3.6 ಮಾತೃಕೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು   (Matrix operations):

 

 

1) ಒಂದು ಮಾತೃಕೆ (A) ಯನ್ನು ಒಂದು ಸ್ಧಿರಾಂಶ k ಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾಗ:

 

 A =

k=

ಮಾತೃಕೆಯ ಪ್ರತೀ ಅಂಶವನ್ನು (ಅಡ್ಡಸಾಲು, ಕಂಬಸಾಲುಗಳೆರಡನ್ನು)  k  ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

k(A) = (k*A ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು)

 

2) ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳ ಸಮತ್ವ:      

A =

 B =

(A) =(B) ಆದರೆ, (x1=z1 , x2=z2 , x3=z3) , (y1=t1 , y2=t2 , y3=t3).

ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪ ಅಂಶಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳು ಸಮ(‘equal’).

 

1)  A =A1 ಆದರೆ A ಯು ಸಮಮಿತಿಯ (symmetric matrix) ಮಾತೃಕೆ.

ಸಾಧನೆ:

A =

A1   =

A =A1 ಆದಾಗ

a2=b1,

a3=c1,

b3=c2

A =

ಇದು ಸಮಮಿತಿ ಮಾತೃಕೆ.

(ಪ್ರಧಾನಕರ್ಣಗೆ ಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಅಂಶಗಳು ಸಮ)

 

2) A = - A1 ಆದರೆ A ಯು ವಿಷಮ ಸಮಮಿತಿಯ ಮಾತೃಕೆ.

ಸಾಧನೆ:

A =

- A1   = 

 

A =-A1 ಆದಾಗ a1= -a1,a2= -b1, a3=-c1,

b1=-a2,b2= -b2, b3= -c2,

c1 =  -a3,c2= -b3,c3=-c3

a1=0,b2=0,c3=0

A =

ಇದು ವಿಷಮ ಸಮಮಿತಿಯ ಮಾತೃಕೆ.

(ಪ್ರಥಮ ಕರ್ಣದ ಅಂಶಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮ)

 

3.6.1 ಮಾತೃಕೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ (Addition & Subtraction of Matrices):

 

1. A ಮತ್ತು B ಗಳು ಒಂದೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳಾದಾಗ, ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಅಂಶಗಳಿಂದಾಗುವ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು A ಮತ್ತು B ಮಾತೃಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ (A+B) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

2. A ಮತ್ತು B ಗಳು ಒಂದೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳಾದಾಗ, A ಮಾತೃಕೆಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ B ಮಾತೃಕೆಯ ಅನುರೂಪ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಳೆದಾಗ ಬರುವ ಅಂಶಗಳಿಂದಾದ ಮಾತೃಕೆಯನ್ನು (A-B) ಮಾತೃಕೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

 

A =

B =

A+B =

a1+x1=x1+a1  (ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣ)

 

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾದಂತೆಯೇ ಮಾತೃಕೆಗಳ ಸಂಕಲನವೂ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ. A+B=B+A

A =

B =

A-B =

a1-x1 x1-a1.

 

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಕಲನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ ಮಾತೃಕೆಗಳ ವ್ಯವಕಲನವೂ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಲ್ಲ. A-BB-A.

ಗಮನಿಸಿ: ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ ಅವೆರಡೂ ಒಂದೇ ಶ್ರೇಣಿಯವುಗಳಾಗಿರಬೇಕು

A =

A1   =

A+ A1 =

ಇದು ಸಮಮಿತಿಯ ಮಾತೃಕೆ.

 

(ಪ್ರಥಮ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ)

A =

A1   =

A- A1 =

ಇದು ವಿಷಮ ಸಮಮಿತಿಯ ಮಾತೃಕೆ.  

 

(ಪ್ರಥಮ ಕರ್ಣದ ಅಂಶಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮ).

 

 

3.6.2 ಮಾತೃಕೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ (Multiplication of matrices):

 

A =   3 x 2

B =   2 x 3

A ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು: (a1,a2), (b1,b2) , (c1,c2).

B ಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು: (x1,y1), (x2,y2) ,(x3,y3).

 

ಈಗ ಎರಡು ಜೊತೆ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ()ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸುವಾ: [(a1,a2)   (x1,y1)] = a1*x1+a2*y1

A ಮಾತೃಕೆಯ ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು B ಮಾತೃಕೆಯ ಅನುರೂಪ ಕಂಬಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಈಗ ಕೆಳಕಂಡ ಸಂಕೇತಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವಾ.

FR(A ಮಾತೃಕೆಯ ಮೊದಲ ಅಡ್ಡಸಾಲು )      FC(B ಮಾತೃಕೆಯ ಮೊದಲ ಕಂಬ ಸಾಲು)

 

SR (A ಮಾತೃಕೆಯ ಎರಡನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲು )    SC(B ಮಾತೃಕೆಯ ಎರಡನೇ ಕಂಬಸಾಲು)

 

TR (A ಮಾತೃಕೆಯ ಮೂರನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲು)   TC(B ಮಾತೃಕೆಯ ಮೂರನೇ ಕಂಬಸಾಲು)

 

ಆಗ ಮಾತೃಕೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಾವು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ.

 

<---------------- B ಮಾತೃಕೆಯ ಕಂಬಸಾಲುಗಳು --------------------- >

A ಮಾತೃಕೆಯ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳು

FC=(x1,y1)

SC=(x2,y2)

TC=(x3,y3)

FR=(a1,a2)

FR*FC

=(a1,a2)* (x1,y1)

=a1*x1+a2*y1=P1

FR*SC=      

=(a1,a2)* (x2,y2)

=a1*x2+a2*y2=P2

FR*TC

=(a1,a2)* (x3,y3)

=a1*x3+a2*y3=P3

SR=(b1,b2)

SR*FC

=(b1,b2)*(x1,y1)

=b1*x1+b2*y1=Q1

SR*SC

=(b1,b2)* (x2,y2)

=b1*x2+b2*y2=Q2

SR*TC

=(b1,b2)* (x3,y3)

=b1*x3+b2*y3=Q3

TR=(c1,c2)

TR*FC

=(c1,c2)*(x1,y1)

=c1*x1+c2*y1=R1

TR*SC

=(c1,c2)* (x2,y2)

=c1*x2+c2*y2=R2

TR*TC

=(c1,c2)* (x3,y3)

=c1*x3+c2*y3=R3

 

AB =  = 

 

ಗಮನಿಸಿ: A ಯು 3x2 ಮಾತೃಕೆ, B ಯು 2x3 ಮಾತೃಕೆ. AB ಯು 3 x 3 ಮಾತೃಕೆಯಾಗಿದೆ.

 

A = , C = (3 x 3 ಮಾತೃಕೆ) ಆಗಿರಲಿ.

A ಯನ್ನು  C ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದೆ? A ಯ  ಅಡ್ಡಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (a1, a2) 2 ಅಂಶಗಳು ಇವೆ. ಇವುಗಳನ್ನು C ಯ ಕಂಬಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ಜೊತೆಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (C ಯಲ್ಲಿ 3 ಅಂಶಗಳು ಇವೆ - x1,y1,z1)

ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮ: ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ ಮೊದಲ ಮಾತೃಕೆಯ ಕಂಬಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡನೇ ಮಾತೃಕೆಯ ಅಡ್ಡಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು. (A) ಯನ್ನು (C) ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ರಮ:

A= m x n ಮಾತೃಕೆ

B=  n x p ಮಾತೃಕೆ

 

FR(A ಯ ಮೊದಲ ಅಡ್ಡಸಾಲು)

SR (A ಯ ಎರಡನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲು)

TR (A ಯ ಮೂರನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲು)

……………………

m’th(A ಯ m ನೇ ಅಡ್ಡಸಾಲು)

 

FC(B ಯ ಮೊದಲ ಕಂಬಸಾಲು)

SC(B ಯ ಎರಡನೇ ಕಂಬಸಾಲು)

………………………

P’th(B ಯ  p ನೇ ಕಂಬಸಾಲು)

 

AB =  m x p ಮಾತೃಕೆ

 

 

 

 

 

 

ಮಾತೃಕೆ A ಯು m x n ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿದ್ದು, ಮಾತೃಕೆ B ಯು n x p ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ,

A ಮತ್ತು B ಮಾತೃಕೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ AB ಯು  m x p ಶ್ರೇಣಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ

 

ಅಭ್ಯಾಸ: A = , B = ,C= ,I=  ಆದರೆ

ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ:-

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕ್ರಿಯೆ

ಲಕ್ಷಣ

1

(AB)1= B1 A1

 

2

AI=IA=A

ಇದು ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಮಾತೃಕೆಯಲ್ಲಿ ಸತ್ಯ.

3

A+B =B+A

ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಗುಣ.

4

A-B B-A

 

5

AB BA

 

4

A(BC) =(AB)C

ಸಹವರ್ತನೀಯ ಗುಣ.

5

A(B+C)=AB+AC

ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಜಕತೆ.

6

A(B-C) =AB-AC

ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಜಕತೆ.

3.6.2 ಸಮಸ್ಯೆ1: A = ,B =  ಆದಾಗ ABBA ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

AB =

BA =  

AB BA

3.6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 2: A=  ,B= ಆದರೆ (A+B)1  = A1+B1  ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ..

 

ಪರಿಹಾರ:

 

A+B =              (A+B)1  =

A1=    B1=  A1+B1=

 (A+B)1  = A1+B1 

3.6.2 ಸಮಸ್ಯೆ3:   A=  ಆದರೆ A2-8A+13I =0 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

A2= A*A = =

-8A =

13I =  =

A2-8A+13I =  = = 0

 

3.6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 4:  =  ಆದರೆ X ಮತ್ತು y ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..

 

ಪರಿಹಾರ:

ಎರಡು ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗ =

ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗ = =

ಇವು ಸಮ ಆದ್ದರಿಂದ

x+3y = -7              --à(1)

5x-2y = -1             --à(2)

5x+15y = -35        ---à(3) ( (1) ನ್ನು 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದೆ)

-17y =34 ( (3) ನ್ನು (2) ರಲ್ಲಿ ಕಳೆದರೆ)

 y = -2  ಈ ಬೆಲೆಯನ್ನು (1) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ

x-6 = -7

 x = -1

 

ತಾಳೆ:

 

=

=

 

 

3.6.2 ಸಮಸ್ಯೆ 5: ಕರ್ನಾಟಕ, ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ ಮತ್ತು ಗುಜರಾತ್ ನಲ್ಲಿನ ಮೂರು ನಗರಗಳ ನಡುವೆ 11 ರೇಲುವೆ ಸಂಪರ್ಕ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. 

 

 

ಸಂ

ಹೊರಡುವ ಸ್ಥಳ

ತಲಪುವ ಸ್ಥಳ

1

ಮಂಗಳೂರು

ಮುಂಬಯಿ

2

ಮಂಗಳೂರು

ಪುಣೆ

3

ಹುಬ್ಬಳ್ಳಿ

ಪುಣೆ

4

ಬೆಳಗಾವಿ

ನಾಗಪುರ

5

ಮುಂಬಯಿ

ಅಹ್ಮದಾಬಾದ್

6

ಮುಂಬಯಿ

ಸೂರತ್

7

ಪುಣೆ

ಅಹ್ಮದಾಬಾದ್

8

ಪುಣೆ

ಸೂರತ್

9

ಪುಣೆ

ವಡೋದರ

10

ನಾಗಪುರ

ಸೂರತ್

11

ನಾಗಪುರ

ವಡೋದರ

 

ಸುತ್ತು ಬಳಸಿ ಹೋಗದೆ ಮಂಗಳೂರಿನಿಂದ ಅಹ್ಮದಾಬಾದ್ ಗೆ ಮತ್ತು ಬೆಳಗಾವಿಯಿಂದ ವಡೋದರ ಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಹೋಗಲು ಎಷ್ಟು ರೇಲುವೆ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ?

 

ಪರಿಹಾರ:  ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದರೆ:

 

ನಗರಗಳನ್ನು (a1 a2 a3), (b1, b2,b3), (c1,c2,c3) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಕರ್ನಾಟಕ ದಿಂದ ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ ಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ ದಿಂದ ಗುಜರಾತ್ ನಲ್ಲಿನ ನಗರಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಮಾರ್ಗಗಳು:       

 

ಕರ್ನಾಟಕ ದಿಂದ ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ ಕ್ಕೆ

ಮಾತೃಕೆ

ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರ ದಿಂದ ಗುಜರಾತ್ ಗೆ

ಮಾತೃಕೆ

ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ

ಮಾತೃಕೆ

 

ಗೆ>

b1

b2

b3

a1

1

1

0

a2

0

1

1

a3

0

0

1

 P =   

 

ಗೆ>

c1

c2

c3

b1

1

1

0

b2

1

1

1

b3

0

1

1

  Q =  

PQ =  =

 

ಗೆ>

c1

c2

c3

a1

2

2

1

a2

1

2

2

a3

0

1

1

           

ಇದರಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದು ಬರುವುದೇನಂದರೆ ಮಂಗಳೂರಿನಿಂದ ಅಹ್ಮದಾಬಾದ್ ಗೆ 2 ಹಾಗೂ ಬೆಳಗಾವಿಯಿಂದ ನಿಂದ ವಡೋದರ ಕ್ಕೆ  1 ನೇರ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ

 

 

3.6. ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು    

 

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ವಿಷಯಗಳು

1

(AB)1= B1 A1

2

AI=IA=A

3

A+B =B+A

4

A-B B-A

5

AB BA

4

A(BC) =(AB)C

5

A(B+C)=AB+AC

6

A(B-C) =AB-AC