2.17 ನಿಬಂಧಿತ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳು (Conditional Identities):

ನಾವೀಗಾಗಲೇ ಅಧ್ಯಯ 2.3 ರಲ್ಲಿ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

x, y, z ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.

(x+y)(x+z) = x(x+z)+y(x+z)= x²+xz+xy+yz= x²+x(y+z)+yz

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x, y, z ಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:-

ಸಂಖ್ಯೆ	ಸೂತ್ರ	ವಿಸ್ತರಣೆ
1	(a+b)^2	a^2+b^2+2ab
2	(a-b)^2	a^2+b^2-2ab
3	(a+b)(a-b)	a^2-b^2
4	(a+b+c)^2	a^2+b^2+ c^2+2ab+2bc+2ca
5	(x+a)(x+b)(x+c)	x^3+ x^2(a+b+c) +x(ab+bc+ca)+abc
6	(a+b)^3	a^3+b^3+3ab(a+b)
7	(a-b)^3	a^3-b^3-3ab(a-b)
8	(a+b) (a^2+b^2-ab)	a^3+b^3
9	(a-b) (a^2+b^2+ab)	a^3-b^3
10	(a+b+c)(a^2+b^2 +c^2-ab-bc-ac)	a^3+b^3 +c^3-3abc

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 1: a+b+c = 0 ಆದರೆ a²/bc+ b²/ca+ c²/ab = 3 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ:

ಈಗ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ, 3x/x(=3) ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕು. a+b+c = 0 ಆದ್ದರಿಂದ a =-b-c, b= -a-c, c=-a-b

ಸಂ.	ಹಂತ	ವಿವರಣೆ
1	LHS= a^3/abc+b^3/bca +c^3/cab	ಎಡಭಾಗದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳೆರಡನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ a, b, c ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
2	= (a^3+b^3+c^3)/abc	abc ಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಮಾಡಿದೆ.
3	=(a^2.a+bb^2+cc^2)/abc	a, b, c ಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದೆ.
4	=[a^2(-b-c) + b(-a-c)^2+c(-a-b)^2]/abc	-b-c, (-a-c)^2, (-a-b)^2 ವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ a, b^2,c^2ಗಳಿಗೆ ಆದೇಶಿಸಿದೆ.
5	= [a^2(-b-c) + b{-(a+c)}^2+c{-(a+b)}^2]/abc
6	= [- a^2b- a^2c +b(a^2+ c^2+2ac)+ c(a^2+b^2+2ab)]/abc	(a+c)^2ಮತ್ತು (a+b)^2 ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ.
7	=[- a^2b- a^2c +ba^2+ bc^2+2abc+ ca^2+cb^2+2abc)]/abc	ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಪದಗಳು ಹೊಡೆದುಹೋಗುತ್ತವೆ.
8	=[ bc^2 +cb^2+abc+3abc]/abc	ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ
9	= [bc(c+b+a)+3abc]/abc	ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ
10	=[bc(0)+3abc]/abc	a+b+c =0
11	= 3abc/abc =3

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ a+b+c = 0 ನಿಬಂಧನೆಗೊಳಪಟ್ಟು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿ, ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು “ನಿಬಂಧಿತ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣ” (conditional identities) ಗಳೆನ್ನುವರು.

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 2: a+b+c = 2S ಆದರೆ, (a²+b²- c²+2ab)/ (a²-b²+ c²+2ac) = (S-c)/(S-b) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು ಎಡಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ.

ಸಂ.	ಹಂತ	ವಿವರಣೆ
1	a^2+b^2- c^2+2ab	ದತ್ತ ಅಂಶ.
2	= (a^2+b^2+2ab)-c^2	ಪದಗಳ ಪುನರ್ಜೋಡಣೆ.
3	= (a+b)^2- c^2	ಇದು a^2-b^2 =(a+b)(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a =a+b, b=c
4	= ((a+b)+c)(a+b)-c))
5	=2S(2S-2c)	a+b+c = 2Sಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದೆ.ಆದ್ದರಿಂದ a+b-c = a+b+c-2c=2S-2c
6	a^2-b^2+ c^2+2ac =2S(2S-2b)	ಮೇಲಿನ ಹಂತಗಳಂತೆ ಮುಂದುವರಿಸಿ LHS ನ ಛೇದವನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದೆ

ಎಡಭಾಗ = (a²+b²- c²+2ab)/(a²-b²+ c²+2ac)

= {2S (2S-2c)}/{2S(2S-2b)}

=2(S-c)/2(S-b)

=(S-c)/(S-b) = ಬಲಭಾಗ

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 3: a+b+c = 2S ಆದರೆ, S²+(S-a)²+ (S-b)²+(S-c)²= a²+b²+c² ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ಹಂತ	ವಿವರಣೆ
1	ಎಡಭಾಗ = S^2 +(S^2+a^2-2aS)+(S^2+b^2-2bS)+(S^2+c^2-2cS)	ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (a+b)^2ಸೂತ್ರ ಆಧರಿಸಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ
2	= 4S^2+ a^2+b^2+c^2-2S(a+b+c)	2Sನ್ನು (a+b+c) ಆದೇಶಿಸಿ
3	=4S^2+ a^2+b^2+c^2-2S*2S =4S^2+ a^2+b^2+c^2-4S^2
4	= a^2+b^2+c^2= ಬಲಭಾಗ

2.17 ಸಮಸ್ಯೆ 4: a+b+c 0 ಮತ್ತು a³+b³+c³=3abc ಆದರೆ a=b=c ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಸುಳಿಹು:

ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ {(a-b)²+ (b-c)²+(c-a)²} =0 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ ಪ್ರತೀ ಪದವು ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಲೇ ಬೇಕು.

(a-b)²=0, (b-c)²=0, (c-a)²=0

a-b= 0, b-c=0,c-a =0

a= b, b=c, c=a

2.17 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ನಿಬಂಧಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದು.