1.8 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಣೆ (Progressions of numbers :)

 

 

ಕೆಳಗಿನ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ.

 

ಸಮಸ್ಯೆ 1 :  ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನಿಂದ ರೂ 10,000 ಸಾಲ ಪಡೆದಿದ್ದೀರೆಂದು ತಿಳಿಯುವಾ ಮತ್ತು  ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವಲ್ಪವಾಗಿಯೇ ಪ್ರತೀ ದಿನ ವಾಪಾಸು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಒಪ್ಪಿದ್ದೀರಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

 

1.   ನೀವು ದಿನಕ್ಕೊಂದು ರೂಪಾಯಿಯಂತೆ ವಾಪಾಸು ಕೊಡಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಇದಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ ಒಪ್ಪುತ್ತಾನೆಯ ? ಖಂಡಿತಾ ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಸುಮಾರು 28 ವರ್ಷಗಳು ಬೇಕು.(10,000/365).

2.   ನೀವು ಪ್ರತೀದಿನ ದಿನದ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ರೂಪಾಯಿಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಭಾವಿಸುವಾ.(1 ನೇ ದಿನ 1 ರೂ. 2 ನೇ ದಿನ 2 ರೂ, 3 ನೇ ದಿನ 3 ರೂ. . . . . . ಹೀಗೆ) ಆಗ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಬೇಕು ?

3.   ನೀವು ಮೊದಲ ದಿನ 1 ರೂ. ಕೊಟ್ಟು ಮುಂದಿನ ಪ್ರತೀದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕೊಟ್ಟ ಹಣದ ಎರಡರಷ್ಟು ಕೊಡುವಿರಾದರೆ,( 1 ನೇ ದಿನ 1 ರೂ. 2ನೇ ದಿನ 2 ರೂ, 3ನೇ ದಿನ 4 ರೂ 4ನೇ ದಿನ 8 ರೂ  . . . . ಹೀಗೆ) ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಬೇಕು?

ಕೊನೆಯ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಬೇಕಾದ ದಿನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ?

ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ನೀವು ಒಂದು 70 ಕಿ.ಮೀ. ದೂರದ ಸೈಕಲ್ ರೇಸ್‍ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರೆಂದು ಭಾವಿಸುವಾ. ಮೊದಲ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ 16 ಕಿ.ಮೀ ದೂರ ಚಲಿಸುತ್ತೀರಿ. ಮುಂದಿನ ಪ್ರತೀ ಗಂಟೆಯಲ್ಲೂ ನಿಮ್ಮ ವೇಗ ಒಂದೊಂದು ಕಿ.ಮೀ.ನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಾದರೆ. ಸ್ಪರ್ಧೆಯ ಅಂತಿಮ ಹಂತವನ್ನು ತಲುಪಲು ನಿಮಗೆ ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕು ?      

ಈ ರೀತಿಯ, ನಿತ್ಯಜೀವನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆಂದು ತಿಳಿಯುವಾ.

18.1 ಶ್ರೇಢಿಗಳು (Sequence):

1.8.1 ಉದಾ 1 : ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ತರಗತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಹೇಳಿದರೆ ಹೇಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ ?

3, 10, 4, 1, 12, 8, 7, 5, 6, 2, 9, 11 - ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೀರಾ?

ಇಲ್ಲ ಬದಲಾಗಿ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12 - ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ.

 

1.8.1 ಉದಾ 2 : 2006 ನೇ ಇಸವಿ ಜನವರಿ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿರುವ ಆದಿತ್ಯವಾರಗಳ ತಾರೀಕುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾದರೆ, ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ : 1, 8, 15, 22, 29  ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ

 

ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಿದಿರಿ ? ನಿಮಗರಿವಿಲ್ಲದೆಯೇ ನೀವೊಂದು ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಬದ್ಧರಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೀರಿ.

ಮೊದಲನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ, ಒಂದೊಂದೇ ಅಂಕೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ, ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರೆದಿರಿ. 12 ಆದೊಡನೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿದಿರಿ. ಏಕೆ? ಅದು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕೊನೆಯ ತರಗತಿ.

ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 2006 ನೇ ಇಸವಿ ಜನವರಿ ತಿಂಗಳ ಮೊದಲ ರವಿವಾರ 1 ನೇ ತಾರೀಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲು ‘1’ ನ್ನು ಬರೆದು “ಮುಂಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 7 ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ” ಎನ್ನುವ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದಿರಿ. ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 31 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಂಡಿರಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಜನವರಿ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ 31 ದಿನ ಮಾತ್ರವಿರುತ್ತದೆ.

 

1.8.1 ಉದಾ 3 : ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 2, 4, 6, 8, 10, 12 . . . . . .

ಇದು ಯಾವ ಪಟ್ಟಿ? ಇದು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ಇದು ಮುಗಿಯುವುದೇ ಇಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯು (sequence) ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದ (Term) ವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, T₁ T₂T₃T₄T₅ ….

 

ಪದಗಳ ಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆ       ==à	1	2	3	4	----	n	---
ಅನುಕ್ರಮ ಸೂಚಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳು       ==à	T1	T2	T3	T4	----	Tn	---

 

ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ {T_n  } ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

 

ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯು ‘ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ’ (Finite sequence).

ಎಣಿಸಲಾಗದ ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿ ‘ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ’ (Infinite sequence).

ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 12 ಪದಗಳಿವೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 5 ಪದಗಳಿವೆ. ಇವೆರಡೂ ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

3 ನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಾದ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ.

1.8.1 ಉದಾ 4 : ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಂದಲೂ ಕೂಡಿರಬಹುದು.

             2/1, 3/2, 4/3, 5/4 . . . . 

 

ಇಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯಪದ T_n  ನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

 

T₁ = (1+1)/1

T₂  =(2+1)/2

T₃  =(3+1)/3

T₄    =(4+1)/4

 

T_n=(n+1)/n, ಈ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಿಂದಾಗಿ, ದತ್ತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಶ್ರೇಢಿಯ 6 ನೇ ಪದ T₆   =(6+1)/6 =7/6

 

1.8.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1 :  T_n    =2n²+1, T_n=73 ಆದರೆ n ನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ?

T_n    =2n²+1 =73

2n² =73-1=72

2n² =72

n² =36

n = =

ದತ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ n, ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕು n=6.

ತಾಳೆ:

T₆ = 2*6²+1 = 2*36+1=73

 

1.8.2 ಶ್ರೇಣಿಗಳು (Series):

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ(series) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು S  ಅಥವಾ S_n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಶ್ರೇಣಿಯು ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

S_n = T₁ + T₂+T₃.........T_n

 

S_n- S_n-1=( T₁ + T₂+T₃.........T_n-1+ T_n) -( T₁ + T₂+T₃.........T_n-1)= T_n

 

S_n- S_{n-1  =} T_n

 

1.8.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : T_n    ={(-1)ⁿ} ಆದರೆ S₁ = S₃ : S₂ = S₄ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

T_n    =(-1)ⁿ

 

T₁= (-1)¹ = -1, T₂ = (-1)² =1, T₃ = (-1)³ = -1, T₄= (-1)⁴ = 1

S₁ = T₁   = -1

S₃ = T₁ + T₂+T₃= -1+1-1 = -1      

S₁ = S₃

S₂ = T₁ + T₂  =-1+1 =0

S₄ =T₁ + T₂+T₃ +T₄= -1+1-1+1 =0         

S₂ = S₄

 

 

1.8.3 ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು (Arithmetic Progression):

 

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆ 1.8.1.1 ರಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ಆಗಿದೆ.

ಉದಾ.1.8.1.2 ರಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 7 ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯು “ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ” (Arithmetic Progression)(AP).  ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ‘d’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ, T_n+1 – T_n  =d : T_n-1+d =  T_n 

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಪದವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ‘a’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

T₁ = a

T₂= a+d

T₃=  T₂+d  =(a+d)+d = a+2d = a + (3-1)d

T₄=  T₃+d  =(a+2d)+d =a+3d= a+(4-1)d

T_n =  T_n-1+d = a+(n-1)d.    d= (T_n  -a)/(n-1)

 

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: T_n = a+(n-1)d

 

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ:{a, a+d, a+2d,a+3d …, a+(n-1)d}

 

 

1.8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : S_n = 5n²+3n ಆದರೆ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

S_n-1 = 5(n-1)²+3(n-1) = 5(n² -2n+1) +3n-3

 = 5n²-10n+5+3n-3

 = 5n²-7n+2

T_n= S_n- S_n-1

    = (5n²+3n) –(5n²-7n+2)

   = 10n-2

T₁ = 8

T₂  =18

T₃  =28

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ{8,18,28…..}

 

ತಾಳೆ:

 S₃ = T₁ + T₂ + T₃ =8+18+28 = 54

S_n = 5n²+3n

    = 5*3²+3*3

    = 54

 

 

1.8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2  : ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ  T₁₀ =20    T₂₀  =10 ಆದರೆ   T₃₀  ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು a ಮತ್ತು  d ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

T_n = a+(n-1)d

T₁₀ = a+(10-1)d = a+9d

ಆದರೆ_, T₁₀= 20 à ದತ್ತ

a+9d=20: a=20-9d                ====à(1)

T₂₀ = a+(20-1)d = a+19d  ====à(2)

ಆದರೆ,  T₂₀= 10

(1) ಮತ್ತು (2)ರಿಂದ, T₂₀ = a+19d 

 =20-9d+19d =10

 =20+10d =10

     10d =(10-20)= -10

         d = -1

(1) ರಿಂದ,      a =20-9d

  = 20+9 =29

 T₃₀  = a+(30-1)d

          = 29+29*(-1) = 29-29 =0

 

ತಾಳೆ:

T₁₀ =29+9*(-1)=20

T₂₀ =29+19*(-1)=10

 

1.8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 3: 5   ನೇ ಮತ್ತು 10 ನೇ  ಪದಗಳ ಅನುಪಾತ 1:2  ಆಗಿದ್ದು, T₁₂ =36 ಆಗಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

T₅ : T₁₀ = 1:2 (i.e T₅ /T₁₀ =1/2) à ದತ್ತ

 2T₅ = T₁₀

 

2(a+4d) = (a+9d)

2a+8d = a+9d

         a=d.

T₁₂ =36à ದತ್ತ

a+ 11d = 36

a=d ಆದ್ದರಿಂದ,  12d =36

       d=3

a=d ಆದ್ದರಿಂದ,  a=3

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ: = 3,6,9,12…

 

ತಾಳೆ:

T₅ = 15, T₁₀ =30, 1:2 ದತ್ತ ಅನುಪಾತ.

 

1.8.3 ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಮೊತ್ತ 15 ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ 105 ಆಗಿರುವ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮಧ್ಯದ ಪದ a ಆಗಿರಲಿ.

ಮೊದಲ ಪದ: a-d.

3  ನೇ ಪದ: a+d.

ಮೂರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ = (a-d)+a+(a+d ) = 3a = 15

  a = 5.

ಮೂರು ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = (a-d)*a*(a+d) = a*(a²-d²) =105

a*(a²-d²) =105

    5(5²-d²) = 105

      (25-d²) = 21

  -d² = 21-25

    -d²= -4

     d²= 4

     d =

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು: 3,5,7 ಅಥವಾ 7,5,3

 

ತಾಳೆ: 3,5,7 ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತ 15, ಗುಣಲಬ್ಧ: 105.

 

1.8.4 ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ (Summation of arithmetic series):

 

ಈಗ ನಾವು ಈ ಅಧ್ಯಯನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುವಾ.

 

1.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 1 :  ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನಿಂದ ರೂ 10,000  ಸಾಲ ಪಡೆದಿದ್ದೀರೆಂದು ತಿಳಿಯುವಾ ಮತ್ತು  ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ವಲ್ಪವಾಗಿಯೇ ಪ್ರತೀ ದಿನ ವಾಪಾಸು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಒಪ್ಪಿದ್ದೀರಿ.. ಆಗ ನಿಮಗೆ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ.

 

1.   ನೀವು ದಿನಕ್ಕೊಂದು ರೂಪಾಯಿಯಂತೆ ವಾಪಾಸು ಕೊಡಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಇದಕ್ಕೆ ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತ ಒಪ್ಪುತ್ತಾನೆಯ ? ಖಂಡಿತಾ ಇಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು ಸುಮಾರು 28 ವರ್ಷಗಳು ಬೇಕು.(10,000/365).

2.   ನೀವು ಪ್ರತೀದಿನ ದಿನದ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ರೂಪಾಯಿಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೀರೆಂದು ಭಾವಿಸುವಾ.(1 ನೇ ದಿನ 1 ರೂ. 2 ನೇ ದಿನ 2 ರೂ, 3 ನೇ ದಿನ 3 ರೂ. . . . . . ಹೀಗೆ ಕೊಡುತ್ತಾ ಹೋಗಲು ನೀವು ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ ? ಖಂಡಿತಾ ಬೇಡ – ಏಕೆ ನೋಡುವಾ:)

 

2 ನೇ ಆಯ್ಕೆ ಯಂತೆ  ನೀವು 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟಾಗುತ್ತದೆ? = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 ರೂ.

ಹಾಗಾದರೆ 100 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಹಣ ಎಷ್ಟು? ಇದನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ಮೊದಲ ‘n’ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ ಏನು ಎಂದು ತಿಳಿಯುವಾ.

{T} = {1,2,3……n}

   S_n  = 1     +    2  +   3  ………….+(n-2)+ (n-1) +n(n ಪದಗಳಿವೆ. ತಿರುಗಿಸಿ ಬರೆದಿದೆ.)

+ S_n  =  n    +(n-1)+(n-2) …              +  3  +   2     +1(ತಿರುಗಿಸಿ ಬರೆದಿದೆ.)

==================================

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­2S_n= (n+1)+(n+1)+(n+1)    …..    .+(n+1)+(n+1)+(n+1) (n ಪದಗಳಿವೆ.)

     = n(n+1)

 S_n=

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿ, 10 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಹಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ:

S₁₀  =10*11/2= 55 ರೂ.

ಈಗ 100 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಡುವ ಒಟ್ಟು ಹಣ: S₁₀₀ = 100*101/2  =  5050 ರೂ.

200 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಡುವ ಒಟ್ಟು ಹಣ S₂₀₀ = 200*201/2 =20,100 ರೂ.

10,000 ರೂ. ಗಳನ್ನು ತೀರಿಸಲು ಬೇಕಾದ ದಿನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ ನಂತರ ನೋಡುವಾ.

ಈಗ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ:  S₁₄₁ =  =10,011

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲ ತೀರಿಸಲು 141 ದಿನಗಳು ಸಾಕು.

ಮೊದಲ  n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ S_n ನ್ನು  ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

=

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು “ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ” (arithmetic series) ಎನ್ನುವರು.

ಉದಾ: {2,5,8},  {1,4,7,},  {3,7,11}

 

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ‘n’ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

{AP}= {a, a+d, a+2d, a+3d ….,a+(n-1)d}

S_n= [a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d) …..a+(n-1)d]

  = [a+a+a ….(n ಸಲ) +d(1+2+3+ ……. (n-1)]

= na+d[]

na+   (=  ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ n ಬದಲು (n-1) ಉಪಯೋಗಿಸಿ)

S_n = na+   =  = n*()

= n*()=n*()

 

1.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 2  : 25 ಪದಗಳಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯದ ಪದ 20 ಆದರೆ ಆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 

ದತ್ತ: n=25, T₁₃ =20,  S₂₅  ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

T₁₃ = a+12d

S₂₅  = n*(a+ T₂₅)/2= 25*(a+a+24d)/2

       = 25*2*(a+12d)/2

       = 25*(a+12d) = 25*20(T₁₃ = a+12d)

       = 500

 

1.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 3   : 4 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವ 101 ರಿಂದ 201 ರ ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

{AP} = (104,108,112 …200}

S_n  = 104+108+112+……

     = 104+(104+4) + (104+8)… (104+96) (104, 25 ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಆಗುತ್ತದೆ.) (ಗಮನಿಸಿ: 1 ನೇ ಪದ =104, ಕೊನೆಯ ಪದ 200 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ = 4)

     = 104*25 +4(1+2+3…..24)

     = (104*25) +4*( )

     =2600+1200=3800

 

1.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 4 : ಬಾಹುಬಲಿಯ ಏಕಶಿಲಾ ವಿಗ್ರಹವಿರುವ ಶ್ರವಣ ಬೆಳಗೊಳಕ್ಕೆ ನೀವು ಪ್ರವಾಸ ಹೋಗಿದ್ದೀರೆಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನೀವು ಮೊದಲ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ 23 ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳನ್ನು ಹತ್ತುತ್ತೀರಿ. ನಂತರ ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹಿಂದಿನ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ 2 ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಹತ್ತುತ್ತೀರಿ ಎಂದಾದರೆ, 7 ನಿಮಿಷ ಗಳಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿದ ಒಟ್ಟು ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

 

ನೀವು ಪ್ರತೀ ನಿಮಿಷದಲ್ಲೂ ಹಿಂದಿನ ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ 2 ಮೆಟ್ಟಿಲು ಕಡಿಮೆ ಹತ್ತುವುದರಿಂದ ಅದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದೆ. ನೀವು 7 ನಿಮಿಷ ಕಾಲ ತೆಗೆದುಕೊಂಡದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ S₇ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕು.

{AP} = {23,21,19….)         a=23, d = -2

S_n  = n*( )

S₇  = 7* ( )

        = 7*[46-12]/2

      = 7*17 = 119

 

ನೀವೇ ಮಾಡಿ: ನೀವು ಪ್ರತಿಮೆಯನ್ನ ತಲುಪಲು 1000 ಮೆಟ್ಟಿಲು ಹತ್ತಬೇಕಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾಗುವ ಕಾಲವನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ5:  ನೀವು ಒಂದು 70 ಕಿ.ಮಿ. ದೂರದ ಸೈಕಲ್ ರೇಸ್ ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಗಂಟೆಗೆ 16 ಕಿ.ಮಿ. ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತೀರಿ. ಮುಂದೆ ಪ್ರತೀ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದೊಂದು ಕಿ.ಮಿ. ನಷ್ಟು ವೇಗ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಮುಗಿಸಲು ಬೇಕಾದ ಕಾಲ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಿಮ್ಮ ಸೈಕಲಿನ ವೇಗ: (16,15,14, …) ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ,

S_n =70 ಆಗುವಂತೆ n ನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ a =16, d = -1

S_n   = n*( )

= n*( )

= n*()

= n*()

n*()  = 70(ಒಟ್ಟು ದೂರ: 70 ಕಿ.ಮಿ.)

 

(33n-n² ) = 2*70=140

-n² +33n -140 =0

 n² -33n +140 =0

(n-5)*(n-28) = 0

n=5 ಅಥವಾ n=28

 

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವಿಲ್ಲಿ 2 ಉತ್ತರಗಳನ್ನು (5 ಮತ್ತು 28) ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಆರಂಭದ ವೇಗ ಗಂಟೆಗೆ 16ಕಿ.ಮಿ. ಆಗಿದ್ದು, ಗಂಟೆಗೆ ಒಂದು ಕಿ.ಮಿ. ವೇಗ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವಾಗ ಬೇಕಾದ ಕಾಲ 5 ಗಂಟೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (n=28 ಆದರೆ ವೇಗ ಋಣ (T₂₈=  -11) ಆಗುತ್ತದೆ).

 ಬೇಕಾದ ಕಾಲ= 5 ಗಂಟೆಗಳು.

 

1.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 6:  ಒಬ್ಬ ರಾಜನು ಮೊದಲನೆಯ ದಿನ 2 ಯೋಜನ ದೂರ ಹೋಗಿ, ಶತ್ರುವಿನ ಆನೆಗಳನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು 7 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ  80 ಯೋಜನಗಳು ಹೋದರೆ, ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ ಎಷ್ಟು ದೂರ ಹೆಚ್ಚಿಸಿರಬೇಕು, ಬುದ್ಧಿವಂತನೇ ಹೇಳು? (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 126)

ಪರಿಹಾರ:

ರಾಜನು ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ,

S_n =70 ಆಗುವಂತೆ d ನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ a =2, n = 7

S_n   = n*( )

= 7*( )

= 7*()

= 7*(2+3d) = 80

 2+3d = 80/7

 3d = (80/7)-2 = (66/7)

ರಾಜನು ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ 22/7 ಯೋಜನ ದೂರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು.

1.8.4 ಸಮಸ್ಯೆ 7:  ಒಬ್ಬನು  ಮೊದಲನೆಯ ದಿನ 3 ಪಲ್ಲ ಧಾನ್ಯವನ್ನು ದಾನ ಮಾಡಿ, ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ  2 ಪಲ್ಲಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾ ಹೋದರೆ 360 ಪಲ್ಲಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ದಾನ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಲೀಲಾವತಿಯೇ ಬೇಗ ಹೇಳು. (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 124)

 

ಪರಿಹಾರ:

ದಾನ ಮಾಡಿದ ಧಾನ್ಯ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ,

S_n =360  ಆಗುವಂತೆ n ನ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ a =3, d = 2

S_n   = n*( )

= n*( )

= n*(3n+2n-2) = n(n+2)

 n²+2n =360

 n²+2n -360 =0

 (n+20)*(n-18) =0

 

n  =-20 ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ  360 ಪಲ್ಲ ದಾನ ಮಾಡಲು 18 ದಿನಗಳು ಬೇಕು.

1.8.5 ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ (Geometric Progression) (GP):

 

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

1.   {T}= {2,4,8,16 …….}.  ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವೂ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ಎರಡರಷ್ಟಿದೆ.

2.   ಯಾವುದೇ ಪದ = 2* ಹಿಂದಿನ ಪದ ಅಥವಾ = 1/2* ಮುಂದಿನ ಪದ

ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ = 1:2.

2.   {T}= {27,9,3,1 …….}.  ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವೂ ಹಿಂದಿನ ಪದದ 1/3 ರಷ್ಟಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪದ = 1/3* ಹಿಂದಿನ ಪದ ಅಥವಾ  ಮುಂದಿನ ಪದ = 3*ಹಿಂದಿನ ಪದ.  ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ =3:1

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಶ್ರೇಢಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತ ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು “ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ” (Geometric Progression)(GP) Jಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ‘ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ’ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಅದನ್ನ ‘r’ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು GP ಯಲ್ಲಿ  T_n  /T_n-1 = ಸ್ಥಿರಾಂಕ

1 ನೇ ಉದಾ ದಲ್ಲಿ  T₃   /T₂==2        2 ನೇ ಉದಾ ದಲ್ಲಿ T₃   /T₂= = 1/3

ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದ T₁ = a ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ ‘r’ ಆದರೆ,

T₂= T₁*r= ar^(2-1)

T₃= T₂*r= ar*r =ar²= ar^(3-1)

T₄= T₃*r= ar²*r = ar³= ar^(4-1)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, T_n= ar^(n-1) ;   T_n= ar^(n-1 = ar^(n-2)*r=T_n-1*r

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ:- {a, ar, ar², ar³ ……….. ar^(n-1)}

1.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 1 :  ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ 7 ನೇ ಪದವು 4 ನೇ ಪದದ ಎಂಟರಷ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು  5 ನೇ ಪದ 12 ಆದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

T_n = ar^n-1

 T₇=a r⁶ ,  T₄=a r³ ಆದರೆ T₇= 8T₄ à ದತ್ತ

 a r⁶= 8 ar³

 r³= 8

 r=2

T₅=a r⁴

    = a 2⁴=16a =12 (ದತ್ತ Û)

 a =  =

ದತ್ತ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ = {, *2, *2² , *2³….} = {3/4, 3/2,3,6…}

 

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು:

= {a, ar, ar², ar³ ……….. ar^(n-1)}(n ಪದಗಳು)

            (1)        S_n= a +ar+ar²+ ar³ ……….. +ar^(n-1)    

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ‘r ’ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,           

  (2)        rS_n=       ar+ar²+ ar³ ……       +ar^(n-1)+ arⁿ

 

ಸ.(2) ರಿಂದ (1) ನ್ನ ಕಳೆದಾಗ

S_n- rS_n=a- arⁿ

S_n(1-r) =a(1- rⁿ)

S_n= a (1- rⁿ)  / (1-r)   -----à r <1 ಆದಾಗ,

    = -a (1- rⁿ) /-(1-r) (ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳೆರಡನ್ನೂ -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ)

    =  a ( rⁿ-1) /  (r-1)      -----à r >1 ಆದಾಗ,

r ಗೆ ಯಾವುದೆಲ್ಲಾ ಬೆಲೆ ಇರಬಹುದು? ( r=1, r>1,r<1)

1) r=1 ಆದಾಗ, GP = {a ,a,a.a,a….}

2) r<1 ಆದಾಗ,

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, r =  = 0.9 ಆದಾಗ, n ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಆದಾಗ, G ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

r2=	0.81
r4=	0.66
r8=	0.43
r16=	0.19
r64=	0.0012

 

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, n ನ ಬೆಲೆ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, rⁿ  ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. (we say rⁿ  approaches 0).

ಅದೇ ರೀತಿ  r ನ ಬೆಲೆ 1 ರ ಸಮೀಪ (999/1000) ಆದಾಗ ಕೂಡಾ ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆ.

 

r<1 ಆದಾಗ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಅನಂತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ  S_n= a (1- rⁿ) / (1-r)  ====è

S_infinity = =

 

ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ S_2n/ S_n = rⁿ+1 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

S_2n/ S_n = [a(1- r²ⁿ)/(1-r)]/ [a(1- rⁿ)/(1-r)]

           = [a(1- r²ⁿ)*(1-r)]/[a (1- rⁿ)*(1-r)]

           = (1- r²ⁿ)/ (1- rⁿ)

           = (1- rⁿ) (1+ rⁿ)/ (1- rⁿ)    ===à (a²- b²) = (a-b)*(a+b) , r²ⁿ= (rⁿ)²

           =  (1+ rⁿ)

 

1.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 2 :  ಈ ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿ: { 1, 0.1, 0.01, 0.001,…. (0.1)⁹} (ಗಮನಿಸಿ: ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ  9 ಪದಗಳಲ್ಲ. 10ಪದಗಳಿವೆ.)

ಪರಿಹಾರ:

a=1, r=1/10

S_n = a (1- rⁿ) / (1-r) 

S₁₀ = 1(1- (1/10)¹⁰ ) / (1-1/10)

      =  [(10¹⁰ -1)/10¹⁰]/(9/10)

      =  (10¹⁰ -1)/(9*10⁹)

 

1.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : S₁₀:  S₅=  33:1, T₆= 32 ಆದರೆ ಆ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನ ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

GP ಯಲ್ಲಿ S₁₀/  S₅ = [a(r¹⁰-1)/(r-1)]/ [a(r⁵-1)/(r-1)]

           = (r¹⁰-1)/ (r⁵-1)

           =  (r⁵+1)  =====à ಗಮನಿಸಿ {(a²- b²) = (a-b)*(a+b) ಮತ್ತು  r¹⁰= (r⁵)²}

 

 ಆದರೆ S₁₀/  S₅ =  33 ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

         (r⁵+1) =33

 r⁵ =33-1=32    r =2

T_n = ar^n-1

T₆ = a2⁵

        = 32(ದತ್ತ)

a=1

{GP} = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…}

 

1.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 4 :  ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬವನ್ನು ಕೆಲವು ಶಾಲೆಗಳ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಸಿಹಿತಿಂಡಿ ಹಂಚುವ ಮೂಲಕ ಆಚರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ.ಹೀಗೆ ಹಂಚುವಾಗ, 1 ಪ್ಯಾಕೇಟ್ ನಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಶಾಲೆಗೂ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಶಾಲೆಗೆ ಕೊಟ್ಟ ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳ, 4 ರಷ್ಟು ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳನ್ನು ಕೊಡುತ್ತೀರಿ. ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ 341 ಸಿಹಿತಿಂಡಿ ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳಿದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟು ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಸಿಹಿತಿಂಡಿ ಕೊಡಬಹುದು?

 

ಪರಿಹಾರ:

ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಹಂಚಿದ ಸಿಹಿ ತಿಂಡಿ ಪ್ಯಾಕೇಟುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದೆ.

= {1,4,16,….} ಆಗ a=1, r=4. S_n = 341 n=?

r >1S_n = [a(rⁿ-1)/(r-1)]

      S_n = a(4ⁿ-1)/(4-1)

             = 1(4ⁿ-1)/3

            = 341 à ದತ್ತ

 (4ⁿ-1) = 3S_n = 3*341=1023

 4ⁿ= 1024

  n =5

ನೀವು 5 ಶಾಲೆಗಳಿಗೆ ಸಿಹಿ ತಿಂಡಿ ಹಂಚಬಹುದು

1.8.5 ಸಮಸ್ಯೆ 5:  ಒಬ್ಬನು  ಮೊದಲನೆಯ ದಿನ 2 ವರಾಟಕ ದಾನ ಮಾಡಿ, ಪ್ರತೀ ದಿನವೂ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕೊಟ್ಟದ್ದರ ಎರಡರಷ್ಟು ಕೊಡುತ್ತಾ ಹೋದರೆ, ಒಂದು ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು  ದಾನ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಲೀಲಾವತಿಯೇ ಬೇಗ ಹೇಳು. (ಲೀಲಾವತಿ ಶ್ಲೋಕ 130)

 

ಪರಿಹಾರ:

ದಾನ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿದೆ.

= {2,4,8,16,,….} ಆಗ, a=2, r=2, n=30

S_n = [a(rⁿ-1)/(r-1)]

S_n = 2(2³⁰-1)/(2-1)

          = 2(1024³-1)    (  2³⁰ ={2¹⁰}³=1024³

            = 2147483646

 

 

1.8.6 ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ (Harmonic Progression):

 

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಶ್ರೇಢಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:-

{,  ,  ,…}

{,,…}

ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಗಳ ಪದಗಳ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬರೆದಾಗ,

{ 3, 6, 9 12…} ಇದು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ (ಸಮಸ್ಯೆ 1.8.3.3)

{8,18,28….} ಇದು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ (ಸಮಸ್ಯೆ 1.8.3.1)

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ವಿಲೋಮಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ‘ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ’ (Harmonic progression) ಎನ್ನುವರು. ಅದನ್ನ ‘{HP}’ ಯೆಂತಲೂ ಸೂಚಿಸುವರು.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ{AP} ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ = T_n =a+(n-1)d

{HP} ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ =

{HP}= {, , , ……. }

ಗಮನಿಸಿ: ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ S_n ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರ ಇಲ್ಲ.

1.8.6 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ  T₄=  , T₁₀=  ಆದರೆ T₁₉ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ T_n=

 T₄=  =  (ದತ್ತ)

T₄= =

  a+3d =12  ==========à(1)

T₁₀=  =  (ದತ್ತ)

 a+9d =42  ==========à (2)

 (1) ನ್ನು (2) ರಿಂದ ಕಳೆದಾಗ

a+9d-(a+3d) =42-12

 6d = 30

 d =5

1 ರಲ್ಲಿ  d ಯ ಬೆಲೆ  5  ನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ,

a+3*5 =12

a = (12-15) = -3

T₁₉=

     =

     =

 

1.8.7 ಸಮಾಂತರ, ಗುಣೋತ್ತರ ಮತ್ತು ಹರಾತ್ಮಕ ಮಾಧ್ಯಗಳು (Arithmetic, Geometric and Harmonic means) (AM,GM and HM):

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: a, A ಮತ್ತು b ಗಳು ‘ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ’  ಮೂರು ಪದಗಳಾದರೆ,a ಮತ್ತು b ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾಂತರ ಮಾಧ್ಯ {Arithmetic Mean (AM)} ‘A’ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

a, A ಮತ್ತು b ಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು.

A-a =b-A(ಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ)

2A = a+b

A =  

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: a, G ಮತ್ತು b ಗಳು ‘ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ’  ಮೂರು ಪದಗಳಾದರೆ, a ಮತ್ತು b ಗಳ ನಡುವಿನ ಗುಣೋತ್ತರ ಮಾಧ್ಯ{Geometric Mean (GM)}‘G’ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

a, G ಮತ್ತು b ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳು.

 =( ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ)

G²= ab

G =

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: a, H ಮತ್ತು  b ಗಳು ‘ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ’ ಮೂರು ಪದಗಳಾದರೆ, ‘H’ - a ಮತ್ತು b ಗಳ ನಡುವಿನ ಹರಾತ್ಮಕ ಮಾಧ್ಯ{Harmonic Mean (HM)} ಆಗಿರುತ್ತದೆ

a, H, b à ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪದಗಳಾದರೆ,

(,,)ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿರಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ - =  - (ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ)

 = +

      =

 2ab =H(a+b)

 H =

 

1.8.7 ಪ್ರಮೇಯ: A, G ಮತ್ತು H ಗಳು ಎರಡು ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ  ನಡುವಿನ ಸಮಾಂತರ ಮಾಧ್ಯ (AM) ಗುಣೋತ್ತರ ಮಾಧ್ಯ (GM) ಮತ್ತು ಹರಾತ್ಮಕ ಮಾಧ್ಯ (HM) ಗಳಾದರೆ, A,G ಮತ್ತು H ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ್ದು: G/A =H/G ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ)

ಈಗ, (AM) A =   (GM) G =

(HM) H =

 

A*H = * = ab= ()²= G²

ಅಥವಾ   H/G = G/A  ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  A,G, H ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿವೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಧನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, AGH ಆಗಿರುತ್ತದೆ.( (a+b)² ನ ಸೂತ್ರ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸಾಧಿಸಿ)

 

  1.8 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

 

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	{AP}= {a, a+d, a+2d,a+3d …..a+(n-1)d} ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ:Tn=  a+(n-1)d
2	=
3	ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ Sn  =  n*[2a+(n-1)*d]/2= n*(a+ Tn)/2
4	{GP} = {a, ar, ar2, ar3 ……….. ar(n-1)}  ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: Tn= Tn-1*r  = ar(n-1)
5	ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ  Sn = a(1- rn)/(1-r)
6	{HP}= {, , , …} ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ:Tn=
7	ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಮಾಂತರ ಮಾಧ್ಯ (AM): A=
8	ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಮಾಂತರ ಮಾಧ್ಯ (GM): G =
9	ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಮಾಂತರ ಮಾಧ್ಯ (HM): H =