6.12 ವೃತ್ತಗಳು ಭಾಗ 3:

 

6.12.1: ವೃತ್ತದ ಕಂಸಳು

 

ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಂಸಗಳ ಕೇಂದ್ರೀಯಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳು ಸರ್ವಸಮ(congruent )

AOB = COD ಆದರ ಕಂಸ ASB = ಕಂಸ CTD

6.12.1 ಅಭ್ಯಾಸ 1: ಎರಡು ಕಂಸಗಳು ಸರ್ವಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಗಳು ಸಮ

ದತ್ತ: ಕಂಸ ASB = ಕಂಸ CTD

ಸಾಧನೀಯ: AB=CD

ಸಾಧನೆ:

1. OA = OC, OB = OD (ತ್ರಿಜ್ಯ)

2. AOB = COD (ಕಂಸಗಳು ಸರ್ವಸಮ)

AOB COD (ಬಾ.ಕೋ.ಬಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ )

AB = CD

 

6.12.1 ಅಭ್ಯಾಸ 2: ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತಗಳ ಎರಡು ಜ್ಯಾಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಕಂಸಗಳು ಸರ್ವಸಮ.

ಗಮನಿಸಿ: ಇದು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ. (ಬಾ.ಬಾ.ಬಾ. ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಂತೆ AOB = COD ಎಂದು ತೋರಿಸಿ)

 

6.12.1: ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

ಒಂದು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ r ಆದಾಗ :

ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ = 2r ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = r2. ಇಲ್ಲಿ ಎನ್ನುವುದು ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದ್ದು 22/7 (3.1428) ಎಂದು ಅಂದಾಜಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ.

 

ಡಿಗ್ರಿಯು ಕಂಸ CSD ಯು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಕೋನವಾಗಿರಲಿ (COD).

3600 ಕೇಂದ್ರದ ಕೋನ ಆದಾಗ ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ 2r ಆಗಿರುವುದರಿಂದ o ವು ಕೇಂದ್ರದ ಕೋನವಾದರೆ ಕಂಸದ ಉದ್ದ

1. CSD ಕಂಸದ ಉದ್ದ = () *r (ಏಕಮಾನ ಪದ್ಧತಿ)

3600 ಕೇಂದ್ರದ ಕೋನ ಆದಾಗ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ r2 ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, o ವು ಕೇಂದ್ರದ ಕೋನವಾದರೆ ಅದು ಉಂಟುಮಾಡುವ ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

2. CSDO ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (shaded ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ನೆರಳಿನ ಭಾಗ) = () *r2= () * ()= [() *r]*

= *ಕಂಸದ ಉದ್ದ*ತ್ರಿಜ್ಯ

ಗಮನಿಸಿ: ರೇಡಿಯನ್ ಗಳು = 1800 ಮತ್ತು x0 = () ರೇಡಿಯನ್ ಗಳು

 

 

 

 

 

 

 

ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ COD = ಮತ್ತು CD ಯು ಅದು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಜ್ಯಾ

ಆಗ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ CDO = * ಪಾದ * ಎತ್ತರ = *DO*CM = *r*rsin= r2*sin

(CM = rsin : ಸೈನ್ ವಿವರಣೆಗೆ ಪಾಠ 7.1 ನೋಡಿ )

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ: CSDO ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = CDO ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + CSD ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

CSD ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= CSDO ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - CDO ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ= () *r2 - () r2*sin

= r2 {(*) - ()}

ಗಮನಿಸಿ : ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಕೋನವು ಡಿಗ್ರಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಇರಬೇಕು.

 

 


6.12 Problem 1: ತ್ರಿಜ್ಯ 21Cm ಮತ್ತು 7Cm ಇರುವ O ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವಿರುವ ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳ ಕಂಸಗಳು AB ಮತ್ತು CD. AOB= 30 ಆದರೆ ನೆರಳಿನ ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು?

 

ನೆರಳಿನ ಭಾಗ CABD ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = OCABDO ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - OCDO ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

= () *212 - () *72

= [*]*[7*7*](3*3-1) ( 212=72 *32)

 

==

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.12 Problem 2: ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ABC ಯು 14 cm ತ್ರಿಜ್ಯವುಳ್ಳ ವೃತ್ತ ಚತುರ್ಥಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸವಾಗಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ. ಛಾಯೆಗೊಳಿಸಿದ ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು?

 

ನೆರಳಿನ ಭಾಗ BPCQB ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಅರ್ಧವೃತ್ತ BCQBವಿಸ್ತೀರ್ಣ- BCPB ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಆದರೆ BCPB ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಕಾಲು ವೃತ್ತ ACPB ವಿಸ್ತೀರ್ಣ - ABC ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

BPCQB ನೆರಳಿನ ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಅರ್ಧವೃತ್ತ BCQBವಿಸ್ತೀರ್ಣ (ಕಾಲು ವೃತ್ತ ACPBವಿಸ್ತೀರ್ಣ - ABC ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ )

= ಅರ್ಧವೃತ್ತ BCQB ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಾಲು ವೃತ್ತ ACPB ವಿಸ್ತೀರ್ಣ + ABC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಆದರೆ AC=AB=14 and BAC=90

ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ BC2 = AB2 + AC2

BC(ವ್ಯಾಸ) = =. ಅರ್ಧವೃತ್ತ BCQB ತ್ರಿಜ್ಯ =

ಅರ್ಧವೃತ್ತ BCQB ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = *= **392= 154

ಕಾಲು ವೃತ್ತ ACPB ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 142 ( 14cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಕಾಲು ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ)= **14*14=154

ABC ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = *14*14 = 98 ( ತ್ರಿಕೋನದ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಒಂದೇ )

ನೆರಳಿನ ಭಾಗ BPCQB ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 154 -154 + 98 =98

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.12 ಕಲಿತ ಅಂಶಗಳು

ಸಂಖ್ಯೆ

ಕಲಿತ ಅಂಶಗಳು

1

ಕಂಸಗಳ ಸರ್ವಸಮತೆ

2

ಕಂಸದ ಉದ್ದ,ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಸೂತ್ರ