2.18 ¨ÉÊfPÀ PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ(Algebraic Surds):

£Á«ÃUÁUÀ¯Éà CzsÁåAiÀÄ 1.7 gÀ°è PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÀ°wzÉÝêÉ. E°è ©ÃdUÀtÂvÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ PÀgÀtÂUÀ¼À §UÉÎ PÀ°AiÀÄ°zÉÝêÉ.

F CzsÁåAiÀÄzÀ°è £ÁªÀÅ G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀĪÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÁzÀ (x, a, b, n.) EªÀÅUÀ¼É¯Áè ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ.

PÀgÀtÂ: EzÀgÀ°è m - PÀgÀtÂPÀæªÀÄ(order) n – PÀgÀtÂÃAiÀÄ(radicand)

ªÁåSÉå: ‘PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ’ CªÀÅUÀ¼À ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀzÀ°è MAzÉà PÀæªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ PÀgÀtÂÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ(Like surds).

¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀzÀ°è PÀgÀtÂAiÀÄ PÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ PÀgÀtÂÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ DVzÀÝgÉ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ‘C¸ÀªÀÄ gÀÆ¥À PÀgÀtÂUÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ’(unlike surds).

GzÁ: PɼÀV£À PÀgÀtÂUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹:

1.

2.

£ÁªÀÅ ªÉÄð£À PÀgÀtÂUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÁgÀ¢zÀÝgÉ, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß C¸ÀªÀÄgÀÆ¥À PÀgÀtÂUÀ¼É£ÀߨÉÃQvÀÄÛ. KPÉAzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À PÀgÀtÂPÀæªÀÄ MAzÉà DVzÀÝgÀÆ, PÀgÀtÂÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ (48, 12). DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ PÀgÀtÂUÀ¼À£ÀÄß ªÀVÃðPÀj¸ÀĪÀ ªÉÆzÀ®Ä CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß CvÀåAvÀ ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀ¨ÉÃPÀÄ. DzÀÝjAzÀ ªÉÄð£À JgÀqÀÆ PÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥ÀPÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ – CªÀÅUÀ¼À PÀgÀt PÀæªÀÄ 2, PÀgÀtÂÃAiÀÄ 3.

3.--à PÀgÀtÂPÀæªÀÄ = 3, PÀgÀtÂÃAiÀÄ=2

4. --à PÀgÀtÂPÀæªÀÄ = 4, PÀgÀtÂÃAiÀÄ =5

F JgÀqÀÄ PÀgÀtÂUÀ¼À°è PÀgÀtÂPÀæªÀÄ/PÀgÀtÂÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉAiÀiÁVªÉ. DzÀÝjAzÀ EªÀÅUÀ¼ÀÄ C¸ÀªÀÄgÀÆ¥ÀPÀgÀtÂUÀ¼ÀÄ.

PɼÀV£À QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹:-

1. 5a+3a =(5+3)a =8a

2. 7a-2a =(7-2)a= 5a

£ÁªÀÅ PÀgÀtÂUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀ£ÀÄß »ÃUÉAiÉÄà ªÀiÁqÀÄvÉÛêÉ.

1. ¸Àį¨sÀ gÀÆ¥ÀzÀ°ègÀĪÀ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À PÀgÀtÂUÀ¼À ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAPÀ®£À CxÀªÁ ªÀåªÀPÀ®£À ªÀiÁr, PÀgÀtÂUÀ¼À ªÉÆvÀÛ CxÀªÁ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

2.18 ¸ÀªÀĸÉå1: ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ß:

¥ÀjºÁgÀ:

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 2. ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ß:

¥ÀjºÁgÀ:

=== 2x ^(1+1/2)

= 2x^3/2

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 3. AiÀÄ£ÀÄß ¬ÄAzÀ PÀ¼É¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

() –()

=

=

UÀªÀĤ¹:-

2. (ab) ⁿ= aⁿ *bⁿ ¤AiÀĪÀÄzÀAvÉAiÉÄÃ, ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß C£ÀĸÀj¹zÉÝêÉ.

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 4. £ÀÄß jAzÀ UÀÄt¹.

¥ÀjºÁgÀ:

=5^1/2= 5^2/4= (5²)^1/4= (25)^1/4

=(25)^1/4* 3^1/4= 75^1/4=

£Á«°è K£ÀÄ ªÀiÁrzÉÝêÉ?

PÀgÀtÂUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÁUÀ C£ÀĸÀj¸ÀĪÀ ºÀAvÀUÀ¼ÀÄ:-

ºÀAvÀ1 : PÀgÀtÂAiÀÄ£ÀÄß WÁvÁA±À gÀÆ¥ÀzÀ°è §gɬÄj.

ºÀAvÀ 2 : PÀgÀtÂPÀæªÀÄUÀ¼À ®.¸Á.C PÀAqÀÄ»r¬Äj.

ºÀAvÀ 3 : PÀgÀtÂUÀ¼À£ÀÄß MAzÉà PÀgÀtÂPÀæªÀÄ(ºÀAvÀ 2 gÀAvÉ) §gÀĪÀAvÉ ¥ÀjªÀwð¹

ºÀAvÀ 4 : ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀߣÀĸÀj¹, PÀgÀtÂÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¹.

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 5. £ÀÄß jAzÀ UÀÄt¹.

¥ÀjºÁgÀ:

¸ÀA.	ºÀAvÀ	«ªÀgÀuÉ
1	= 3^1/3, =2^1/4	PÀgÀtÂAiÀÄ£ÀÄß WÁvÁA±À gÀÆ¥ÀzÀ°è §gɬÄj.
2	PÀgÀtÂUÀ¼À°è PÀgÀtÂPÀæªÀÄUÀ¼ÀÄ 3 ªÀÄvÀÄÛ 4. EªÀÅUÀ¼À ®.¸Á.C = 12	PÀgÀtÂPÀæªÀÄUÀ¼À ®.¸Á.C PÀAqÀÄ»r¬Äj.
3	= 3^1/3= 3^4/12 = (3^4)^1/12= (81)^1/12	PÀgÀtÂUÀ¼À WÁvÁA±ÀªÀ£ÀÄß (1/12) §zÀ¯Á¬Ä¹
4	=2^1/4 = 2^3/12=2^3/12 = (2^3)^1/12= (8)^1/12	PÀgÀtÂUÀ¼À WÁvÁA±ÀªÀ£ÀÄß (1/12)§zÀ¯Á¬Ä¹
5	() *( ) =

EzÀÄ MAzÀÄ C¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå. F £Àß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ?

£ÀÄß jAzÀ UÀÄt¸ÀĪÁ.

* = = 5. 5 MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

ªÁåSÉå:

MAzÀÄ PÀgÀtÂAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀgÀt¬ÄAzÀ UÀÄt¹, ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ QæAiÉÄUÉ PÀgÀtÂUÀ¼À‘CPÀgÀtÂÃPÀgÀt’(Rationalisation) JAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ.

DUÀ D PÀgÀtÂAiÀÄÄ PÉÆnÖgÀĪÀ PÀgÀtÂUÉ ’CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ’(rationalizing factor )(RF) DVgÀÄvÀÛzÉ.

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è JA§ÄzÀÄ gÀ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ.

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 6: EzÀgÀ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

¥ÀjºÁgÀ:

zÀvÀÛ ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ°è ªÀiÁvÀæ C¨sÁUÀ®§Þ ¨sÁUÀ. 6 JA§ÄzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄVÃUÀ ¨ÉÃPÁVgÀĪÀÅzÀÄ AiÀÄ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ

AiÀÄ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ: KPÉAzÀgÉ,

(1/3+2/3 = 3/3)

* = = (a-b)

FUÀ, AiÀÄ£ÀÄß ¬ÄAzÀ UÀÄt¹.

¥sÀ°vÁA±À:- 6(a-b)^1/3*((a-b)²)^1/3

= 6(a-b)^1/3*(a-b)^2/3

= 6(a-b)^(1+2)/3 = 6(a-b) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

ªÁåSÉå: JgÀqÀÄ PÀgÀtÂUÀ¼À CxÀªÁ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå, ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀgÀt – EªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ (CxÀªÁ ªÀåvÁå¸À)ªÀ£ÀÄß ¢é¥ÀzÀ PÀgÀtÂ(binomial surd) J£ÀÄߪÀgÀÄ.

GzÁ: , ,

MAzÀÄ ¢é¥ÀzÀ PÀgÀtÂAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¢é¥ÀzÀ PÀgÀt¬ÄAzÀ UÀÄt¹zÁUÀ, ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå §AzÀgÉ. MAzÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀgÀ ¸ÀAAiÀÄÄVä(CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ)(Conjugate) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

¢é¥ÀzÀ PÀgÀtÂ*¸ÀAAiÀÄÄVä=¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 7 : AiÀÄ ¸ÀAAiÀÄÄVäAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

= 2()

FUÀ, (a+b) (a-b) = a²-b² ¸ÀÆvÀæ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ AiÀÄÄ zÀvÀÛ PÀgÀtÂAiÀÄ ¸ÀAAiÀÄÄVäAiÀiÁV vÉÆÃgÀÄvÀÛzÉ.

*

= 2()*()

= 2{()²-()²}

= 2{2²*()²-()^2`}

= 2(4x-y) =8x-2y - EzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

PÀgÀtÂAiÀÄÄ ©ü£ÀßgÁ²gÀÆ¥ÀzÀ°èzÁÝUÀ, bÉÃzÀªÀ£ÀÄß CPÀgÀtÂPÀgÀtUÉƽ¸À®Ä £ÁªÀÅ PɼÀV£À ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß C£ÀĸÀj¸ÀÄvÉÛêÉ:

1) bÉÃzÀzÀ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ.

2) bÉÃzÀzÀ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀªÀ£ÀÄß zÀvÀÛ PÀgÀtÂAiÀÄ CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀPÀÆÌ UÀÄt¸À¨ÉÃPÀÄ.

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 8: bÉÃzÀªÀ£ÀÄß CPÀgÀtÂÃPÀj¹ ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ß: 2/()

¥ÀjºÁgÀ:

()*() =(x-y) ( (a-b)(a+b) = a²-b² ªÀÄvÀÄÛ a = b =)

EzÀÄ bÉÃzÀzÀ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ(¸ÀAAiÀÄÄVä).EzÀjAzÀ CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀPÀÆÌ UÀÄt¸ÀĪÁ.

2/()

={2/()}*{()/()}

=2 ()/(x-y)

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 9: bÉÃzÀªÀ£ÀÄß CPÀgÀtÂÃPÀj¹ ¸ÀÄ®¨sÀgÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ß: ()/()

¥ÀjºÁgÀ:

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄAvÉAiÉÄà gÀ CPÀgÀtÂPÁgÀPÀ

()/()

= {()/()}*{()/()}

= ()*()/(9*2-5) (()²=9*2 and ()²=5)

= ()/13

=()/13

= ()/13

2.18 ¸ÀªÀĸÉå 10 : bÉÃzÀªÀ£ÀÄß CPÀgÀtÂÃPÀj¹ ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ß: 7/ () - / ()

¥ÀjºÁgÀ:

E°ègÀĪÀ JgÀqÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV CPÀgÀtÂÃPÀj¸ÀĪÁ.

1. ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀzÀ CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀªÀ£ÀÄß gÀ ¸ÀAAiÀÄÄVäAiÀiÁzÀ jAzÀ UÀÄt¹:

()*() = 10-3 =7

7/ () = 7*()/(()*())

= 7()/7 (* = 3)

= 3+

2. FUÀ JgÀqÀ£Éà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß CPÀgÀtÂÃPÀj¸ÀĪÁ. CA±À ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀUÀ¼ÉgÀqÀ£ÀÄß gÀ ¸ÀAAiÀÄÄVäAiÀiÁzÀ jAzÀ UÀÄt¹

/ ()

=*()/(6-2)

=/4

= /2

7/ () - / ()

= (3+) - /2

= (6+ 2 -+)/2

= (6++)/2

2.18 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀASÉå	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1
2	MAzÀÄ PÀgÀtÂAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀgÀt¬ÄAzÀ UÀÄt¹ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ QæAiÉÄUÉ PÀgÀtÂUÀ¼À CPÀgÀtÂÃPÀgÀt J£ÀÄߪÀgÀÄ.