?

 

zÀvÁÛA±ÀªÀÅ «ªÀgÀuÁvÀäPÀªÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ ªÉÄð£À ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛj¸ÀĪÀÅzÀÄ ¸Àé®à PÀµÀÖ. FUÀ zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ vÀBSÉÛAiÀÄ°è (tabular form) §gÉAiÀÄĪÁ.

A=  

   

F ªÉÄð£À vÀBSÉÛAiÀÄ°è. 

1. DgÀÄ CqÀØ ¸Á®ÄUÀ¼À°ègÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ªÁgÀzÀ°è ¸ÉÆêÀĪÁgÀ¢AzÀ ±À¤ªÁgÀzÀªÀgÉV£À ºÁdgÁwAiÀÄ «ªÀgÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛªÉ.

2. ªÉÆzÀ® PÀA§ ¸Á°£À°ègÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ(30,28,27,0,23,24) DgÀÄ ¢£ÀUÀ¼À°è ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀ ºÁdgÁwAiÀÄ£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀÄvÀÛªÉ.

3. JgÀqÀ£Éà PÀA§¸Á®Ä DgÀÄ ¢£ÀUÀ¼À°è ºÀÄqÀÄUÀgÀ ºÁdgÁwAiÀÄ£ÀÄß(22,26,26,0,30,34) ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

4. ªÀÄÆgÀ£Éà PÀA§¸Á°£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ(7,5,6,0,6,1) DgÀÄ ¢£ÀUÀ¼À°è UÉÊgÀĺÁdgÁzÀªÀgÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

F «ªÀgÀuɬÄAzÀ £ÁªÀÅ ªÉÄð£À £Á®ÄÌ ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ vÀPÀët GvÀÛgÀ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.

1.  ±À¤ªÁgÀ CwºÉZÀÄÑ ºÁdj E¢ÝvÀÄÛ. (§gÉà MAzÀÄ UÉÊgÀÄ ºÁdj)

2.  ¸ÉÆêÀĪÁgÀ UÉÊgÀĺÁdj CwºÉZÀÄÑ (7)

3.  ¸ÉÆêÀĪÁgÀ ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀ ºÁdgÁw CwºÉZÀÄÑ.(30)

4.  ªÀÄÆgÀÄ ¢£ÀUÀ¼À°è (¸ÉÆêÀĪÁgÀ, ªÀÄAUÀ¼ÀªÁgÀ, §ÄzsÀªÁgÀ) ºÀÄqÀÄUÀjVAvÀ ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀ ºÁdgÁw ºÉaÑzÉ.

 

ªÁåSÉå:  

CqÀظÁ®ÄUÀ¼À°è ªÀÄvÀÄÛ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À°è eÉÆÃr¹gÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À, ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ªÀåªÀ¸ÉÜUÉ ‘ªÀiÁvÀÈPÉ’(‘matrix’)J£ÀÄßvÉÛêÉ.

 

  1. ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ°è §gÉzÀ ¥Àæwà ¸ÀASÉå CxÀªÁ ¥ÀjªÀiÁtªÀ£ÀÄß ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ CA±À (‘element’) J£ÀÄßvÉÛêÉ.
  2. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¸Á®ÄUÀ¼À£ÀÄß CqÀظÁ®Ä(‘rows’) UÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.
  3. ®A§ªÁV §gÉzÀ ¸Á®ÄUÀ¼À£ÀÄß PÀA§¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ(‘columns’)J£ÀÄßvÉÛêÉ.
  4. ‘m’ CqÀØ ¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ‘n’ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ EgÀĪÀ  MAzÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ ±ÉæÃtÂAiÀÄÄ(‘order’) (m x n) DVgÀÄvÀÛzÉ.

 

ºÁdgÁwAiÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉ A £À°è 6 CqÀظÁ®Ä ªÀÄvÀÄÛ 3 PÀA§¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ EªÉ.  EzÀÄ (6X3) ªÀiÁvÀÈPÉ DVzÉ. C°è 30,28 . .24,22,26 ..34, 7,5..1 EªÉ®è D ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ CA±ÀUÀ¼ÀÄ.

¥ÀPÀÌzÀ°è£À B ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ°è

4 CqÀØ ¸Á®ÄUÀ½ªÉ,(p1,p2,p3),(q1,q2,q3),(r1,r2,r3) ªÀÄvÀÄÛ(s1,s2,s3).

3 PÀA§ ¸Á®ÄUÀ½ªÉ,(p1,q1,r1,s1),(p2,q2,r2,s2) ªÀÄvÀÄÛ (p3,q3,r3,s3).

DzÀÝjAzÀ B  ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄÄ 4 bÉÃzÀPÀ 3 (4X3) ªÀiÁvÀÈPÉ.

     

B=   

 

 

 

3.4 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

PÀæ.¸ÀA.

PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

1

ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ ªÁåSÉå, CqÀظÁ®ÄUÀ¼ÀÄ, PÀA§¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ, ±ÉæÃtÂ.