7.5 £ÀPÁë «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀt ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ (Graphical method of solving Quadratic equations):

y=mx+c (m ªÀÄvÀÄÛ c ¹ÜgÁAPÀUÀ¼ÀÄ) gÀÆ¥ÀzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉë J¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀ£ÀÄß £Á«ÃUÁUÀ¯Éà PÀ°wzÉÝêÉ.

F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ £ÀPÉëAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÆ PÀ°wzÉÝêÉ.

FUÀ £ÁªÀÅ ax² +bx+ c =0 gÀÆ¥ÀzÀ ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß £ÀPÁë «zsÁ£ÀzÀ°è ©r¸ÀĪÀ PÀæªÀĪÀ£ÀÄß w½AiÀÄĪÁ.

EAvÀºÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ «zsÁ£ÀzÀ°è ©r¸À§ºÀÄzÀÄ.

«zsÁ£À 1:

ax² +bx+ c = 0 J£ÀÄߪÀÅzÀ£ÀÄß ax²= -bx-c JAzÀÆ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. CªÀÅ JgÀqÀÆ y UÉ ¸ÀªÀÄ«gÀ°. DUÀ £ÀªÀÄUÉ y = ax² ªÀÄvÀÄÛ y =-bx-c

JAzÀÄ JgÀqÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ¹UÀÄvÀÛªÉ. JgÀqÀPÀÆÌ £ÀPÉë gÀa¹. CªÀÅUÀ¼ÀÄ MAzÉÆ£ÉÆßAzÀÄ PÀrAiÀÄĪÀ ©AzÀÄUÀ¼Éà ax² +bx+ c = 0 ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ. 7.5 ¸ÀªÀĸÉå1 £ÀÄß

F «zsÁ£ÀzÀ°è ©r¸À¯ÁVzÉ.

«zsÁ£À 2:

ax² +bx+ c UÉ £ÀPÉë gÀa¹. DzÀÄ x CPÀëªÀ£ÀÄß J°è PÀrAiÀÄĪÀÅzÉÆÃ(y=0) C°èAiÀÄ x £À ¨É¯ÉAiÉÄà ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ. 7.5 ¸ÀªÀĸÉå 2 £ÀÄß F «zsÁ£ÀzÀ°è ©r¸À¯ÁVzÉ.

7.5 ¸ÀªÀĸÉå1: y=2x² ªÀÄvÀÄÛ y= 3+x ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À £ÀPÉë J¼ÉzÀÄ 2x²-x-3=0 ¸À«ÄÃPÀgÀt ©r¹j ªÀÄvÀÄÛ gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:Œ(«zsÁ£À 1)

1. 2x²-x-3=0 ¸À«ÄÃPÀgÀt ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ.

ºÀAvÀ 1: x £À PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ y (=2x²) AiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁr.

x à	0	1	-1	2	-2
y à	0	2	2	8	8
(x, y)	(0,0)	(1,2)	(-1,2)	(2,8)	(-2,8)

ºÀAvÀ 2: £ÀPÁë ºÁ¼ÉAiÀÄ°è (x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. F J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ £ÀAiÀĪÁzÀ gÉÃSɬÄAzÀ eÉÆÃr¹.F £ÀAiÀĪÁzÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ‘¥ÀgÀªÀ®AiÀÄ’(parabola) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

ºÀAvÀ 3: x £À 2 ¨É¯ÉUÀ½UÉ y (=3+x) AiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁr.

x à	-1	1
y à	2	4
(x, y)	(-1,2)	(1,4)

E°è x £À §gÉà 2 ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß ºÀÄqÀÄPÀ®Ä ºÉýzÉÝÃPÉ? (y=3+x JA§ÄzÀÄ y=mx+c gÀÆ¥ÀzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀt. EzÀgÀ £ÀPÉë MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ J¼ÉAiÀÄ®Ä 2 ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ!)

ºÀAvÀ 4: £ÀPÁë ºÁ¼ÉAiÀÄ°è (x,y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.F JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr¹ (¨ÉÃPÁzÀgÉ ªÀÈ¢Þ¸À§ºÀÄzÀÄ)

F ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀgÀªÀ®AiÀÄUÀ¼ÀÄ 2 ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. D ©AzÀÄUÀ¼À ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼ÀÄ (-1, 2) ªÀÄvÀÄÛ (1.5, 4.5). EªÀÅUÀ¼À°è x £À ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ: -1 ªÀÄvÀÄÛ 1.5. -1 ªÀÄvÀÄÛ 3/2 F ¨É¯ÉUÀ¼ÀÄ 2x²-x-3=0 ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ C£ÀéAiÀĪÁUÀÄvÀÛzÉ. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ: -1 ªÀÄvÀÄÛ 1.5.

vÁ¼É:

2x²-x-3=0 ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ ax² +bx+ c =0 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ.

F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ: x = [-b (b²-4ac)]/2a

E°è a=2, b= -1,c= -3

(b²-4ac) = (1+24)= 5

ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ: (15)/4 = -1 ªÀÄvÀÄÛ 3/2 £ÀPÁë PÀæªÀÄzÀ°èAiÀÄÆ EªÉà §A¢ªÉ.

2. gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ:-

FUÀ x =DzÁUÀ y AiÀÄ ¨É¯É JµÀÄÖ?

y=2x². ¥ÀgÀªÀ®AiÀÄ £ÉÆÃr. x = DzÀgÉ y=2x²= 6

£ÀPÉëAiÀÄ°è y=6 DzÁUÀ, x UÉ JgÀqÀÄ ¨É¯ÉUÀ½ªÉ (CªÀ£ÀÄß ¥ÀgÀªÀ®AiÀÄzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ°è y CPÀëzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ UÀÄgÀÄw¸À¯ÁVzÉ)

C ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ J°è x CPÀëªÀ£ÀÄß PÀrAiÀÄĪÀÅzÉÆÃ(¤Ã° §tÚzÀ°è J¼ÉzÀ ®A§) CzÀÄ £À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀÄvÀÛªÉ.

7.5 ¸ÀªÀĸÉå 2: 2x²+3x-5=0 F ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß £ÀPÁë «zsÁ£À¢AzÀ ©r¹.

¥ÀjºÁgÀ: («zsÁ£À 2)

ºÀAvÀ1: x £À PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ½UÉ y(=2x²+3x-5) AiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖªÀiÁr:

x à	0	1	-1	2	-2	-3
y à	-5	0	-6	9	-3	4
(x, y)	(0,-5)	(1,0)	(-1,-6)	(2,9)	(-2,-3)	(-3,4)

ºÀAvÀ 2: £ÀPÁë ºÁ¼ÉAiÀÄ°è (x, y) ¤zÉÃð±ÁAPÀUÀ¼À ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. F J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ £ÀAiÀĪÁzÀ gÉÃSɬÄAzÀ eÉÆÃr¹. F £ÀAiÀĪÁzÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ¥ÀgÀªÀ®AiÀÄ.

£ÀªÀÄVÃUÀ ¨ÉÃPÁVgÀĪÀÅzÀÄ 2x²+3x-5=0 EgÀĪÀ ©AzÀÄ (CAzÀgÉ y=0 DzÁUÀ)

¥ÀgÀªÀ®AiÀĪÀÅ x CPÀëªÀ£ÀÄß (x CPÀëzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À°è y=0) 2 ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ

[x= -2.5(= -5/2) ªÀÄvÀÄÛ x=1]

(CªÀ£ÀÄß ¥ÀgÀªÀ®AiÀÄzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ°è y CPÀëzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ UÀÄgÀÄw¸À¯ÁVzÉ)

1 ªÀÄvÀÄÛ -5/2 EªÀÅUÀ¼ÀÄ zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ªÀÄÆ®UÀ¼ÁVªÉ.

vÁ¼É:

zÀvÀÛ ¸À«ÄÃPÀgÀt: 2x²+3x-5=0. EzÀÄ ax² +bx+ c =0 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ.

ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ: x = [-b (b²-4ac)]/2a E°è a=2, b= 3,c= -5

b²-4ac = 9+40=49 (b²-4ac) = 7

ªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ: (-37)/4 = 1 ªÀÄvÀÄÛ -5/2 £ÀPÉëAiÀÄ°è §A¢ªÉ.

7.5 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀA.	PÀ°vÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	£ÀPÉë J¼ÉzÀÄ ªÀUÀð ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀĪÀÅzÀÄ.