ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ

7.2 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಮತ್ತು ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ (Distance between 2 points and Section Formula):

7.2.1 ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ: ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷಾಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಆಗಾಗ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು( ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಕಂಡದ ಉದ್ದ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು x ಮತ್ತು y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ

P (x₁,y₁) ಮತ್ತು Q (x₂,y₂) be the ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ.

ನಾವು PQ ರೇಖಾಖಂಡದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

P ಮತ್ತು Q ಗಳಿಂದ X ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ PA ಮತ್ತು QB ಎನ್ನುವ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ.

OA = x₁ ಮತ್ತು OB = x₂ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

P ಮತ್ತು Q ಗಳಿಂದ Y ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ PC ಮತ್ತು QD ಎನ್ನುವ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ.

OC = y₁ ಮತ್ತು OD = y₂ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

CP ಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅದು BQ ಯನ್ನು R ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

PR = OB-OA = x₂-x₁

QR = OD-OC = y₂-y₁

PRQ ಎನ್ನುವುದು ಲಂಬಕೋನತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ

PQ² = PR²+RQ²= (x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²

PQ = {(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²}

ಇದನ್ನೇ ದೂರದ ಸೂತ್ರ('Distance formula') ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉಪಪ್ರಮೇಯ : ಒಂದು ಬಿಂದು ಮೂಲಬಿಂದು(0,0) ಆದರೆ ಸೂತ್ರ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಆಗ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ O(0,0) P (x,y) ಗೆ ಇರುವ ದೂರ OP = (x²+ y²)

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: P(0,2) ಬಿಂದುವು Q(3,k) ಮತ್ತು R(k,5) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ k ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

PQ = {(3-0)²+ (k-2)²} = (9 +k²-4k+4)

PR = {(k-0)²+ (5-2)²} = ( k²+9)

PQ=PR ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

9 +k²-4k+4 = k²+9

ಇದನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ k = 1

P(0,2) ಬಿಂದುವು Q(3,1) ಮತ್ತು R(1,5) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನದೂರದಲ್ಲಿದೆ.

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: A(10,-18), B(3,6) ಮತ್ತು C(-5,2) ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಶೇಷತೆ ಏನು?

ಪರಿಹಾರ:

AB = {(3-10)²+ (6-(-18))²} = (49+ 576) = (625) =25

AC = {(-5-10)²+ (2-(-18))²} = (225+ 400) = (625) =25

BC = {(-5-3)²+ (2-6)²} = (64+ 16) = (80)

AB=AC ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ದತ್ತ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 3: ದೂರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ A(2,5), B(-1,2) ಮತ್ತು C(4,7) ಬಿಂದುಗಳು ಏಕ ರೇಖಾಗತ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಸೂಚನೆ: BA+AC = BC ಎಂದು ತೋರಿಸಿ

(ಆನಂತರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅವು ಏಕ ರೇಖಾಗತ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ)

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು A(4,6),B(0,4) ಮತ್ತು C(6,2) ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಪರಿಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸೂಚನೆ: Let O(x,y) ಪರಿಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಆಗ OA=OB=OC ಮತ್ತು ಆದುದರಿಂದ OA² = OB² =OC²

ಪರಿಹಾರ:

OA² = (x-4)²+(y-6)²=x²-8x+16+y²-12y+36

OB² = (x-0)²+(y-4)²=x²+y²-8y+16

OC² = (x-6)²+(y-2)²=x²-12x+36+y²-4y+4

OA² = OB² ಆಗಿರುವುದರಿಂದ 2x+y =9

OA² = OC² ಆಗಿರುವುದರಿಂದ x-2y = -3

ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ x=3 ಮತ್ತು y=3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದುದರಿಂದ O(3,3) ಯು ABC ಯ ಪರಿಕೇಂದ್ರ.

7.2.2 ದತ್ತ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು:

ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ:

ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ ಅನುಪಾತದಂತೆ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರದ ಕುರಿತು ಇಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲಿದ್ದೇವೆ.

AB ಯು A (x₁, y₁) ಮತ್ತು B(x₂, y₂) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ.

AB ಯನ್ನು ನೀಡಿದ m₁:m₂ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ P(x, y) ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ

A, P ಮತ್ತು B ಗಳಿಂದ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬಗಳು x- ಅಕ್ಷವನ್ನು C,Q ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

A ಮತ್ತು P ಗಳಿಂದ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು PQ ಯನ್ನು E ಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು BD ಯನ್ನು R ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ.

If P ಬಿಂದುವು AB ಯನ್ನು m₁:m₂ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದರೆ ಆಗ AP/PB = m₁/m₂

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ AEP ಮತ್ತು PRB ಸಮರೂಪಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳು (ಕೋ.ಕೋ.ಕೋ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ).

AE/PR = PE/BR=AP/PB = m₁/m₂ --------à(1)

AE = OQ-OC = x-x₁: PR = OD-OQ = x₂-xPE = QP-QE(=CA) = y-y₁BR = DB-DR = y₂-y

ಈ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

AE/PR = (x-x₁)/(x₂-x) = PE/PR = (y-y₁)/ (y₂-y) = m₁/m₂ --------à(2)

(x-x₁)/(x₂-x) = m₁/m₂

m₂(x-x₁) = m₁(x₂-x) (ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ) m₂x - m₂x₁ = m₁x₂- m₁x (ಬಿಡಿಸಿದಾಗ)

x(m₂+m₁) = m₁x₂+ m₂x₁(ಪಕ್ಷಾಂತರದಿಂದ) x = (m₁x₂+ m₂x₁)/(m₂+m₁)(ಭಾಗಿಸಿದಾಗ)

ಅದೇ ರೀತಿ (2) ರಿಂದ y = (m₁y₂+ m₂y₁)/(m₂+m₁)

A(x₁, y₁) ಮತ್ತು B(x₂, y₂) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು P ಯು m₁:m₂ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವುದಾದರೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು : {(m₁x₂+ m₂x₁)/(m₁+m₂), (m₁y₂+ m₂y₁)/(m₁+m₂) }

ಇದೇ ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರ ‘section formula’.

1. AB ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನ(m₁:m₂ = 1:1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?

ಅದು {(x₂+x₁)/2), (y₂+ y₁)/2}: (ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಸೂತ್ರ)

ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ದೊರಕುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು

2. ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?

ಅವು : {(kx₂+x₁)/(k+1), (ky₂+ y₁)/(k+1)}

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: A(15,5) ಮತ್ತು B(9,20) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ P(11,15) ಬಿಂದುವು ಆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದೆ?

ಪರಿಹಾರ:

P ಯು AB ಯನ್ನು k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಲಿ.

x₁=15, y₁=5, x₂=9, y₂=20,x=11, y=15

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು k:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು {(kx₂+x₁)/(k+1), (ky₂+ y₁)/(k+1)}

x = (kx₂+x₁)/(k+1), y = (ky₂+ y₁)/(k+1) x = 9k+15/(k+1)

11 = 9k+15/(k+1)( x=11 ದತ್ತ)

11k+11 = 9k+15

2k=4 or k=2

ಆದುದರಿಂದ P ಯು ರೇಖೆಯನ್ನು 2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಿದೆ.

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 6: A(6,-2) ಮತ್ತು B(-8,10) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮೂರು ಭಾಗ ಮಾಡುವ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಸೂಚನೆ:

AP=PQ=QB (1:1:1) ಎಂದಿರುವಂತೆ P ಮತ್ತು Q ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿಸಬೇಕು:

1. AP:PB = 1:2 ಎಂದಿರುವಂತೆ P(x₁,y₁) ಕಂಡುಹಿಡಿ.

2. AQ:QB = 2:1 ಎಂದಿರುವಂತೆ Q(x₂,y₂) ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಅವು P (4/3,2) ಮತ್ತು Q (-10/3,6).

7.2 ಸಮಸ್ಯೆ 7: ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಲ್ಲಿ D(-2,5) ಯು AB ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು. E(2,4) ಯು BC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಮತ್ತು F(-1,2) ಯು AC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು. A, B ಮತ್ತು C ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಸೂಚನೆ:

A =(x₁,y₁), B=(x₂,y₂) ಮತ್ತು C=(x₃,y₃) ಆಗಿರಲಿ.

D(-2,5) ಯು AB ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x₁+x₂)/2 = -2 ಮತ್ತು (y₁+y₂)/2 = 5

E(2,4) ಯು BC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x₂+x₃)/2 = 2 ಮತ್ತು (y₂+y₃)/2 = 4

F(-1,2) ಯು AC ಯ ಮಧ್ಯ ಬಿಂದು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ (x₁+x₃)/2 = -1 ಮತ್ತು (y₁+y₃)/2 = 2

ಈ ಮೂರೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ

x₁= -5, x₂=1, x₃= 3

y₁= 3, y₂=7, y₃= 1

ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು: A(-5,3), B(1,7) ಮತ್ತು C(3,1).

7.2 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

P (x₁,y₁) ಮತ್ತು Q (x₂,y₂) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ = {(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²}

A(x₁,y₁) ಮತ್ತು B (x₂,y₂) ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು m₁:m₂ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: