2.4 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ (Multiplication of algebraic expressions):

 

¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ ªÀåªÀPÀ®£ÀUÀ¼À°è, ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ªÀÄvÀÄÛ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À°è C£ÀĸÀj¸ÀĪÀ  ¤AiÀĪÀÄUÀ¼À£Éßà ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ®Æè G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÉÛêÉ. (¥ÀjªÀvÀð£À ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀªÀvÀð£À ¤AiÀĪÀÄUÀ¼ÀÄ)

 

1. JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄt®§Þ ¸ÀASÁå¸ÀºÀUÀÄtPÀªÀÅ ,D JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁUÀÄvÀÛzÉ(6a*5 = (6*5)*a = 30a).

2. JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄt®§Þ ZÀgÁPÀëgÀzÀ ¨sÁUÀªÀÅ ,D KPÀ ¥ÀzÀUÀ¼À CªÀåPÀÛ ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVgÀÄvÀÛzÉ(6a*5b = (6*5)*a*b = 30a*b = 30ab).

 

2.4 ¸ÀªÀĸÉå1: ¸ÀAPÉëæ¹: (1/10)*(x5y2) *10x3y

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(1/10)*(x5y2) * 10x3y

=(1/10)*10 *(x5y2) *x3y ( ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ªÀÄvÀÄÛ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ §gÉzÁUÀ)

= 1*(x5 *x3) * y2y

= (x5+3 ) * y2+1

= x8 y3

 

2.4  ¸ÀªÀĸÉå 2: -3x2y, 4xy2z  ªÀÄvÀÄÛ (5/4)z UÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

ªÉÆzÀ®Ä ªÉÆzÀ®£Éà JgÀqÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÁ:

-3x2y* 4xy2z

= (-3*4) (x2*x) (y*y2)z     ( ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ªÀÄvÀÄÛ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ §gÉzÁUÀ)

= -12 x3 y3z            (WÁvÁAPÀUÀ¼À ªÉÆzÀ®£Éà ¤AiÀĪÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ)

FUÀ J¯Áè ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÁ:

 (-3x2y* 4xy2z) * (5/4)z

= -12 x3 y3z* (5/4)z

= (-12)*(5/4) x3 y3z*z

= -15 x3 y3 z2

 

2.4.1 KPÀ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ¢é¥ÀzÀ¢AzÀ UÀÄt¸ÀĪÀÅzÀÄ (Multiplication of monomial by a binomial)

 

24 = 2*12 = 2*(8+4) = 2*8+2*4 = 16+8: EzÉÃjÃw.

a*(b +c) = a*b + a*c = ab+ac ( «¨sÁdPÀ ¤AiÀĪÀÄ)

1. MAzÀÄ KPÀ¥ÀzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¢é¥ÀzÀ - EªÉgÀqÀ£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÁUÀ, ¢é¥ÀzÀzÀ ¥Àæwà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÀ¢AzÀ UÀÄt¹, ¸ÀAPÉëæ¸À¨ÉÃPÀÄ.

 

2.4.1 ¸ÀªÀĸÉå1: (-11p2q-q2) ªÀ£ÀÄß (-2pq) ¢AzÀ UÀÄt¹.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

-2pq *(-11p2q-q2)

= (-11p2q)* (-2pq) -(q2)* (-2pq) (¥ÀæwÃ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß -11p2q-q2 ¢AzÀ UÀÄt¹zÁUÀ)

= (-11)*(-2)p2*p*q*q  -(1*-2)*p*q2* q

= 22p3q2+2pq3

 

2.4.2  JgÀqÀÄ ¢é¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ (Multiplication of two binomials)

 

FUÀ £ÁªÀÅ 12 £Àß 8 jAzÀ UÀÄt¸ÀĪÁ 12*8 = 96

EzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¨ÉÃgÉ PÀæªÀÄzÀ°è ªÀiÁqÀĪÁ 12 = 8+4 and 8= 6+2

 12*8

= (8+4)*(6+2)

= 8*(6+2) + 4*(6+2)

= (8*6+8*2)+ (4*6 +4*2)

= 48+16+24+8 = 96

EzÉÃjÃw

(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd

 

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ, JgÀqÀÄ ¢é¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄt¸ÀĪÁUÀ MAzÀÄ ¢é¥ÀzÀzÀ ¥ÀæwÃAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀ¢AzÀ®Æè 2£Éà ¢é¥ÀzÀzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀÄt¹, ¸ÀAPÉëæ¸À¨ÉÃPÀÄ.¥ÀæwÃ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ®Æè £ÁªÀÅ EzÉà PÀæªÀĪÀ£ÀÄß C£ÀĸÀj¸ÀÄvÉÛêÉ.

 

 

2.4.2 ¸ÀªÀĸÉå1: 2x2-3x +1 £Àß (x-3) jAzÀ UÀÄt¹.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(x-3)* (2x2-3x +1)

= x*(2x2-3x +1) -3*(2x2-3x +1) (ªÉÆzÀ®£É ¢é¥ÀzÀzÀ ¥Àæwà ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß 2£Éà wæ¥ÀzÀzÀ ¥Àæw ¥ÀzÀ¢AzÀ UÀÄt¹zÁUÀ)

= (2x2*x-3x*x +1*x)+( -3*2x2-3*-3x -3*1) (¸ÀAPÉëæ¹zÁUÀ)

= (2x3-3x2+x) + (- 6 x2+9x-3)

=2x3 -3x2- 6 x2+x +9x -3 (¸ÀeÁwAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ §gÉzÁUÀ)

=2x3 -9x2+10x -3

 

2.4.3 ¤vÀå ¸À«ÄPÀgÀtUÀ¼ÀÄ (Identities and formulae):

 

ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À J¯Áè ¨É¯ÉUÀ½UÉ ªÁ¸ÀÛªÀªÁVgÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¤vÀå ¸À«ÄPÀgÀtUÀ¼É£ÀÄߪÀgÀÄ. FUÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÁzÀ a,b,c CxÀªÁ x UÀ¼À J¯Áè ¨É¯ÉUÀ½UÉ ªÁ¸ÀÛªÀªÁVgÀĪÀ PÉ®ªÀÅ ¤vÀå¸À«ÄPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÀĪÁ:

 

PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ PÀ°wzÉÝêÉ.

 (a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d)

= ac+ad+bc+bd       ------------------->(1)

 

ªÉÄð£À ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è a AiÀÄ£ÀÄß x , c AiÀÄ£ÀÄß x, b AiÀÄ£ÀÄß a ªÀÄvÀÄÛ d AiÀÄ£ÀÄß b ¢AzÀ §zÀ¯Á¬Ä¹zÁUÀ

 (x+a)*(x+b)

= x*x+ xb+ax+ab

= x2+xa+xb+ab

= x2+x(a+b)+ab

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå1 : 102*106 UÀÄt®§ÞªÉãÀÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

 102 = 100+2

 106 = 100+6

102*106

= (100+2)*(100+6)          [¸ÀÆvÀæ (x+a)*(x+b)]

= 1002+ 100*(2+6)+ 2*6

= 10000+800+12 = 10812 

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå2: 97 ªÀÄvÀÄÛ 95gÀ UÀÄt®§ÞªÉãÀÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

97 =100-3

95 =100-5

(x+a)*(x+b) = x2+x(a+b)+ab  ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è

x=100, a=-3 and b=-5.

  97*95

= (100-3)*(100-5)

= 1002+ 100*(-3+-5)+ (-3*-5)

= 10000-800+15 = 9215

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå3: 103£Àß 96jAzÀ UÀÄt¹.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

103 = 100+3

96 = 100-4

 (x+a)*(x+b) = x2+x(a+b)+ab  ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è

x=100, a=+3 and b=-4.

  103*96

= (100+3)*(100-4)

= 1002+ 100*(3+-4)+ (3*-4)

= 10000-100-12 = 9888

 

 ¸À«ÄÃPÀgÀt(1)gÀ° ècAiÀÄ£ÀÄß  a, ªÀÄvÀÄÛ dAiÀÄ£ÀÄß b¤AzÀ §zÀ¯Á¬Ä¹zÁUÀ

( i.e. (a+b)*(c+d) = ac+ad+bc+bd )

FUÀ,

(a+b)*(a+b) = aa+ab+ba+bb

= a2+ 2ab+b2

  (a+b)2= a2+ 2ab+b2

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå4: (10.1)2zÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

10.1 = 10+0.1

  (10.1)2= 10+0.1 [FUÀ (a+b)2= a2+ 2ab+b2 ¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹]

= 102+ 2*10*0.1+ (0.1)2

= 100+2+0.01 = 102.01

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 5:  (4x2+12xy+8y2)  ªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä

CzÀPÉÌ K£À£ÀÄß PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ?

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

4x2 ªÀÅ a2 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ (a = 2x).

DzÀgÉ 8y2 ªÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è. 9y2 ªÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀð. b = 3y

=2ab = 2*2x*3y = 12xy

4x2+12xy+ 9 y2 F ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð.

DzÀÝjAzÀ zÀvÀÛ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä

CzÀPÉÌ(y2) ªÀ£ÀÄß PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ.

[F ¸ÀªÀĸÉåUÉ E£ÀÆß ºÀ®ªÀÅ ¥ÀjºÁgÀ PÀæªÀÄUÀ½ªÉ.]

FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀt £ÉÆÃqÀĪÁ.

 

C¨sÁå¸À:

¸À«ÄÃPÀgÀt (1)gÀ°è bAiÀÄ£ÀÄß -b, cAiÀÄ£ÀÄß a ªÀÄvÀÄÛ dAiÀÄ£ÀÄß -b ¢AzÀ §zÀ¯Á¬Ä¹zÁUÀ,

 

(a-b)*(a-b)

= a*a+ a(*-b) + (–b)*a +b*(-b)

= a2-ab-ab+ b2

= a2-2ab+ b2

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 6 : (4.9)2 zÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

4.9 = (5-0.1)

 (4.9)2 – EzÀÄ (a-b)2 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ. a=5 and b=0.1

4.92 = (5-0.1)

= 52+-2*5*0.1+ (0.1)2

= 25 -1 +.01

= 24.01

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå7 : (x-1/x)2 - ¸ÀÄ®©üÃPÀj¹.

 

¥ÀjºÁgÀ:

EzÀÄ (a-b)2 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ ºÁUÀÆ a=x  ªÀÄvÀÄÛ b=1/x

(x-1/x)2= x2-2x(1/x)+ (1/x)2

= x2-2+ 1/x2

 

¸À«ÄÃPÀgÀt (1)gÀ°è  c AiÀÄ£ÀÄß a , d AiÀÄ£ÀÄß-b ¢AzÀ §zÀ¯Á¬Ä¸ÀĪÀ.

FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ UÀÄt®§Þ £ÉÆÃqÀĪÁ.

(a+b)*(a-b) = aa+a*(-b)+ba+b*(-b)

= a2-ab+ab-b2 ( -ab+ab=0)

= a2-b2

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå8: UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r: 9.5*10.5

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

9.5 * 10.5 = (10-0.5 )*(10+0.5)

9.5* 10.5  J£ÀÄߪÀÅzÀÄ (a+b)(a-b) gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ ªÀÄvÀÄÛ E°è a=10, b=0.5.

9.5*10.5

= 102- (0.5)2

= 100-0.25  = 99.75

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 9: ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀ¤ß: (x+2)(x-2)( x2+4)

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(a+b)*(a-b) gÀÆ¥ÀzÀ°ègÀĪÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è ªÉÆzÀ® JgÀqÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®©üÃPÀj¸ÀĪÀ.

    (x+2)(x-2) = ( x2-4)

 (x+2)(x-2)( x2+4)= ( x2-4) * ( x2+4)

= ( x4-16) (x2 £À ªÀUÀð x4)

¸À«ÄÃPÀgÀt(1)gÀ°è b AiÀÄ£ÀÄß b+c, c AiÀÄ£ÀÄß a+b ªÀÄvÀÄÛ d AiÀÄ£ÀÄß c¢AzÀ §zÀ¯Á¬Ä¸ÀĪÀ.

 

FUÀ wæ¥ÀzÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ªÀUÀð £ÉÆÃqÀĪÁ:

(a+(b+c))*((a+b)+c))

= a(a+b) + ac+ (b+c)(a+b)+ (b+c)c

= (a.a+ab)+ac+(ba+ b.b+ca+cb)+(bc+ c.c)

= a2+ab+ac+ba+ b2+ca+cb+bc+ c2

= a2 + b2+ c2+ab+ba+ac+ca+ cb+bc (¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢¹ §gÉzÁUÀ)

= a2 + b2+ c2+2ab+2bc+2ca

(a+b+c)2  = a2 + b2+ c2+2ab+2bc+2ca

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 10: 1732 zÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

173 £ÀÄß(100+70+3)JAzÀÄ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.

1732£ÀÄß (a+b+c)2 zÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉzÁUÀ,

 a=100,b=70 and c=3

1732= 1002+702+32+ 2*100*70 +2*70*3+2*3*100

= 10000+4900+9+14000+420+600

=  29929

 

 

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 11: ¸ÀÄ®©üÃPÀj¹ (x2 + y2- z2)2 -(x2 - y2-+z2)2

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(x2 + y2- z2)2  EzÀÄ (a+b+c)2 F gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ.

E°è a = x2 , b = y2 and c = - z2

= (x2 + y2- z2)2 = (x4 + y4+z4 + 2 x2 y2 - 2 y2 z2-2 z2 x2)

EzÉÃ jÃw,

(x2 - y2+z2)2 = (x4 + y4+z4 - 2 x2 y2 - 2 y2 z2+2 z2 x2)

(x2 + y2- z2)2 -(x2 - y2-+z2)2

= (x4 + y4+z4 + 2 x2 y2 - 2 y2 z2-2 z2 x2) -(x4 + y4+z4 - 2 x2 y2 - 2 y2 z2+2 z2 x2)

= (x4 + y4+z4 + 2 x2 y2 - 2 y2 z2-2 z2 x2) -x4 - y4-z4 +2 x2 y2 + 2 y2 z2-2 z2 x2

= 4x2 y2 -4 z2 x2

=4x2 (y2 -z2)

 

 (a+b)3 EzÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹.

(a+b)3

= (a+b)*(a+b)*(a+b)

= (a+b)*( a2+ 2ab+b2) ( (a+b)2= a2+ 2ab+b2)

= a*( a2+ 2ab+b2)+b*( a2+ 2ab+b2) (ªÉÆzÀ®£É ©ÃeÁPÀëgÀ ¥ÀzÀzÀ ¥ÀæwÃ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ ©ÃeÁPÀëgÀ ¥ÀzÀzÀ ¥ÀæwÃ¥ÀzÀzÉÆA¢UÉ UÀÄt¹zÁUÀ)

= a3+ 3a2b+ 3ab2+b3 (¸ÀeÁwÃAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹zÁUÀ)

= a3+ 3ab(a+b)+b3 (¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÉUÉzÁUÀ)

«. ¸ÀÆ. F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¨sÁ¸ÀÌgÀ£ÀÄ °Ã¯ÁªÀwAiÀÄ 27£Éà ±ÉÆèÃPÀzÀ°è ¤ÃrzÁÝ£É.

 

C¨sÁå¸À : (a-b)3= a3-3ab(a-b)-b3  - F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¹.

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 12: 513 EzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

51  = 50+1.(EzÀÄ  (a+b)3  gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ.)

513 = 503+ 3*50*1(50+1)+13  [(a+b)3 = a3+ 3ab(a+b)+b3]

= 125000+7650+1

=132651

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 13: ¸ÀÄ®©üÃPÀj¹: (x+1/x)3

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(x+1/x)3 EzÀÄ (a+b)3 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ.

(x+1/x)3

 = x3+ 3x*1/x(x+1/x)+(1/x)3

= x3+ 3(x+1/x)+(1/x3)

= x3+ 3x+3/x+1/x3

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 14 :  (9.9)3 – EzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

9.9 = (10-0.1)

= 9.93 EzÀÄ (a-b)3  gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ a=10 , b=0.1.

(9.9)3= 103-3*10*0.1*(10-0.1)-(0.1)3

= 1000-3*9.9- 0.001

= 1000-29.7-.001

= 970.299

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 15: «¸ÀÛj¹:  (x/2-y/3)3

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(x/2-y/3)3 EzÀÄ (a-b)3 gÀÆ¥ÀzÀ°èzÉ.

(x/2-y/3)3

 = (x/2)3- 3(x/2)*(y/3)(x/2-y/3)-(y/3)3

= x3/8 – (xy/2)*(x/2-y/3)-y3/27 (¸ÀAPÉëæ¹zÁUÀ)

= x3/8 – x2y/4 +xy2/6-y3/27

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 16: (a+b) (a2+b2-ab) = a3+b3 JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(a+b) (a2+b2-ab)

= a(a2+b2-ab) +b(a2+b2-ab)

= a*a2+a*b2-a*ab + b*a2+b*b2-b*ab

=a3+ab2-a2b + ba2+b3-ab2 (¸ÀªÀiÁ£À zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀÄvÀÄÛ IÄuÁvÀäPÀ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀjzÀÆV¹zÁUÀ)

=a3+b3

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 17: a+b+c = 12 , a2+b2+ c2 =50 DzÀgÉ ab+bc+ca AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

(a+b+c)2 = (a2+b2+ c2)+2ab+2bc+2ca

ªÉÄð£À ¸À«ÄPÀgÀtzÀ°è zÀvÀÛ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß DzÉò¹zÁUÀ,

122= 50+2(ab+bc+ca)

 144-50 = 2(ab+bc+ca)

 ab+bc+ca = 47

 

2.4.3 ¸ÀªÀĸÉå 18:  x3+y3+ z3 = 3xyz ªÀÄvÀÄÛ x+y+z=0 DzÀgÉ,

 (x+y)2/xy +(y+z)2/yz+(z+x)2/zx gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj.

 

¥ÀjºÁgÀ:

 

zÀvÀÛ x+y+z=0

 DzÀÝjAzÀ x+y = -z, y+z = -x and z+x = -y

 (x+y)2/xy +(y+z)2/yz+(z+x)2/zx

= z2/xy+x2/yz+y2/zx

= z3/xyz+x3/xyz+y3/zxy (xyz £Àß ¸ÁªÀiÁ£Àå bÉÃzÀ ªÀiÁrzÉ)

= (x3+y3+ z3)/xyz

= 3xyz/xyz

=3

 

2.4 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

 

 

¸ÀA.

   ¸ÀÆvÀæ

  «¸ÀÛgÀuÉ

1

(a+b)(c+d)

ac+ad+bc+bd

2

(x+a)*(x+b)

x2+x(a+b)+ab

3

(a+b)2

a2+b2+2ab

4

(a-b)2

a2+b2-2ab

5

(a+b)(a-b)

a2-b2

6

(a+b+c)2

a2+b2+ c2+2ab+2bc+2ca

7

(a+b)3

a3+b3+3ab(a+b)

8

(a-b)3

a3-b3-3ab(a-b)