2.4 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ      (Multiplication of algebraic expressions):

 

ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಸರಿಸುವ  ನಿಯಮಗಳನ್ನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲೂ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಪರಿವರ್ತನ ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತನ ನಿಯಮಗಳು)

 

1. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯಾಸಹಗುಣಕವು , ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ (6a*5 = (6*5)*a = 30a).

2. ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಚರಾಕ್ಷರದ ಭಾಗವು , ಏಕ ಪದಗಳ ಅವ್ಯಕ್ತ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ (6a*5b = (6*5)*a*b = 30a*b = 30ab).

 

2.4 ಸಮಸ್ಯೆ1: ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ: (1/10)*(x5y2) *10x3y

 

ಪರಿಹಾರ:

(1/10)*(x5y2) * 10x3y

=(1/10)*10 *(x5y2) *x3y ( ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)

= 1*(x5 *x3) * y2y

= (x5+3 ) * y2+1

= x8 y3

 

2.4  ಸಮಸ್ಯೆ 2: -3x2y, 4xy2z  ಮತ್ತು (5/4) ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲು ಮೊದಲನೇ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ:

-3x2y* 4xy2z

= (-3*4) (x2*x) (y*y2)z  ( ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)

= -12 x3 y3z            (ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮೊದಲನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ)

ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾ:

 (-3x2y* 4xy2z) * (5/4)z

= -12 x3 y3z* (5/4)z

= (-12)*(5/4) x3 y3z*z

= -15 x3 y3 z2

 

2.4.1 ಏಕಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು (Multiplication of monomial by a binomial)

 

24 = 2*12 = 2*(8+4) = 2*8+2*4 = 16+8: ಇದೇರೀತಿ.

a*(b +c) = a*b + a*c = ab+ac ( ವಿಭಾಜಕ ನಿಯಮ)

1. ಒಂದು ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಒಂದು ದ್ವಿಪದ - ಇವೆರಡನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕು..

 

2.4.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: (-11p2q-q2) ವನ್ನು (-2pq) ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

-2pq *(-11p2q-q2)

= (-11p2q)* (-2pq) -(q2)* (-2pq) (ಪ್ರತೀಪದವನ್ನು -11p2q-q2 ದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

= (-11)*(-2)p2*p*q*q  -(1*-2)*p*q2* q

= 22p3q2+2pq3

 

2.4.2  ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ (Multiplication of two binomials)

 

ಈಗ ನಾವು 12 ನ್ನ 8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾ 12*8 = 96

ಇದನ್ನು ನಾವು ಬೇರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಾ 12 = 8+4 and 8= 6+2

 12*8

= (8+4)*(6+2)

= 8*(6+2) + 4*(6+2)

= (8*6+8*2)+ (4*6 +4*2)

= 48+16+24+8 = 96

ಇದೇರೀತಿ

 (a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd

 

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡು ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ಒಂದು ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀಯೊಂದು ಪದದಿಂದಲ್ಲೂ 2ನೇ ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬೇಕು.ಪ್ರತೀಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲೂ ನಾವು ಇದೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.

 

 

2.4.2 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 2x2-3x +1 ನ್ನ (x-3) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

(x-3)* (2x2-3x +1)

= x*(2x2-3x +1) -3*(2x2-3x +1) (ಮೊದಲನೆ ದ್ವಿಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು 2ನೇ ತ್ರಿಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

 

= (2x2*x-3x*x +1*x)+( -3*2x2-3*-3x -3*1) (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

= (2x3-3x2+x) + (- 6 x2+9x-3)

=2x3 -3x2- 6 x2+x +9x -3 (ಸಜಾತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರೆದಾಗ)=2x3 -9x2+10x -3

 

2.4.3 ನಿತ್ಯ ಸಮಿಕರಣಗಳು (Identities and formulae):

 

ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿತ್ಯ ಸಮಿಕರಣಗಳೆನ್ನುವರು. ಈಗ ಚರಾಕ್ಷರಗಳಾದ a,b,c ಅಥವಾ x ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ನಿತ್ಯಸಮಿಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾ:

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ.

 (a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd       ------------------->(1)

 

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a ಯನ್ನು x , c ಯನ್ನು x, b ಯನ್ನು a ಮತ್ತು d ಯನ್ನು b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ (x+a)*(x+b)

= x*x+ xb+ax+ab

= x2+xa+xb+ab

= x2+x(a+b)+ab

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1 : 102*106 ಗುಣಲಬ್ಧವೇನು?

 

ಪರಿಹಾರ:

 102 = 100+2

 106 = 100+6

102*106

= (100+2)*(100+6)          [ಸೂತ್ರ (x+a)*(x+b)]

= 1002+ 100*(2+6)+ 2*6

= 10000+800+12 = 10812 

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 97 ಮತ್ತು 95 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವೇನು?

 

ಪರಿಹಾರ:

 

97 =100-3

95 =100-5

(x+a)*(x+b) = x2+x(a+b)+ab ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ

x=100, a=-3 and b=-5.

  97*95

= (100-3)*(100-5)

= 1002+ 100*(-3+-5)+ (-3*-5)

= 10000-800+15 = 9215

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 3: 103 ನ್ನ 96 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

103 = 100+3

96 = 100-4

 (x+a)*(x+b) = x2+x(a+b)+ab  ಸಮೀಕರಣ

x=100, a=+3 ಮತ್ತು b=-4.

  103*96

= (100+3)*(100-4)

= 1002+ 100*(3+-4)+ (3*-4)

= 10000-100-12 = 9888

 

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ c ಯನ್ನು a, ಮತ್ತು d ಯನ್ನುb ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ

( i.e. (a+b)*(c+d) = ac+ad+bc+bd )

ಈಗ,

(a+b)*(a+b) = aa+ab+ba+bb

= a2+ 2ab+b2

  (a+b)2= a2+ 2ab+b2

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 4: (10.1)2 ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

10.1 = 10+0.1

  (10.1)2= 10+0.1 [ಈಗ (a+b)2= a2+ 2ab+b2 ಸಮೀಕರಣ ಬಳಸಿ]

= 102+ 2*10*0.1+ (0.1)2

= 100+2+0.01 = 102.01

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 5:  (4x2+12xy+8y2)  ವನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ ಏನನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು?

 

ಪರಿಹಾರ:

4x2 ವು a2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ (a = 2x).

ಆದರೆ 8y2 ಪೂರ್ಣವರ್ಗವಲ್ಲ. 9y2 ವು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ. b = 3y

=2ab = 2*2x*3y = 12xy

4x2+12xy+ 9 y2 ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ಪೂರ್ಣವರ್ಗ.

ಆದ್ದರಿಂದ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಪೂರ್ಣವರ್ಗವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅದಕ್ಕೆ (y2) ವನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು.

[ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಗಳಿವೆ.]

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ನೋಡುವಾ.

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ bಯನ್ನು-b, c ಯನ್ನುa ಮತ್ತು d ಯನ್ನು-b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ,

 

(a-b)*(a-b)

= a*a+ a(*-b) + (–b)*a +b*(-b)

= a2-ab-ab+ b2

= a2-2ab+ b2

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 6 : (4.9)2 ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

4.9 = (5-0.1)

 (4.9)2ಇದು (a-b)2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=5 and b=0.1

4.92 = (5-0.1)

= 52+-2*5*0.1+ (0.1)2

= 25 -1 +.01

= 24.01

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 7 : (x-1/x)2 - ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಇದು (a-b)2 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಹಾಗೂ a=x  ಮತ್ತು b=1/x

(x-1/x)2= x2-2x(1/x)+ (1/x)2

= x2-2+ 1/x2

 

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ c ಯನ್ನು a , d ಯನ್ನು -b ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ.

ಈಗ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಣಲಬ್ಧ ನೋಡುವಾ.

 (a+b)*(a-b) = aa+a*(-b)+ba+b*(-b)

= a2-ab+ab-b2 ( -ab+ab=0)

= a2-b2

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 8: ಗುಣಲಬ್ಧ ಕಂಡುಹಿಡಿ: 9.5*10.5

 

ಪರಿಹಾರ:

9.5 * 10.5 = (10-0.5 )*(10+0.5)

9.5* 10.5  ಎನ್ನುವುದು (a+b)(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ a=10, b=0.5.

9.5*10.5

= 102- (0.5)2

= 100-0.25  = 99.75

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 9: ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ: (x+2)(x-2)( x2+4)

 

ಪರಿಹಾರ:

(a+b)*(a-b) ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಸುಲಭೀಕರಿಸುವ.

 

    (x+2)(x-2) = ( x2-4)

 (x+2)(x-2)( x2+4)= ( x2-4) * ( x2+4)

= ( x4-16) (x2 ನ ವರ್ಗ x4)

ಸಮೀಕರಣ (1) ರಲ್ಲಿ b ಯನ್ನು b+c, c ಯನ್ನು a+b ಮತ್ತು d ಯನ್ನು c ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ.

 

ಈಗ ತ್ರಿಪದದೋಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ ನೋಡುವಾ:

 (a+(b+c))*((a+b)+c))

= a(a+b) + ac+ (b+c)(a+b)+ (b+c)c

= (a.a+ab)+ac+(ba+ b.b+ca+cb)+(bc+ c.c)

= a2+ab+ac+ba+ b2+ca+cb+bc+ c2

= a2 + b2+ c2+ab+ba+ac+ca+ cb+bc (ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಬರೆದಾಗ)

= a2 + b2+ c2+2ab+2bc+2ca

(a+b+c)2  = a2 + b2+ c2+2ab+2bc+2ca

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 10: 1732 ದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

173 ನ್ನು (100+70+3) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

1732 ನ್ನು (a+b+c)2 ದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಾಗ,

 a=100,b=70 and c=3

1732= 1002+702+32+ 2*100*70 +2*70*3+2*3*100

= 10000+4900+9+14000+420+600

=  29929

 

 

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 11: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ (x2 + y2- z2)2 -(x2 - y2-+z2)2

 

ಪರಿಹಾರ:

(x2 + y2- z2)2  ಇದು (a+b+c)2 ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ a = x2 , b = y2 and c = - z2

= (x2 + y2- z2)2 = (x4 + y4+z4 + 2 x2 y2 - 2 y2 z2-2 z2 x2)

ಇದೇ ರೀತಿ,

 (x2 - y2+z2)2 = (x4 + y4+z4 - 2 x2 y2 - 2 y2 z2+2 z2 x2)

(x2 + y2- z2)2 -(x2 - y2-+z2)2

= (x4 + y4+z4 + 2 x2 y2 - 2 y2 z2-2 z2 x2) -(x4 + y4+z4 - 2 x2 y2 - 2 y2 z2+2 z2 x2)

= (x4 + y4+z4 + 2 x2 y2 - 2 y2 z2-2 z2 x2) -x4 - y4-z4 +2 x2 y2 + 2 y2 z2-2 z2 x2

= 4x2 y2 -4 z2 x2

=4x2 (y2 -z2)

 

 (a+b)3 ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

(a+b)3

= (a+b)*(a+b)*(a+b)

= (a+b)*( a2+ 2ab+b2) ( (a+b)2= a2+ 2ab+b2)

= a*( a2+ 2ab+b2)+b*( a2+ 2ab+b2) (ಮೊದಲನೆ ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದದ ಪ್ರತೀಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಬೀಜಾಕ್ಷರ ಪದದ ಪ್ರತೀಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ)

 

= a3+ 3a2b+ 3ab2+b3 (ಸಜಾತೀಯ ಪದಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ)

= a3+ 3ab(a+b)+b3 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಾಗ)

ವಿ. ಸೂ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಭಾಸ್ಕರನು ಲೀಲಾವತಿಯ 27 ನೇ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ.

 

ಅಭ್ಯಾಸ: (a-b)3= a3-3ab(a-b)-b3  - ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 12: 513 ಇದರ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

51  = 50+1.( ಇದು (a+b)3  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.)

513 = 503+ 3*50*1(50+1)+13  [(a+b)3 = a3+ 3ab(a+b)+b3]

= 125000+7650+1

=132651

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 13: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ: (x+1/x)3

 

ಪರಿಹಾರ:

(x+1/x)3 ಇದು (a+b)3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

(x+1/x)3

 = x3+ 3x*1/x(x+1/x)+(1/x)3

= x3+ 3(x+1/x)+(1/x3)

= x3+ 3x+3/x+1/x3

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 14 :  (9.9)3 ಇದರ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

9.9 = (10-0.1)

= 9.93 ಇದು (a-b)3  ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ a=10 , b=0.1.

(9.9)3= 103-3*10*0.1*(10-0.1)-(0.1)3

= 1000-3*9.9- 0.001

= 1000-29.7-.001

= 970.299

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 15: ವಿಸ್ತರಿಸಿ:  (x/2-y/3)3

 

ಪರಿಹಾರ:

(x/2-y/3)3 ಇದು (a-b)3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.

(x/2-y/3)3

 = (x/2)3- 3(x/2)*(y/3)(x/2-y/3)-(y/3)3

= x3/8 – (xy/2)*(x/2-y/3)-y3/27 (ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿದಾಗ)

 

= x3/8 – x2y/4 +xy2/6-y3/27

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 16: (a+b) (a2+b2-ab) = a3+b3 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

(a+b) (a2+b2-ab)

= a(a2+b2-ab) +b(a2+b2-ab)

= a*a2+a*b2-a*ab + b*a2+b*b2-b*ab

=a3+ab2-a2b + ba2+b3-ab2 (ಸಮಾನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಿದಾಗ)

=a3+b3

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 17: a+b+c = 12 , a2+b2+ c2 =50 ಆದರೆ ab+bc+ca ಯ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ:

(a+b+c)2 = (a2+b2+ c2)+2ab+2bc+2ca

ಮೇಲಿನ ಸಮಿಕರಣದಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,

122= 50+2(ab+bc+ca)

 144-50 = 2(ab+bc+ca)

 ab+bc+ca = 47

 

2.4.3 ಸಮಸ್ಯೆ 18:  x3+y3+ z3 = 3xyz ಮತ್ತು x+y+z=0 ಆದರೆ,

 (x+y)2/xy +(y+z)2/yz+(z+x)2/zx ರ ಬೆಲೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಿರಿ

 

ಪರಿಹಾರ:

ದತ್ತ x+y+z=0

 ಆದ್ದರಿಂದ x+y = -z, y+z = -x and z+x = -y

 (x+y)2/xy +(y+z)2/yz+(z+x)2/zx

= z2/xy+x2/yz+y2/zx

= z3/xyz+x3/xyz+y3/zxy (xyz ನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ ಮಾಡಿದೆ)

= (x3+y3+ z3)/xyz

= 3xyz/xyz

=3

 

2.4 ಕಲಿ  ಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ.

   ಸೂತ್ರ

  ವಿಸ್ತರಣೆ

1

(a+b)(c+d)

ac+ad+bc+bd

2

(x+a)*(x+b)

x2+x(a+b)+ab

3

(a+b)2

a2+b2+2ab

4

(a-b)2

a2+b2-2ab

5

(a+b)(a-b)

a2-b2

6

(a+b+c)2

a2+b2+ c2+2ab+2bc+2ca

7

(a+b)3

a3+b3+3ab(a+b)

8

(a-b)3

a3-b3-3ab(a-b)