1.8 ¸ÀASÉåUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉ (Progressions of numbers :)

PɼÀV£À D¸ÀQÛzÁAiÀÄPÀ «²µÀÖ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÀĪÁ.

¸ÀªÀĸÉå 1 : ¤ÃªÀÅ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ¤AzÀ gÀÆ 10,000 ¸Á® ¥ÀqÉ¢¢ÝÃgÉAzÀÄ w½AiÀÄĪÁ ªÀÄvÀÄÛ ¸Àé®à ¸Àé®àªÁVAiÉÄà ¥Àæwà ¢£À ªÁ¥Á¸ÀÄ PÉÆqÀÄwÛÃgÉAzÀÄ M¦à¢ÝÃj. EzÀPÉÌ PÉ®ªÀÅ DAiÉÄÌUÀ½ªÉ:

1. ¤ÃªÀÅ ¢£ÀPÉÆÌAzÀÄ gÀÆ¥Á¬ÄAiÀÄAvÉ ªÁ¥Á¸ÀÄ PÉÆqÀ®Ä §AiÀĸÀÄwÛÃj. EzÀPÉÌ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ M¥ÀÅàvÁÛ£ÉAiÀÄ ? RArvÁ E®è. KPÉAzÀgÉ ¸ÀA¥ÀÇtð ¸Á® wÃj¸À®Ä ¸ÀĪÀiÁgÀÄ 28 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ.(10,000/365).

2. ¤ÃªÀÅ ¥Àæwâ£À ¢£ÀzÀ PÀæªÀĸÀASÉåAiÀĵÀÄÖ gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀÄwÛÃgÉAzÀÄ ¨sÁ«¸ÀĪÁ.(1 £Éà ¢£À 1 gÀÆ. 2£Éà ¢£À 2 gÀÆ, 3£Éà ¢£À 3 gÀÆ. . . . . . »ÃUÉ) DUÀ ¸Á® wÃj¸À®Ä JµÀÄÖ ¢£À ¨ÉÃPÀÄ ?

3. ¤ÃªÀÅ ªÉÆzÀ® ¢£À 1 gÀÆ. PÉÆlÄÖ ªÀÄÄA¢£À ¥Àæwâ£ÀUÀ¼À°è »A¢£À ¢£À PÉÆlÖ ºÀtzÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ PÉÆqÀÄ«gÁzÀgÉ,( 1 £Éà ¢£À 1 gÀÆ. 2£Éà ¢£À 2 gÀÆ, 3£Éà ¢£À 4 gÀÆ 4£Éà ¢£À 8gÀÆ . . . . »ÃUÉ) ¸Á® wÃj¸À®Ä JµÀÄÖ ¢£À ¨ÉÃPÀÄ?

PÉÆ£ÉAiÀÄ JgÀqÀÆ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ¸Á® wÃj¸À®Ä ¨ÉÃPÁzÀ ¢£ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ ?

¸ÀªÀĸÉå 2 : ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ 70 Q.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ ¸ÉÊPÀ¯ï gÉøï£À°è ¨sÁUÀªÀ»¸À®Ä §AiÀĸÀÄwÛÃgÉAzÀÄ ¨sÁ«¸ÀĪÁ. ªÉÆzÀ® UÀAmÉAiÀÄ°è 16 Q.«Äà zÀÆgÀ ZÀ°¸ÀÄwÛÃj. ªÀÄÄA¢£À ¥Àæwà UÀAmÉAiÀÄ®Æè ¤ªÀÄä ªÉÃUÀ MAzÉÆAzÀÄ Q.«ÄÃ.£ÀAvÉ PÀrªÉÄAiÀiÁUÀĪÀÅzÁzÀgÉ. ¸ÀàzsÉðAiÀÄ CAwªÀÄ ºÀAvÀªÀ£ÀÄß vÀ®Ä¥À®Ä ¤ªÀÄUÉ JµÀÄÖ ¸ÀªÀÄAiÀÄ ¨ÉÃPÀÄ ?

F jÃwAiÀÄ, ¤vÀåfêÀ£ÀzÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ½UÉ UÀtÂvÀ±Á¸ÀÛç ºÉÃUÉ ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉAzÀÄ w½AiÀÄĪÁ.

18.1 ±ÉæÃrüUÀ¼ÀÄ (Sequence) :

1.8.1 GzÁ 1 : ¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ°è£À J¯Áè vÀgÀUÀwUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄ®Ä ºÉýzÀgÉ ºÉÃUÉ §gÉAiÀÄÄwÛÃj ?

3, 10, 4, 1, 12, 8, 7, 5, 6, 2, 9, 11 - JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄwÛÃgÁ ?

E®è §zÀ¯ÁV 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12 - JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄwÛÃj.

1.8.1 GzÁ 2 : 2006£Éà E¸À« d£ÀªÀj wAUÀ¼À°ègÀĪÀ D¢vÀåªÁgÀUÀ¼À vÁjÃPÀÄUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀĨÉÃPÁzÀgÉ, »ÃUÉ §gÉAiÀÄÄwÛÃj : 1, 8, 15, 22, 29 JAzÀÄ §gÉAiÀÄÄwÛÃj

ªÉÄð£À JgÀqÀÆ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è K£ÀÄ ªÀiÁr¢j ? ¤ªÀÄUÀj«®èzÉAiÉÄà ¤ÃªÉÇAzÀÄ PÀæªÀÄPÉÌ §zÀÞgÁV, ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¢¢ÝÃj.

ªÉÆzÀ®£Éà ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è 1 jAzÀ DgÀA©ü¹, MAzÉÆAzÉà CAPÉAiÀÄ£ÀÄß »A¢£À ¸ÀASÉåUÉ PÀÆr¹, ªÀÄÄA¢£À ¸ÀASÉå §gÉ¢j. 12 DzÉÆqÀ£É ¤°è¹¢j. KPÉ? CzÀÄ ¤ªÀÄä ±Á¯ÉAiÀÄ°è EgÀĪÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀw.

JgÀqÀ£Éà ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è 2006£Éà E¸À« d£ÀªÀj wAUÀ¼À ªÉÆzÀ® gÀ«ªÁgÀ 1£Éà vÁjÃPÀÄ. DzÀÝjAzÀ ªÉÆzÀ®Ä ‘1’£ÀÄß §gÉzÀÄ “ªÀÄÄAa£À ¸ÀASÉåUÉ 7£ÀÄß PÀÆr¹” J£ÀÄߪÀ ¤AiÀĪÀÄPÀÌ£ÀĸÁgÀªÁV ªÀÄÄA¢£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¢j. PÉÆ£ÉAiÀÄ ¸ÀASÉå 31QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀAvÉ £ÉÆÃrPÉÆArj. KPÉAzÀgÉ d£ÀªÀj wAUÀ¼À°è 31¢£À ªÀiÁvÀæ«gÀÄvÀÛzÉ.

1.8.1 GzÁ 3 : F ¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹ 2, 4, 6, 8, 10, 12 . . . . . .

EzÀÄ AiÀiÁªÀ ¥ÀnÖ? EzÀÄ ¸ÀªÀĸÀASÉåUÀ¼À ¥ÀnÖ ªÀÄvÀÄÛ EzÀÄ ªÀÄÄVAiÀÄĪÀÅzÉà E®è.

ªÁåSÉå : MAzÀÄ ±ÉæÃrüAiÀÄÄ (sequence) ¤AiÀĪÀÄPÀÌ£ÀĸÁgÀªÁV ªÀåªÀ¸ÉÜUÉƽ¹gÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀtªÁVgÀÄvÀÛzÉ. ±ÉæÃrüAiÀÄ°è£À ¥Àæw CA±ÀªÀÅ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀ (Term) ªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß »ÃUÉ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ, T₁ T₂T₃T₄T₅ ….

¥ÀzÀUÀ¼À PÀæªÀÄ ¸ÀASÉå ==à	1	2	3	4	----	n	---
C£ÀÄPÀæªÀÄ ¸ÀÆZÀPÀ aºÉßUÀ¼ÀÄ ===à	T1	T2	T3	T4	----	Tn	---

MAzÀÄ ±ÉæÃrüAiÀÄ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV {T_n } JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

Jt¸À§ºÀÄzÁzÀ CxÀªÁ ¤¢ðµÀÖ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ±ÉæÃrüAiÀÄÄ ‘¥Àj«ÄvÀ ±ÉæÃrü’(Finite sequence).

Jt¸À¯ÁUÀzÀ CxÀªÁ C¤¢ðµÀÖ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ±ÉæÃrü ‘C¥Àj«ÄvÀ ±ÉæÃrü’(Infinite sequence).

ªÉÄð£À ªÉÆzÀ® GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è 12 ¥ÀzÀUÀ½ªÉ ªÀÄvÀÄÛ 2£Éà GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è 5 ¥ÀzÀUÀ½ªÉ. EªÉgÀqÀÆ ¥Àj«ÄvÀ ±ÉæÃrüUÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÁVªÉ.

3 £Éà GzÁºÀgÀuÉAiÀiÁzÀ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¥ÀnÖAiÀÄ°è ¤¢ðµÀÖ ¥ÀzÀUÀ½®è. DzÀÝjAzÀ CzÀÄ MAzÀÄ C¥Àj«ÄvÀ ±ÉæÃrü.

1.8.1 GzÁ 4 : MAzÀÄ ±ÉæÃrüAiÀÄÄ ©ü£ÀßgÁ²UÀ½AzÀ®Æ PÀÆrgÀ§ºÀÄzÀÄ.

2/1, 3/2, 4/3, 5/4 . . . .

E°è ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå¥ÀzÀ T_n£À ¨É¯É JµÀÄÖ ?

T₁ = (1+1)/1

T₂ =(2+1)/2

T₃ =(3+1)/3

T₄ =(4+1)/4

T_n=(n+1)/n, F ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ¢AzÁV, zÀvÀÛ ±ÉæÃrüAiÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀħºÀÄzÀÄ.

±ÉæÃrüAiÀÄ 6£Éà ¥ÀzÀ T₆ =(6+1)/6 =7/6

1.8.1 ¸ÀªÀĸÉå 1 : T_n =2n²+1, T_n=73 DzÀgÉ n £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj ?

T_n =2n²+1 =73

2n² =73-1=72

2n² =72

n² =36

n = =

zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁzÀÝjAzÀ n, zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀªÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ n=6.

vÁ¼É:

T₆ = 2*6²+1 = 2*36+1=73

1.8.2 ±ÉæÃtÂUÀ¼ÀÄ(Series):

ªÁåSÉå : MAzÀÄ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß ±ÉæÃt (series) J£ÀÄßvÉÛêÉ. EzÀ£ÀÄß S CxÀªÁ S_n ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. ±ÉæÃtÂAiÀÄÄ MAzÀÄ ¥Àj«ÄvÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

S_n = T₁ + T₂+T₃.........T_n

S_n- S_n-1=( T₁ + T₂+T₃.........T_n-1+ T_n) -( T₁ + T₂+T₃.........T_n-1)= T_n

S_n- S_n-1 = T_n

1.8.2 ¸ÀªÀĸÉå 1 : T_n ={(-1)ⁿ} DzÀgÉ, S₁ = S₃ : S₂ = S₄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

T_n =(-1)ⁿ

T₁= (-1)¹ = -1, T₂ = (-1)² =1, T₃ = (-1)³ = -1, T₄= (-1)⁴ = 1

S₁ = T₁ = -1

S₃ = T₁ + T₂+T₃= -1+1-1 = -1

S₁ = S₃

S₂ = T₁ + T₂ =-1+1 =0

S₄ =T₁ + T₂+T₃ +T₄= -1+1-1+1 =0

S₂ = S₄

1.8.3 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüUÀ¼ÀÄ(Arithmetic Progression):

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉ 1.8.1.1 gÀ°è, AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 1 DVzÉ.

GzÁ.1.8.1.2 gÀ°è, JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 7 DVzÉ.

ªÁåSÉå: MAzÀÄ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ ¹ÜgÁAPÀªÁVzÀÝgÉ, D ±ÉæÃrüAiÀÄÄ “¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ”(Arithmetic Progression)(AP). ¹ÜgÁAPÀªÀÅ ¸ÁªÀiÁ£Àå ªÀåvÁå¸ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£ÀÄß ‘d’¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è, T_n+1 – T_n =d : T_n-1+d = T_n

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è ªÉÆzÀ®£Éà ¥ÀzÀªÀÅ ¹ÜgÁAPÀªÁVzÀÄÝ CzÀ£Àß ‘a’¬ÄAzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

T₁ = a

T₂= a+d

T₃= T₂+d =(a+d)+d = a+2d = a + (3-1)d

T₄= T₃+d =(a+2d)+d =a+3d= a+(4-1)d

T_n = T_n-1+d = a+(n-1)d. d= (T_n -a)/(n-1)

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ: T_n = a+(n-1)d

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£ÀågÀÆ¥À: {a, a+d, a+2d,a+3d …, a+(n-1)d}

1.8.3 ¸ÀªÀĸÉå 1 : S_n = 5n²+3n DzÀgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ£ÀÄß §gɬÄj.

¥ÀjºÁgÀ:

S_n-1 = 5(n-1)²+3(n-1) = 5(n² -2n+1) +3n-3

= 5n²-10n+5+3n-3

= 5n²-7n+2

T_n= S_n- S_n-1

= (5n²+3n) –(5n²-7n+2)

= 10n-2

T₁ = 8

T₂ =18

T₃ =28

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrü: {8,18,28…..}

vÁ¼É:

S₃ = T₁ + T₂ + T₃ =8+18+28 = 54

S_n = 5n²+3n

= 5*3²+3*3

= 54

1.8.3 ¸ÀªÀĸÉå 2 : MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è T₁₀ =20 T₂₀ =10 DzÀgÉ T₃₀ PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

ªÉÆzÀ®Ä a ªÀÄvÀÄÛ dUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

T_n = a+(n-1)d

T₁₀ = a+(10-1)d = a+9d

DzÀgÉ_, T₁₀= 20 à zÀvÀÛ

a+9d=20: a=20-9d ====à(1)

T₂₀ = a+(20-1)d = a+19d ====à(2)

DzÀgÉ, T₂₀= 10

(1) ªÀÄvÀÄÛ (2)jAzÀ, T₂₀ = a+19d

=20-9d+19d =10

=20+10d =10

10d =(10-20)= -10

d = -1

(1)jAzÀ, a =20-9d

= 20+9 =29

T₃₀ = a+(30-1)d

= 29+29*(-1) = 29-29 =0

vÁ¼É:

T₁₀ =29+9*(-1)=20

T₂₀ =29+19*(-1)=10

1.8.3 ¸ÀªÀĸÉå 3: 5^£Éà ªÀÄvÀÄÛ 10^£Éà ¥ÀzÀUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ 1:2 DVzÀÄÝ, T₁₂ =36 DVgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ£ÀÄß §gɬÄj.

¥ÀjºÁgÀ:

T₅ : T₁₀ = 1:2 (i.e T₅ /T₁₀ =1/2) à zÀvÀÛ

2T₅ = T₁₀

2(a+4d) = (a+9d)

2a+8d = a+9d

a=d.

T₁₂ =36à zÀvÀÛ

a+ 11d = 36

a=d DzÀÝjAzÀ, 12d =36

d=3

a=d DzÀÝjAzÀ, a=3

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrü: = 3,6,9,12…

vÁ¼É:

T₅ = 15, T₁₀ =30, 1:2 zÀvÀÛ C£ÀÄ¥ÁvÀ.

1.8.3 ¸ÀªÀĸÉå 4: ªÉÆvÀÛ15 ªÀÄvÀÄÛ UÀÄt®§Þ 105 DVgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

ªÀÄzsÀåzÀ ¥ÀzÀ a DVgÀ°.

ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀ: a-d

3^£Éà ¥ÀzÀ: a+d.

ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ= (a-d)+a+(a+d ) = 3a = 15

a = 5.

ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄt®§Þ = (a-d)*a*(a+d) = a*(a²-d²) =105

a*(a²-d²) =105

5(5²-d²) = 105

(25-d²) = 21

-d² = 21-25

-d²= -4

d²= 4

d =

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ: 3,5,7 CxÀªÁ 7,5,3

vÁ¼É: 3,5,7 EªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 15, UÀÄt®§Þ: 105.

1.8.4 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃtÂAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ(Summation of arithmetic series):

FUÀ £ÁªÀÅ F CzsÀåAiÀÄ£ÀzÀ DgÀA¨sÀzÀ°è £ÉÆÃrzÀ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ §UÉÎ ZÀað¸ÀĪÁ.

1.8.4 ¸ÀªÀĸÉå 1 : ¤ÃªÀÅ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ¤AzÀ gÀÆ. 10,000 ¸Á® ¥ÀqÉ¢¢ÝÃgÉAzÀÄ ¨sÁ«¸ÀĪÁ ªÀÄvÀÄÛ ¢£ÀA¥Àæw ¸Àé®à ¸Àé®à ºÀtªÀ£ÀÄß »AzÀPÉÌ PÉÆqÀĪÀ vÀPÀðPÉÌ ¤ÃªÀÅ M¦à¢ÝÃj. DUÀ ¤ªÀÄUÉ JgÀqÀÄ DAiÉÄÌUÀ½ªÉ.

1. ¤ÃªÀÅ ¢£ÀPÉÆÌAzÀÄ gÀÆ¥Á¬ÄAiÀÄAvÉ ªÁ¥Á¸ÀÄ PÉÆqÀ®Ä §AiÀĸÀÄwÛÃj. EzÀPÉÌ ¤ªÀÄä ¸ÉßûvÀ M¥ÀÅàvÁÛ£ÉAiÀÄ ? RArvÁ E®è. KPÉAzÀgÉ ¸ÀA¥ÀÇtð ¸Á® wÃj¸À®Ä ¸ÀĪÀiÁgÀÄ 28 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ. ( =28).

2. ¤ÃªÀÅ ¥Àæwâ£À ¢£ÀzÀ PÀæªÀĸÀASÉåAiÀĵÀÄÖ gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀÄwÛÃgÉAzÀÄ ¨sÁ«¸ÀĪÁ.(1 £Éà ¢£À 1 gÀÆ. 2£Éà ¢£À 2 gÀÆ, 3£Éà ¢£À 3 gÀÆ. . . . . . »ÃUÉ) PÉÆqÀÄvÁÛ ºÉÆÃUÀ®Ä ¤ÃªÀÅ M¥ÀÅàwÛÃgÁ ? RArvÁ ¨ÉÃqÀ – KPÉ £ÉÆÃqÀĪÁ:

2^£Éà DAiÉÄÌ èAiÀÄAvÉ ¤ÃªÀÅ 10 ¢£ÀUÀ¼À°è PÉÆlÖ ºÀt JµÁÖUÀÄvÀÛzÉ?

10 ¢£ÀUÀ¼À°è PÉÆlÖ MlÄÖ ºÀt = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55gÀÆ.

ºÁUÁzÀgÉ 100 ¢£ÀUÀ¼À°è PÉÆlÖ ºÀt JµÀÄÖ? EzÀ£Àß ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ¢AzÀ PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

DzÀÝjAzÀ, FUÀ ªÉÆzÀ® ‘n’ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæ K£ÀÄ JAzÀÄ w½AiÀÄĪÁ.

{T} = {1,2,3……n}

S_n = 1 + 2 + 3 ………….+(n-2)+ (n-1) +n(n ¥ÀzÀUÀ½ªÉ)

+ S_n = n +(n-1)+(n-2) … + 3 + 2 +1(wgÀÄV¹ §gÉ¢zÉ)

==================================

2S_n= (n+1)+(n+1)+(n+1) ….. .+(n+1)+(n+1)+(n+1) (n ¥ÀzÀUÀ½ªÉ)

= n(n+1)

S_n=

F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄߥÀAiÉÆÃV¹, 10 ¢£ÀUÀ¼À°è PÉÆlÖ ºÀtªÀ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁPÀĪÁ:

S₁₀ =10*11/2= 55 gÀÆ.

FUÀ 100 ¢£ÀUÀ¼À°è PÉÆqÀĪÀ MlÄÖ ºÀt: S₁₀₀ = 100*101/2 = 5050gÀÆ.

200 ¢£ÀUÀ¼À°è PÉÆqÀĪÀ MlÄÖ ºÀt: S₂₀₀ = 200*201/2 =20,100gÀÆ.

10,000 gÀÆ.UÀ¼À£ÀÄß wÃj¸À®Ä ¨ÉÃPÁzÀ ¢£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ «zsÁ£À £ÀAvÀgÀ £ÉÆÃqÀĪÁ.

FUÀ ¸ÀzÀåPÉÌ: S₁₄₁ = =10,011

DzÀÝjAzÀ ¸Á® wÃj¸À®Ä 141 ¢£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ.

ªÉÆzÀ® n ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ S_n£Àß ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

=

ªÁåSÉå: MAzÀÄ ±ÉæÃtÂAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èzÀÝgÉ, D ±ÉæÃtÂAiÀÄ£ÀÄß “¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃt”(arithmetic series) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

GzÁ: {2,5,8}, {1,4,7,}, {3,7,11}

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ‘n’ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ:

{AP}= {a, a+d, a+2d, a+3d ….,a+(n-1)d}

S_n= [a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d) …..a+(n-1)d]

= [a+a+a ….(n ¸À®) +d(1+2+3+ ……. (n-1)]

= na+d[]

na+ (= ¸ÀÆvÀæzÀ°è n §zÀ®Ä (n-1) G¥ÀAiÉÆÃV¹)

S_n = na+ = = n*()

= n*()=n*()

1.8.4 ¸ÀªÀĸÉå2 : 25 ¥ÀzÀUÀ½gÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃtÂAiÀÄ°è ªÀÄzsÀåzÀ ¥ÀzÀ 20 DzÀgÉ D ±ÉæÃtÂAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

zÀvÀÛ: n=25, T₁₃ =20, S₂₅ PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

T₁₃ = a+12d

S₂₅ = n*(a+ T₂₅)/2= 25*(a+a+24d)/2

= 25*2*(a+12d)/2

= 25*(a+12d) = 25*20(T₁₃ = a+12d)

= 500

1.8.4 ¸ÀªÀĸÉå 3 : 4 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀ 101 jAzÀ 201 gÀ ªÀgÉV£À J®è ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

{AP} = (104,108,112 …200}

S_n = 104+108+112+……

= 104+(104+4) + (104+8)… (104+96) (104, 25 ¨Áj ¥ÀÄ£ÀgÁªÀvÀð£É DUÀÄvÀÛzÉ.)(UÀªÀĤ¹: 1^£Éà ¥ÀzÀ =104, PÉÆ£ÉAiÀÄ ¥ÀzÀ 200 ªÀÄvÀÄÛ ªÀåvÁå¸À = 4)

= 104*25 +4(1+2+3…..24)

= (104*25) +4*( )

=2600+1200=3800

1.8.4 ¸ÀªÀĸÉå 4 : ¨ÁºÀħ°AiÀÄ KPÀ²¯Á «UÀæºÀ«gÀĪÀ ±ÀæªÀt ¨É¼ÀUÉƼÀPÉÌ ¤ÃªÀÅ ¥ÀæªÁ¸À ºÉÆÃV¢ÝÃgÉAzÀÄ ¨sÁ«¹. ¤ÃªÀÅ ªÉÆzÀ® ¤«ÄµÀzÀ°è 23 ªÉÄnÖ®ÄUÀ¼À£ÀÄß ºÀvÀÄÛwÛÃj. £ÀAvÀgÀ ¥Àæw ¤«ÄµÀzÀ°è ¤ÃªÀÅ »A¢£À ¤«ÄµÀzÀ°è ºÀwÛzÀÝQÌAvÀ 2 ªÉÄnÖ®ÄUÀ¼À£ÀÄß PÀrªÉÄ ºÀvÀÄÛwÛÃj JAzÁzÀgÉ, 7 ¤«ÄµÀ UÀ¼À°è ºÀwÛzÀ MlÄÖ ªÉÄnÖ®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

¤ÃªÀÅ ¥Àæwà ¤«ÄµÀzÀ®Æè »A¢£À ¤«ÄµÀzÀ°è ºÀwÛzÀÝQÌAvÀ 2 ªÉÄnÖ®Ä PÀrªÉÄ ºÀvÀÄÛªÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èzÉ. ¤ÃªÀÅ 7 ¤«ÄµÀ PÁ® vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀzÀÝjAzÀ, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃtÂAiÀÄ°è S₇PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÀÄ.

{AP} = {23,21,19….) a=23, d = -2

S_n = n*( )

S₇ = 7* ( )

= 7*[46-12]/2

= 7*17 = 119

¤ÃªÉà ªÀiÁr: ¤ÃªÀÅ ¥ÀæwªÉÄAiÀÄ£Àß vÀ®Ä¥À®Ä 1000 ªÉÄnÖ®Ä ºÀvÀÛ¨ÉÃPÁVzÀÝgÉ, CzÀPÉÌ ¨ÉÃPÁUÀĪÀ PÁ®ªÀ£Àß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

1.8.4 ¸ÀªÀĸÉå5: ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ 70Q.«Ä. zÀÆgÀzÀ ¸ÉÊPÀ¯ï gÉÃ¸ï £À°è ¨sÁUÀªÀ»¸À¨ÉÃPÀÄ. ªÉÆzÀ® UÀAmÉAiÀÄ°è UÀAmÉUÉ 16 Q.«Ä. ªÉÃUÀzÀ°è ZÀ°¸ÀÄwÛÃj. ªÀÄÄAzÉ ¥Àæwà UÀAmÉAiÀÄ°èAiÀÄÆ MAzÉÆAzÀÄ Q.«Ä. £ÀµÀÄÖ ªÉÃUÀ PÀrªÉÄAiÀiÁzÀgÉ, ¸ÀàzsÉð ªÀÄÄV¸À®Ä ¨ÉÃPÁzÀ PÁ® PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

¤ªÀÄä ¸ÉÊPÀ°£À ªÉÃUÀ: (16,15,14, …) MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrü,

S_n =70 DUÀĪÀAvÉ n£Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

E°è a =16, d = -1

S_n = n*( )

= n*( )

= n*()

= n*()

n*() = 70(MlÄÖ zÀÆgÀ: 70Q.«Ä.)

(33n-n² ) = 2*70=140

-n² +33n -140 =0

n² -33n +140 =0

(n-5)*(n-28) = 0

n=5 CxÀªÁ n=28

UÀtÂvÀzÀ ¥ÀæPÁgÀ £Á«°è 2 GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß (5 ªÀÄvÀÄÛ 28) ¥ÀqÉ¢zÉÝêÉ. DzÀgÉ DgÀA¨sÀzÀ ªÉÃUÀ UÀAmÉUÉ 16Q.«Ä. DVzÀÄÝ, UÀAmÉUÉ MAzÀÄ Q.«Ä. ªÉÃUÀ PÀrªÉÄAiÀiÁUÀĪÁUÀ ¨ÉÃPÁzÀ PÁ® 5 UÀAmÉVAvÀ ºÉZÁÑUÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è(n=28 DzÀgÉ ªÉÃUÀ IÄt(T₂₈= -11) DUÀÄvÀÛzÉ).

¨ÉÃPÁzÀ PÁ® = 5 UÀAmÉUÀ¼ÀÄ.

1.8.4 ¸ÀªÀĸÉå6: M§â gÁd£ÀÄ ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄ ¢£À 2 AiÉÆÃd£À zÀÆgÀ ºÉÆÃV,±ÀvÀÄæ«£À D£ÉUÀ¼À£ÀÄß »rAiÀÄ®Ä 7 ¢£ÀUÀ¼À°è 80 AiÉÆÃd£ÀUÀ¼ÀÄ ºÉÆÃzÀgÉ, ¥Àæwà ¢£ÀªÀÇ JµÀÄÖ zÀÆgÀ ºÉaѹgÀ¨ÉÃPÀÄ, §Ä¢ÞªÀAvÀ£Éà ºÉüÀÄ? (°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 126)

¥ÀjºÁgÀ:

gÁd£ÀÄ PÀæ«Ä¹zÀ zÀÆgÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrü,

S_n =70 DUÀĪÀAvÉ d £Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

E°è a =2, n = 7

S_n = n*( )

= 7*( )

= 7*()

= 7*(2+3d) = 80

2+3d = 80/7

3d = (80/7)-2 = (66/7)

gÁd£ÀÄ ¥Àæwà ¢£ÀªÀÇ 22/7 AiÉÆÃd£À zÀÆgÀªÀ£ÀÄß ºÉaѸÀ¨ÉÃPÀÄ.

1.8.4 ¸ÀªÀĸÉå7: M§â£ÀÄ ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄ ¢£À 3 ¥À®è zsÁ£ÀåªÀ£ÀÄß zÁ£À ªÀiÁr, ¥Àæwà ¢£ÀªÀÇ 2 ¥À®èUÀ¼À£ÀÄß ºÉaѸÀÄvÁÛ ºÉÆÃzÀgÉ 360 ¥À®èUÀ¼À£ÀÄß JµÀÄÖ ¢£ÀUÀ¼À°è zÁ£À ªÀiÁqÀÄvÁÛ£É. °Ã¯ÁªÀwAiÉÄà ¨ÉÃUÀ ºÉüÀÄ. (°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 124)

¥ÀjºÁgÀ:

zÁ£À ªÀiÁrzÀ zsÁ£Àå MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrü,

S_n =360 DUÀĪÀAvÉ n £Àß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

E°è a =3, d = 2

S_n = n*( )

= n*( )

= n*(3n+2n-2) = n(n+2)

n²+2n =360

n²+2n -360 =0

(n+20)*(n-18) =0

n=-20 ¸ÁzsÀå«®.è 360 ¥À®è zÁ£À ªÀiÁqÀ®Ä 18 ¢£ÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ.

1.8.5 UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrü(Geometric Progression) (GP):

PɼÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹:

1. {T}= {2,4,8,16 …….}. F ±ÉæÃrüAiÀÄ°è ¥Àæw ¥ÀzÀªÀÇ »A¢£À ¥ÀzÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖzÉ.

AiÀiÁªÀÅzÉà ¥ÀzÀ = 2* »A¢£À ¥ÀzÀ CxÀªÁ = 1/2* ªÀÄÄA¢£À ¥ÀzÀ

¥ÀzÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À C£ÀÄ¥ÁvÀ= 1:2.

2. {T}= {27,9,3,1 …….}. F ±ÉæÃrüAiÀÄ°è ¥Àæw ¥ÀzÀªÀÇ »A¢£À ¥ÀzÀzÀ 1/3gÀ¶ÖzÉ.AiÀiÁªÀÅzÉà ¥ÀzÀ = 1/3* »A¢£À ¥ÀzÀ CxÀªÁ ªÀÄÄA¢£À ¥ÀzÀ = 3* »A¢£À ¥ÀzÀ. ¥ÀzÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À C£ÀÄ¥ÁvÀ =3:1

ªÁåSÉå: ±ÉæÃrüAiÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ »A¢£À ¥ÀzÀUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ MAzÀÄ ¹ÜgÁAPÀªÁVzÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß “UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrü”(Geometric Progression)(GP)’ J£ÀÄßvÁÛgÉ. F ¹ÜgÁAPÀªÀ£ÀÄß ‘¸ÁªÀiÁ£Àå C£ÀÄ¥ÁvÀ’ J£ÀÄßvÁÛgÉ ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£Àß ‘r’ ¤AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

MAzÀÄ GPAiÀÄ°è T_n /T_n-1 = ¹ÜgÁAPÀ

1^£Éà GzÁ. zÀ°è T₃ /T₂==2 2^£Éà GzÁ. zÀ°è T₃ /T₂= = 1/3

MAzÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀ T₁ = a ¸ÁªÀiÁ£Àå C£ÀÄ¥ÁvÀ ‘r’ DzÀgÉ,

T₂= T₁*r= ar^(2-1)

T₃= T₂*r= ar*r =ar²= ar^(3-1)

T₄= T₃*r= ar²*r = ar³= ar^(4-1)

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, T_n= ar^(n-1) ; T_n= ar^(n-1 = ar^(n-2)*r=T_n-1*r

UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrü ¸ÁªÀiÁ£ÀågÀÆ¥À:- {a, ar, ar², ar³ ……….. ar^(n-1)} of GP.

1.8.5 ¸ÀªÀĸÉå 1 : MAzÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è 7^£Éà ¥ÀzÀªÀÅ 4^£Éà ¥ÀzÀzÀ JAlgÀ¶ÖzÉ ªÀÄvÀÄÛ 5^£Éà ¥ÀzÀ 12 DzÀgÉ, D ±ÉæÃrüAiÀÄ£ÀÄß §gɬÄj.

¥ÀjºÁgÀ:

T_n = ar^n-1

T₇=a r⁶ , T₄=a r³ DzÀgÉ T₇= 8T₄ à zÀvÀÛ

a r⁶= 8 ar³

r³= 8

r=2

T₅=a r⁴

= a 2⁴=16a =12 (zÀvÀÛ)

a = =

zÀvÀÛ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrü = {, *2, *2² , *2³….} = {3/4, 3/2,3,6…}

UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ n ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀÅzÀÄ:

= {a, ar, ar², ar³ ……….. ar^(n-1)}(n terms)

(1) S_n= a +ar+ar²+ ar³ ……….. +ar^(n-1)

ªÉÄð£À ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ‘r’ ¤AzÀ UÀÄt¹zÁUÀ,

(2) rS_n= ar+ar²+ ar³ …… +ar^(n-1)+ arⁿ

¸À.(2) jAzÀ (1)£Àß PÀ¼ÉzÁUÀ,

S_n- rS_n=a- arⁿ

S_n(1-r) =a(1- rⁿ)

S_n= a (1- rⁿ) / (1-r) -----à r <1 DzÁUÀ,

= -a (1- rⁿ) /-(1-r) (CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÆß -1jAzÀ UÀÄt¹)

= a ( rⁿ-1) / (r-1) -----à r >1 DzÁUÀ,

r UÉ AiÀiÁªÀÅzɯÁè ¨É¯É EgÀ§ºÀÄzÀÄ? ( r=1, r>1,r<1)

1) r=1 DzÁUÀ, GP = {a ,a,a.a,a….}

2) r<1 DzÁUÀ,

GzÁºÀgÀuÉUÉ, r = = 0.9 DzÁUÀ, n Cw zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå DzÁUÀ, G K£ÁUÀÄvÀÛzÉ?

r^2=	0.81
r^4=	0.66
r^8=	0.43
r^16=	0.19
r^64=	0.0012

F jÃwAiÀiÁV, n£À ¨É¯É Cw ºÉZÁÑzÁUÀ, rⁿ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ¸À«Äæ¸ÀÄvÀÛzÉ. (we say rⁿ approaches 0).

CzÉÃjÃw r£À ¨É¯É 1gÀ ¸À«ÄÃ¥À (999/1000) DzÁUÀ PÀÆqÁ »ÃUÉ DUÀÄvÀÛzÉ.

r<1 DzÁUÀ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ C£ÀAvÀ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ S_n= a (1- rⁿ) / (1-r) ====è

S_infinity = =

MAzÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è S_2n/ S_n = rⁿ+1 JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

S_2n/ S_n = [a(1- r²ⁿ)/(1-r)]/ [a(1- rⁿ)/(1-r)]

= [a(1- r²ⁿ)*(1-r)]/[a (1- rⁿ)*(1-r)]

= (1- r²ⁿ)/ (1- rⁿ)

= (1- rⁿ) (1+ rⁿ)/ (1- rⁿ) ===à (a²- b²) = (a-b)*(a+b) , r²ⁿ= (rⁿ)²

= (1+ rⁿ)

1.8.5 ¸ÀªÀĸÉå 2 : F ¥Àj«ÄvÀ ±ÉæÃtÂAiÀÄ ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»r: { 1,0.1,0.01,0.001,…. (0.1)⁹} (UÀªÀĤ¹: ±ÉæÃtÂAiÀÄ°è 9 ¥ÀzÀUÀ¼À®è. 10¥ÀzÀUÀ½ªÉ.)

¥ÀjºÁgÀ:

a=1, r=1/10

S_n = a (1- rⁿ) / (1-r)

S₁₀ = 1(1- (1/10)¹⁰ ) / (1-1/10)

= [(10¹⁰ -1)/10¹⁰]/(9/10)

= (10¹⁰ -1)/(9*10⁹)

1.8.5 ¸ÀªÀĸÉå 3 : S₁₀: S₅= 33:1, T₆= 32 DzÀgÉ D UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ£Àß §gɬÄj.

¥ÀjºÁgÀ:

GPAiÀÄ°è S₁₀/ S₅ = [a(r¹⁰-1)/(r-1)]/ [a(r⁵-1)/(r-1)]

= (r¹⁰-1)/ (r⁵-1)

= (r⁵+1) =====à UÀªÀĤ¹: {(a²- b²) = (a-b)*(a+b) ªÀÄvÀÄÛ r¹⁰= (r⁵)²}

DzÀgÉ S₁₀/ S₅ = 33 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.

(r⁵+1) =33

r⁵ =33-1=32 r =2

T_n = ar^n-1

T₆ = a2⁵

= 32(given)

a=1

{GP} = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…}

1.8.5 ¸ÀªÀĸÉå 4 : ¤ÃªÀÅ ¤ªÀÄä ºÀÄlÄÖºÀ§âªÀ£ÀÄß PÉ®ªÀÅ ±Á¯ÉUÀ¼À ªÀÄPÀ̽UÉ ¹»wAr ºÀAZÀĪÀ ªÀÄÆ®PÀ DZÀj¸À¨ÉÃPÉAzÀÄ ¤zsÀðj¸ÀÄwÛÃj.»ÃUÉ ºÀAZÀĪÁUÀ, 1 ¥ÁåPÉÃmï ¤AzÀ DgÀA©ü¹

¥Àæw ±Á¯ÉUÀÆ CzÀgÀ »A¢£À ±Á¯ÉUÉ PÉÆlÖ ¥ÁåPÉÃlÄUÀ¼À, 4 gÀµÀÄÖ ¥ÁåPÉÃlÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀÄwÛÃj. ¤ªÀÄä°è 341 ¹»wAr ¥ÁåPÉÃlÄUÀ½zÀÝgÉ, JµÀÄÖ ±Á¯ÉUÀ½UÉ ¤ÃªÀÅ ¹»wAr PÉÆqÀ§ºÀÄzÀÄ?

¥ÀjºÁgÀ:

±Á¯ÉUÀ½UÉ ºÀAazÀ ¹» wAr ¥ÁåPÉÃlÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èzÉ.

= {1,4,16,….} DUÀ, a=1, r=4. S_n = 341 n=?

r >1S_n = [a(rⁿ-1)/(r-1)]

S_n = a(4ⁿ-1)/(4-1)

= 1(4ⁿ-1)/3

= 341 àzÀvÀÛ

(4ⁿ-1) = 3S_n = 3*341=1023

4ⁿ= 1024

n =5

¤ÃªÀÅ 5 ±Á¯ÉUÀ½UÉ ¹» wAr ºÀAZÀ§ºÀÄzÀÄ

1.8.5 ¸ÀªÀĸÉå 5: M§â£ÀÄ ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄ ¢£À 2 ªÀgÁlPÀ zÁ£À ªÀiÁr, ¥Àæwà ¢£ÀªÀÇ »A¢£À ¢£À PÉÆlÖzÀÝgÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ PÉÆqÀÄvÁÛ ºÉÆÃzÀgÉ, MAzÀÄ wAUÀ¼À°è JµÀÄÖ zÁ£À ªÀiÁqÀÄvÁÛ£É. °Ã¯ÁªÀwAiÉÄà ¨ÉÃUÀ ºÉüÀÄ. (°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 130)

¥ÀjºÁgÀ:

zÁ£À ªÀiÁrzÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èzÉ.

= {2,4,8,16,,….} DUÀ, a=2, r=2, n=30

S_n = [a(rⁿ-1)/(r-1)]

S_n = 2(2³⁰-1)/(2-1)

= 2(1024³-1) ( 2³⁰ ={2¹⁰}³=1024³

= 2147483646

1.8.6 ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrü(Harmonic Progression):

F PɼÀV£À ±ÉæÃrüUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹:-

{, , ,…}

{,,…}

ªÉÄð£À ±ÉæÃrüUÀ¼À ¥ÀzÀUÀ¼À «¯ÉÆêÀĪÀ£ÀÄß §gÉzÁUÀ,

{ 3, 6, 9 12…} EzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrü (¸ÀªÀĸÉå1.8.3.3)

{8,18,28….} EzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrü (¸ÀªÀĸÉå 1.8.3.1)

ªÁåSÉå:MAzÀÄ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À «¯ÉÆêÀÄUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, D ±ÉæÃrüAiÀÄ£ÀÄß ‘ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrü’(Harmonic progression) J£ÀÄߪÀgÀÄ. CzÀ£Àß ‘{HP}’ AiÉÄAvÀ®Æ ¸ÀÆa¸ÀĪÀgÀÄ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ{AP} ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ = T_n =a+(n-1)d

{HP} AiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ =

{HP}= {, , , ……. }

UÀªÀĤ¹: ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ S_n PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀÆvÀæ E®è.

1.8.6 ¸ÀªÀĸÉå 1 : MAzÀÄ ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è T₄= , T₁₀= DzÀgÉ T₁₉ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è T_n=

T₄= = (zÀvÀÛ)

T₄= =

a+3d =12 ==========à(1)

T₁₀= = ( zÀvÀÛ)

a+9d =42 ==========à (2)

(1) £Àß (2) jAzÀ PÀ¼ÉzÁUÀ,

a+9d-(a+3d) =42-12

6d = 30

d =5

1 gÀ°è d AiÀÄ ¨É¯É 5£Àß DzÉò¹,

a+3*5 =12

a = (12-15) = -3

T₁₉=

=

=

1.8.7 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ, UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ªÀÄvÀÄÛ ºÀgÁvÀäPÀ ªÀiÁzsÀåUÀ¼ÀÄ(Arithmetic, Geometric and Harmonic means) (AM,GM and HM):

ªÁåSÉå: a, A ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼ÀÄ ‘¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ’ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÁzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀiÁzsÀå {Arithmetic Mean (AM)} ‘A’ DVgÀÄvÀÛzÉ.

a, A ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ.

A-a =b-A( ¹ÜgÀ CxÀªÁ ¸ÁªÀiÁ£Àå ªÀåvÁå¸À)

2A = a+b

A =

ªÁåSÉå: a, G ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼ÀÄ ‘UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ’ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÁzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ªÀiÁzsÀå{Geometric Mean (GM)}‘G’ DVgÀÄvÀÛzÉ.

a, G ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ.

=( ¸ÁªÀiÁ£Àå C£ÀÄ¥ÁvÀ)

G²= ab

G =

ªÁåSÉå: a, H ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼ÀÄ ‘ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ’ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÁzÀgÉ, ‘H’ - a ªÀÄvÀÄÛ bUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ºÀgÁvÀäPÀ ªÀiÁzsÀå{Harmonic Mean (HM)}ªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

a, H, b à ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÁzÀgÉ,

(,,) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀiÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ.

DzÀÝjAzÀ - = - ( ¸ÁªÀiÁ£Àå ªÀåvÁå¸À)

= +

=

2ab =H(a+b)

H =

1.8.7 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: A, G ªÀÄvÀÄÛ H UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ zsÀ£À ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀiÁzsÀå (AM) UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ªÀiÁzsÀå (GM) ªÀÄvÀÄÛ ºÀgÁvÀäPÀ ªÀiÁzsÀå (HM)UÀ¼ÁzÀgÉ, A,G ªÀÄvÀÄÛ H UÀ¼ÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀÄÝ: G/A =H/G (¸ÁªÀiÁ£Àå C£ÀÄ¥ÁvÀ)

FUÀ, (AM) A = (GM) G =

(HM) H =

A*H = * = ab= ()²= G²

CxÀªÁ H/G = G/A DzÀÝjAzÀ, A,G, H UÀ¼ÀÄ UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°èªÉ.

UÀªÀĤ¹: AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ zsÀ£À ¸ÀASÉåUÀ½UÉ, AGH DVgÀÄvÀÛzÉ.( (a+b)² £À ¸ÀÆvÀæ G¥ÀAiÉÆÃV¹ ¸Á¢ü¹)

1.8 PÀ°PÉAiÀÄ ¸ÁgÁA±À

PÀæ.¸ÀA.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	{AP}= {a, a+d, a+2d,a+3d …..a+(n-1)d} ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ: Tn= a+(n-1)d
2	=
3	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ°è Sn = n*[2a+(n-1)*d]/2= n*(a+ Tn)/2
4	{GP} = {a, ar, ar^2, ar^3 ……….. ar^(n-1)} UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ:Tn= Tn-1*r = ar^(n-1)
5	UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ Sn = a(1- r^n)/(1-r)
6	{HP}= {, , , …} ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀ: Tn=
7	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀiÁzsÀå (AM): A=
8	UÀÄuÉÆÃvÀÛgÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀiÁzsÀå (GM): G =
9	ºÀgÁvÀäPÀ ±ÉæÃrüAiÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÀiÁzsÀå (HM): H =