1.9 PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «PÀ®àUÀ¼ÀÄ (Permutations and Combinations):

 

1.9.1 PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ(Permutations):

 

¸ÀªÀĸÉå:- MAzÀÄ vÀAqÀzÀ°è 10 DlUÁgÀjzÁÝgÉ. MAzÀÄ bÁAiÀiÁ avÀæzÀ°è PÉêÀ® 6 d£ÀgÀ ¥sÉÇÃmÉÆà §gÀ®Ä ¸ÁzsÀå vÀAqÀzÀ ªÀåªÀ¸ÁÜ¥ÀPÀgÀÄ J¯Áè ¥sÉÇÃmÉÆÃzÀ®Æè EgÀ¨ÉÃPÀÄ. M§â avÀæPÁgÀ£À ºÀwÛgÀ J¯Áè ¥sÉÇÃmÉÆÃUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄ CªÀÅUÀ¼À CAzÁdÄ ¨É¯É ¤zsÀðj¸À®Ä ºÉüÀĪÀgÀÄ. ¥sÉÆÃmÉÆà ¥ÀæwUÉ gÀÆ. 22 vÀUÀ®ÄªÀÅzÁzÀgÉ bÁAiÀiÁavÀæUÁgÀ£ÀÄ PÉÆlÖ CAzÁdÄ ªÉZÀÑ JµÀÄÖ?

 

F ¸ÀªÀĸÉåUÉ ¥ÀjºÁgÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ D¸ÀQÛzÁAiÀÄPÀªÀ®èªÉ?

 

¦ÃpPÉ:-

 

£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯Éà ªÉÆzÀ® ‘n’  ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀ£ÀÄß w½¢zÉÝêÉ.(¥ÁoÀ 1.8)

 

=  1+2+3+4 …..+n =n(n+1)/2

 

¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸ÀĪÀ §zÀ®Ä UÀÄt¹zÁUÀ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ?

1*2=2

1*2*3 =6

1*2*3*4 = 24…

 

ªÉÆzÀ® n ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß ±ÉæÃt®§Þ CxÀªÁ ¥sÁåPÉÆÖÃjAiÀįï (Factorial) (n!) JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

n!= 1*2*3*4….*n

1! =1

2!= 1*2=2=2*1!

3!=1*2*3=6 =3*2!

4! =1*2*3*4 = 24= 4*3!

n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…………3*2*1=n*(n-1)!

 n! = n*(n-1)! Or n =   

 

1.9.1 GzÁºÀgÀuÉ 1: A , B ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼ÀÄ ¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÁVgÀ°. ¤Ã«ÃUÀ CªÀgÀ£ÀÄß F PɼÀV£ÀAvÉ ¸Á¯ÁV ¤°è¸À¨ÉÃPÁVzÉ:-

1. MAzÀÄ ¸Á°£À°è E§âgÀÄ «zÁåyðUÀ½gÀĪÀAvÉ.

2. ¸Á°£À°è 3 «zÁåyðUÀ½gÀĪÀAvÉ.

 

¥Àæw ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è ¤ÃªÀÅ CªÀgÀ£Àß ºÉÃUÉ ¤°è¸À§°èj?

 

PÀæªÀÄ:

1.9.1.1: E§âgÀÄ «zÁåyðUÀ¼À 2 ¸Á®Ä ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ

1. A AiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¤°è¹, G½zÀ B CxÀªÁ C UÀ¼À°è AiÀiÁgÁzÀgÉƧâgÀ£ÀÄß AAiÀÄ »AzÉ ¤°è¹. (2 «zsÀzÀ°è ¤°è¸À§ºÀÄzÀÄ. AB ªÀÄvÀÄÛ AC)

2. FUÀ B AiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¤°è¹, G½zÀ A CxÀªÁ C UÀ¼À£ÀÄß BAiÀÄ »AzÉ ¤°è¹. (FUÀ ¥ÀÅ£ÀB 2 «zsÀ ¹QÌvÀÄ. BA ªÀÄvÀÄÛ BC)

3. FUÀ CAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¤°è¹. A CxÀªÁ B AiÀÄ£ÀÄß CAiÀÄ »AzÉ ¤°è¹. (FUÀ ¥ÀÅ£ÀB 2 «zsÀ ¹QÌvÀÄ.  CA ªÀÄvÀÄÛ CB)

 

1£Éà ¸ÁÜ£À

A

B

C

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

A

C

A

B

 

F jÃwAiÀiÁV MlÄÖ 6 «zsÀ (=3*2) UÀ¼À°è ¤°è¸À§ºÀÄzÀÄ. (AB, AC), (BA, BC), (CA, CB)

 

1.9.1.2: 3 «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß 3 ¸Á®ÄUÀ¼À°è ¤°è¸ÀĪÀÅzÀÄ:

 

1. A AiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¤°è¹. FUÀ G½zÀ B CxÀªÁ CUÀ¼À°è M§âgÀÄ AAiÀÄ »AzÉ ¤®è°. (DUÀ 2 PÀæªÀÄ ¹QÌvÀÄ. ABC ªÀÄvÀÄÛ ACB)

2. BAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¤°è¹. BAiÀÄ »AzÉ A CxÀªÁ C ¤°è¹. (FUÀ 2 PÀæªÀÄ ¹QÌvÀÄ. BAC ªÀÄvÀÄÛ BCA)

3. FUÀ CAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÄAzÉ ¤°è¹. CAiÀÄ »AzÉ B CxÀªÁ A ¤°è¹. (FUÀ 2 PÀæªÀÄ ¹QÌvÀÄ. CAB ªÀÄvÀÄÛ CBA)

 

1£Éà ¸ÁÜ£À

A

B

C

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

A

C

A

B

3£Éà ¸ÁÜ£À

C

B

C

A

B

A

 

»ÃUÉ MlÄÖ 6 (=3*2)«zsÀUÀ¼À°è ¤°è¸À§ºÀÄzÀÄ.

(ABC, ACB), (BAC, BCA), (CAB, CBA)

 

1.9.1 GzÁ.2: ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è A, B, C ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼ÉA§ 4 «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß PɼÀV£À PÀæªÀÄzÀ°è ºÉÃUÉ ¤°è¸À§ºÀÄzÀÄ?

1. AiÀiÁªÀÅzÉà 2 «zÁåyðUÀ¼À ¸Á®Ä

2. AiÀiÁªÀÅzÉà 3 «zÁåyðUÀ¼À ¸Á®Ä

ºÁUÁzÀgÉ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÀæªÀÄzÀ®Æè JµÀÄÖ «zsÀUÀ½ªÉ?

 

 

«zsÁ£À:

1.9.1.2.1: 2 «zÁåyðUÀ¼À ¸Á®Ä:-

 

1£Éà ¸ÁÜ£À

A

B

C

D

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

 

FUÀ £ÀªÀÄUÉ 12 «zsÀUÀ¼ÀÄ ¹QÌzÀªÀÅ (=4*3)

(AB, AC, AD),( BA, BC, BD),( CA, CB, CD),( DA, DB, DC)

 

1.9.1.2.2: 3 «zÁåyðUÀ¼À ¸Á®Ä:-

 

1£Éà ¸ÁÜ£À

A

B

C

D

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

3£Éà ¸ÁÜ£À

C

D

B

D

B

C

C

D

A

D

A

C

B

D

A

D

A

B

B

C

A

C

A

B

 

FUÀ £ÀªÀÄUÉ zÉÆgÉvÀ ¸Á®ÄUÀ¼ÀÄ:

‘A’ ªÀÄÄAzÉ EgÀĪÀ 6 ¸Á®Ä (ABC, ABD, ACB ACD, ADB, ADC )

‘B’ ªÀÄÄAzÉ EgÀĪÀ 6 ¸Á®Ä (BAC, BAD, BCA, BCA, BDA, BDC)

‘C’ ªÀÄÄAzÉ EgÀĪÀ 6 ¸Á®Ä (CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB)

‘D’ ªÀÄÄAzÉ EgÀĪÀ 6 ¸Á®Ä (DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB)

»ÃUÉ £ÁªÀÅ 24 (=4*3*2) «zsÀzÀ°è ¤°è¸À§ºÀÄzÀÄ.

 

‘n’  ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß KPÀPÁ®PÉÌ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ eÉÆÃr¸ÀĪÀ «zsÀ (PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É)ªÀ£ÀÄß (‘permutations’)  nPr ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

ªÉÄÃ¯É ¯ÉPÀÌ ªÀiÁrzÀ jÃwAiÀÄ «ªÀgÀuÉ:-

 

GzÁ.

MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå(n)

¥Àæw ¸Á°£À°ègÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ(r)

ªÀåªÀ¸ÉÜAiÀÄ «zsÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀÆa¸ÀĪÀ PÀæªÀÄ

CxÀ𠫪ÀgÀuÉ

1.1

3

2

6

3P2

3 ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ 2 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ªÀiÁrzÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É.

1.2

3

3

6

3P3

3 ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ 3 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ªÀiÁrzÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É.

2.1

4

2

12

4P2

4 ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ 2 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ªÀiÁrzÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É.

2.1

4

3

24

4P3

4 ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ 3 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ªÀiÁrzÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É.

 

PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉAiÀÄÄ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ PÀæªÀħzÀÞªÁV eÉÆÃr¸ÀĪÀ PÀæªÀĪÁVzÉ.

 

1.9.2 JtÂPÉAiÀÄ ªÀÄÆ®vÀvÀÛ÷é (Fundamental Principles of counting):

 

¤ÃªÀÅ ªÀÄvÀÄÛ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ E§âgÀÆ MnÖUÉà ±Á¯ÉUÉ ºÉÆÃUÀÄwÛÃgÉAzÀÄ Jt¹. ¤ªÀÄä ªÀģɬÄAzÀ ¸ÉßûvÀ£À ªÀÄ£ÉUÉ ºÉÆÃUÀ®Ä 4 zÁjUÀ½ªÉ ªÀÄvÀÄÛ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀģɬÄAzÀ ±Á¯ÉUÉ ºÉÆÃUÀ®Ä 3 zÁjUÀ½ªÉ. ¤ÃªÀ®èzÉ PÉ®ªÀÅ ¸Áj ¤ªÀÄä ¸ÁPÀÄ £Á¬Ä ‘eÁ¤’ PÀÆqÁ ¤ªÀÄä£ÀÄß »A¨Á°¸ÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ, ¤ªÀÄä £Á¬Ä eÁ¤, ±Á¯É¬ÄAzÀ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀÄ£ÉAiÀÄ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ ¤ªÀÄä ªÀÄ£ÉUÉ JµÀÄÖ zÁjAiÀÄ°è §gÀ§ºÀÄzÀÄ? 

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UÀªÀĤ¹:-

¤ªÀÄä ªÀģɬÄAzÀ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀÄ£ÉUÉ 4 zÁjUÀ½ªÉ ªÀÄvÀÄÛ C°èAzÀ ¤ªÀÄä ±Á¯ÉUÉ vÀ®Ä¥À®Ä 3 zÁjUÀ½ªÉ.

‘eÁ¤’ AiÀÄÄ ±Á¯É¬ÄAzÀ ªÀÄÆgÀÄ zÁjUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ (A CxÀªÁ B CxÀªÁ C) zÁjAiÀÄ°è §AzÀÄ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀÄ£ÉUÉ §gÀ§ºÀÄzÀÄ. C°èAzÀ ¤ªÀÄä ªÀÄ£ÉUÉ 4 zÁjUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ (1,2,3 CxÀªÁ 4) zÁjAiÀÄ°è §AzÀÄ ¤ªÀÄä ªÀÄ£É ¸ÉÃgÀ§ºÀÄzÀÄ.

PɼÀV£À vÀBSÉÛAiÀÄÄ eÁ¤AiÀÄÄ ±Á¯É¬ÄAzÀ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀÄ£ÉAiÀÄ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ ¤ªÀÄä ªÀÄ£ÉUÉ §gÀ§ºÀÄzÁzÀ ««zsÀ zÁjUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.

 

PÀæ. ¸ÀASÉå

±Á¯É¬ÄAzÀ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀÄ£ÉUÉ

¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ£À ªÀģɬÄAzÀ ¤ªÀÄä ªÀÄ£ÉUÉ

zÁj

1

A

1

A-1

2

2

A-2

3

3

A-3

4

4

A-4

5

B

1

B-1

6

2

B-2

7

3

B-3

8

4

B-4

9

C

1

C-1

10

2

C-2

11

3

C-3

12

4

C-4


eÁ¤AiÀÄÄ 12(=3*4) «zsÀªÁV ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ zÁjUÀ¼À°è ¤ªÀÄä ªÀÄ£É vÀ®Ä¥À§ºÀÄzÀÄ. CzÉÃjÃw ¤ªÀÄä ªÀģɬÄAzÀ ±Á¯ÉUÉ ºÉÆÃUÀ®Ä 12 zÁjUÀ¼ÀÄ (=4*3) EªÉ.

 

MnÖ£À°è: MAzÀÄ QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ‘m’ «zsÀUÀ¼À°è ªÀÄvÀÄÛ E£ÉÆßAzÀÄ QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ‘n’ «zsÀUÀ¼À°è ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÁzÀgÉ, F JgÀqÀÆ QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ (m*n) «zsÀUÀ¼À°è ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀÄ JtÂPÉAiÀÄ ªÀÄÆ® vÀvÀÛ÷é.

 

 ‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ MAzÀÄ ¸À®PÉÌ ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæ:

 

MAzÉà ¸Á°£À°è r SÁ° ¥ÉnÖUÉUÀ¼À£ÀÄß EqÀ¯ÁVzÉ. n «©ü£Àß ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß F SÁ° ¥ÉnÖUÉUÀ¼À°è vÀÄA§¨ÉÃPÁVzÉ. n ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß r ¥ÉnÖUÉUÀ¼À°è vÀÄA§ÄªÀ ¥ÀæQæAiÉÄAiÉÄà n ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É.

 

¥ÉnÖUÉ ¸ÀASÉå

1

2

3

……

(r-1)

r

vÀÄA§ÄªÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ

n

(n-1)

(n-2)

 

n-(r-2)

n-(r-1)

 

1.ªÉÆzÀ® ¥ÉnÖUÉAiÀÄ£ÀÄß n «zsÀUÀ½AzÀ vÀÄA§§ºÀÄzÀÄ.

2. JgÀqÀ£Éà ¥ÉnÖUÉAiÀÄ£ÀÄß (n-1) «zsÀUÀ½AzÀ vÀÄA§§ºÀÄzÀÄ.

3. ªÀÄÆgÀ£Éà ¥ÉnÖUÉAiÀÄ£ÀÄß (n-2) «zsÀUÀ½AzÀ vÀÄA§§ºÀÄzÀÄ.

EzÉÃjÃw,

r £Éà ¥ÉnÖUÉAiÀÄ£ÀÄß vÀÄA§§ºÀÄzÁzÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ: {n-(r-1)} = (n-r+1)

JtÂPÉAiÀÄ ªÀÄÆ® vÀvÀÛ÷éézÀ ¥ÀæPÁgÀ r ¥ÉnÖUÉUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA§§ºÀÄzÁzÀ MlÄÖ «zsÀUÀ¼ÀÄ:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-r+1).

 

EzÉà ‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ªÀiÁrzÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É. EzÀ£ÀÄß nPr ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀĪÀgÀÄ.

 nPr = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-r+1)    =======è(1)

 

ªÉÄð£À ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è r §zÀ®Ä C°è n DzÉò¹zÁUÀ,

 nPn = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-n+1)

       = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..*1

 nPn =n!

 

¸À«ÄÃPÀgÀt (1)gÀ §®¨sÁUÀªÀ£ÀÄß  (n-r)*(n-r-1)*…..3*2*1 jAzÀ UÀÄt¹ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁV¹.

nPr = {n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…..(n-r+1)* (n-r)*(n-r-1)*…..3*2*1}/{(n-r)*(n-r-1)*…..3*2*1}

= {n!= 1*2*3……*n and (n-r)! = 1*2*3….*(n-r)}

nPr=

 

UÀªÀĤ¹:

nP1=

 =  

= n

 nP1 =n

 

 

nP(n-1)

= (nPr  ¸ÀÆvÀæzÀ°è r£À §zÀ®Ä (n-1) DzÉò¹zÉ)

= n! (1!= 1)

 nP(n-1)= n!= nPn

 

(n-r)! = n!/ nPr{ nPr= n!/(n-r)! }

 

ªÉÄð£À ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è  r=n DzÉò¹zÉ.

0! = n!/ nPn= n!/n! ( nPn= n! )=1

 0! =1

 

MlÄÖ ¸ÁgÁA±À:-

 

n  =  n!/(n-1)!

nPn  = n!

nP1 = n

nPn-1 =  n! =  nPn

0! =1


 

1.9.2 ¸ÀªÀĸÉå1 : “COMPUTER”JA§ ¥ÀzÀzÀ J¯Áè CPÀëgÀUÀ¼À PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. EªÀÅUÀ¼À°è JµÀÄÖ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ M ¤AzÀ ¥ÁægÀA¨sÀªÁUÀÄvÀÛzÉ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

zÀvÀÛ ±À§ÝzÀ°è 8 CPÀëgÀUÀ½ªÉ. DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ 8!=40320 ¥ÀzÀUÀ¼À£Àß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

¸ÁÜ£À

1

2

3

4

5

6

7

8

CPÀëgÀUÀ¼ÀÄ

M

C,O,P,U,T,E,R CPÀëgÀUÀ½AzÀ vÀÄA§¨ÉÃPÀÄ.

 

‘M’£Àß ªÉÆzÀ® ¸ÁÜ£ÀzÀ°èlÖgÉ, G½zÀ 7 ¥ÀzÀUÀ½AzÀ 7 ¸ÁÜ£ÀUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA§¨ÉÃPÀÄ. (n=7).

M ¤AzÀ DgÀA¨sÀªÁUÀĪÀ ¥ÀzÀ ¸ÀªÀÄƺÀUÀ¼ÀÄ = 7! = 5040

 

1.9.2 ¸ÀªÀĸÉå 2: 2,3,4,5 ªÀÄvÀÄÛ 6 CAQUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ  3 CAQAiÀÄ JµÀÄÖ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ? CªÀÅUÀ¼À°è JµÀÄÖ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

PÉÆnÖgÀĪÀ 5 CAQUÀ¼ÀÄ: 2,3,4,5 ªÀÄvÀÄÛ 6

£ÀÆgÀgÀ

ºÀvÀÛgÀ

©r

(2,3,4,5,6) UÀ½AzÀ

 

DzÀÄzÀjAzÀ gÀa¸À§ºÀÄzÁzÀ 3 CAQAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ = 5P3 =   = =60

 

¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ:

1.      ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°è 2 EzÁÝUÀ ºÀvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ £ÀÆgÀgÀ ¸ÁÜ£ÀUÀ¼À°è 3,4,5,6 EgÀ®Ä ¸ÁzsÀå 2 ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°è EgÀĪÀÅzÀjAzÀ G½zÀ 3,4,5,6 CAPÉUÀ½AzÀ (n=4) JµÀÄÖ 2 CAPÉUÀ½gÀĪÀ (r=2) CAPÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå ? : 4P2= = 4*3 = 12

2.      ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°è 4 EzÁÝUÀ ºÀvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ £ÀÆgÀgÀ ¸ÁÜ£ÀUÀ¼À°è 2,3,5,6 EgÀ®Ä ¸ÁzsÀå 4 ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°è EgÀĪÀÅzÀjAzÀ G½zÀ 2,3,5,6 CAPÉUÀ½AzÀ (n=4) JµÀÄÖ 2 CAPÉUÀ½gÀĪÀ (r=2) CAPÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå ? : 4P2= = 4*3 = 12

3.      ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°è 6 EzÁÝUÀ ºÀvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ £ÀÆgÀgÀ ¸ÁÜ£ÀUÀ¼À°è 2,3,4,5 EgÀ®Ä ¸ÁzsÀå 6 ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°è EgÀĪÀÅzÀjAzÀ G½zÀ 2,3,4,5 CAPÉUÀ½AzÀ (n=4) JµÀÄÖ 2 CAPÉUÀ½gÀĪÀ (r=2) CAPÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå ? : 4P2= = 4*3 = 12

MnÖ£À°è  36(=12+12+12)  ¸ÀªÀĸÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå.

 

1.9.2 ¸ÀªÀĸÉå 3: 0,1,2,3 F CAQUÀ¼À£ÀÄߥÀAiÉÆÃV¹ JµÀÄÖ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

E°è n=4, r=3.

ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÁzÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå: 4P3 = = 4!=24

DzÀgÉ, ¸ÉÆ£É߬ÄAzÀ DgÀA¨sÀªÁUÀĪÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ, 2 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÉÄà DVgÀÄvÀÛzÉ. (012 = 12,055=55 . .).

DzÀÝjAzÀ ªÉÄð£À GvÀÛgÀ¢AzÀ ¸ÉÆ£É߬ÄAzÀ DgÀA¨sÀªÁUÀĪÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀĨÉÃPÀÄ(¸ÉÆ£Éß ªÀÄzsÀå EgÀ§ºÀÄzÀÄ)

ªÉÆzÀ® CAQ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁzÁUÀ, G½zÀ CAQUÀ¼ÀÄ: n=3, EgÀĪÀ ¸ÁÜ£ÀUÀ¼ÀÄ r=2 

¸ÉÆ£É߬ÄAzÀ DgÀA¨sÀªÁUÀĪÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ = 3P2 = 3! = 6.

0,1,2,3 F CAQUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ = 24-6 = 18 --> 3CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.

 

1.9.2 ¸ÀªÀĸÉå4: MAzÀÄ PÀ¥Án£À°è 7 ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À£Àß JµÀÄÖ «zsÀUÀ¼À°è eÉÆÃr¸À§ºÀÄzÀÄ? CªÀÅUÀ¼À°è £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ 3 ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼ÀÄ MnÖUÉ MAzÉqÉ EgÀĪÀAvÉ JµÀÄÖ eÉÆÃqÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÁzsÀå?

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

E°èn=7.

F 7 ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¸À§®è «zsÀUÀ¼ÀÄ = 7! = 5040.

F ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß  A,B,C,D,E,F,G DVgÀ°. 3 ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉà EqÀ¨ÉÃPÀÄ. CªÀÅ B, C, D DVgÀ°. F ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß MmÁÖV H JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄĪÁ. DUÀ £ÀªÀÄUÉ A,H,E,F,G JA§ 5 ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉvÀªÀÅ. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¸À§®è «zsÀUÀ¼ÀÄ: 5!=120.

E°è H  MAzÀÄ (B,C,D)¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À PÀlÄÖ. F PÀnÖ£À°èAiÉÄà ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß 3!=6 «zsÀUÀ¼À°è eÉÆÃr¸À§ºÀÄzÀÄ.

DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ 3 ¥ÀŸÀÛPÀUÀ¼ÀÄ MnÖUÉà EgÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ eÉÆÃr¸ÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ = 6*120=720

 

1.9.3 «PÀ®àUÀ¼ÀÄ(Combinations):

1.9.3 GzÁ. 1 : A , B,C UÀ¼ÀÄ ¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÁVgÀ°. M§â ¥sÉÆÃmÉÆUÁæ¥sÀgï CªÀgÀ ¥sÉÆÃmÉÆUÀ¼À£ÀÄß F jÃw vÉUÉAiÀĨÉÃQvÀÄÛ:

1. AiÀiÁªÀÅzÉà 2 «zÁåyUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ avÀæzÀ°ègÀĪÀAvÉ.

2. AiÀiÁªÀÅzÉà 3 «zÁåyUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ avÀæzÀ°ègÀĪÀAvÉ.

ºÁUÁzÀgÉ D bÁAiÀiÁavÀæUÁæºÀPÀ£ÀÄß JµÀÄÖ avÀæUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀĨÉÃPÀÄ?

 

 

¥ÀjºÁgÀ PÀæªÀÄ:

GzÁ. 1.1:

»A¢£À GzÁºÀgÀuÉ 1.9.1.1.1  gÀ°èAiÀÄAvÀºÀ F PɼÀV£À 6 ªÀåªÀ¸ÉÜUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå:-

 

1£Éà ¸ÁÜ£À

A

B

C

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

A

C

A

B

 

DzÀgÉ bÁAiÀiÁavÀæ vÉUÉAiÀÄ®Ä, AB = BA, BC = CB, ªÀÄvÀÄÛ CA=AC

DzÀÝjAzÀ avÀæ vÉUÉAiÀÄ®Ä §gÉà ªÀÄÆgÀÄ UÀÄA¥ÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀå (AB, BC, CA).

 

GzÁ. 1.2: GzÁ. 1.9.1.1.2 gÀ°è £ÉÆÃrzÀAvÉ PɼÀV£À 6  PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå.

 

1£Éà ¸ÁÜ£À

A

B

C

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

A

C

A

B

3£Éà ¸ÁÜ£À

C

B

C

A

B

A

 

DzÀgÉ F ªÉÄð£À UÀÄA¥ÀÅUÀ¼ÀÄ ¥sÉÆÃmÉÆà vÉUÉAiÀÄ®Ä MAzÉÃ. (ABC).

 

1.9.3 GzÁ. 2: A B C D UÀ¼ÀÄ 4 d£À ¤ªÀÄä vÀgÀUÀwAiÀÄ ªÀÄPÀ̼ÀÄ. M§â bÁAiÀiÁavÀæUÁæºÀPÀ CªÀgÀ avÀæUÀ¼À£ÀÄß F PɼÀV£ÀAvÉ vÉUÉAiÀĨÉÃQvÀÄÛ:

 

1. AiÀiÁªÀÅzÉà 2 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ avÀæzÀ°ègÀĪÀAvÉ.

2. AiÀiÁªÀÅzÉà 3 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ avÀæzÀ°ègÀĪÀAvÉ.

 

ºÁUÁzÀgÉ D bÁAiÀiÁavÀæUÁæºÀPÀ£ÀÄß JµÀÄÖ avÀæUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀĨÉÃPÀÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ PÀæªÀÄ:

GzÁ.2.1: »A¢£À GzÁºÀgÀuÉ 1.9.1.2.1 gÀ°èAiÀÄAvÉ F PɼÀV£À 12 ªÀåªÀ¸ÉÜUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå:-

 

1£Éà ¸ÁÜ£À

A

B

C

D

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

 

DzÀgÉ bÁAiÀiÁavÀæ vÉUÉAiÀÄ®Ä AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB  ªÀÄvÀÄÛ CD=DC.

§gÉà DgÀÄ UÀÄA¥ÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀå (AB, AC, AD, BC, BD, CD).

 

GzÁ.2.2: F »AzÉ GzÁ. 1.9.1.2.2  gÀ°è £ÉÆÃrzÀAvÉ PɼÀV£À 24 PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁzsÀå.

 

1£Éà ¸ÁÜ£À                      

A

B

C

D

2£Éà ¸ÁÜ£À

B

C

D

A

C

D

A

B

D

A

B

C

3£Éà ¸ÁÜ£À

C

D

B

D

B

C

C

D

A

D

A

C

B

D

A

D

A

B

B

C

A

C

A

B

 

DzÀgÉ bÁAiÀiÁavÀæ vÉUÉAiÀÄ®Ä,

ABC=BAC=ACB=BCA=CAB=CBA

ABD=ADB=BAD=DAB=DBA=BDA

ACD=ADC=CAD=DAC=DCA=CDA

BCD=BDC=CBD=CDB=DBC=DCB

DzÀÝjAzÀ 24 UÀÄA¥ÀÅUÀ½zÀÝgÀÆ ¸ÀºÀ, bÁAiÀiÁavÀæ vÉUÉAiÀÄ®Ä §gÉà 4  UÀÄA¥ÀÅUÀ½ªÉ. (ABC, ABD, ACD, BCD)

 

‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀÅzÉà «PÀ®à. (Combination)

¸ÁAPÉÃwPÀªÁV «PÀ®àªÀ£ÀÄß nCr JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

FUÀ £ÀªÀÄä ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß «±Éèö¸ÀĪÁ.

 

GzÁºÀgÀuÉ ¸ÀASÉå

«zÁåyðUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå(n)

¥Àæwà avÀæQÌgÀĪÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ

MlÄÖ DAiÉÄÌ

¸ÀÆa¸ÀĪÀ PÀæªÀÄ

GzÁ. 1.1

3

2

3

3C2

GzÁ.1.2

3

3

1

3C3

GzÁ.2.1

4

2

6

4C2

GzÁ.2.2

4

3

4

4C3

 

FUÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀÆ(1.9.1) «PÀ®àPÀÆÌ(1.9.3) EgÀĪÀ ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è £ÉÆÃqÀĪÁ:-

 

 

GzÁºÀgÀuÉ ¸ÀASÉå

«zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå (n)

MAzÀÄ ¨Áj ¥ÀjUÀt¹zÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ(r)

PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É (nPr)

(1.9.1)

«PÀ®àUÀ¼ÀÄ

(nCr)

(1.9.3)

nPr/nCr

=

GzÁ.1.1

3

2

6= 3P2

3=3C2

2=2!

GzÁ. 1.2

3

3

6= 3P3

1=3C3

6=3!

GzÁ.2.1

4

2

12= 4P2

6=4C2

2=2!

GzÁ.2.2

4

3

24= 4P3

4=4C3

6=3!

 

ªÉÄð£À vÀBSÉÛAiÀÄAvÉ:

 nPr= nCr * r!         nCr = nPr÷r!

 

 ‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ MAzÀÄ ¸À®PÉÌ ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ «PÀ®àUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É) = ( ‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À DAiÉÄÌ)*( ‘r’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É)

 

nPr = nCr* rPr

 

1.9.3 ¸ÀªÀĸÉå 1: nPr = 336 ªÀÄvÀÄÛ nCr=56  DzÀgÉ n ªÀÄvÀÄÛ rUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

nPr/nCr = r!

r!=  = 6=3*2*1=3!

 r=3

nCr= nPr÷r! = {n! ÷ (n-r)} ÷r!

= {n*(n-1)*(n-2)*(n-3)! ÷ (n-3)! }÷3!

56 = n*(n-1)*(n-2) ÷6

I.e. 56*6 =336 = n*(n-1)*(n-2) = 8*7*6

 n=8

1.9.3 ¸ÀªÀĸÉå 2 : MAzÀÄ gÁd£À CgÀªÀÄ£ÉAiÀÄ°è  8 «zsÀUÀ¼À DAzÀªÁzÀ eÁrUÀ½ªÉ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß JµÀÄÖ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ «zsÀUÀ¼À°è eÉÆÃr¸À§ºÀÄzÀÄ? (°Ã¯ÁªÀw. ±ÉÆèÃPÀ 116)

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

MlÄÖ eÁrUÀ¼À ¸ÀASÉå (n) = 8

 

¸ÀA.

eÉÆÃr¸ÀĪÀ PÀæªÀÄ

 

1

1 eÁrAiÀÄ£ÀÄß eÉÆÃr¸ÀĪÀ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ

8C1

2

2 eÁrUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¸ÀĪÀ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ

8C2

3

3 eÁrUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¸ÀĪÀ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ

8C3

4,5,6

-------------

 

7

7 eÁrUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¸ÀĪÀ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ

8C7

8

8 eÁrUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¸ÀĪÀ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ

8C8

 

MlÄÖ eÉÆÃr¸À§ºÀÄzÁzÀ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ =  8C1+ 8C2 + . . . + 8C7 + 8C8  =255 = 28-1

 

 

1.9.3 ¸ÀªÀĸÉå 3 : MAzÀÄ ªÉʪÁ»PÀ ªÉâPÉAiÀÄÄ UÀAqÀÄ ºÉtÄÚUÀ¼À «ªÁºÀ ºÉÆAzÁtÂPÉ ªÀiÁqÀĪÀ PÁAiÀÄðzÀ°èzÉ. CzÀgÀ°è ¸ÀzÀåPÉÌ 5 ºÉtÄÚ ªÀÄvÀÄÛ 4 ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ «ªÁºÀ ºÉÆAzÁtÂPÉUÁV £ÉÆAzÁ¬Ä¸À®ànÖzÁÝgÉ. E§âgÀÄ ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ E§âgÀÄ ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀ ºÉÆAzÁtÂPÉAiÀÄ£ÀÄß CªÀgÀÄ JµÀÄÖ «zsÀzÀ°è ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÁzsÀå?

 

¥ÀjºÁgÀ:

1.ªÉâPÉAiÀÄ°è 4 ºÀÄqÀÄUÀjzÁÝgÉ. CªÀgÀ°è E§âgÀ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ «zsÁ£ÀUÀ¼ÀÄ: 4C2=4*3*2!/2!*2! = 6

2.5 ºÀÄqÀÄVAiÀÄjzÁÝgÉ. CzÀgÀ°è E§âgÀ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ: 5C2=5*4*3!/3!*2! = 10

ªÉÄð£À 6 UÀÄA¥ÀÅUÀ¼À°ègÀĪÀ E©â§âgÀÄ ºÀÄqÀÄUÀgÀ UÀÄA¥À£ÀÄß 10 UÀÄA¥ÀÅUÀ¼À°ègÀĪÀ E©â§âgÀÄ ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀ UÀÄA¦£ÉÆA¢UÉ dvÉUÀÆr¸À§ºÀÄzÀÄ.

 MlÄÖ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÁzÀ ºÉÆAzÁtÂPÉUÀ¼ÀÄ = 6*10 = 60

 

1.9.3 ¸ÀªÀĸÉå 4 : MAzÀÄ vÀAqÀzÀ°è 10 DlUÁgÀjzÁÝgÉ. MAzÀÄ bÁAiÀiÁ avÀæzÀ°è PÉêÀ® 6 d£ÀgÀ ¥sÉÇÃmÉÆà §gÀ®Ä ¸ÁzsÀå vÀAqÀzÀ ªÀåªÀ¸ÁÜ¥ÀPÀgÀÄ J¯Áè ¥sÉÇÃmÉÆÃzÀ®Æè EgÀ¨ÉÃPÀÄ. M§â avÀæPÁgÀ£À ºÀwÛgÀ J¯Áè ¥sÉÇÃmÉÆÃUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄ CªÀÅUÀ¼À CAzÁdÄ ¨É¯É ¤zsÀðj¸À®Ä ºÉüÀĪÀgÀÄ. ¥sÉÆÃmÉÆà ¥ÀæwUÉ gÀÆ. 22 vÀUÀ®ÄªÀÅzÁzÀgÉ bÁAiÀiÁavÀæUÁgÀ£ÀÄ PÉÆlÖ CAzÁdÄ ªÉZÀÑ JµÀÄÖ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

ªÀåªÀ¸ÁÜ¥ÀPÀgÀÄ J¯Áè  ¥sÉÇÃmÉÆÃzÀ®Æè EgÀ¨ÉÃPÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ £ÁªÀÅ  5 d£ÀgÀ vÀAqÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ.

  n =10, r=5

10 d£ÀgÀ°è 5-d£ÀgÀ vÀAqÀUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÁzÀzÀÄÝ = 10C5

   = 10!/5!*5!

   = (10*9*8*7*6*5!)/(5!*5!)

   = 10*9*8*7*6/120

   = 9*4*7 =252 avÀæUÀ¼ÀÄ

                                       bÁAiÀiÁavÀæPÉÌ MlÄÖ RZÀÄð= 252*22= gÀÆ. 5, 544

 

1.9.3 ¸ÀªÀĸÉå 5 : ¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ°è ªÀÄÄAzÉ ºÉüÀĪÀ ¥Àæw «µÀAiÀÄPÀÆÌ M§âgÀÄ CzÁå¥ÀPÀjzÁÝgÉ. UÀtÂvÀ, ¸ÀªÀiÁd «eÁÕ£À, ¸ÁªÀiÁ£Àå«eÁÕ£À, ¤Ãw±Á¸ÀÛç, EAVèµï, PÀ¯É, PÀ£ÀßqÀ, zÉÊ»PÀ ²PÀët.  EªÀgÀ°è M§âgÀÄ ªÀÄÄSÉÆåÃ¥ÁzsÁåAiÀÄgÀÄ.

(a) 5 d£ÀgÀ JµÀÄÖ ¸À«ÄwUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ?

(b) JµÀÄÖ ¸À«ÄwUÀ¼À°è ªÀÄÄSÉÆåÃ¥ÁzsÁåAiÀÄgÀÄ EgÀĪÀÅ¢®è?

 

¥ÀjºÁgÀ:

MlÄÖ CzÁå¥ÀPÀgÀ ¸ÀASÉå (n) = 8

¸À«ÄwAiÀÄ°ègÀĪÀ CzÁå¥ÀPÀgÀÄ (r) =5

 ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÁzÀ MlÄÖ ¸À«ÄwUÀ¼ÀÄ  = 8C5

= 8!/(8-5)!*5!

= 8*7*6*5!/3!*5!

= 8*7*6/6 = 56

ªÀÄÄSÉÆåÃ¥ÁzsÁåAiÀÄgÀÄ ¸À«ÄwAiÀÄ°ègÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ, G½zÀ CzsÁå¥ÀPÀgÀÄ = 7

CzsÁå¥ÀPÀgÀ ¸ÀASÉå (n) = 7.

ªÀÄÄSÉÆåÃ¥ÁzsÁåAiÀÄgÀÄ FUÁUÀ¯Éà ¸À«ÄwAiÀÄ ¸ÀzÀ¸ÀågÁzÀÝjAzÀ, FUÀ £ÁªÀÅ 4  d£ÀgÀ ¸À«Äw ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ.  (r) =4.

ªÀÄÄSÉÆåÃ¥ÁzsÁåAiÀÄgÀÄ EgÀĪÀ ¸À«ÄwUÀ¼ÀÄ = 7C4

          = 7!/(7-4)!*4!

       = 7*6*5*4!/3!*4!

       = 7*6*5/6 = 35

ªÀÄÄSÉÆåÃ¥ÁzsÁåAiÀÄj®èzÀ ¸À«ÄwUÀ¼ÀÄ = MlÄÖ ¸À«ÄwUÀ¼ÀÄ-ªÀÄÄSÉÆåÃ¥ÁzsÁåAiÀÄjgÀĪÀ ¸À«ÄwUÀ¼ÀÄ

      =  56-35 =21

 

1.9.3 ¸ÀªÀĸÉå6 : MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ°è ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÁUÀvÀªÀ®èzÀ 20 ©AzÀÄUÀ½ªÉ. JµÀÄÖ (a) ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ºÁUÀÆ (b) wæPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß, F ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÉ J¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

¸ÀgÀ¼ÀgÉÃR¸ÀܪÀ®èzÀ ©AzÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå: (n=20)

¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ 2 (r=2),

J¼ÉAiÀħºÀÄzÁzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ = 20C2= 20!/(20-2)!*2!

= 20*19*18!/18!*2! = 20*19/2 = 190

 

wæPÉÆãÀUÀ½UÉ ¨ÉÃPÁzÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ : r=3

gÀa¸À§ºÀÄzÁzÀ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ = 20C3= 20!/(20-3)!*3!

= 20*19*18*17!/17!*3!= 20*19*18/6 = 1140

 

 

                

 

 

1.9 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

®PàëtUÀ¼ÀÄ

PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ

«PÀ®àUÀ¼ÀÄ

CxÀð   ====>

ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À PÀæªÀħzÀÞªÁzÀ eÉÆÃqÀuÉ

««zsÀ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À DAiÉÄÌ

GzÁºÀgÀuÉ====>

 ‘MATHS’ – F ±À§ÞzÀ CPÀëgÀUÀ½AzÀ JµÀÄÖ ±À§ÝUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ?

20 d£À ºÁQ DlUÁgÀgÀ°è 10 d£ÀgÀ

vÀAqÀªÀ£ÀÄß JµÀÄÖ «zsÀzÀ°è gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ?

ªÁåSÉå   ====>

‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ  ‘r’  ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ eÉÆÃr¸ÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ.

‘n’ ªÀ¸ÀÄÛUÀ½AzÀ

‘r’  ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ.

¸ÀÆvÀæ====>

nPr = n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=

nCr = nPr /r!

¸ÀA§AzsÀ ===>

nPr= nCr * r!