3.7 ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗಣಿತ   (Modular Arithmetic):

 

3.7.1 ಪೀಠಿಕೆ:

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೇ 2006 ರ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಗಮನಿಸಿ.

1 ನೇ ತಾರೀಕು ಸೋಮವಾರ ಬಂದಿದೆ.ಹಾಗಾದರೆ 29ನೇ ತಾರೀಕು ಯಾವ ವಾರ?ಅದು ಪುನಃ ಸೋಮವಾರ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದು? 1 ನೇ ತಾರೀಕು ಸೋಮವಾರವಾದರೆ ಮುಂದಿನ ಸೋಮವಾರಗಳ ತಾರೀಕು:  1,8 (1+7),15(8+7),22(15+7),29(22+7)

ಇದು ಹೇಗೆ?  ಏಕೆಂದರೆ ವಾರದಲ್ಲಿ 7 ದಿನಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ದಿನವು ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ 7ನೇ ದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದೇ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗಣಿತ.

8   1 (ಮಾಡ್ಯುಲೋ 7) ಇದರ ಅರ್ಥ:  (8-1) ನ್ನ 7 ರಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

15 1 (ಮಾಡ್ 7)  ಇದರ ಅರ್ಥ: (15-1) ನ್ನ 7 ರಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

22 1 (ಮಾಡ್ 7) ಇದರ ಅರ್ಥ:   (22-1) ನ್ನ 7 ರಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ xy (ಮಾಡ್ m ) ಆದರೆ,  (x-y)£Àß m ನಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಈ ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಹೇಳಬಹುದು:x-y 0(ಮಾಡ್ m) ಇದನ್ನು ಸರ್ವಸಮಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ಸರ್ವ ಸಮ ಆದಾಗ ( x-y)/ m  = ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ

ಈಗ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (m) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿಯುವ ಶೇಷವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು {0,1,2,3,4…..(m-1)} ಗಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

0,1,2,….(m-1) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ m’ ನ ಶೇಷಗಳೆನ್ನುವರು. Zm= {0,1,2,3,4…..(m-1)} ಇದನ್ನು ಮಾಡ್ m’ ನ ಗಣ ಎನ್ನುವರು.

 

 

 

 

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ‘m’ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷಗಳ ಗಣವನ್ನು ಅವಶೇಷಗಳ ಗಣ” (‘residue set’) ಎನ್ನುವರು.

Zm= {0,1,2,3,4…..(m-1)}

 

3.7.1 ಉದಾ 1:  ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೊಂದನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷಗಳನ್ನು ಬರೆ.

ಪರಿಹಾರ:

10 ಭಾಜಕವಾದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷಗಳು: 0,1,2,3….9

Z10= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

 

ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ:

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: m ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆದರೆ..

ಸಂಕಲನದ ಸಂಕೇತ  m

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಕೇತ  m

1.  a +m b  r (= (a+b)/m ನ ಶೇಷ)

2.  a m b  r (= (a*b)/m ನ ಶೇಷ)

 

3.7.1 ಉದಾ 2 : 10 +12 2 +12 3 ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ..

 

ಪರಿಹಾರ:

10 +12 2 +12 3

=(10 +12 2) +12 3

=0+12 3( (10+2)/12 = ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆ)

= 3(3/12  ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ 3)

 

3.7.1 ಉದಾ 3 : 4 11 3  11 7 ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ..

 

ಪರಿಹಾರ:

4 11 3  11 7

=(4 11 3)  11 7

= 1 11 7((4*3)/11 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 1)

= 7 ( (1*7)/11 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 7)

 

3.7.1 ಉದಾ 4 :   yy 1(ಮಾಡ್ 8) ಆದರೆ y ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

yy 1(ಮಾಡ್ 8)

(y*y ) ಯನ್ನು 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ = 1 ಆಗಬೇಕು.

 (y2-1) =  8

y=3.

 

ತಾಳೆ:

38 3 =1( (3*3)/8 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 1)

 

3.7.2 ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ (Caley’s Table):

 

ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮಾಡ್ಯಲೋ ಗಣಿತ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ದತ್ತ ಗಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯಲೋ ಕ್ರಿಯಗಳಾದ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ದೊರೆಯುವುದು.

ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ದೊರೆಯುವ ಗಣ = Z4 = {0,1,2,3}

 

ಸಂಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯುವಾ (ab) ಗೆ ಮಾಡ್ 4)

(ಮಾಡ್ 4) ರ ಶೇಷಗಳು 0,1,2 ಅಥವಾ 3 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯ a+4 b ಯನ್ನು a =0,1,2,3 ಮತ್ತು b= 0,1,2,3. ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ

 [ab ಮಾಡ್ 4] ಕ್ರಿಯೆಗೆ. (+4)

 

 

 

               0 +4 0  0           0 +4 1 1           0 +4 2  2      0 +4 3  3

               1 +4 0  1           1 +4 1 2           1 +4 2  3      1 +4 3  0

               2 +4 0  2           2 +4 1 3           2 +4 2  0      2 +4 3  1

               3 +4 0  3           3 +4 1 0           3 +4 2  1      3 +4 3  2

 

 

 

 

 

bà

0

1

2

3

a

a +4 b =

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2

ಗಮನಿಸಿ: ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Z4= {0,1,2,3} ಗಣಕ್ಕೇ ಸೇರಿವೆ.

 

 

ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯುವಾ..(ab) ಮಾಡ್ 4). a X 4 b ಯನ್ನು a =0,1,2,3 ಮತ್ತು b= 0,1,2,3. ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ. ಮೇಲೆ ನೋಡಿದಂತೆ, ಶೇಷಗಳ ಗಣ: Z4= {0,1,2,3}.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ

[ab ಮಾಡ್ 4] ಕ್ರಿಯೆಗೆ ( X4)

 

 

 

               0 X4 0  0           0 X4 1 0           0 X4 2  0      0 X4 3  0

               1 X4 0  0           1 X4 1 1           1 X4 2  2      1 X4 3  3

               2 X4 0  0           2 X4 1 2           2 X4 2  0      2 X4 3  2

               3 X4 0  0           3 X4 1 3           3 X4 2  2      3 X4 3  1

 

 

 

 

 

bà

0

1

2

3

a

a 4 b =

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1

ಇಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Z4= {0,1,2,3} ಗಣಕ್ಕೇ ಸೇರಿವೆ.

 

3.7.2 ಸಮಸ್ಯೆ1 :  Q ={0,2,4,6,8} ಇದರ ಮೇಲಿನ  ಮಾಡ್ 10 ರ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಮಗೀಗ ab ಮಾಡ್ 10 ರ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇಕು. a, b   Q= {0,2,4,6,8}

(6+4)/10   ಆದಾಗ ಶೇಷ 0

(6+6)/10   ಆದಾಗ ಶೇಷ 2

(8+6)/10  ಆದಾಗ ಶೇಷ 4                  

ಈಗ

               6 +10 4  0           6 +10 6 2           8 +10 6  4     

 

ಇದೇ ರೀತಿ, a ,bUÀ¼À ಇತರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

bà

0

2

4

6

8

A

a +10 b=

0

0

2

4

6

8

2

2

4

6

8

0

4

4

6

8

0

2

6

6

8

0

2

4

8

8

0

2

4

6

 

3.7.2 ಸಮಸ್ಯೆ2 :  A = {1,5,7,11} ಇದರ ಮೇಲಿನ  ಮಾಡ್ 12 ರ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ನಮಗೀಗ ab ಮಾಡ್ 12 ರ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇಕು. a, b   A ={1,5,7,11}

(7*7)/12   ಆದಾಗ ಶೇಷ 1

(7*11)/12  ಆದಾಗ ಶೇಷ 5

(11*11)/12 ಆದಾಗ ಶೇಷ 1

        

ಈಗ

               7 127  1        7 12 11 5           11 12 11  1  

 

ಉಳಿದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಇತರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದಾಗ

 

bà

1

5

7

11

A

a 12 b =

1

1

5

7

11

5

5

1

11

7

7

7

11

1

5

11

11

7

5

1

 

 

3.7. ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

 

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ.

2

ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ

3

ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ.