3.7 ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà UÀtÂvÀ(Modular Arithmetic):

3.7.1 ¦ÃpPÉ:

§®¨sÁUÀzÀ°ègÀĪÀ ªÉÄà 2006 gÀ PÁå¯ÉAqÀgï UÀªÀĤ¹. 1£Éà vÁjÃPÀÄ ¸ÉÆêÀĪÁgÀ §A¢zÉ.ºÁUÁzÀgÉ 29£Éà vÁjÃPÀÄ AiÀiÁªÀ ªÁgÀ?CzÀÄ ¥ÀÅ£ÀB ¸ÉÆêÀĪÁgÀ. EzÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ UÀ滸À§ºÀÄzÀÄ? 1 £Éà vÁjÃPÀÄ ¸ÉÆêÀĪÁgÀªÁzÀgÉ ªÀÄÄA¢£À ¸ÉÆêÀĪÁgÀUÀ¼À vÁjÃPÀÄ: 1,8 (1+7),15(8+7),22(15+7),29(22+7) EzÀÄ ºÉÃUÉ? KPÉAzÀgÉ ªÁgÀzÀ°è 7 ¢£ÀUÀ½ªÉ. DzÀÝjAzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ¢£ÀªÀÅ MAzÀÄ ªÁgÀzÀ°è 7£Éà ¢£À ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÉà ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà UÀtÂvÀ. 8 1 (ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà 7) EzÀgÀ CxÀð: (8-1)£Àß 7 jAzÀ ¸ÀjAiÀiÁV ¨sÁV¸À§ºÀÄzÀÄ. 15 1 (ªÀiÁqï 7) EzÀgÀ CxÀð: (15-1) £Àß 7 jAzÀ ¸ÀjAiÀiÁV ¨sÁV¸À§ºÀÄzÀÄ. 22 1 (ªÀiÁqï 7) EzÀgÀ CxÀð: (22-1) £Àß 7 jAzÀ ¸ÀjAiÀiÁV ¨sÁV¸À§ºÀÄzÀÄ. ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV xy (ªÀiÁqï m ) DzÀgÉ, (x-y)£Àß m ¤AzÀ ¸ÀjAiÀiÁV ¨sÁV¸À§ºÀÄzÀÄ. F ªÉÄð£À ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß »ÃUÀÆ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ:x-y 0(ªÀiÁqï m)EzÀ£ÀÄß “¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ” JAzÀÄ NzÀÄvÉÛêÉ. ¸ÀªÀð ¸ÀªÀÄ DzÁUÀ ( x-y)/ m = MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ FUÀ AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀªÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀ(m)¤AzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ G½AiÀÄĪÀ ±ÉõÀªÀÅ zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀ DVgÀÄvÀÛzÉ. CzÀÄ {0,1,2,3,4…..(m-1)} UÀtzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ. 0,1,2,….(m-1) F ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ‘ªÀiÁqï m’ £À ±ÉõÀUÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ. Zm= {0,1,2,3,4…..(m-1)} EzÀ£ÀÄß ‘ªÀiÁqï m’ £À UÀt J£ÀÄߪÀgÀÄ.

ªÁåSÉå: AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ‘m’ ¤AzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀĪÀ ±ÉõÀUÀ¼À UÀtªÀ£ÀÄß “CªÀ±ÉõÀUÀ¼À UÀt”(‘residue set’) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

Z_m= {0,1,2,3,4…..(m-1)}

3.7.1 GzÁ1: zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÇAzÀ£ÀÄß 10 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ §gÀĪÀ ±ÉõÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉ.

¥ÀjºÁgÀ:

10 ¨sÁdPÀªÁzÁUÀ §gÀĪÀ ±ÉõÀUÀ¼ÀÄ:- 0,1,2,3….9

Z₁₀= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà PÀæªÀÄzÀ°è ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀ:

ªÁåSÉå: m MAzÀÄ ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà DzÀgÉ.

¸ÀAPÀ®£ÀzÀ ¸ÀAPÉÃvÀ m

UÀÄuÁPÁgÀzÀ ¸ÀAPÉÃvÀ m

1. a +_m b r (= (a+b)/m £À ±ÉõÀ)

2. a _m b r (= (a*b)/m £À ±ÉõÀ)

3.7.1 GzÁ 2 : 10 +₁₂ 2 +₁₂ 3 gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

10 +₁₂ 2 +₁₂ 3

=(10 +₁₂ 2) +₁₂ 3

=0+₁₂ 3( (10+2)/12 =±ÉõÀ ¸ÉÆ£Éß)

= 3(3/12 gÀ°è ±ÉõÀ 3)

3.7.1 GzÁ 3 : 4 ₁₁ 3 ₁₁ 7 ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

4 ₁₁ 3 ₁₁ 7

=(4 ₁₁ 3) ₁₁ 7

= 1 ₁₁ 7((4*3)/11 gÀ°è ±ÉõÀ = 1)

= 7 ( (1*7)/11 gÀ°è ±ÉõÀ = 7)

3.7.1 GzÁ 4 : yy 1(ªÀiÁqï 8) DzÀgÉ y AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

yy 1(ªÀiÁqï 8)

(y*y ) AiÀÄ£ÀÄß 8 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ ±ÉõÀ = 1DUÀ¨ÉÃPÀÄ.

(y²-1) = 8

y=3.

vÁ¼É:

3₈ 3 =1( (3*3)/8 gÀ°è ±ÉõÀ = 1)

3.7.2 PÉð PÉÆõÀÖPÀ(Caley’s Table):

PÉð PÉÆõÀÖPÀªÀÅ ªÀiÁqÀå¯ÉÆà UÀtÂvÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

zÀvÀÛ UÀtzÀ°è ªÀiÁqÀå¯ÉÆà QæAiÀÄUÀ¼ÁzÀ ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁrzÁUÀ, ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ vÀBSÉÛAiÀÄ°è ¤gÀƦ¹zÁUÀ, PÉð PÉÆõÀÖPÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

PÉð PÉÆõÀÖPÀ zÉÆgÉAiÀÄĪÀ UÀt = Z₄ = {0,1,2,3}

¸ÀAPÀ®£À QæAiÉÄUÉ PÉð PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß §gÉAiÀÄĪÁ (ab) UÉ ªÀiÁqï 4)

(ªÀiÁqï4)gÀ ±ÉõÀUÀ¼ÀÄ 0,1,2 CxÀªÁ 3 DUÀ®Ä ¸ÁzsÀå a+₄ b AiÀÄ£ÀÄß a =0,1,2,3 ªÀÄvÀÄÛ b= 0,1,2,3. ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¯ÉPÀÌ ºÁPÀĪÁ

¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PɼÀPÀAqÀAvÉ MAzÀÄ vÀBSÉÛAiÀÄ°è §gÉzÁUÀ - [ab ªÀiÁqï4] QæAiÉÄUÉ. (+₄)

0 +₄ 0 0 0 +₄ 1 1 0 +₄ 2 2 0 +₄ 3 3

1 +₄ 0 1 1 +₄ 1 2 1 +₄ 2 3 1 +₄ 3 0

2 +₄ 0 2 2 +₄ 1 3 2 +₄ 2 0 2 +₄ 3 1

3 +₄ 0 3 3 +₄ 1 0 3 +₄ 2 1 3 +₄ 3 2

bà	0	1	2	3
a	a +4 b =
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

UÀªÀĤ¹: vÀBSÉÛAiÀÄ°ègÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ Z₄= {0,1,2,3} UÀtPÉÌà ¸ÉÃjªÉ.

UÀÄuÁPÁgÀ QæAiÉÄUÉ PÉð PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß §gÉAiÀÄĪÁ.(ab) ªÀiÁqï4). a X ₄ b AiÀÄ£ÀÄß a =0,1,2,3 ªÀÄvÀÄÛ b= 0,1,2,3. ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¯ÉPÀÌ ºÁPÀĪÁ. ªÉÄÃ¯É £ÉÆÃrzÀAvÉ, ±ÉõÀUÀ¼À UÀt: Z₄= {0,1,2,3}.

¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PɼÀPÀAqÀAvÉ MAzÀÄ vÀBSÉÛAiÀÄ°è §gÉzÁUÀ - [ab ªÀiÁqï4 gÀ QæAiÉÄUÉ]( X₄)

0 X₄ 0 0 0 X₄ 1 0 0 X₄ 2 0 0 X₄ 3 0

1 X₄ 0 0 1 X₄ 1 1 1 X₄ 2 2 1 X₄ 3 3

2 X₄ 0 0 2 X₄ 1 2 2 X₄ 2 0 2 X₄ 3 2

3 X₄ 0 0 3 X₄ 1 3 3 X₄ 2 2 3 X₄ 3 1

bà	0	1	2	3
a	a 4 b =
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

E°è PÀÆqÁ vÀBSÉÛAiÀÄ°ègÀĪÀ CAQUÀ¼ÀÄ Z₄= {0,1,2,3}UÀtPÉÌà ¸ÀA§A¢ü¹ªÉ.

3.7.2 ¸ÀªÀĸÉå1 : Q ={0,2,4,6,8} EzÀgÀ ªÉÄð£À ªÀiÁqï10 gÀ PÉð PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.

¥ÀjºÁgÀ:

£ÀªÀÄVÃUÀ ab ªÀiÁqï10 gÀ ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ. a, b Q= {0,2,4,6,8}

(6+4)/10 DzÁUÀ ±ÉõÀ 0

(6+6)/10 DzÁUÀ ±ÉõÀ 2

(8+6)/10 DzÁUÀ ±ÉõÀ 4

FUÀ

6 +₁₀ 4 0 6 +₁₀ 6 2 8 +₁₀ 6 4

EzÉÃjÃw, a ,bUÀ¼À EvÀgÀ ¨É¯ÉUÀ½UÀÆ ±ÉõÀªÀ£ÀÄß ¯ÉPÀ̺ÁPÀ§ºÀÄzÀÄ.

bà	0	2	4	6	8
A	a +10 b=
0	0	2	4	6	8
2	2	4	6	8	0
4	4	6	8	0	2
6	6	8	0	2	4
8	8	0	2	4	6

3.7.2 ¸ÀªÀĸÉå2 : A = {1,5,7,11} EzÀgÀ ªÉÄð£À ªÀiÁqï12 gÀ PÉðPÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹:-

£ÀªÀÄVÃUÀ ab ªÀiÁqï12 gÀ ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ. a, b A ={1,5,7,11}

(7*7)/12 DzÁUÀ ±ÉõÀ 1

(7*11)/12 DzÁUÀ ±ÉõÀ 5

(11*11)/12 DzÁUÀ ±ÉõÀ 1

FUÀ

7 ₁₂7 1 7 ₁₂ 11 5 11 ₁₂ 11 1

G½zÀ a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À ¨É¯ÉUÀ½UÀÆ ±ÉõÀUÀ¼À£ÀÄß ¯ÉPÀ̺ÁQzÁUÀ

bà	1	5	7	11
A	a 12 b =
1	1	5	7	11
5	5	1	11	7
7	7	11	1	5
11	11	7	5	1

3.7. PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

PÀæ.¸ÀA.	PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà QæAiÉÄAiÀÄ ªÁåSÉå.
2	ªÀiÁqÀÄå¯ÉÆà ¸ÀAPÀ®£À, UÀÄuÁPÁgÀ
3	PÉð PÉÆõÀÖPÀ.