2.5 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ (HCF(GCD) and LCM of Algebraic terms):

 

ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಎಂದರೇನೆಂದು ನಮಗೀಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

 

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4, 8, 20, 16. - ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. 2 ಮತ್ತು 4  ಇವೆರಡು ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಾಗಿದ್ದು 4 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. 4, 8, 20, 16- ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ 4.

 

.ಸಾ. ವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಉಪಯುಕ್ತ.

 

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ = 30/48 ನ್ನು ನೋಡುವಾ.

30 ಮತ್ತು 48 .ಸಾ. 6.

30/48 =  (6*5)/(6*8) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದಾಗ

= 5/8

 

.ಸಾ. ಎಂದರೇನು? ಅದು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕ (ಅಪವರ್ತ್ಯ) ಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ 4, 8, 20, 16 ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯಗಳು  =80, 160, 320 … ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು = 80 .

 ಇದು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ...

.ಸಾ. ವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತ.

ಈಗ  1/4, 1/8, 1/20 ನ್ನ ಕೂಡಿಸುವಾ.

4,8,20 .ಸಾ. = 40

1/4 = 10/40

1/8 = 5/40

1/20 = 2/40

1/4+1/8+1/20 = 10/40+5/40+2/40 = (10+5+2)/40 = 17/40

 

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ .ಸಾ. ಮತ್ತು .ಸಾ.ಅಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೂಡಾ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮವನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ .ಸಾ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾ

ಹಂತ

ವಿಧಾನ

1

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.

2

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

3

2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

4

2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

5

ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಸಿಗುವವರೆಗೂ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ.

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ .ಸಾ..

ಉದಾ: 16,24,20 .ಸಾ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

2 | 16,24,20

2 |  8,12,10

      4, 6, 5

 

            4, 6, 5 ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಇನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

16,24,20 ಇವುಗಳ .ಸಾ. = (2*2)  = 4

.ಸಾ. ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು:

ಹಂತ

ವಿಧಾನ

1

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಿ.

2

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

3

2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

4

2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನ ಎಡಬದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

5

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವಾಗ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇ .ಸಾ..

ಉದಾ: 16,24,20 ಇವುಗಳ .ಸಾ.

 

2 | 16,24,20

2 |  8,12,10

2 |  4,6,5

   |  2,3,5

 

 ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ .ಸಾ. (2*2*2)*(2*3*5) = 240

 

ಗಮನಿಸಿ : ಯಾವುದೇ 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ .ಸಾ. * .ಸಾ. = ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ..

ನಿಯಮವನ್ನು ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದಗಳಿಗೂ ಉಪಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ 2 ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ .ಸಾ. ಅಥವಾ .ಸಾ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಕ್ರಮವಾಗಿ .ಸಾ. ಅಥವಾ .ಸಾ. ಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

 

2.5 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 16a4b3x3, 24b2m3n4y, 20a2b3nx3 ಇವುಗಳ .ಸಾ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ (16,24,20) .ಸಾ. = 4

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗ :  a4b3x3, b2m3n4y, a2b3nx3 ಇವುಗಳಲ್ಲಿ b ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನ.

 

4b | 16a4b3x3, 24b2m3n4y, 20a2b3nx3 (ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ 4b ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, 4b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

            b  |  4a4b2x3, 6bm3n4y, 5a2b2nx3 (b ಯು  ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

     |4a4bx3, 6m3n4y, 5a2bnx3

ಇನ್ನು ಎಲ್ಲವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 

 ದತ್ತ ಪದಗಳ .ಸಾ. = 4b*b= 4b2  

ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು .ಸಾ. ಸಹಾಯಕ

ಉದಾ: 16a4b3x3+24b2m3n4y- 20a2b3nx3

 

16a4b3x3+24b2m3n4y- 20a2b3nx3

=4b2(4a4bx3+6m3n4y- 5a2bnx3)

 

2.5 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 6x2y3, 8x3y2, 12x4y3, 10x3y4 – ಇವುಗಳ .ಸಾ. ಮತ್ತು .. ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

1)      .. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ .ಸಾ. = 2

ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳ ಕನಿಷ್ಟ ಭಾಜಕ = x

2x | 6x2y3, 8x3y2, 12x4y3, 10x3y4 (2x  ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ )

x   | 3xy3, 4x2y2, 6x3y3, 5x2y4

y   |3y3,   4xy2,   6x2y3, 5xy4

y   |3y2,   4xy,    6x2y2, 5xy3

      3y,   4x,     6x2y,   5xy2

ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 ದತ್ತ ಪದಗಳ .ಸಾ. = 2x*x*y*y = 2x2y2

.. ಉಪಯೋಗ:

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: 6x2y3+8x3y2-12x4y3+10x3y4

6x2y3+8x3y2-12x4y3+10x3y4

= 2x2y2(3y+4x-6x2y+5xy2)

 

2)      .. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

 

2x | 6x2y3, 8x3y2, 12x4y3, 10x3y4 (2x ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ)

x   | 3xy3, 4x2y2, 6x3y3, 5x2y4

y   |3y3,   4xy2,   6x2y3, 5xy4

y   |3y2,   4xy,    6x2y2, 5xy3

Y  |3y,     4x,    6x2y   , 5xy2

x   | 3,      4x     6x2,     5xy

2  | 3,      4      6x       5y

ญญญญญญญญญญญญญญ 3  | 3,      2      3x       5y

    | 1,     2      x        5y

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಇಲ್ಲದೇ ಇರುವುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 ದತ್ತ ಪದಗಳ .ಸಾ. =( 2x*x*y*Y)*(Y*x*2*3*2*x*5y) =2x2y2* 60x2y2 = 120x4y4

. . ಉಪಯೋಗ:

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ:: (1/6x2y3)+(1/8x3y2)-(1/12x4y3 )+(1/10x3y4)  

ಗಮನಿಸಿ:

(1/6x2y3)  = (20x2y/120x4y4)

(1/8x3y2)  = (15xy2/120x4y4)

(1/12x4y3) = (10y/120x4y4)

(1/10x3y4) = (12x/120x4y4)

 

(1/6x2y3)+(1/8x3y2)-(1/12x4y3 )+(1/10x3y4)

= (20x2y+15xy2-10y+12x)๗(120x4y4)

 

 

2.5 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ.

ಕಲಿತ ಅಂಶಗಳು

1

ಬೀಜ ಪದಗಳ .ಸಾ. ಮತ್ತು .ಸಾ. ಗಳನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.