3.6
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À ªÉÄð£À QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ(Matrix
operations):
1) MAzÀÄ
ªÀiÁvÀÈPÉ (A) AiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¹ÞgÁA±À k ¬ÄAzÀ
UÀÄt¸ÀĪÁUÀ:
|
A = |
k |
ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ ¥Àæwà CA±ÀªÀ£ÀÄß (CqÀظÁ®Ä,
PÀA§¸Á®ÄUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÄß) k ¬ÄAzÀ
UÀÄt¸À¨ÉÃPÀÄ. k(A) = (k*A AiÀÄ J¯Áè CA±ÀUÀ¼ÀÄ) |
2) JgÀqÀÄ
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À ¸ÀªÀÄvÀé:
|
A = |
B = |
(A)
=(B) DzÀgÉ, (x1=z1 , x2=z2 , x3=z3) , (y1=t1 , y2=t2 , y3=t3). JgÀqÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À°è C£ÀÄgÀÆ¥À CA±ÀUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ, D JgÀqÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ(‘equal’).
|
1) A =A1
DzÀgÉ A AiÀÄÄ
¸ÀªÀÄ«ÄwAiÀÄ (symmetric matrix) ªÀiÁvÀÈPÉ.
¸ÁzsÀ£É:
|
A = |
A1
= |
A =A1
DzÁUÀ a2=b1, a3=c1, b3=c2 |
A = |
EzÀÄ ¸ÀªÀÄ«Äw ªÀiÁvÀÈPÉ. ( ºÉÆA¢zÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ) |
2) A = - A1 DzÀgÉ A AiÀÄÄ «µÀªÀÄ ¸ÀªÀÄ«ÄwAiÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉ
¸ÁzsÀ£É:
|
A = |
- A1
= |
A =-A1DzÁUÀ a1=
-a1,a2= -b1, a3=-c1, b1=-a2,b2=
-b2, b3= -c2, c1
= -a3,c2= -b3,c3=-c3
|
A = |
EzÀÄ
«µÀªÀÄ ¸ÀªÀÄ«ÄwAiÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉ. ( |
3.6.1
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À
¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ ªÀåªÀPÀ®£À
(Addition & Subtraction of Matrices):
1. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ MAzÉà ±ÉæÃtÂAiÀÄ JgÀqÀÄ
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼ÁzÁUÀ, CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹zÁUÀ §gÀĪÀ
CA±ÀUÀ½AzÁUÀĪÀ ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ£ÀÄß A ªÀÄvÀÄÛ B ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À
ªÉÆvÀÛ (A+B)
J£ÀÄßvÉÛêÉ.
2. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ MAzÉà ±ÉæÃtÂAiÀÄ JgÀqÀÄ
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼ÁzÁUÀ, A ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ CA±ÀUÀ½AzÀ B ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß
PÀ¼ÉzÁUÀ §gÀĪÀ CA±ÀUÀ½AzÁzÀ ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ£ÀÄß
(A-B) ªÀiÁvÀÈPÉ J£ÀÄßvÉÛêÉ.
|
A = |
B = |
A+B = |
a1+x1=x1+a1 (¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄt) |
||
|
¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÁzÀAvÉAiÉÄÃ
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÇ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÁVzÉ. A+B=B+A |
|||||
|
A = |
B = |
A-B = |
a1-x1 |
||
|
¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è. CAvÉAiÉÄÃ
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÇ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀĪÀ®è. A-B |
|||||
|
UÀªÀĤ¹: JgÀqÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À/ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ
CªÉgÀqÀÆ MAzÉà ±ÉæÃtÂAiÀĪÀÅUÀ¼ÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ |
|||||
|
A = |
A1
= |
A+ A1
= |
EzÀÄ ¸ÀªÀÄ«ÄwAiÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉ. ( |
||
|
A = |
A1
= |
A- A1
= |
EzÀÄ «µÀªÀÄ ¸ÀªÀÄ«ÄwAiÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉ. ( |
||
3.6.2
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À
UÀÄuÁPÁgÀ(Multiplication of
matrices):
|
A = |
B = |
A ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ°è
CqÀظÁ°£À°è£À CA±ÀUÀ¼ÀÄ:(a1,a2), (b1,b2) , (c1,c2). B ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ°è
PÀA§¸Á°£À°è£À CA±ÀUÀ¼ÀÄ: (x1,y1), (x2,y2) ,(x3,y3). |
FUÀ
JgÀqÀÄ eÉÆvÉ CA±ÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀªÀ£ÀÄß( [(a1,a2) A ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ
CqÀظÁ°£À°ègÀĪÀ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß B ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ
C£ÀÄgÀÆ¥À PÀA§¸Á°£À°ègÀĪÀ CA±ÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ UÀÄt¹zÉÝêÉ. |
||||||||||||||||||||
|
FUÀ
PɼÀPÀAqÀ ¸ÀAPÉÃvÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀĪÁ FR(A ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ ªÉÆzÀ® CqÀظÁ®Ä) FC(B ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ ªÉÆzÀ® PÀA§¸Á®Ä) SR (A ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ JgÀqÀ£Éà CqÀظÁ®Ä) SC(B ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ JgÀqÀ£Éà PÀA§¸Á®Ä) TR (A ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ ªÀÄÆgÀ£Éà CqÀظÁ®Ä) TC(B ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ ªÀÄÆgÀ£Éà PÀA§¸Á®Ä) DUÀ ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ »ÃUÉ
¤gÀƦ¸ÀÄvÉÛêÉ.
AB = UÀªÀĤ¹:A AiÀÄÄ 3x2 ªÀiÁvÀÈPÉ, B AiÀÄÄ 2x3
ªÀiÁvÀÈPÉ. AB AiÀÄÄ 3 x 3 ªÀiÁvÀÈPÉAiÀiÁVzÉ. |
|||||||||||||||||||||||
A = 
,
C =
(3 x 3 ªÀiÁvÀÈPÉ)
DVgÀ°.
A AiÀÄ£ÀÄß
C ¬ÄAzÀ UÀÄt¸À§ºÀÄzÉ? AAiÀÄ CqÀظÁ°£À°è£À CA±ÀUÀ¼ÀÄ (a1, a2) 2 EªÉ. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß C AiÀÄ PÀA§¸Á°£ÉÆA¢UÉ eÉÆvɪÀiÁqÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è (C AiÀÄ°è 3 EªÉ - x1,y1,z1)
¸ÁªÀiÁ£Àå ¤AiÀĪÀÄ: JgÀqÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À£ÀÄß
UÀÄt¸À¨ÉÃPÁzÀgÉ ªÉÆzÀ® ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ JgÀqÀ£ÉÃ
ªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ CqÀظÁ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåUÉ ¸ÀªÀĪÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ.
(A) AiÀÄ£ÀÄß
(C)¬ÄAzÀ UÀÄt¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è.
UÀÄuÁPÁgÀzÀ ¸ÁªÀiÁ£ÀåPÀæªÀÄ:
|
A= |
B= |
FR(A AiÀÄ
ªÉÆzÀ® CqÀظÁ®Ä) SR (A AiÀÄ
JgÀqÀ£Éà CqÀظÁ®Ä) TR (A AiÀÄ
ªÀÄÆgÀ£Éà CqÀظÁ®Ä) …………………… m’thR(A AiÀÄ
m£Éà CqÀظÁ®Ä) FC(B AiÀÄ ªÉÆzÀ®
PÀA§¸Á®Ä) SC(B AiÀÄ JgÀqÀ£ÉÃ
PÀA§¸Á®Ä) ……………………… P’th(B AiÀÄ p£Éà PÀA§¸Á®Ä) |
AB = |
|
ªÀiÁvÀÈPÉ AAiÀÄÄ m x n ±ÉæÃtÂAiÀÄzÁÝVzÀÄÝ,
ªÀiÁvÀÈPÉ B AiÀÄ n x p
±ÉæÃtÂAiÀÄzÁÝVzÀÝgÉ, A ªÀÄvÀÄÛ B ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À UÀÄt®§Þ AB AiÀÄÄ m x p ±ÉæÃtÂAiÀÄzÁÝVgÀÄvÀÛzÉ |
|
||
C¨Áå¸À: A = 
, B = 
,C= 
,I= 
DzÀgÉ
F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸Á¢ü¹:-
|
PÀæ.¸ÀA. |
QæAiÉÄ |
®PÀët |
|
1 |
(AB)1=
B1 A1 |
|
|
2 |
AI=IA=A |
EzÀÄ
AiÀiÁªÀÅzÉà ªÀUÀðªÀiÁvÀÈPÉAiÀÄ°è ¸ÀvÀå. |
|
3 |
A+B
=B+A |
¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ
UÀÄt. |
|
4 |
A-B |
|
|
5 |
AB |
|
|
4 |
A(BC)
=(AB)C |
¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ
UÀÄt. |
|
5 |
A(B+C)=AB+AC |
¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è
«¨sÁdPÀvÉ. |
|
6 |
A(B-C)
=AB-AC |
ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ°è
«¨sÁdPÀvÉ. |
3.6.2 ¸ÀªÀĸÉå1: If A = 
,B = 
BA JAzÀÄ
vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ:
AB = 
BA = 
AB BA
3.6.2 ¸ÀªÀĸÉå 2: A= 
,B=
DzÀgÉ
(A+B)1 = A1+B1 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ:
A+B =
(A+B)1 =
A1=
B1= A1+B1=
(A+B)1 = A1+B1
3.6.2 ¸ÀªÀĸÉå 3: A= 
DzÀgÉ A2-8A+13I =0 JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ:
A2= A*A = 
= 
-8A = 
13I = = 
A2-8A+13I = 
= 
= 0
3.6.2 ¸ÀªÀĸÉå 4: 
= 
DzÀgÉ. X ªÀÄvÀÄÛ
y UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ:
JgÀqÀÄ ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¹zÁUÀ,
¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = 
¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ = 
= 
EªÀÅ ¸ÀªÀÄ DzÀÝjAzÀ
x+3y = -7
--à(1)
5x-2y = -1
--à(2)
5x+15y = -35
---à(3)
( (1) £ÀÄß 5 jAzÀ UÀÄt¹zÉ)
-17y =34 ( (3) £ÀÄß (2)
gÀ°è PÀ¼ÉzÀgÉ)
y = -2
F
¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß (1) gÀ°è DzÉò¹zÁUÀ
x-6 = -7
x = -1
vÁ¼É:
= 
=
3.6.2 ¸ÀªÀĸÉå 5: PÀ£ÁðlPÀ,
ªÀĺÁgÁµÀÖç ªÀÄvÀÄÛ UÀÄdgÁvï £À°è£À ªÀÄÆgÀÄ £ÀUÀgÀUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ 11 gÉÃ®ÄªÉ ¸ÀA¥ÀPÀð
PɼÀV£ÀAwzÉ.
|
¸ÀA |
ºÉÆgÀqÀĪÀ ¸ÀܼÀ |
vÀ®¥ÀĪÀ ¸ÀܼÀ |
|
1 |
ªÀÄAUÀ¼ÀÆgÀÄ |
ªÀÄÄA§¬Ä |
|
2 |
ªÀÄAUÀ¼ÀÆgÀÄ |
¥ÀÄuÉ |
|
3 |
ºÀħâ½î |
¥ÀÄuÉ |
|
4 |
¨É¼ÀUÁ« |
£ÁUÀ¥ÀÄgÀ |
|
5 |
ªÀÄÄA§¬Ä |
CºÀäzÁ¨Ázï |
|
6 |
ªÀÄÄA§¬Ä |
¸ÀÆgÀvï |
|
7 |
¥ÀÄuÉ |
CºÀäzÁ¨Ázï |
|
8 |
¥ÀÄuÉ |
¸ÀÆgÀvï |
|
9 |
¥ÀÄuÉ |
ªÀqÉÆÃzÀgÀ |
|
10 |
£ÁUÀ¥ÀÄgÀ |
¸ÀÆgÀvï |
|
11 |
£ÁUÀ¥ÀÄgÀ |
ªÀqÉÆÃzÀgÀ |
¸ÀÄvÀÄÛ §¼À¹ ºÉÆÃUÀzÉ ªÀÄAUÀ¼ÀÆj¤AzÀ
CºÀäzÁ¨Ázï UÉ ªÀÄvÀÄÛ ¨É¼ÀUÁ«¬ÄAzÀ ªÀqÉÆÃzÀgÀ PÉÌ £ÉÃgÀªÁV ºÉÆÃUÀ®Ä JµÀÄÖ
gÉÃ®ÄªÉ ªÀiÁUÀðUÀ½ªÉ?
¥ÀjºÁgÀ:
¸ÀÄ®¨sÀªÁV CxÀðªÁUÀ®Ä ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ£ÀÄß avÀæ gÀÆ¥ÀzÀ°è «ªÀj¹zÀgÉ:
£ÀUÀgÀUÀ¼À£ÀÄß (a1 a2 a3), (b1, b2,b3),
(c1,c2,c3) JAzÀÄ ¸ÀÆa¹zÀgÉ PÀ£ÁðlPÀ ¢AzÀ ªÀĺÁgÁµÀÖç PÉÌ ªÀÄvÀÄÛ ªÀĺÁgÁµÀÖç
¢AzÀ UÀÄdgÁvï £À°è£À £ÀUÀgÀUÀ½UÉ EgÀĪÀ ªÀiÁUÀðUÀ¼ÀÄ:
|
PÀ£ÁðlPÀ ¢AzÀ ªÀĺÁgÁµÀÖç PÉÌ |
ªÀiÁvÀÈPÉ |
ªÀĺÁgÁµÀÖç ¢AzÀ UÀÄdgÁvï UÉ |
ªÀiÁvÀÈPÉ |
ªÀiÁvÀÈPÉUÀ¼À£ÀÄß
UÀÄt¹zÁUÀ |
ªÀiÁvÀÈPÉ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
P = |
|
Q = |
PQ = |
|
EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ w½zÀÄ §gÀĪÀÅzÉãÀAzÀgÉ ªÀÄAUÀ¼ÀÆj¤AzÀ CºÀäzÁ¨Ázï
UÉ 2 ºÁUÀÆ ¨É¼ÀUÁ«¬ÄAzÀ
¤AzÀ ªÀqÉÆÃzÀgÀ PÉÌ 1 £ÉÃgÀ ªÀiÁUÀðUÀ½ªÉ
3.6. PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
|
PÀæ.¸ÀA. |
PÀ°vÀ
«µÀAiÀÄUÀ¼ÀÄ |
|
1 |
(AB)1=
B1 A1 |
|
2 |
AI=IA=A |
|
3 |
A+B
=B+A |
|
4 |
A-B |
|
5 |
AB |
|
4 |
A(BC)
=(AB)C |
|
5 |
A(B+C)=AB+AC |
|
6 |
A(B-C)
=AB-AC |