3.7 ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗಣಿತ (Modular Arithmetic):

 

3.7.1 ಪೀಠಿಕೆ:

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೇ 2006 ರ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಗಮನಿಸಿ.

1 ನೇ ತಾರೀಕು ಸೋಮವಾರ ಬಂದಿದೆ.ಹಾಗಾದರೆ 29ನೇ ತಾರೀಕು ಯಾವ ವಾರ?ಅದು ಪುನಃ ಸೋಮವಾರ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಗ್ರಹಿಸಬಹುದು? 1 ನೇ ತಾರೀಕು ಸೋಮವಾರವಾದರೆ ಮುಂದಿನ ಸೋಮವಾರಗಳ ತಾರೀಕು: 1,8 (1+7),15(8+7),22(15+7),29(22+7)

ಇದು ಹೇಗೆ? ಏಕೆಂದರೆ ವಾರದಲ್ಲಿ 7 ದಿನಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ದಿನವು ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ 7ನೇ ದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಇದೇ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗಣಿತ.

8 1 (ಮಾಡ್ಯುಲೋ 7) ಇದರ ಅರ್ಥ: (8-1) ನ್ನ 7 ರಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

15 1 (ಮಾಡ್ 7) ಇದರ ಅರ್ಥ: (15-1) ನ್ನ 7 ರಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

22 1 (ಮಾಡ್ 7) ಇದರ ಅರ್ಥ: (22-1) ನ್ನ 7 ರಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ xy (ಮಾಡ್ m ) ಆದರೆ, (x-y) m ನಿಂದ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಈ ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಹೇಳಬಹುದು:x-y 0(ಮಾಡ್ m) ಇದನ್ನು ಸರ್ವಸಮ ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ.

ಸರ್ವ ಸಮ ಆದಾಗ ( x-y)/ m = ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ

ಈಗ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (m) ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಉಳಿಯುವ ಶೇಷವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು {0,1,2,3,4..(m-1)} ಗಣದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

0,1,2,.(m-1) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ m ನ ಶೇಷಗಳೆನ್ನುವರು. Zm= {0,1,2,3,4..(m-1)} ಇದನ್ನು ಮಾಡ್ m ನ ಗಣ ಎನ್ನುವರು.

 

 

 

 

 

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು m ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷಗಳ ಗಣವನ್ನು ಅವಶೇಷಗಳ ಗಣ (residue set) ಎನ್ನುವರು.

Zm= {0,1,2,3,4..(m-1)}

 

3.7.1 ಉದಾ 1: ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೊಂದನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷಗಳನ್ನು ಬರೆ.

ಪರಿಹಾರ:

10 ಭಾಜಕವಾದಾಗ ಬರುವ ಶೇಷಗಳು: 0,1,2,3.9

Z10= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

 

ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ:

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: m ಒಂದು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆದರೆ..

ಸಂಕಲನದ ಸಂಕೇತ m

ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂಕೇತ m

1. a +m b r (= (a+b)/m ನ ಶೇಷ)

2. a m b r (= (a*b)/m ನ ಶೇಷ)

 

3.7.1 ಉದಾ 2 : 10 +12 2 +12 3 ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ..

 

ಪರಿಹಾರ:

10 +12 2 +12 3

=(10 +12 2) +12 3

=0+12 3( (10+2)/12 = ಶೇಷ ಸೊನ್ನೆ)

= 3(3/12 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ 3)

 

3.7.1 ಉದಾ 3 : 4 11 3 11 7 ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ..

 

ಪರಿಹಾರ:

4 11 3 11 7

=(4 11 3) 11 7

= 1 11 7((4*3)/11 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 1)

= 7 ( (1*7)/11 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 7)

 

3.7.1 ಉದಾ 4 : yy 1(ಮಾಡ್ 8) ಆದರೆ y ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

yy 1(ಮಾಡ್ 8)

(y*y ) ಯನ್ನು 8 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ = 1 ಆಗಬೇಕು.

(y2-1) = 8

y=3.

 

ತಾಳೆ:

38 3 =1( (3*3)/8 ರಲ್ಲಿ ಶೇಷ = 1)

 

3.7.2 ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ (Caleys Table):

 

ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮಾಡ್ಯಲೋ ಗಣಿತ ಪದ್ಧತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ದತ್ತ ಗಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯಲೋ ಕ್ರಿಯಗಳಾದ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ದೊರೆಯುವುದು.

ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ ದೊರೆಯುವ ಗಣ = Z4 = {0,1,2,3}

 

ಸಂಕಲನ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯುವಾ (ab) ಗೆ ಮಾಡ್ 4)

(ಮಾಡ್ 4) ರ ಶೇಷಗಳು 0,1,2 ಅಥವಾ 3 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯ a+4 b ಯನ್ನು a =0,1,2,3 ಮತ್ತು b= 0,1,2,3. ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ

[ab ಮಾಡ್ 4] ಕ್ರಿಯೆಗೆ. (+4)

 

 

 

0 +4 0 0 0 +4 1 1 0 +4 2 2 0 +4 3 3

1 +4 0 1 1 +4 1 2 1 +4 2 3 1 +4 3 0

2 +4 0 2 2 +4 1 3 2 +4 2 0 2 +4 3 1

3 +4 0 3 3 +4 1 0 3 +4 2 1 3 +4 3 2

 

 

 

 

 

b

0

1

2

3

a

a +4 b =

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2

ಗಮನಿಸಿ: ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Z4= {0,1,2,3} ಗಣಕ್ಕೇ ಸೇರಿವೆ.

 

 

ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯುವಾ..(ab) ಮಾಡ್ 4). a X 4 b ಯನ್ನು a =0,1,2,3 ಮತ್ತು b= 0,1,2,3. ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾ. ಮೇಲೆ ನೋಡಿದಂತೆ, ಶೇಷಗಳ ಗಣ: Z4= {0,1,2,3}.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಳಕಂಡಂತೆ ಒಂದು ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ

[ab ಮಾಡ್ 4] ಕ್ರಿಯೆಗೆ ( X4)

 

 

 

0 X4 0 0 0 X4 1 0 0 X4 2 0 0 X4 3 0

1 X4 0 0 1 X4 1 1 1 X4 2 2 1 X4 3 3

2 X4 0 0 2 X4 1 2 2 X4 2 0 2 X4 3 2

3 X4 0 0 3 X4 1 3 3 X4 2 2 3 X4 3 1

 

 

 

 

 

b

0

1

2

3

a

a 4 b =

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1

ಇಲ್ಲಿ ಕೂಡಾ ತಃಖ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು Z4= {0,1,2,3} ಗಣಕ್ಕೇ ಸೇರಿವೆ.

 

3.7.2 ಸಮಸ್ಯೆ1 : Q ={0,2,4,6,8} ಇದರ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ 10 ರ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ನಮಗೀಗ ab ಮಾಡ್ 10 ರ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇಕು. a, b Q= {0,2,4,6,8}

(6+4)/10 ಆದಾಗ ಶೇಷ 0

(6+6)/10 ಆದಾಗ ಶೇಷ 2

(8+6)/10 ಆದಾಗ ಶೇಷ 4

ಈಗ

6 +10 4 0 6 +10 6 2 8 +10 6 4

 

ಇದೇ ರೀತಿ, a ,bU ಇತರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

b

0

2

4

6

8

A

a +10 b=

0

0

2

4

6

8

2

2

4

6

8

0

4

4

6

8

0

2

6

6

8

0

2

4

8

8

0

2

4

6

 

3.7.2 ಸಮಸ್ಯೆ2 : A = {1,5,7,11} ಇದರ ಮೇಲಿನ ಮಾಡ್ 12 ರ ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ನಮಗೀಗ ab ಮಾಡ್ 12 ರ ಬೆಲೆಗಳು ಬೇಕು. a, b A ={1,5,7,11}

(7*7)/12 ಆದಾಗ ಶೇಷ 1

(7*11)/12 ಆದಾಗ ಶೇಷ 5

(11*11)/12 ಆದಾಗ ಶೇಷ 1

ಈಗ

7 127 1 7 12 11 5 11 12 11 1

 

ಉಳಿದ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಇತರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಶೇಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದಾಗ

 

b

1

5

7

11

A

a 12 b =

1

1

5

7

11

5

5

1

11

7

7

7

11

1

5

11

11

7

5

1

 

 

3.7. ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

 

ಕ್ರ.ಸಂ.

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

1

ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ.

2

ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ

3

ಕೇಲಿ ಕೋಷ್ಟಕ.