2.17 ನಿಬಂಧಿತ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳು (Conditional Identities):

 

ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಅಧ್ಯಯ 2.3 ರಲ್ಲಿ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

x, y, z ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

(x+y)(x+z) = x(x+z)+y(x+z)= x2+xz+xy+yz= x2+x(y+z)+yz

 

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x, y, z ಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:-

 

ಸಂಖ್ಯೆ

ಸೂತ್ರ

ವಿಸ್ತರಣೆ

1

(a+b)2

a2+b2+2ab

2

(a-b)2

a2+b2-2ab

3

(a+b)(a-b)

a2-b2

4

(a+b+c)2

a2+b2+ c2+2ab+2bc+2ca

5

(x+a)(x+b)(x+c)

x3+ x2(a+b+c) +x(ab+bc+ca)+abc

6

(a+b)3

a3+b3+3ab(a+b)

7

(a-b)3

a3-b3-3ab(a-b)

8

(a+b) (a2+b2-ab)

a3+b3

9

(a-b) (a2+b2+ab)

a3-b3

10

(a+b+c)(a2+b2 +c2-ab-bc-ac)

a3+b3 +c3-3abc

 

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 1: a+b+c = 0 ಆದರೆ a2/bc+ b2/ca+ c2/ab = 3 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ, 3x/x(=3) ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು. a+b+c = 0 ಆದ್ದರಿಂದ a =-b-c, b= -a-c, c=-a-b

ಸಂ.

ಹಂತ

ವಿವರಣೆ

1

LHS= a3/abc+b3/bca +c3/cab

ಎಡಭಾಗದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳೆರಡನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ a, b, c ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

2

= (a3+b3+c3)/abc

abc ಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಮಾಡಿದೆ.

3

=(a2.a+bb2+cc2)/abc

a, b, c ಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದೆ.

4

=[a2(-b-c) + b(-a-c)2+c(-a-b)2]/abc

-b-c, (-a-c)2, (-a-b)2 ವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ a, b2,c2 ಗಳಿಗೆ ಆದೇಶಿಸಿದೆ.

5

= [a2(-b-c) + b{-(a+c)}2+c{-(a+b)}2]/abc

 

6

= [- a2b- a2c +b(a2+ c2+2ac)+ c(a2+b2+2ab)]/abc

(a+c)2 ಮತ್ತು (a+b)2 ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ.

7

=[- a2b- a2c +ba2+ bc2+2abc+ ca2+cb2+2abc)]/abc

ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಪದಗಳು ಹೊಡೆದುಹೋಗುತ್ತವೆ.

8

=[ bc2 +cb2+abc+3abc]/abc

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ

9

= [bc(c+b+a)+3abc]/abc

ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ

10

=[bc(0)+3abc]/abc

a+b+c =0

11

= 3abc/abc =3

 

 

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ a+b+c = 0 ನಿಬಂಧನೆಗೊಳಪಟ್ಟು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದೆ.

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

 

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ, ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿಬಂಧಿತ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣ (conditional identities) ಗಳೆನ್ನುವರು.

 

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 2: a+b+c = 2S ಆದರೆ, (a2+b2- c2+2ab)/ (a2-b2+ c2+2ac) = (S-c)/(S-b) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು ಎಡಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

 

ಸಂ.

ಹಂತ

ವಿವರಣೆ

1

a2+b2- c2+2ab

ದತ್ತ ಅಂಶ.

2

= (a2+b2+2ab)-c2

ಪದಗಳ ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ.

3

= (a+b)2- c2

ಇದು a2-b2 =(a+b)(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a =a+b, b=c

4

= ((a+b)+c)(a+b)-c))

 

5

=2S(2S-2c)

a+b+c = 2Sಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.ಆದ್ದರಿಂದ a+b-c = a+b+c-2c=2S-2c

6

a2-b2+ c2+2ac =2S(2S-2b)

ಮೇಲಿನ ಹಂತಗಳಂತೆ ಮುಂದುವರಿಸಿ LHS ಛೇದವನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದೆ

 

ಎಡಭಾಗ = (a2+b2- c2+2ab)/(a2-b2+ c2+2ac)

= {2S (2S-2c)}/{2S(2S-2b)}

=2(S-c)/2(S-b)

=(S-c)/(S-b) = ಬಲಭಾಗ

 

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 3: a+b+c = 2S ಆದರೆ, S2+(S-a)2+ (S-b)2+(S-c)2= a2+b2+c2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 

ಸಂ.

ಹಂತ

ವಿವರಣೆ

1

ಎಡಭಾಗ = S2 +(S2+a2-2aS)+(S2+b2-2bS)+(S2+c2-2cS)

ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (a+b)2 ಸೂತ್ರ ಆಧರಿಸಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ

2

= 4S2+ a2+b2+c2-2S(a+b+c)

2Sನ್ನು (a+b+c) ಆದೇಶಿಸಿ

3

=4S2+ a2+b2+c2-2S*2S =4S2+ a2+b2+c2-4S2

 

4

= a2+b2+c2= ಬಲಭಾಗ

 

 

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 4: a+b+c 0 ಮತ್ತು a3+b3+c3=3abc ಆದರೆ a=b=c ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

 

ಸುಳಿಹು:

ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ {(a-b)2+ (b-c)2+(c-a)2} =0 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ ಪ್ರತೀ ಪದವು ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

(a-b)2=0, (b-c)2=0, (c-a)2=0

a-b= 0, b-c=0,c-a =0

a= b, b=c, c=a

 

 

2.17 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ನಿಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು.