5.5 iP Z (Standard Deviation):

pP:

ê vwPU Eg QPm DlUgg Dlz vĮ iqĪz Ngz. Cg K vĮ iqvg? M EߧVAv gVzݣ Cx M EߧVAv Z PvPV Dqvۣ Jvg. PvPv JAz MAz Ut v Cz ðP iq P. Dzg Cg Uz gU Dzsgz ï Cg gvAiģ P Pvg.

Uzg F Zgz AS U AiPVz qt.

 

iP Z (Standard deviation):

ê Z ݥAiU wgz. (AiĪĢAz Z, PɮAz Z, svAAz Z... Ev) ZAiģ Aiiz MAz g izAqP̣UtV P Pvê.

 

i iV zvAU gj DVgvz.


5.5
Gz.1: M QPm DlUg 6 EAUU Uz gU: 48,50,54,46,48,54

 

zs:

GAiVĪ APvU:

X = APU Ut. (48,50,54,46,48,54)

N = APU AS (=6)

=zvAU gj (AM) = ()/N

d = gjAz Z = X -

Av1: zvAU gj PAqĻrj = (48+50+54+46+48+54)/6 = 50

Av 2: d (= X-AM) v d2 U w iˮP PAqĻrj.

 

PZgz vBS.

 

A.

gU(X)

Z(d)

= X-

(Z)2

= d2

1

48

-2

4

2

50

0

0

3

54

4

16

4

46

-4

16

5

48

-2

4

6

54

4

16

 

=300

=0

= 56

Av 3: gt ZAiģ P Q =/ N

Av 4: iP Z P Q: (SD) = =

iP ZAiģ VP CPg (g) Az avê.

iP Z = = = = = 3.05.

 

S: iP ZAi(Standard deviation) gjAz ZU UU vz zsvP UƮ DVgĪz.

gu: F ð GzguAiİ ĪigV DlUg Uz gU CAPUtvz gj(=50)Az 3.05 (3 ) g Z Azv۪.

 

CAzg Cx A Azz DlUg zsgt 47-53 {(50-3)-(50+3)} gU Uz.

 

UĤ: CPv DlUg gU 48,100,50,10,2,80, DVzg, C gvAiģ H P. Dzg ð GzguAiİ C gU 50g v۪v EgĪzjAz A AzU C Uzz gU Hz.

 

i P:-

 

APU: X = {x1, x2 , x3.. xn} DVg.

N = APU AS.

*= CAPUtv gj(AM) = (x1+x2 + x3+ xn)/N= / N

Av 1: w APP gjAz Z PAqĻr. (d=X-) v Cz jw d2 PAqĻr.

 

Av 2: gt ZAiģ P Q= ()/ N

Av 3: iP Z (SD) P ir.

SD = =

 

AiiAi zs: gjAi uAPUz EgĪU PAqĻrAiĪz (Alternate method of finding, when AM is not a whole number):

 

ð GzguAiİ gjAi MAz uAPVz. UV P iq Įsv. Dzg, CAPUtvz gjAi MAz uAPUz ziA ASAiizU, d2 PAqĻrAiĪz P. CzPV EAv Azsz gAi PĪ Cĸjvê.

1. Aiizzg MAz AP CAzd gj (A ) JAz ElPƽ.

2. CAzd gjAz Z D(= X-A)U PAq rj.

3. ZU v PAqĻr.

4. w APz ZU U Q̹ v F UU v (d2) PAq rj.

 

d gj = CAzd gj+ ()/N

 

iP Z = [(d2)/N - ((d)/N)2]

 

FU ï rz GzguAiģ vUzPAq, F zsz iP ZAiģ P PĪ.

APU CAzd gj 54 (A = 54.) JAlPƼ. N = 6.

PZgz vBS.(CAzd gj)

 

AS

gU(X)

Z(D)

d= X-A

(Z)2

= d2

1

48

-6

36

2

50

-4

16

3

54

0

0

4

46

-8

64

5

48

-6

36

6

54

0

0

 

 

= -24

= 152

 

d gj = CAzd gj + ()/N= 54 + (-24/6) = 54-4 = 50

 

iP Z= [(d2)/N - ((d)/N)2]

= [152/6 (24/6)2] = (25.33-16) = (9.33) =3.05

 

Jgq zsU iP Z MAz DVz JAz UĤ.

MAz APU zvAPz j Azg F P vA Ai vUzPƼvz. CzPV g zs Cĸjvê.

 

VPjz zvAPU iP Z:(Standard Deviation for grouped data):

 

MAz vguAiİ APU v DwU V:

 

iˮU(X) ---

X1

X2

X3

Xn

Dw (f) ------

f1

f2

f3

..

fn

N = DwU v = f1 + f2 + f3 +.. fn=

Av 1: w APP f*x PAq rj.

Av 2: CU gj PAqĻr = ()/N

Av 3: w APP Z PAqĻrj d = (X-)

 

Av 4: guAi Z PAqĻrj = ((f*d2))/N

 

Av 5: iP Z PAqĻrj: () = [((f*d2))/N]

 

5.5 Gz. 2: MAz jPAiİ 60 zyU Uz CAPU PɼVAw. EU iP Z PAqĻrj.

 

CAPU(X) ---

10

20

30

40

50

60

Dw(zyU)(f)--

8

12

20

10

7

3

 

zs:

N (DwU v) = = 8+12+20+10+7+3=60

 

iˮU(X)

Dw(f)

fX

iˮU=

d=(X-)

d2

f*d2

10

8

80

-20.83

433.89

3471.11

20

12

240

-10.83

117.29

1407.47

30

20

600

-.83

0.69

13.78

40

10

400

9.17

84.09

840.89

50

7

350

19.17

367.49

2572.42

60

3

180

29.17

850.89

2552.67

 

N==60

= 1850

 

 

(f*d2)=10858.33

gj== ()/N= 1850/60 =30.83

gt Z = (f*d2)/N = 10858.33/60= 180.97

iP Z: () = [(f*d2)/N] = (180.97) =13.45

 

wêi: zy Uz CAPU gj = 30.83. zyU CAPU gjAz 13.45g Z Agv۪.

F ð GzguAiİ gj ziA ASAiiVz. DzjAz d, d2 v f*d2U

ziA ASUVz P P֪Vz CzPV, E AiiAi zsAz P iqP.

 

AiiAi zs(Alternate Method)

 

Av 1: zvAzgĪ Aiiz iˮ gjAiAlPƽ(A)

 

Av 2: w iˮP F gjAz Z (d)Aiģ P Q.

Av 3: w iˮP f*d, d2 ,f*d2 PAq r.

Av 4: gj v iP ZAiģ F PɼVAv P Q.

gj == A + /N, N =

iP Z: ()= [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2 ]

 

FU ð GzguAiİ 30 CAzd gjAiiVlPƼ. DU,

iˮU(X)

Dw(f)

Z(d)

=X-A

f*d

d2

f*d2

10

8

-20

-160

400

3200

20

12

-10

-120

100

1200

30

20

0

0

0

0

40

10

10

100

100

1000

50

7

20

140

400

2800

60

3

30

90

900

2700

 

N==60

 

=50

 

(f*d2)=10900

 

gj = A+ ()/ (N) = 30+50/60 = 30+0.83= 30.83

 

iP Z() = [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]

= [(10900/60) (50/60)2]

= (181.67 - 0.69) = (180.97) =13.45

 

zyU CAPU gj = 30.83. zyU CAPU gjAz 13 CAPU Z Azv۪.

Jgq zsz MAz Gvg AgĪz UĤ.

 

aѣ Azsz VPjz zvAU PqĪzjAz g jwAiİ iP ZAiģ PAq rAiĨPUvz.

 

VPv zvAU iP ZAiģ PAq rAiĪ P:

 

Av 1: w UAvgz zs AzĪ PAq rj.

 

Av 2: w UAvgP f*x PAq rj.

Av 3: CAPUtvz gj PAq rj == ( )/N, N = .

 

Av 4: w UAvgP gjAz () Z PAq rj (d=X-)

 

Av 5: w UAvgP d2 v f*d2 PAq rj.

 

Av 6: iP Z PAq rj: () = [(f*d2)/N]

 

5.5 Gz. 3: MAz jPAiİ zyU Uz CAPU V:-

 

CAPU

Dw(f)

zs Az(x)

f*x

d=(X-)

d2

f*d2

25-30

5

28

140

-9.2

84.64

423.2

30-35

10

33

330

-4.2

17.64

176.4

35-40

25

38

950

0.8

0.64

16

40-45

8

43

344

5.8

33.64

269.12

45-50

2

48

96

10.8

116.64

233.28

 

N = = 50

 

=1860

 

 

(f*d2)=1118

 

zs:

CAPUtvz gj == /N = 1860/50 = 37.2

 

 

iP Z: () = [(f*d2)/N] = (1118/50) = (22.36) =4.728

 

wêi: zyU CAPU gj =37.2. zyU CAPU gjAz 5 Z Azv۪.

 

AiiAi zs (Av - ZP)

[Alternate Method (Step Deviation Method)]:

 

Av 1: zvAU zsgt zszgĪ iˮ gj JAlPƽ (A).

 

Av 2: HPAq gjAz Av-Zɒ (=d)Aiģ PAqĻrj:

d=(X-A)/i: i UAvgz Uv.

 

Av 3: d2, f*d v f*d2U w UAvgP PAqĻrj.

 

Av 4: CAPUtvz gj v iP ZU PɼV vzAv P̺Q.

CAPUtvz gj: == A + [/N]*i

 

iP Z: () = [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]*i

 

ð Gzgu P̪ F zsz iqĪ.

C 43 CAzd gj (A) JAz HĪ.

i = UAvgz Uv = 5.

Av 1 jAz 3 g jv:

 

CAPU

Dw(f)

zs Az(x)

d=(X-A)/i

f*d

d2

f*d2

25-30

5

28

-3

-15

9

45

30-35

10

33

-2

-20

4

40

35-40

25

38

-1

-25

1

25

40-45

8

43

0

0

0

0

45-50

2

48

1

2

1

2

 

N = = 50

 

 

= - 58

 

(f*d2)=112

 

CAPUtvz gj == A+ [/N]*i = 43 + [(-58/50)*5] = 43 + (-1.16)*5 = 43-5.8 = 37.2

iP Z:

() = [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]*i

= [(112/50)- {-58/50} 2]*5

= [2.24 - {-1.16} 2]*5

= [2.24 1.3456]*5

= [0.8944]*5

=.9457*5

=4.728

 

wêi: zyU Uz CAPU gj = 37.2. Cg Uz CAPU gjAz 5 CAPU ZvUv۪.

 

iV QU vAqU zsAiģ ðĪU Cg gvAi U ivqvê. AS z F gvɒAiģ U Ugwz?

 

F gvAiģ P iq i UuAP(Co efficient of variation) vê. Ez g MAz P CvAiiVz. Ez F PɼV vAz P Pvê.

i UuAP = i UuAP*100/gj.

 

DzjAz i UuAP ƮiUAz P۪z MAz AS. Ez iV Pq gƥz aUĪz. Pq it PrAiiz gv Z. gjU ðzU iP ZAi aP ASAiizg, i UuAP PrAiiUvz.

 

ð GzguAiİ,

i UuAP = (4.728*100)/37.2 =12.68

 

5.5 Gz. 4: A v B JA Eg QPm DlUgg 6 EAUU Uz gU Vz:-

 

A DlUg

48

50

54

46

48

54

B DlUg

46

44

43

46

45

46

 

F ð Eg Aiig Gv۪ gg? Aiig Z gv Azg?

 

zs:

 

F Eg gvAiģ PAqĻrAiĮ i UuAP PAqĻrAiĨP.

Gz. (5.1)g F A DlUgg gU gj v iP ZAiģ P irzê.

CAPUtv gj = 50

iP Z = 3.05

i UuAP = i UuAP *100/gj = 3.05*100/50 = 6.1%

FU B DlUg gj v i UuAP PAqĻrAiĪ.

 

gj = 270/6 = 45

 

A.

gU(X)

Z(D)

d= X-

d2

1

46

1

1

2

44

-1

1

3

43

-2

4

4

46

1

1

5

45

0

0

6

46

1

1

 

=270

=0

=8

 

 

iP Z,

= (/N)= (8/6) = (1.33) = 1.15

 

i UuAP = iP Z *100/gj = 1.15*100/45 =2.55%

 

svA:

1. AAi gjAi BVAv Z (50>45) DzjAz AAi B VAv Gv۪ gg.

2. BAi i UuAP A VAv Pr (1.15<6.1) DzjAz BAi Z g DlUg.

 

5.5 Gz. 5: MAz jPAiİ 10 vgUwAi A v B sUz zyU Uz CAPU V:-

 

CAPU

A sUz zyU AS

B sUz zyU AS

25-30

5

5

30-35

10

12

35-40

25

20

40-45

8

8

45-50

2

5

 

 

Aii sUz zs Gv۪ĪVz? Aii sUz zs Z Cg? F ĸ r, CAPUtv gj v i UuAP P.

 

5.5. g Gzgu 3 g A sUz gj v iP ZU P irzê.

 

CAPUtvz gj =37.2

iP Z =4.728

 

i UuAP = iP Z*100/gj = 4.728*100/37.2 =12.7%

FU B sUP gj v iP ZAiģ Av-Z Pz PAqĻrAiĪ.

Av 1: CAzf gj: A =38 DVg. (A=28,33,43,48 Aiiz DUz)

 

Av 2: CAzf gjAz Av ZAiģ (d) P̺Q.

d=(X-A)/i: i UAvgz Uv = 5.

 

Av 3: w UAvgP d2, f*d, f*d2 PAqĻrj.

 

Av 4:gj v iP ZU F PɼVAv P Q.

CAPUtvz gj = = A+ [/N]*i

 

iP Z = () = [ (fd2)/N- { (fd)/N} 2]*i:

 

CAPU

Dw (f)

zs Az (x)

d=(X-A)/i

fd

d2

fd2

25-30

5

28

-2

-10

4

20

30-35

12

33

-1

-12

1

12

35-40

20

38

0

0

0

0

40-45

8

43

1

8

1

8

45-50

5

48

2

10

4

20

 

N = = 50

 

 

= - 4

 

(fd2)=60

 

CAPUtv gj = = A+ [()/N]*i

= 38 +[(-4/50)*5]

= 38+ -0.08*5 = 43-0.4 = 37.6

iP Z:

() = [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]*i

= [(60/50)- {-4/50} 2]*5

= [1.2 - {-0.08} 2]*5

= [1.2 0.0064]*5

= [1.1936]*5

=1.0925*5 =5.4625

i UuAP = iP Z*100/gj= 5.4625*100/37.6 = 14.52%

 

wêi:

 

1. B sUz gj CAP A sUQAv az (37.6>37.2), DzjAz BAi zs AVAv Gv۪.

2. BAi i UuAP A sUQAv az (14.52>12.7), DzjAz B Ai zsAi A sUQAv Z Cg.

 

5.5 Gz. 6: MAz PUjP zñz A v BUA Jgq PSU PqĪ gj gz v v iP Z Vz:-

 

PS

gj v (g.U)

v iP Z (g.)

A

34.5

6.21

B

28.5

4.56

 

Aii PSAiİ vz Z vgvz?

 

zs:

FU i UuAP PAq rAiĨP.

A PSAi i UuAP = iP Z*100/gj = 6.21*100/34.5 = 18%

B PSAi i UuAP = iP Z *100/gj = 4.56*100/28.5 = 16%

A PSAi i UuAP B PSAi zgQAv Z (18>16). DzjAz A PSAiİ vz Z vgvz.

(A PSAiİ PjU Z v Plg , Cg vU Z vgvz.)

 

 

5.5 Pv SAU

 

X = APU Ut

= CAPUtvz gj (AM)

d = gjAz Z.

f = iˮU Dw.

i = UAvgz Uv.

x= UAvgz zs Az.

 

A.

Azs

DAi

N=

AM=

Z

(d)

 

iP Z()

 

1

r

iˮU

 

APU

AS

*=()/N

X-

A=Aiiz

AP

APU

AS

*= A+ ()/N

X-A

2

Dv

EgĪ

iˮU

 

*=/N

X-

A=Aiiz

AP

*= A + /N

X-A

3

Dv

EgĪ

UAvg

 

*= /N

X-

A =Aiiz

AP

*= A+ [/N]*i

d=(X-A)/i

 

Z: iP ZU AiiU i v ɣr:-

 

VPgt iqz EgĪ/Dv Ez EgĪ Azsz , f=1, i=1 Dzò, ĸU jAiiz v qɬj.

Aiiz iˮ CAzd gjAiiV vUzPƼzU, =0