2.10 §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ¼À ¨sÁUÁPÁgÀ(Division of Polynomials)

AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÀASÉåUÉ: ¨sÁdå = (¨sÁUÀ®§Þ*¨sÁdPÀ) + ±ÉõÀ.

F ªÉÄð£À ¸ÀA§AzsÀ §ºÀÄ¥ÀzÀUÀ½UÀÆ C£Àé¬Ä¸ÀÄvÀÛzÉ.

2.10.1 KPÀ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¸ÀĪÀÅzÀÄ(Division of Monomial by monomial)

2.10.1 ¸ÀªÀĸÉå1: 12m³ n⁵£ÀÄß 4 m² n ¤AzÀ ¨sÁV¹.

¥ÀjºÁgÀ:

ºÀAvÀ1: 12m³ n⁵ / 4 m² n = (12/4)* (m³ n⁵ /m² n)

ºÀAvÀ 2:

12/4 = 3,

ºÀAvÀ 3:

m³ n⁵/ m² n = m^3-2 n^{5-1 =} m n⁴

12m³ n⁵ /4 m² n = 3 m n⁴

vÁ¼É:

(¨sÁUÀ®§Þ*¨sÁdPÀ) + ±ÉõÀ = 4 m² n*3 m n⁴ +0 =12 m²⁺¹ n¹⁺⁴ =12m³ n⁵ - ¨sÁdå

2.10.1 ¸ÀªÀĸÉå 2 : 57x²y²z² £ÀÄß 19xyz ¤AzÀ ¨sÁV¹.

ºÀAvÀ 1 :

57x²y²z² /19xyz = (57/19) * (x²y²z²)/xyz

ºÀAvÀ 2:

57/19 =3

ºÀAvÀ 3:

x²y²z²/xyz = x^2-1y^2-1z^2-1 = xyz

57x²y²z² /19xyz = (57/19) * (x²y²z²)/xyz =3xyz

vÁ¼É:

(¨sÁdPÀ*¨sÁUÀ®§Þ) + ±ÉõÀ = (3xyz * 19xyz) +0 = (3*19)*xyz*xyz +0= 57x¹⁺¹y¹⁺¹z¹⁺¹+0=57x²y²z² - ¨sÁdå

F ªÉÄð£À ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ°è UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ:

3 J£ÀÄߪÀÅzÀÄ 57/19 CAzÀgÉ KPÀ ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À ¨sÁUÀ®§Þ.

CzÉÃjÃw xyz JA§ÄzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À ¨sÁUÀ®§Þ.

KPÀ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¸ÀĪÁUÀ C£ÀĸÀj¸ÀĪÀ ºÀAvÀUÀ¼ÀÄ(Steps to divide a monomial by monomial):

¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ - ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ªÀÄvÀÄÛ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ. EzÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ?

1. JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ¸ÀºÀUÀÄtPÀªÀÅ D JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À ¨sÁUÀ®§ÞPÉÌ ¸ÀªÀÄ.

2. JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ZÀgÁPÀëgÀ ¨sÁUÀªÀÅ D JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À ¨sÁUÀ®§ÞªÉà DVgÀÄvÀÛzÉ.

2.10.2 §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¸ÀĪÀÅzÀÄ(Division of a Polynomial by a Monomial):

2.10.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: 402³m²n²-603²m²n -804²m³ n⁴ F ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß (-201²m²)¢AzÀ ¨sÁV¹.

¥ÀjºÁgÀ:

402³= (2x201)³= (2)³x(201)³, 603² = (3x201)² = (3)²x(201)², 804² = (4x201)² = (4)²x(201)²

[402³m²n²-603²m²n -804²m³ n⁴]/(-201²m²)

=[(2)³*(201)³ m²n²-(3)²*(201)² m²n -(4)²*(201)²m³ n⁴]/(-201²m²)

= -[ (2)³*(201) n²-(3)²* n -(4)²*m¹ n⁴] = - (8*201* n²-9n -16mn⁴)

vÁ¼É:

¨sÁdPÀ^* ¨sÁUÀ®§Þ + ±ÉõÀ = (-201²m²)*[-(8*201* n²+9n +16mn⁴)]+0

= +(201²m²)*(8*201* n² -201²m²*9n -201²m²*16mn⁴) +0

= 8*201³m² n² -9*201²m²⁺²n-16*201²m²⁺¹n⁴)

= 2³* 201³m² n² - 3² *201²m⁴n-4²*201² m³ n⁴

= (2*201)³m²n²-(3*201)² m²n –(4*201)² m³ n⁴

= 402³ m²n² - 603² m²n - 804² m³ n⁴

= ¨sÁdå.

2.10.2 ¸ÀªÀĸÉå 2 : 2a⁴ b³+ 8a² b² ªÀ£ÀÄß 2ab ¬ÄAzÀ ¨sÁV¹.

¥ÀjºÁgÀ:

(2a⁴ b³+ 8a² b²)/2ab = (2a⁴ b³/2ab) + (8a² b² / 2ab) = a³ b² +4a b

vÁ¼É:

¨sÁdPÀ^*¨sÁUÀ®§Þ + ±ÉõÀ = 2ab*(a³ b² +4a b) +0= 2a⁴ b³+ 8a² b² = ¨sÁdå

§ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¸ÀĪÁUÀ C£ÀĸÀj¸ÀĪÀ ºÀAvÀUÀ¼ÀÄ:

1. §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ ¥Àæwà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¹.

2. F jÃw ¥ÀqÉzÀ ¨sÁUÀ®§ÞUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ ¸ÉÃj¹.(¸ÀÆPÀÛ aºÉ߬ÄAzÀ).

2.10.3 §ºÀÄ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ¢é¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¸ÀĪÀÅzÀÄ(Division of a Polynomial by a Binomial) (Long division method):

2.10.3 ¸ÀªÀĸÉå 1: ªÉÆvÀÛ ªÉÆzÀ°UÉ 7+x³-6x (wæ¥ÀzÀ)ªÀ£Àß MAzÀÄ ¢é¥ÀzÀ x+1jAzÀ ¨sÁV¸ÀĪÁ.

¥ÀjºÁgÀ:

¨sÁdåªÀÅ 3£Éà WÁvÀzÀ ©ÃeÉÆÃQÛ, ¨sÁdPÀªÀÅ 1£Éà WÁvÀzÀ ¢é¥ÀzÀ.

ºÀAvÀ	«zsÁ£À
1	¨sÁdå ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁdPÀUÀ¼À£ÀÄß CªÀÅUÀ¼À WÁvÀ ¸ÀÆaAiÀÄ E½PÉAiÀÄ PÀæªÀÄzÀ°è §gɬÄj.
2	AiÀiÁªÀÅzÉà WÁvÀzÀ ©Ãd ¥ÀzÀ E®è¢zÀÝgÉ ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ‘0’ ºÁQ, §gɬÄj x^3 -6x+7 £ÀÄß (x^3 +0x^2-6x+7) JAzÀÄ §gɬÄj.
3	¨sÁdåzÀ ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ¨sÁdPÀzÀ ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¹ ( x^3/x = x^2). DzÀÝjAzÀ x^2 ªÀÅ ¨sÁUÀ®§Þ ªÉÆzÀ®£Éà ¥ÀzÀ EzÀ£ÀÄß ªÉÄîÄÛ¢AiÀÄ°è §gɬÄj.
4	¨sÁdPÀªÀ£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ ªÉÆzÀ® ¥ÀzÀ (x^2) jAzÀ UÀÄt¹, ¨sÁdåzÀ PɼÀUÉ §gɬÄj(=x^3+ x^2)
5	ºÀAvÀ 4gÀ°è §AzÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¨sÁdå¢AzÀ PÀ¼É¬Äj.( x^3 +0x^2 ) – (x^3+ x^2) = - x^2
6	¨sÁdåzÀ ªÀÄÄA¢£À ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ,(=-6x) ºÀAvÀ 5gÀ GvÀÛgÀzÀ ªÀÄÄAzÉ §gɬÄj. DUÀ -x^2 – 6x. EzÀÄ ºÉƸÀ ¨sÁdå,
7	ºÀAvÀ 3 jAzÀ 6 gÀªÀgÉV£ÀzÀÝ£ÀÄß ¥ÀÅ£ÀgÁªÀwð¹, ¨sÁUÁPÁgÀªÀ£ÀÄß ªÀÄÄAzÀĪÀj¹.
8	±ÉõÀzÀ WÁvÀ ¸ÀÆaAiÀÄÄ ¨sÁdPÀzÀ WÁvÀ ¸ÀÆaVAvÀ PÀrªÉÄAiÀiÁzÁUÀ ¨sÁUÁPÁgÀ QæAiÉÄ ¤°è¹.

vÁ¼É:

¨sÁdPÀ^*¨sÁUÀ®§Þ + ±ÉõÀ = (x+1)* (x²-x-5)+12

= x*(x²-x-5) +1*(x²-x-5)+12

= (x³-x²-5x)+ (x²-x-5)+12 = x³-x²+ x²-5x-x -5+12

= x³-0x²-6x +7

= x³-6x +7 – EzÀÄ zÀvÀÛ ¨sÁdå.

2.10.3 ¸ÀªÀĸÉå 2: x⁵ -9x² +12x-14 ¢AzÀ x -3 ¨sÁV¹.

¥ÀjºÁgÀ:

¨sÁdåªÀÅ WÁvÁA±ÀzÀ E½PÉAiÀÄ PÀæªÀÄzÀ°èAiÉÄà EzÉ. DzÀgÉ §ºÀÄ¥ÀzÀzÀ°è E®èzÀ x£À WÁvÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÆ£Éß ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ¸ÉÃj¹ §gÉAiÀĨÉÃPÀÄ.

¨sÁdå: x⁵ +0x⁴ +0x³-9x² +12x-14.

¨sÁdPÀªÀÅ WÁvÁAPÀzÀ E½PÉAiÀÄ PÀæªÀÄzÀ°èAiÉÄà EzÉ.

- | x⁵ -3x⁴

- |3x⁴ +0x³

- |3x⁴ -9x³

- |9x³ -9x²

- |9x³ -27x²

- |18x²+12x

- |18x² -54x

-|66x-14

-|66x-198

184

vÁ¼É:

¨sÁUÀ®§ÞªÀ£ÀÄß ¨sÁdå¢AzÀ UÀÄt¹, ±ÉõÀªÀ£ÀÄß PÀÆr¹ vÁ¼É £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ vÀÄA¨Á zÉÆqÀØ¢gÀĪÀÅzÀjAzÀ, vÁ¼É £ÉÆÃqÀ®Ä ¨ÉÃgÉ «zsÁ£À §¼À¸ÀĪÁ.

x=2 DzÁUÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÀĪÁ.

x=2 DzÁUÀ,

¨sÁdå =x⁵ -9x² +12x-14 = 2⁵ -9*2² +12*2-14

= 32-36+24-14

= 6

¨sÁdPÀ = x-3 =2-3 = -1

¨sÁUÀ®§Þ =

= 2⁴ +3*2³ +9*2²+18*2+66

= 16+24+36+66=178

FUÀ,

¨sÁUÀ®§Þ^* ¨sÁdPÀ+±ÉõÀ = 178*-1+184

= -178+184

= 6 - ¨sÁdå

2.10.3 ¸ÀªÀĸÉå 3: (6p³ -19p² -8p) AiÀÄ£ÀÄß (p² -4p+2)jAzÀ ¨sÁV¹.

¥ÀjºÁgÀ:

6p+5

p² -4p+2

( -) |6p³ -24p² +12p --à ---- (1) {= 6p*(p² -4p+2)}

(=) |+5 p² -20p --à -----(2) {¸À«ÄÃPÀgÀt (1) £ÀÄß ¨sÁdå¢AzÀ PÀ¼É¬Äj}

( -) | 5p² - 20p+10 --à -----(3) {= 5*(p² -4p+2)}

(=) -10 --à ±ÉõÀ {¸À«ÄÃPÀgÀt (3) jAzÀ (2)£ÀÄß PÀ¼É¬Äj.

vÁ¼É:

¨sÁUÀ®§Þ*¨sÁdPÀ= (6p+5)* (p² -4p+2)

= 6p* p² +6p*-4p+6p*2+5* p²+5*-4p+5*2

= 6p³ -24p²+12p+5p²-20p+10

= 6p³ -19p²-8p+10

¨sÁUÀ®§Þ*¨sÁdPÀ + ±ÉõÀ = (6p³ -19p²-8p+10)-10

= 6p³ -19p²-8p - zÀvÀÛ ¨sÁdå

2.10.3 ¸ÀªÀĸÉå 4: a⁵ +b⁵ £ÀÄß (a+b) ¬ÄAzÀ ¨sÁV¹.

¥ÀjºÁgÀ:

a+b

(-) |a⁵+ a⁴b

(=) - a⁴b+0

(-) |a⁴b-a³b²

(=) a³b²+0

(-) | a³b²+ a²b³

(=) - a²b³+0

(-) |-a²b³-ab⁴

(=) ab⁴ + b⁵

(-) |ab⁴ + b⁵

(=) 0

C¨sÁå¸À: ¨sÁdPÀ^*¨sÁUÀ®§Þ+±ÉõÀ = ¨sÁdå DUÀĪÀÅzÉÆà JAzÀÄ £ÉÆÃr.

2.10 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

PÀæ.¸ÀA.	ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	KPÀ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ¢AzÀ ¨sÁV¸ÀĪÀÅzÀÄ.