5.5 ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É (Standard Deviation):

¦ÃpPÉ:  

¤ÃªÀÅ ªÁvÁð¥ÀwæPÉUÀ¼À°è E§âgÀÄ QæPÉmï DlUÁgÀgÀ DlzÀ vÀÄ®£É ªÀiÁqÀĪÀÅzÀ£ÀÄß N¢gÀ§ºÀÄzÀÄ. CªÀgÀÄ K£À£ÀÄß vÀÄ®£É ªÀiÁqÀÄvÁÛgÉ? M§â£ÀÄ E£ÉÆߧâ¤VAvÀ ¹ÜgÀªÁVzÁÝ£É CxÀªÁ M§â£ÀÄ E£ÉÆߧâ¤VAvÀ ºÉZÀÄÑ PÀ¯ÁvÀäPÀªÁV DqÀÄvÁÛ£É J£ÀÄßvÁÛgÉ. PÀ¯ÁvÀäPÀvÉ JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ «²µÀÖUÀÄt ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£ÀÄß ºÉÆðPÉ ªÀiÁqÀ®Ä PÀµÀÖ. DzÀgÉ CªÀgÀÄ UÀ½¹zÀ gÀ£ÀÄßUÀ¼À DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ¯É CªÀgÀ ¹ÜgÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁPÀÄvÁÛgÉ.

ºÁUÁzÀgÉ F «ZÁgÀzÀ°è ¸ÀASÁå±Á¸ÀÛçªÀÅ ºÉÃUÉ ¸ÀºÁAiÀÄPÀªÁVzÉ £ÉÆÃqÉÆÃt.

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É (Standard deviation):

¤ÃªÀÅ «ZÀ®£É ±À§Ý¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß w½¢gÀ§ºÀÄzÀÄ. (¤AiÀĪÀÄ¢AzÀ «ZÀ®£É, PÉ®¸À¢AzÀ «ZÀ®£É, ¥sÀ°vÁA±À¢AzÀ «ZÀ®£É... EvÁå¢) «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ¹ÜgÀ ªÀiÁ£ÀzÀAqÀPÀÌ£ÀÄUÀÄtªÁV ¯ÉPÀÌ ºÁPÀÄvÉÛêÉ.

 

‘ªÀiÁ£À’ªÀÅ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À ‘¸ÀgÁ¸Àj’ DVgÀÄvÀÛzÉ.


5.5
GzÁ.1:  M§â QæPÉmï DlUÁgÀ£ÀÄ 6 E¤AUïìUÀ¼À°è UÀ½¹zÀ gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ: 48,50,54,46,48,54

 

«zsÁ£À:

G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀĪÀ ¸ÀAPÉÃvÀUÀ¼ÀÄ:

X = ¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼À UÀt. (48,50,54,46,48,54)

N = ¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå (=6)

 =zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj (AM) = ()/N

d = ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ «ZÀ®£É = X -

ºÀAvÀ1: zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj PÀAqÀÄ»r¬Äj = (48+50+54+46+48+54)/6 = 50

ºÀAvÀ 2: d (= X-AM) ªÀÄvÀÄÛ d2 UÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw ªÀiË®åPÀÆÌ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

¯ÉPÁÌZÁgÀzÀ vÀBSÉÛ.

 

¸ÀA.

gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ(X)

«ZÀ®£É(d)

= X-

(«ZÀ®£É)2

  = d2

1

48

-2

 4

2

50

0

 0

3

54

 4

16

4

46

-4

16

5

48

-2

 4

6

54

 4

16

 

=300

=0

 = 56

ºÀAvÀ 3: ¥Àæ¸ÀgÀt «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁQ =/ N

ºÀAvÀ 4: ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É ¯ÉPÀÌ ºÁQ: (SD) =  =

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß VæÃPï CPÀëgÀ (gÉÆÃ) ¢AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É = = = = = 3.05.

 

ªÁåSÉå: ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄÄ(Standard deviation) ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ «ZÀ®£ÉUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® DVgÀĪÀÅzÀÄ.

«ªÀgÀuÉ: F ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è ¸ÀĪÀiÁgÁV DlUÁgÀ£ÀÄ UÀ½¹zÀ gÀ£ÀÄßUÀ¼À CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj(=50)¬ÄAzÀ 3.05 (3 ) gÀµÀÄÖ «ZÀ®£É ºÉÆAzÀÄvÀÛªÉ.

 

CAzÀgÉ CxÀð ªÀÄÄA¢£À ¥ÀAzÀåzÀ°è DlUÁgÀ£ÀÄ ¸ÁzsÁgÀt 47-53 {(50-3)-(50+3)} gÀ£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß UÀ½¸À§ºÀÄzÀÄ.

 

UÀªÀĤ¹: CPÀ¸Áävï DlUÁgÀ£À gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ 48,100,50,10,2,80, DVzÀÝgÉ, CªÀ£À ¹ÜgÀvÉAiÀÄ£ÀÄß H»¸À®Ä PÀµÀÖ. DzÀgÉ ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è CªÀ£À gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ 50gÀ ¸ÀÄvÀÛªÀÄÄvÀÛ EgÀĪÀÅzÀjAzÀ £ÁªÀÅ ªÀÄÄA¢£À ¥ÀAzÀåUÀ¼À°è CªÀ£ÀÄ UÀ½¸À§ºÀÄzÁzÀ gÀ£ÀÄßUÀ¼À£ÀÄß H»¸À§ºÀÄzÀÄ.

 

¸ÁªÀiÁ£Àå PÀæªÀÄ:-

 

¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼ÀÄ: X = {x1, x2 , x3……….. xn} DVgÀ°.

N = ¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼À ¸ÀASÉå.

* = CAPÀUÀtÂvÀ ¸ÀgÁ¸Àj(AM) = (x1+x2 + x3+…… xn)/N= / N

ºÀAvÀ 1: ¥Àæwà ¥Áæ¥ÁÛAPÀPÀÄÌ ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ»r. (d=X-) ªÀÄvÀÄÛ CzÉà jÃw d2ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

 

ºÀAvÀ 2: ¥Àæ¸ÀgÀt «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁQ= ()/ N

ºÀAvÀ 3: ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É (SD) ¯ÉPÀÌ ªÀiÁr.

 SD = =

 

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À: ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄÄ ¥ÀÇuÁðAPÀªÁUÀzÉà EgÀĪÁUÀ  PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ (Alternate method of finding, when AM is not a whole number):

 

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄÄ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀªÁVzÉ. ºÁUÁV ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÀÄ®¨sÀªÁ¬ÄvÀÄ. DzÀgÉ, CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄÄ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀªÁUÀzÉà zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåAiÀiÁzÁUÀ, d2 ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ PÀµÀÖ. CzÀPÁÌV EAvÀºÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è £ÁªÀÅ ¨ÉÃgÉAiÉÄà PÀæªÀĪÀ£ÀÄß C£ÀĸÀj¸ÀÄvÉÛêÉ.

1. AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀÄ ¥Áæ¥ÁÛAPÀªÀ£ÀÄß CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸Àj (A ) JAzÀÄ ElÄÖPÉƽî.

2. CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ «ZÀ®£É D(= X-A)UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

3. «ZÀ®£ÉUÀ¼À ªÉÆvÀÛ  PÀAqÀÄ»r.

4. ¥Àæw ¥Áæ¥ÁÛAPÀzÀ «ZÀ®£ÉUÀ¼À ªÀUÀðªÀ£ÀÄß ¯ÉQ̹ ªÀÄvÀÄÛ F ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛ (d2)ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

 

£ÉÊd ¸ÀgÁ¸Àj = CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸Àj+ ()/N

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É =  [(d2)/N - ((d)/N)2]

 

FUÀ £ÁªÀÅ ªÉÄÃ¯É £ÉÆÃrzÀ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£Éßà vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ, F «zsÁ£ÀzÀ°è ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁPÀĪÁ.

¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼À CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸Àj 54 (A = 54.) JA¢lÄÖPÉƼÀÄîªÁ. N = 6.

¯ÉPÁÌZÁgÀzÀ vÀBSÉÛ.(CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸Àj)

 

¸ÀASÉå

gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ(X)

«ZÀ®£É(D)

 d= X-A

(«ZÀ®£É)2

  = d2

1

48

-6

36

2

50

-4

16

3

54

0

0

4

46

-8

64

5

48

-6

36

6

54

0

0

 

 

= -24

= 152

 

£ÉÊd ¸ÀgÁ¸Àj = CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸Àj + ()/N= 54 + (-24/6) = 54-4 = 50

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É=  [(d2)/N - ((d)/N)2]

 =   [152/6 –(24/6)2] =  (25.33-16) =  (9.33) =3.05

 

JgÀqÀÆ «zsÁ£ÀUÀ¼À®Æè ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É MAzÉà DVzÉ JAzÀÄ UÀªÀĤ¹.

MAzÉà ¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼ÀÄ zÀvÁÛAPÀzÀ°è ºÀ®ªÀÅ ¸Áj §A¢zÀÝgÉ F PÀæªÀÄ vÀÄA¨Á ¸ÀªÀÄAiÀÄ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîvÀÛzÉ. CzÀPÁÌV ¸Àé®à ¨ÉÃgÉ «zsÁ£À C£ÀĸÀj¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

ªÀVÃðPÀj¹zÀ zÀvÁÛAPÀUÀ¼À°è ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É:(Standard Deviation for grouped data):

 

MAzÀÄ «vÀgÀuÉAiÀÄ°è ¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ DªÀÈwÛUÀ¼ÀÄ »ÃVªÉ:

 

ªÀiË®åUÀ¼ÀÄ(X) ---à

X1

X2

X3

……

Xn

DªÀÈwÛ (f) ------à

f1

f2

f3

……..

fn

N = DªÀÈwÛUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = f1 + f2 + f3 +…….. fn=

ºÀAvÀ 1: ¥Àæwà ¥Áæ¥ÁÛAPÀPÀÆÌ  f*x PÀAqÀÄ »r¬Äj.

ºÀAvÀ 2: CªÀÅUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj PÀAqÀÄ»r  = ()/N

ºÀAvÀ 3: ¥Àæw ¥Áæ¥ÁÛAPÀPÀÆÌ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ»r¬Äj d = (X-)

 

ºÀAvÀ 4: ¥Àæ¸ÀgÀuÉAiÀÄ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ»r¬Äj = ((f*d2))/N

 

ºÀAvÀ 5: ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ»r¬Äj: () =  [((f*d2))/N]

 

5.5 GzÁ. 2: MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è 60 «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀ½¹zÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ PɼÀV£ÀAwªÉ. EªÀÅUÀ¼À°è ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

CAPÀUÀ¼ÀÄ(X)    ---à

10

20

30

40

50

60

DªÀÈwÛ(«zÁåyðUÀ¼ÀÄ)(f)--à

8

12

20

10

7

3

 

«zsÁ£À:

N (DªÀÈwÛUÀ¼À ªÉÆvÀÛ) = = 8+12+20+10+7+3=60

 

ªÀiË®åUÀ¼ÀÄ(X)

DªÀÈwÛ(f)

fX

ªÀiË®åUÀ¼ÀÄ=

d=(X-)

d2

f*d2

10

8

80

-20.83

433.89

3471.11

20

12

240

-10.83

117.29

1407.47

30

20

600

-.83

0.69

13.78

40

10

400

9.17

84.09

840.89

50

7

350

19.17

367.49

2572.42

60

3

180

29.17

850.89

2552.67

 

N==60

= 1850

 

 

(f*d2)=10858.33

¸ÀgÁ¸Àj== ()/N= 1850/60 =30.83

¥Àæ¸ÀgÀt «ZÀ®£É = (f*d2)/N = 10858.33/60= 180.97

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É: () =  [(f*d2)/N] = (180.97) =13.45

 

wêÀiÁð£À: «zÁåyð UÀ½¹zÀ CAPÀUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj = 30.83. «zÁåyðUÀ¼À CAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ 13.45gÀµÀÄÖ «ZÀ®£É ºÉÆA¢gÀÄvÀÛªÉ.

F ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è  ¸ÀgÁ¸Àj zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ¯Éà d, d2 ªÀÄvÀÄÛ f*d2UÀ¼À°è

zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ ¯ÉPÀÌ PÀµÀÖªÁVzÉ CzÀPÁÌV, E°è ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À¢AzÀ ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ.

 

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À(Alternate Method)

 

ºÀAvÀ 1:  zÀvÁÛA±ÀzÀ°ègÀĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ªÀiË®åªÀ£ÀÄß ¸ÀgÁ¸ÀjAiÉÄA¢lÄÖPÉƽî(A)

 

ºÀAvÀ 2: ¥Àæwà ªÀiË®åPÀÆÌ F ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ «ZÀ®£É (d)AiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁQ.

ºÀAvÀ 3: ¥Àæwà ªÀiË®åPÀÆÌ  f*d, d2 ,f*d2 PÀAqÀÄ »r.

ºÀAvÀ 4: ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß F PɼÀV£ÀAvÉ ¯ÉPÀÌ ºÁQ.

¸ÀgÁ¸Àj == A + /N, N =

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É: ()= [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2 ]

 

FUÀ ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è 30 £ÀÄß CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀiÁVlÄÖPÉƼÀÄîªÁ. DUÀ,

ªÀiË®åUÀ¼ÀÄ(X)

DªÀÈwÛ(f)

«ZÀ®£É(d)

=X-A

f*d

d2

f*d2

10

8

-20

-160

400

3200

20

12

-10

-120

100

1200

30

20

0

0

   0

0

40

10

10

100

100

1000

50

7

20

140

400

2800

60

3

30

90

900

2700

 

N==60

 

=50

 

(f*d2)=10900

 

¸ÀgÁ¸Àj = A+ ()/ (N) = 30+50/60 = 30+0.83= 30.83

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É() =  [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]

=  [(10900/60) – (50/60)2]

=  (181.67 - 0.69) = (180.97) =13.45

 

«zÁåyðUÀ¼À CAPÀUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj = 30.83. «zÁåyðUÀ¼À CAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ 13 CAPÀUÀ¼ÀµÀÄÖ «ZÀ®£É ºÉÆAzÀÄvÀÛªÉ.

JgÀqÀÆ «zsÁ£ÀzÀ®Æè MAzÉà GvÀÛgÀ §A¢gÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.

 

ºÉaÑ£À ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è ªÀVÃðPÀj¹zÀ zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀĪÀÅzÀjAzÀ ¨ÉÃgÉ jÃwAiÀÄ°è ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.

 

ªÀVÃðPÀÈvÀ zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À°è ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀ PÀæªÀÄ:

 

ºÀAvÀ 1: ¥Àæw ªÀUÁðAvÀgÀzÀ ªÀÄzsÀå ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

 

ºÀAvÀ 2: ¥Àæwà ªÀUÁðAvÀgÀPÀÄÌ  f*x PÀAqÀÄ »r¬Äj.

ºÀAvÀ 3: CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj PÀAqÀÄ »r¬Äj == ( )/N, N = .

 

ºÀAvÀ 4: ¥Àæwà ªÀUÁðAvÀgÀPÀÆÌ  ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ  () «ZÀ®£É PÀAqÀÄ »r¬Äj (d=X-)

 

ºÀAvÀ 5: ¥Àæw ªÀUÁðAvÀgÀPÀÆÌ d2  ªÀÄvÀÄÛ f*d2 PÀAqÀÄ »r¬Äj.

 

ºÀAvÀ 6: ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É PÀAqÀÄ »r¬Äj:  () =  [(f*d2)/N]

 

5.5 GzÁ. 3: MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀ½¹zÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ »ÃVªÉ:-

 

CAPÀUÀ¼ÀÄ

DªÀÈwÛ(f)

ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ(x)

f*x

d=(X-)

d2

f*d2

25-30

5

28

140

-9.2

84.64

423.2

30-35

10

33

330

-4.2

17.64

176.4

35-40

25

38

950

0.8

0.64

16

40-45

8

43

344

5.8

33.64

269.12

45-50

2

48

96

10.8

116.64

233.28

 

N = = 50

 

=1860

 

 

(f*d2)=1118

 

«zsÁ£À:

CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj == /N = 1860/50 = 37.2

 

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É: () =  [(f*d2)/N] =  (1118/50) =  (22.36) =4.728

 

wêÀiÁð£À: «zÁåyðUÀ¼À CAPÀUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj =37.2. «zÁåyðUÀ¼À CAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ 5 «ZÀ®£É ºÉÆAzÀÄvÀÛªÉ.

 

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À (ºÀAvÀ - «ZÀ®£ÁPÀæªÀÄ)

[Alternate Method (Step – Deviation Method)]:

 

ºÀAvÀ 1: zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À°è ¸ÁzsÁgÀt ªÀÄzsÀåzÀ°ègÀĪÀ ªÀiË®åªÀ£ÀÄß ¸ÀgÁ¸Àj JA¢lÄÖPÉƽî (A).

 

ºÀAvÀ 2: H»¹PÉÆAqÀ ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ ‘ºÀAvÀ-«ZÀ®£É’ (=d)AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj:

d=(X-A)/i: ‘i’ ªÀUÁðAvÀgÀzÀ UÁvÀæ.

 

ºÀAvÀ 3: d2, f*d ªÀÄvÀÄÛ f*d2UÀ¼À£ÀÄß ¥Àæw ªÀUÁðAvÀgÀPÀÄÌ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

ºÀAvÀ 4: CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉUÀ¼À£ÀÄß PɼÀV£À ¸ÀÆvÀæzÀAvÉ ¯ÉPÀ̺ÁQ.

CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj: == A + [/N]*i 

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É: () =  [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]*i

 

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉ ¯ÉPÀ̪À£ÀÄß F «zsÁ£ÀzÀ°è ªÀiÁqÀĪÁ.

C°è 43£Àß CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸Àj (A) JAzÀÄ H»¸ÀĪÁ.

i = ªÀUÁðAvÀgÀzÀ UÁvÀæ = 5.

ºÀAvÀ 1 jAzÀ 3 gÀ jÃvÁå:

 

CAPÀUÀ¼ÀÄ

DªÀÈwÛ(f)

ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ(x)

d=(X-A)/i

f*d

d2

f*d2

25-30

5

28

-3

-15

9

45

30-35

10

33

-2

-20

4

40

35-40

25

38

-1

-25

1

25

40-45

8

43

0

0

0

0

45-50

2

48

1

2

1

2

 

N = = 50

 

 

= - 58

 

(f*d2)=112

 

CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj == A+ [/N]*i = 43 + [(-58/50)*5] = 43 + (-1.16)*5 = 43-5.8 = 37.2

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É:

() =  [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]*i

=  [(112/50)- {-58/50} 2]*5

=  [2.24 - {-1.16} 2]*5

=  [2.24 – 1.3456]*5

=  [0.8944]*5

=.9457*5

=4.728

 

wêÀiÁð£À: «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀ½¹zÀ CAPÀUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj = 37.2. CªÀgÀÄ UÀ½¹zÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ 5 CAPÀUÀ¼ÀµÀÄÖ «ZÀ°vÀªÁUÀÄvÀÛªÉ.

 

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ªÀåQÛUÀ¼À vÀAqÀUÀ¼À ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆð¸ÀĪÁUÀ CªÀgÀ ¹ÜgÀvÉAiÀÄ §UÉÎ ªÀiÁvÀ£ÁqÀÄvÉÛêÉ. ¸ÀASÁå ±Á¸ÀÛçzÀ°è F ‘¹ÜgÀvÉ’AiÀÄ£ÀÄß ºÉÃUÉ UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ?

 

F ¹ÜgÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀ®Ä “ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ”(Co efficient of variation) ªÀ£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÉÛêÉ. EzÀÄ ºÀgÀ«£À MAzÀÄ ¸Á¥ÉÃPÀë C¼ÀvÉAiÀiÁVzÉ. EzÀ£ÀÄß F PɼÀV£À ¸ÀÆvÀæ¢AzÀ ¯ÉPÀÌ ºÁPÀÄvÉÛêÉ.

ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ*100/¸ÀgÁ¸Àj.

 

DzÀÝjAzÀ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀªÀÅ ªÀÄÆ®ªÀiÁ£ÀUÀ½AzÀ ªÀÄÄPÀÛªÁzÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉå. EzÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ±ÉÃPÀqÁ gÀÆ¥ÀzÀ°è ¸ÀÆa¸À¯ÁUÀĪÀÅzÀÄ. ±ÉÃPÀqÁ ¥ÀæªÀiÁt PÀrªÉÄAiÀiÁzÀµÀÄÖ ¹ÜgÀvÉ ºÉZÀÄÑ. ¸ÀgÁ¸ÀjUÉ ºÉÆð¹zÁUÀ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄÄ aPÀÌ ¸ÀASÉåAiÀiÁzÀgÉ, ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ PÀrªÉÄAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ.

 

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è,

ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = (4.728*100)/37.2  =12.68

 

5.5 GzÁ. 4: A ªÀÄvÀÄÛ B  JA§ E§âgÀÄ QæPÉmï DlUÁgÀgÀÄ 6 E¤AUïìUÀ¼À°è UÀ½¹zÀ gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ »ÃVzÉ:-

 

A DlUÁgÀ

48

50

54

46

48

54

B DlUÁgÀ

46

44

43

46

45

46

 

F ªÉÄð£À E§âgÀ°è AiÀiÁgÀÄ GvÀÛªÀÄ ¸ÉÆÌÃgÀgï? AiÀiÁgÀÄ ºÉZÀÄÑ ¹ÜgÀvÉ ºÉÆA¢zÁÝgÉ?

 

«zsÁ£À:

 

F E§âgÀ ¹ÜgÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

GzÁ. (5.1)gÀ°è F A DlUÁgÀgÀ gÀ£ÀÄßUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ªÀiÁrzÉÝêÉ.

CAPÀUÀtÂvÀ ¸ÀgÁ¸Àj = 50

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É = 3.05

ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ *100/¸ÀgÁ¸Àj = 3.05*100/50 = 6.1%

FUÀ B DlUÁgÀ£À ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÁ.

 

¸ÀgÁ¸Àj = 270/6 = 45

 

¸ÀA.

gÀ£ÀÄßUÀ¼ÀÄ(X)

«ZÀ®£É(D)

d= X-

       d2

1

46

1

1

2

44

-1

1

3

43

-2

4

4

46

1

1

5

45

0

0

6

46

1

1

 

=270

=0

=8

 

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É,

 =  (/N)=  (8/6) = (1.33) = 1.15

 

ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É *100/¸ÀgÁ¸Àj = 1.15*100/45 =2.55%

 

¥sÀ°vÁA±À:

1. AAiÀÄ ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄÄ BVAvÀ ºÉZÀÄÑ (50>45) DzÀÝjAzÀ AAiÀÄÄ B VAvÀ GvÀÛªÀÄ ¸ÉÆÌÃgÀgï.

2. BAiÀÄ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ  A VAvÀ PÀrªÉÄ  (1.15<6.1) DzÀÝjAzÀ BAiÀÄÄ  ºÉZÀÄÑ ¹ÜgÀ DlUÁgÀ.

 

5.5 GzÁ. 5: MAzÀÄ ¥ÀjÃPÉëAiÀÄ°è 10£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ A ªÀÄvÀÄÛ B «¨sÁUÀzÀ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀ½¹zÀ CAPÀUÀ¼ÀÄ »ÃVªÉ:-

 

CAPÀUÀ¼ÀÄ

A  «¨sÁUÀzÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå

B «¨sÁUÀzÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå

25-30

5

5

30-35

10

12

35-40

25

20

40-45

8

8

45-50

2

5

 

 

AiÀiÁªÀ «¨sÁUÀzÀ ¸ÁzsÀ£É GvÀÛªÀĪÁVzÉ? AiÀiÁªÀ «¨sÁUÀzÀ ¸ÁzsÀ£É ºÉZÀÄÑ C¹ÜgÀ? F ¸ÀªÀĸÉå ©r¸À®Ä, CAPÀUÀtÂvÀ ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ ¨ÉÃPÀÄ.

 

5.5. GzÁºÀgÀuÉ 3 gÀ°è A «¨sÁUÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ªÀiÁrzÉÝêÉ.

 

CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj =37.2

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É =4.728

 

ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É*100/¸ÀgÁ¸Àj = 4.728*100/37.2 =12.7%

FUÀ B ¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß ‘ºÀAvÀ-«ZÀ®£À’ PÀæªÀÄzÀ°è PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÁ.

ºÀAvÀ 1: CAzÁf£À ¸ÀgÁ¸Àj: A =38 DVgÀ°. (A=28,33,43,48 AiÀiÁªÀÅzÀÆ DUÀ§ºÀÄzÀÄ)

 

ºÀAvÀ 2: CAzÁf£À ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ ºÀAvÀ «ZÀ®£ÉAiÀÄ£ÀÄß (d) ¯ÉPÀ̺ÁQ.

 d=(X-A)/i: ‘i’  ªÀUÁðAvÀgÀzÀ UÁvÀæ = 5.

 

ºÀAvÀ 3: ¥Àæwà ªÀUÁðAvÀgÀPÀÆÌ d2, f*d, f*d2 PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

ºÀAvÀ 4:¸ÀgÁ¸Àj ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉUÀ¼À£ÀÄß F PɼÀV£ÀAvÉ ¯ÉPÀÌ ºÁQ.

CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj =  = A+ [/N]*i 

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É = () =  [ (fd2)/N- { (fd)/N} 2]*i:

 

CAPÀUÀ¼ÀÄ

DªÀÈwÛ (f)

ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ (x)

d=(X-A)/i

fd

d2

fd2

25-30

5

28

-2

-10

4

20

30-35

12

33

-1

-12

1

12

35-40

20

38

0

0

0

0

40-45

8

43

1

8

1

8

45-50

5

48

2

10

4

20

 

N = = 50

 

 

= - 4

 

(fd2)=60

 

CAPÀUÀtÂvÀ ¸ÀgÁ¸Àj =  = A+ [()/N]*i 

    = 38 +[(-4/50)*5]

    = 38+ -0.08*5 = 43-0.4  = 37.6

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É:

() =  [(f*d2)/N - ((f*d)/N)2]*i

       =  [(60/50)- {-4/50} 2]*5

       =  [1.2 - {-0.08} 2]*5

       =  [1.2 – 0.0064]*5

       =  [1.1936]*5

       =1.0925*5 =5.4625

ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É*100/¸ÀgÁ¸Àj= 5.4625*100/37.6  = 14.52%

 

wêÀiÁð£À:

 

1. B «¨sÁUÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj CAPÀªÀÅ A «¨sÁUÀQÌAvÀ ºÉaÑzÉ (37.6>37.2), DzÀÝjAzÀ BAiÀÄ ¸ÁzsÀ£É AVAvÀ GvÀÛªÀÄ.

2. BAiÀÄ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀªÀÅ A «¨sÁUÀQÌAvÀ ºÉaÑzÉ (14.52>12.7), DzÀÝjAzÀ B AiÀÄ ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄÄ A «¨sÁUÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ C¹ÜgÀ.

 

5.5 GzÁ. 6: MAzÀÄ PÉÊUÁjPÁ ¥ÀæzÉñÀzÀ°è A ªÀÄvÀÄÛ BUÀ¼ÉA§ JgÀqÀÄ PÁSÁð£ÉUÀ¼À°è PÉÆqÀĪÀ ¸ÀgÁ¸Àj ªÁgÀzÀ ªÉÃvÀ£À ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É »ÃVzÉ:-

 

PÁSÁð£É

¸ÀgÁ¸Àj ªÉÃvÀ£À (gÀÆ.UÀ¼À°è)

ªÉÃvÀ£À ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É (gÀÆ.)

A

34.5

6.21

B

28.5

4.56

 

AiÀiÁªÀ PÁSÁð£ÉAiÀÄ°è ªÉÃvÀ£ÀzÀ°è ºÉZÀÄÑ vÁgÀvÀªÀÄå«zÉ?

 

«zsÁ£À:

FUÀ £ÁªÀÅ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀĨÉÃPÀÄ.

A PÁSÁð£ÉAiÀÄ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É*100/¸ÀgÁ¸Àj = 6.21*100/34.5 = 18%

B PÁSÁð£ÉAiÀÄ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀ = ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É *100/¸ÀgÁ¸Àj  = 4.56*100/28.5 = 16%

A PÁSÁð£ÉAiÀÄ ªÀiÁ¦ð£À UÀÄuÁAPÀªÀÅ B PÁSÁð£ÉAiÀÄ zÀgÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ (18>16). DzÀÝjAzÀ A PÁSÁð£ÉAiÀÄ°è ªÉÃvÀ£ÀzÀ°è ºÉZÀÄÑ vÁgÀvÀªÀÄå«zÉ.

(A PÁSÁð£ÉAiÀÄ°è £ËPÀjUÉ ºÉZÀÄÑ ªÉÃvÀ£ÀªÀ£ÀÄß PÉÆlÖgÀÆ ¸ÀºÀ, CªÀgÀ ªÉÃvÀ£ÀUÀ¼À°è ºÉZÀÄÑ vÁgÀvÀªÀÄå«zÉ.)

 

 

5.5 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

X = ¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼À UÀt

 = CAPÀUÀtÂvÀzÀ ¸ÀgÁ¸Àj (AM)

d = ¸ÀgÁ¸Àj¬ÄAzÀ «ZÀ®£É.

f = ªÀiË®åUÀ¼À DªÀÈwÛ.

i = ªÀUÁðAvÀgÀzÀ UÁvÀæ.

x= ªÀUÁðAvÀgÀzÀ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ.

 

¸ÀA.

¸ÀAzÀ¨sÀð

DAiÉÄÌ

N=

AM=

«ZÀ®£É

(d)

 

ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£É()

 

1

©r

ªÀiË®åUÀ¼ÀÄ

 

¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼À

¸ÀASÉå

* =()/N

X-

A=AiÀiÁªÀÅzÉÃ

¥Áæ¥ÁÛAPÀ

¥Áæ¥ÁÛAPÀUÀ¼À

¸ÀASÉå

* = A+ ()/N

X-A

2

DªÀvÀð

EgÀĪÀ

ªÀiË®åUÀ¼ÀÄ

 

* =/N

X-

A=AiÀiÁªÀÅzÉÃ

¥Áæ¥ÁÛAPÀ

* = A + /N

X-A

3

DªÀvÀð

EgÀĪÀ

ªÀUÁðAvÀgÀ

 

* = /N

X-

A =AiÀiÁªÀÅzÉÃ

¥Áæ¥ÁÛAPÀ

* = A+ [/N]*i

d=(X-A)/i

 

¸ÀÆZÀ£É: ªÀiÁ£ÀPÀ «ZÀ®£ÉUÉ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¸ÀÆvÀæ £É£À¦r:-

 

ªÀVðÃPÀgÀt ªÀiÁqÀzÉà EgÀĪÀ/DªÀvÀð E®èzÉà EgÀĪÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è , f=1, i=1 DzÉò¹, ¸ÀªÀĸÉåUÉ ¸ÀjAiÀiÁzÀ ¸ÀÆvÀæ ¥ÀqɬÄj.

AiÀiÁªÀÅzÉà ªÀiË®åªÀ£ÀÄß CAzÁdÄ ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀiÁV vÉUÉzÀÄPÉƼÀî¢zÁÝUÀ, =0