1.2. ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು   (Squares and square roots):

 

ಚೌಕ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಚೌಕಾಭಾರ ಎನ್ನುವ ಪಗಡೆಯಾಟವಲ್ಲವೇ? ಇದು ಇಬ್ಬರು/ ನಾಲ್ಕು ಜನರು ಆಡುವ ಆಟವಾಗಿದ್ದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬನ ಹತ್ತಿರ 4 ಕಾಯಿಗಳುಇರುತ್ತವೆ. 4 ಕವಡೆಗಳನ್ನು ಚೆಲ್ಲಿ/ಬೀಳಿಸಿ ಬಿದ್ದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅವರವರ ಕಾಯಿಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ. ಇಲ್ಲಿ 25 (5*5) ಮನೆಗಳಿದ್ದು ಕಾಯಿಗಳು 24 ಮನೆಗಳನ್ನು ದಾಟಿ ಹಣ್ಣಾಗುತ್ತವೆ.

 

ಹಾಗೆಯೇ ಚೌಕ ಎಂದಾಗ ನೆನಪಾಗುವುದು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲ ಎನ್ನುವ 2 ಅಳತೆ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿರುವ ವರ್ಗ (ಚೌಕ) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಶೇಷ ಬಗೆಯ ಆಯತ.  ಒಂದು ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ * ಅಗಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (PQ*QR) = ಉದ್ದ * ಉದ್ದ = (ಉದ್ದ)2

 

ಈಗ 1, 4, 9, 16 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ:1,2,3,4,5…

ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಾಕಾರದ ತಃಖ್ತೆ ನೋಡಿ:

2 ರ ಮಗ್ಗಿ	3 ರ ಮಗ್ಗಿ	4 ರ ಮಗ್ಗಿ	5 ರ ಮಗ್ಗಿ
2*1 = 2	3*1 = 3	4*1 = 4	5*1 = 5
2*2 = 4	3*2 =6	4*2 =8	5*2 =10
2*3 = 6	3*3 = 9	4*3 =12	5*3 =15
	3*4 = 12	4*4 =16	5*4 =20
		4*5 = 20	5*5 =25

 

ಇಲ್ಲಿ ಏನನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಿರಿ? 4,9,16 ಮತ್ತು 25 ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2, 3, 4 ಮತ್ತು 5 ರ ವರ್ಗಗಳು.

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯು(perfect square) ಎರಡು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ.

1² = 1 = (-1)²

2² = 4 = (-2)²

3² = 9 = (-3)²

ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ರ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಅವು  n²  ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ.

 

ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು:-

1. ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಬಿಡಿಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ 0,1,4,5,6,9( ಉದಾ: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121…)

2. ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳು: (2, 3, 7, ಮತ್ತು 8)

3. ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳು (4, 16, 36, 64, 100 …)

4  ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಗಳು (1, 9, 25, 49, 81, 121…)

 

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕೂಡಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

 

ಭಿನ್ನರಾಶಿ	ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆ	ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವರ್ಗ	ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ
2/3		4/9
1/10	.1	1/100	.01
6/10	.6	36/100	.36
12/10	1.2	144/100	1.44
2/100	.02	4/10000	.0004

 

ವರ್ಗಮೂಲಗಳು:

3 ರ ವರ್ಗ 9. ಆದ್ದರಿಂದ 9 ರ ವರ್ಗಮೂಲ 3

n²  ಎಂಬುದು n ನ ವರ್ಗವಾದರೆ , n ಎಂಬುದು ‘n² ದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ (square  root). ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು  ಅಥವಾ  ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ‘ವರ್ಗಮೂಲ’ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ	ವರ್ಗಮೂಲ
=/	=
=/	=
	=1.2
	=.02
	=5

 

 

1.2. ಸಮಸ್ಯೆ 1: 147 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಯಾವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಧ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ?

 

ಪರಿಹಾರ:

12²=144, 13²=169

ಅಲ್ಲದೆ 144<147<169

 < <

 12  < < 13

 

1.2.1 ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ  ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು(Finding square root by factorization)

 

ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡೆರಡರಂತೆ ಗುಂಪು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1:  ರ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಿರಂತರ ಭಾಗಾಕಾರದಿಂದ ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ:

38025 ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 5, 5,3,3,13,13

 38025 = 5*5*3*3*13*13 = 5²*3²*13² = (5*3*13)²

  = 5*3*13=195

ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,

10404 = 2, 2,3,3,17,17

 10404 = 2*2*3*3*17*17 = 2²*3²*17² = (2*3*17)²

  = 2*3*17=102

^{=  =}  =

 

1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2:  2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಅದನ್ನ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 ನಿರಂತರ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ,

2617 =  3*3*313.

ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನ 313 ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಬಂದಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು  2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, (2617*313) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳು 3, 3, 313, 313
ಆಗ, 2617*313= =3*3*313*313 = 3²*313² = (3*13)²

ಇದೇ ರೀತಿ 2617 ನ್ನು 313 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ

2617/313 =3*3 =  3²

 

ಆದ್ದರಿಂದ 2617 ನ್ನ ಪೂರ್ಣವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ: 313

 

1.2.1 ಸಮಸ್ಯೆ 3:  3600 ಚ.ಮಿ. ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಒಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಸುತ್ತ ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿಯ ಉದ್ದ ನೋಡಲು ನಮಗೆ ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ ಬೇಕು. ಸುತ್ತಳತೆ ನೋಡಲು ಬದಿಯ ಉದ್ದಬೇಕು. ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = (ಉದ್ದ)2=3600 ಚ.ಮಿ. 3600 = 2,2,2,2,3,3,5,5 = 2*2*2*2*3*3*5*5 = 22*22*32*52=(2*2*3*5)2   = 2*2*3*5=60 ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಬದಿಯ ಉದ್ದ = 60 ಮಿ. ಚೌಕಾಕಾರದ ತೋಟದ ಸುತ್ತಳತೆ = ಬದಿ*4 = (60*4) = 240 ಮಿ.  ತೋಟಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿ = (60*4) =240 ಮಿ. ತೋಟಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ಸುತ್ತು ಬೇಲಿ ಹಾಕಲು ಬೇಕಾದ ತಂತಿ = 4*240 = 960 ಮಿ.

 

 

1.2 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಪೂರ್ಣವರ್ಗ, ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.