2.15 ¨ÉÊfPÀ ¸ÀAgÀZÀ£É (Algebraic Structure):

 

£Á«ÃUÁUÀ¯Éà ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À, UÀÄuÁPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÁPÁgÀ QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁrzÉÝêÉ. F QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß UÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ.

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß DzsÀj¹, E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉ? ºËzÀÄ, PÉ®ªÀÅ QæAiÉÄUÀ½ªÉ:-

 

1. JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß 2jAzÀ ¨sÁV¸ÀĪÀÅzÀÄ: {(a+b)/2} – ¸ÀgÁ¸Àj

2. MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ WÁvÀPÉÌ Kj¸ÀĪÀÅzÀÄ.

 

¸ÀASÉåUÀ¼À ®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄĪÁUÀ G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀĪÀ PÉ®ªÀÅ ¸ÀAPÉÃvÀUÀ¼ÀÄ:-

 

 

CxÀð

¸ÀAPÉÃvÀ

¸ÉÃjzÉ

¸ÉÃj®è

J¯Áè(¥ÀæwAiÉÆAzÀÆ)

C¹ÛvÀé«zÉ

»ÃUÁUÀĪÀAvÉ

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt N = {1,2,3,4 …} =  { n: n  ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ}

¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀt W = {0,1,2,3,….} = {n: n =0, ªÀÄvÀÄÛ  n{N}}

 

2.15 GzÁºÀgÀuÉ 1:

 

S = {2, 4, 8, 16….} = { 2 gÀ WÁvÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2} = {2m ;E°è m JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå ºÁUÀÆ m >1}

FUÀ £ÁªÀÅ F UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À°è ¸ÀAPÀ®£À, UÀÄuÁPÁgÀ, WÁvÀ QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁqÀĪÁ. F PɼÀV£À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¸ÀÄvÉÛêÉ.

1.  S UÀtzÀ°ègÀĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹zÁUÀ D ªÉÆvÀÛªÀÅ S UÀtzÀ°è®è. (GzÁ; 6(=2+4),10(=2+8),12(=4+8) EªÉ®è S UÀtzÀ°è®è.)

2.  S £À°ègÀĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà 2 ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀÇ PÀÆqÁ S UÀtzÀ UÀuÁA±ÀªÉà DVzÉ. KPÉ?

( 2m ªÀÄvÀÄÛ 2n EªÉgÀqÀÄ S £À°ègÀĪÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼ÁzÀgÉ UÀÄt®§Þ (2m )*(2n) = 2m+n EzÀÄ S UÀtzÀ MAzÀÄ UÀuÁA±ÀªÉà DVzÉ.)

3.  2 gÀ AiÀiÁªÀÅzÉà WÁvÀzÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ S UÀtzÀ UÀuÁA±ÀªÉà DVzÉ. KPÉ?

(2m ªÀÄvÀÄÛ 2n EªÀÅ S UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, 2mz  [=(2m )z E°è z =2n  EzÀÆ PÀÆqÁ S UÀtzÀ UÀuÁA±ÀªÉà DVgÀÄvÀÛzÉ.)

 

¥sÀ°vÁA±À:

S UÀtzÀ°ègÀĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà UÀuÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À¢AzÀ §gÀĪÀ ªÉÆvÀÛªÀÅ S UÀtzÀ°è®è. DzÀgÉ S UÀtzÀ UÀuÁA±ÀUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ªÀiÁrzÀ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ WÁvÁAPÀ QæAiÉÄUÀ¼À S UÀtzÀ°è DªÀÈvÀ QæAiÉÄUÀ¼ÁVªÉ.

 

 

ªÁåSÉå:

 

1. a, b  A DzÁUÀ, a, b  UÀ¼À ªÉÄÃ¯É ªÀiÁrzÀ QæAiÉÄAiÀÄ ¥sÀ°vÁA±À A DzÀgÉ, A AiÀÄÄ D QæAiÉÄUÉ ¸ÀA§AzsÀ¥ÀlÖAvÉ DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢zÉ J£ÀÄßvÉÛêÉ.

2. a, b  A DzÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ c = (a QæAiÉÄ b)A DzÀgÉ D QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄ (Binary operation) J£ÀÄßvÉÛêÉ. gÀÆrüAiÀÄ°è F QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ‘’ ¢AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ

a QæAiÉÄ b AiÀÄ£ÀÄß NzÀĪÀ PÀæªÀÄ  a ¸ÁÖgï(£ÀPÀëvÀæ) b.

 

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è S UÀtªÀÅ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢®è. DzÀÝjAzÀ ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ S UÀtzÀ°è MAzÀÄ QæAiÉÄ C®è.

DzÀgÉ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ WÁvÀ QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ DªÀÈvÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß vÀÈ¦Û ¥Àr¸ÀÄvÀÛªÉ. DzÀÝjAzÀ F JgÀqÀÄ QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ S UÀtzÀ°è QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ.

 

GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ:

 

¸ÀA..

UÀt

QæAiÉÄ: £ÀPÀëvÀæ()

CªÀ¯ÉÆÃPÀ£À

¥sÀ°vÁA±À

PÁgÀt

1

N = {1,2,3; ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ}

ªÉÆvÀÛ

,a,b N, a+b N

N UÀtªÀÅ + QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

2 ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå.

2

N = {1,2,3; ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ }

UÀÄt®§Þ

,a,b N, a* b N

N UÀtªÀÅ * QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢zÉ.

2  ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§Þ MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÉÄà DVzÉ.

3

A = {1,3,5: ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ }

ªÉÆvÀÛ

,a,b N, a+b N

A AiÀÄÄ  + QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢®è.

2 ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ ¨É¸À ¸ÀASÉå C®è

(CzÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉå)

4

B = {1,3,5: ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ }

UÀÄt®§Þ

,a,b N, a*b N

B AiÀÄÄ * QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢zÉ.

2 ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀÅ ¨É¸À ¸ÀASÉå DVzÉ.

5

Z =(0,-1,1,2,-2:  ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ)

¸ÀgÁ¸Àj

,a,b Z, ab=(a+b)/2 Z

Z UÀtªÀÅ ‘¸ÀgÁ¸Àj’ QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢®è.

0  1 = (0+1)/2 EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀªÀ®è.

6

Q = (p/q, E°è p,q Z, q 0

 

¨sÁUÁPÁgÀ

,a,b Q, a/b Q

Note : 0  Q

Q UÀtªÀÅ / QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢®è.

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß 0 ¬ÄAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ C¹ÛvÀézÀ°è®è.

0 Q DzÀgÀÆ 1/0 Q)

 

DªÀÈvÀ UÀÄtPÀÆÌ ¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄUÀÆ EgÀĪÀ ¸ÀA§AzsÀ(Relationship between Closure property and Binary operation):

 

AiÀiÁªÀÅzÉà UÀtªÀÅ MAzÀÄ QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß vÀÈ¦Û ¥Àr¹zÀgÉ. D QæAiÉÄAiÀÄÄ MAzÀÄ ¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄ. «¯ÉÆêÀĪÁV, MAzÀÄ UÀtzÀ°è MAzÀÄ QæAiÉÄAiÀÄÄ ¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄAiÀiÁVzÀÝgÉ, D UÀtªÀÅ D QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

 

ªÁåSÉå:

MAzÀÄ ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ UÀtªÀÅ MAzÀÄ ¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¨ÉÊfPÀ ¸ÀAgÀZÀ£É (algebraic structure) JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. CzÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV (S,*) ¸ÀAPÉÃvÀ¢AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ.

 

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è (N,+),(N,*),(B,*) EªÉ®èªÀÇ ¨ÉÊfPÀ ¸ÀAgÀZÀ£ÉUÀ¼ÀÄ (A,+),(Z, ¸ÀgÁ¸Àj), (Q,/) EªÀÅ ¨ÉÊfPÀ ¸ÀAgÀZÀ£ÉUÀ¼À®è.

 

2.15 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

¸ÀA.

£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ

1

a, b  A DVzÀÄÝ QæAiÉÄAiÀÄ ¥sÀ°vÁA±À a, b ADVzÀÝgÉ, A AiÀÄÄ D QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀÄt ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.

2

AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ UÀtªÀÅ MAzÀÄ QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀtªÀ£ÀÄß vÀÈ¦Û ¥Àr¹zÀgÉ, DUÀ D QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ‘¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄ’ J£ÀÄßvÉÛêÉ. AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ UÀtzÀ°è MAzÀÄ QæAiÉÄAiÀÄÄ ¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄAiÀiÁVzÀÝgÉ D UÀtªÀÅ D QæAiÉÄAiÀÄ°è DªÀÈvÀ UÀtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

3

±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ MAzÀÄ UÀt S MAzÀÄ ¢éªÀiÁ£À QæAiÉÄAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀ£ÀÄß ¨ÉÊfPÀ ¸ÀAgÀZÀ£É J£ÀÄßvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ CzÀ£Àß (S,*) ¸ÀAPÉÃvÀ¢AzÀ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.