6.8 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ (Parallelogram):

6.8.1 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À gÀZÀ£É(Construction of parallelogram)

MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß ¤TgÀªÁV gÀa¸À®Ä, £ÀªÀÄUÉ 5 CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ JAzÀÄ F »AzÉ 6.7.1 gÀ°è PÀ°wzÉÝêÉ: CzÀgÀAvÉ

ZÀvÀĨsÀÄðd gÀZÀ£ÉUÉ ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ:

¸ÀA.	zÀvÀÛ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ	zÀvÀÛ PÀtðUÀ¼ÀÄ	zÀvÀÛ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ	MlÄÖ ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	2	2	1	5
2	2	1	2	5
3	4	1	-	5
4	4	-	1	5
5	3	-	2(CAvÀUÀðvÀ)	5
6	3	2	-	5
7	2(¥Á±Àéð)	-	3	5

DzÀgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ MAzÀÄ «²µÀÖ ZÀvÀĨsÀÄðd. EzÀgÀ°è C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ, C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ. DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd gÀa¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ PÉêÀ® 3 CA±ÀUÀ¼ÀÄ w½¢zÀÝgÉ ¸ÁPÀÄ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd gÀZÀ£ÉUÉ ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ:

¸ÀA.	zÀvÀÛ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ	zÀvÀÛ PÀtðUÀ¼ÀÄ	zÀvÀÛ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ	MlÄÖ ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	2	1	-	3
2	2	-	1	3
3	-	2	1(bÉÃzÀ£À)	3
4	1	2	-	3

6.8.1.1 JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£É:

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ. DzÀÝjAzÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ, £ÁªÀÅ £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß

w½AiÀħºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ ªÉÄð£À ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£ÉAiÀÄÄ – 4 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹zÀAvÉAiÉÄà DVzÉ. (6.6.1 £ÉÆÃr).

6.8.1 C¨sÁå¸À 1: MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ 5¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 3¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀÅ 6¸ÉA.«Ä. EzÀÝgÉ, D ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹.

(¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ: 5¸ÉA.«Ä., 3¸ÉA.«Ä., 5¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 3¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ PÀtð 6¸ÉA.«Ä.)

6.8.1.2. JgÀqÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÉÆãÀªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£É:-

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ. DzÀÝjAzÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ,

D ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼À£Àß ¯ÉPÀ̺ÁPÀ§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ E°è F ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¸ÀĪÀÅzÉAzÀgÉ,

4 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹zÀAvÉAiÉÄà DVzÉ. (6.6.1 £ÉÆÃr).

6.8.1 C¨sÁå¸À 2: PQ=5¸ÉA.«Ä., QR=4¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ PQR = 70⁰ EgÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹.

(E°è ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ PQ=5¸ÉA.«Ä., QR=4¸ÉA.«Ä., RS=5¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ PS=4¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ PQR = 70⁰)

6.8.1.3. JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ¥ÀnÖ PÉÆãÀªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£É:

6.8.1 ¸ÀªÀĸÉå 1:JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ 4¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 5¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À bÉÃzÀ£À ©AzÀÄ«£À°è 70⁰ PÉÆãÀªÁUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹.

ªÉÆvÀÛªÉÆzÀ®Ä zÀvÁÛA±ÀPÉÌ ¸ÀjAiÀiÁV MAzÀÄ PÀgÀqÀÄ avÀæ gÀa¹.

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	A ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, C°èAzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.
2	A¬ÄAzÀ 4 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß CAiÀÄ°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj (AC=4 ¸ÉA.«Ä.)
3	ACAiÀÄ£Àß «¨sÁV¹. O ªÀÄzsÀå©AzÀÄ. (A ªÀÄvÀÄÛ C¬ÄAzÀ ACAiÀÄ CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ ACAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ PɼÀUÉ JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. D PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ X ªÀÄvÀÄÛ YAiÀÄ°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¸À°. XY eÉÆÃr¹. XYAiÀÄÄ ACAiÀÄ ®A§ ¢é¨sÁdPÀ.CzÀÄ ACAiÀÄ£Àß O ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ.
4	O ©AzÀÄ«£À°è ACAiÉÆA¢UÉ 70^0 PÉÆãÀªÁUÀĪÀAvÉ ACAiÀÄ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À°è gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.
5	O ©AzÀÄ«¤AzÀ 2.5 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß B ªÀÄvÀÄÛ DUÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. AB, BC, CD ªÀÄvÀÄÛ DAUÀ¼À£Àß eÉÆÃr¹.

ABCDAiÀÄÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.

6.8.1.4. MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£É:

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ. F ®PÀëtªÀ£ÀÄߥÀAiÉÆÃV¹, zÀvÀÛ ¨ÁºÀĪÀ£Àß ¥ÁzÀgÉÃSÉAiÀÄ£ÁßV

ªÀiÁr PÀtðUÀ¼À CzsÀðzÀµÀÖ£Àß E£ÉßgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁr wæPÉÆãÀ gÀa¹. £ÀAvÀgÀ CªÀÅUÀ¼À£Àß ªÀÄÄAzÀĪÀj¹.

6.8.1 C¨sÁå¸À 3:

BC=4.5¸ÉA.«Ä. PÀtðUÀ¼ÀÄ AC=4 ¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ  BD=5 ¸ÉA.«Ä. ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd gÀa¹.

6.8.1 ¸ÀªÀĸÉå 1 gÀ°è£À avÀæzÀ°è, AO=OC, BO=OD ®PÀët G¥ÀAiÉÆÃV¹, BCO wæPÉÆãÀ gÀa¹. E°è BC=4.5¸ÉA.«Ä., CO=2¸ÉA.«Ä. BO=2.5¸ÉA.«Ä. £ÀAvÀgÀ CO ªÀÄvÀÄÛ BOUÀ¼À£Àß OA = 2¸ÉA.«Ä. OD=2.5¸ÉA.«Ä. DUÀĪÀAvÉ ªÀÈ¢Þ¹. CD, DA, AB UÀ¼À£Àß eÉÆÃr¹.

6.8.1.5. C£ÀÄPÀæªÀÄ ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ JvÀÛgÀªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¸ÀĪÀÅzÀÄ.

6.8.1 C¨sÁå¸À 4:  C£ÀÄPÀæªÀÄ ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ AB=4 ¸ÉA.«Ä, BC = 5 ¸ÉA.«Ä.

BC ¬ÄAzÀ JvÀÛgÀ 3.5 ¸ÉA.«Ä. ABCD EgÀĪÀAvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß gÀa¹.

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	B ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, C°èAzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.
2	B¬ÄAzÀ 5 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß CAiÀÄ°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj (BC=5 ¸ÉA.«Ä.)
3	BCAiÀÄ ªÉÄÃ¯É XY ªÀÄvÀÄÛ PQ J£ÀÄߪÀ 2 ®A§gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj CzÀÄ BC AiÀÄ£ÀÄß T ªÀÄvÀÄÛ U £À°è PÀrAiÀÄ°.
4	U ªÀÄvÀÄÛ T ¤AzÀ 3.5 ¸ÉA.«Ä wædå¢AzÀ XY ªÀÄvÀÄÛ PQ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß R ªÀÄvÀÄÛ S £À°è £À°è PÀr¬Äj. RS ªÀÈ¢Þ¹.(RS, BC¬ÄAzÀ 3.5 ¸ÉA.«Ä zÀÆgÀzÀ°èzÉ).
5	B¬ÄAzÀ 4 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ RS gÉÃSÉAiÀÄ£Àß A £À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj (BA=4 ¸ÉA.«Ä.)
6	A¬ÄAzÀ 5 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÀÄvÀÄÛ C ¬ÄAzÀ 4 ¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ RS gÉÃSÉAiÀÄ£Àß D £À°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ 2 PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj (AD=5 ¸ÉA.«Ä, CD=4 ¸ÉA.«Ä.

6.8.2 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð (Area of parallelogram)

ABCD AiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd

AB||CD, BC||AD, AB=CD, AD=BC.

D ªÀÄvÀÄÛ C UÀ½AzÀ ABUÉ (CUÀvÀå«zÀÝgÉ ªÀÄÄAzÀĪÀj¹) ®A§UÀ¼À£É߼ɬÄj.

CªÀÅUÀ¼ÀÄ ABAiÀÄ£Àß E ªÀÄvÀÄÛ FUÀ¼À°è ¸ÀA¢ü¸À°.

DE ªÀÄvÀÄÛ CF UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ. AB||CD DzÀÝjAzÀ DE=CF.

ADE ªÀÄvÀÄÛBFC UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ.

(AD=BC, DE=CF, DEA = BFC =90⁰ – ®A.PÀ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ)

AE=BF ADEAiÀÄ «¹ÛÃtð = BFCAiÀÄ «¹ÛÃtð

 ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð = ADEAiÀÄ «¹ÛÃtð + vÁæ¦då DEBCAiÀÄ «¹ÛÃtð

= BFCAiÀÄ «¹ÛÃtð + vÁæ¦då DEBCAiÀÄ «¹ÛÃtð

= DAiÀÄvÀ DEFCAiÀÄ «¹ÛÃtð

= GzÀÝ* CUÀ®

= DC * h

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð = GzÀÝ* JvÀÛgÀ

6.8.2 ¸ÀªÀĸÉå 1: ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è AB=24¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ AD=16¸ÉA.«Ä. AB ªÀÄvÀÄÛ DC £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ 10¸ÉA.«Ä. DzÀgÉ AD ªÀÄvÀÄÛ BCUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ®A¨ÁAvÀgÀ PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

AB ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ = JvÀÛgÀ (DE).

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð

= ¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ = 24*10 = 240ZÀ.¸ÉA.«Ä.

F «¹ÛÃtðªÀÅ AD ¥ÁzÀªÁVzÀÄÝ AH JvÀÛgÀ«gÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðPÉÌ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ.

 ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð = AD*AH = 16*AH

DzÀgÉ «¹ÛÃtð = 240 ZÀ.¸ÉA.«Ä.

 16*AH = 240

AH = 240/16 = 15¸ÉA.«Ä.

6.8.2 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ DAiÀÄvÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¹ÛÃtðªÀ£Àß ºÉÆA¢ªÉ. DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ CUÀ®UÀ¼ÀÄ, 10«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 14«Ä. DVzÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¥ÁzÀ  20«Ä. DzÀgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ JvÀÛgÀ PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtð = GzÀÝ*CUÀ® = 10*14

                                                = 140ZÀ.«Ä.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð = DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtð (zÀvÀÛ)

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ

                                               = 140ZÀ.«Ä.

 20*h= 140

JvÀÛgÀ = h = 140/20 = 7«Ä.

6.8.2 ¸ÀªÀĸÉå 3: MAzÀÄ wæ¨sÀÄd ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd EªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀ ¥ÁzÀUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢ªÉ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À JvÀÛgÀUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀªÉµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ:

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ B_P ªÀÄvÀÄÛ H_P DVgÀ°.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ = B_p*H_p

B_T ªÀÄvÀÄÛ H_T UÀ¼ÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼ÁVgÀ°.

wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð = 1/2(¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ)

                          = 1/2(B_T*H_T).

«¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ MAzÉà DVªÉ.  B_p*H_p=1/2(B_T*H_T).

¥ÁzÀUÀ¼ÀÄ MAzÉÃ.  B_P= B_T.

 H_p=1/2H_T

CxÀªÁ 2H_p=H_T

wæ¨sÀÄdzÀ JvÀÛgÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ JvÀÛgÀ JgÀqÀgÀ¶ÖzÉ.

6.8.2 ¸ÀªÀĸÉå 4: ¤ªÀÄä ªÀÄ£ÉUÀ¼À°è vÁAiÀÄA¢gÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CfÓAiÀÄA¢gÀÄ CxÀªÁ CAUÀrAiÀĪÀgÀÄ §¦üðAiÀÄ£ÀÄß DAiÀÄvÁPÀÈwAiÀÄ°è PÀvÀÛj¸ÀĪ §zÀ®Ä ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðeÁPÀÈwAiÀÄ°è KPÉ PÀvÀÛj¸ÀÄvÁÛgÉAzÀÄ §°ègÁ? (CªÀgÀÄ gÉÃSÁUÀtÂvÀ PÀ°wzÀÝgÁ ?)

GzÁºÀgÀuÉUÉ DAiÀÄvÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À §¢UÀ¼ÀÄ 12 ªÀÄvÀÄÛ 13 ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀVgÀ°.

DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtð : ¥ÁzÀ*E£ÉÆßAzÀÄ ¨ÁºÀÄ = 12*13 = 156 ZÀ.ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ = 12*12 = 144 ZÀ.ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ.

¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï £À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ G¥ÀAiÉÆÃV¹ JvÀÛgÀ PÀAqÀÄ »r¢zÉÝêÉ.(12²= 13²-5²)

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtðQÌAvÀ PÀrªÉÄ EzÉ.

DAiÀÄvÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À §¢UÀ¼ÀÄ MAzÉà C¼ÀvÉAiÀÄ°èzÀÝgÀÆ DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ (¥ÁzÀ * E£ÉÆßAzÀÄ ¨ÁºÀÄ) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðQÌAvÀ (¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ) ºÉZÀÄÑ.

F PÁgÀt¢AzÀ CªÀgÀÄ MAzÉà ºÀgÀqÀÄ«PÉAiÀÄ°è ºÉZÀÄÑ vÀÄAqÀÄUÀ¼À£Àß ªÀiÁqÀ§®ègÀÄ.

6.8.3 ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ gÀZÀ£É(Construction of Rhombus):

MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd gÀa¸À®Ä 3 CA±ÀUÀ¼ÀÄ (¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ, PÀtðUÀ¼ÀÄ, PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ) ¨ÉÃPÉAzÀÄ w½¢zÉÝêÉ. ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «²µÀÖ ®PÀëtUÀ½AzÁV MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£Àß gÀa¸À®Ä PÉêÀ® 2 CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ.

1. JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À GzÀÝUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ gÀZÀ£É:-

6.8.3 ¸ÀªÀĸÉå1: PR = 5¸ÉA.«Ä., SQ=4¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ PQRS ªÀeÁæPÀÈw gÀa¹j.

ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ PÀgÀqÀÄ avÀæ §gɬÄj.

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	P ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, C°èAzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß J¼É¬Äj.
2	PAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖ 5¸ÉA.«Ä. (PR=5¸ÉA.«Ä.)wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß  R£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj.
3	PR £Àß C¢üð¹. (P ªÀÄvÀÄÛ RUÀ¼À£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ, PQ£À CzsÀðQÌAvÀ ºÉaÑ£À wædå¢AzÀ PR£À JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À°è JgÀqÉgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj. CªÀÅ X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼À°è bÉ⹪É. XY eÉÆÃr¹. EzÀÄ PR£À ®A§¢é¨sÁdPÀ. EzÀÄ PR£Àß OzÀ°è bÉâ¸À°.
4	O ©AzÀĪÀ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 2¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ OX ªÀÄvÀÄÛ OYUÀ¼À£Àß S ªÀÄvÀÄÛ QUÀ¼À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ 2 PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.
5	PQ, QR, RS and SPUÀ¼À£Àß eÉÆÃr¹. PQRS £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ªÀeÁæPÀÈw.

2. MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ gÀZÀ£É:-

6.8.3 ¸ÀªÀĸÉå2: AB = 3¸ÉA.«Ä., AC=4¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ ABCD ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£Àß gÀa¹.

ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ PÀgÀqÀÄ avÀæ §gɬÄj.

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	A ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, C°èAzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß J¼É¬Äj.
2	AAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 4¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.CAiÀÄ°è bÉâ¹ (AC=4¸ÉA.«Ä.)
3	AAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ACAiÀÄ ªÉÄð£À ªÀÄvÀÄÛ PɼÀUÉ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£É߼ɬÄj.
4	CAiÀÄ£Àß PÉÃAzÀæªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À PÀA¸ÀUÀ¼À£Àß D ªÀÄvÀÄÛ BAiÀÄ°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ E£ÉÆßAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. AB, BC, CD ªÀÄvÀÄÛ DA eÉÆÃr¹j. ABCD £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ªÀeÁæPÀÈw.

3. MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÉÆãÀªÀ£Àß PÉÆmÁÖUÀ

6.8.3 ¸ÀªÀĸÉå 3: AB = 3¸ÉA.«Ä., ABC = 120⁰ EgÀĪÀAvÉ ABCD ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£Àß gÀa¹.

ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ PÀgÀqÀÄ avÀæ §gɬÄj.

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	B ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, C°èAzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß J¼É¬Äj.
2	B¬ÄAzÀ, 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ F gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß CAiÀÄ°è bÉâ¹.
3	BAiÀÄ°è BCAiÉÆA¢UÉ 120^0 PÉÆãÀ DUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj.
4	B¬ÄAzÀ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ F gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß AAiÀÄ°è bÉâ¹. (BA=¸ÉA.«Ä. ABC = 120^0)
5	A ªÀÄvÀÄÛ CUÀ½AzÀ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£Àß D AiÀÄ°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ J¼É¬Äj. AD ªÀÄvÀÄÛ DC eÉÆÃr¹. ABCD £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ªÀeÁæPÀÈw.

6.8.4 ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtð(Area of Rhombus):

MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ.

PQRS ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è PR ªÀÄvÀÄÛ QS PÀtðUÀ¼À£É߼ɬÄj.

PR ªÀÄvÀÄÛ QSUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

OS ªÀÄvÀÄÛ OQUÀ¼ÀÄ PRS ªÀÄvÀÄÛ PRQUÀ¼À JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ.

PRS£À «¹ÛÃtð= ½(¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ) =1/2(PR*OS)

PRQ£À «¹ÛÃtð = ½(¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ) = 1/2(PR*OQ)

 PQRS£À «¹ÛÃtð= PRS£À «¹ÛÃtð + PRQ£À «¹ÛÃtð

                            = 1/2(PR*OS) + 1/2(PR*OQ)

                            = 1/2*PR* (OS+OQ)

                             =1/2*PR*QS ZÀzÀgÀ ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtð = ½ * PÀtðUÀ¼À UÀÄt®§Þ

UÀªÀĤ¹ : F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¨sÁ¸ÀÌgÀgÀÆ PÉÆnÖzÁÝgÉ (°Ã¯ÁªÀw. ±ÉÆèÃPÀ176)

6.8.4 ¸ÀªÀĸÉå 1: MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 32«Ä. EzÉ. JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À°è GzÀÝzÀ PÀtðªÀÅ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀtðQÌAvÀ 10«Ä. zÉÆqÀØzÁVzÉ. ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtðªÀ£Àß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ aPÀÌ PÀtðªÀÅ x DVgÀ°.

zÉÆqÀØ PÀtðªÀÅ aPÀÌ PÀtðQÌAvÀ 10«Ä. ºÉZÀÄÑ. CzÀgÀ GzÀÝ=x+10.

PÀtðUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 32«Ä.

 x+(x+10) = 32

2x+10 =32

2x=32-10 =22

 x=11«Ä.

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ: 11«Ä,21«Ä. (=11+10)

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtð = 1/2  * PÀtðUÀ¼À UÀÄt®§Þ

                               = 1/2*11*21

                               = 231/2 ZÀzÀgÀ ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ

6.8.4 ¸ÀªÀĸÉå 2: MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 40¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ MAzÀÄ PÀtð 16¸ÉA.«Ä. DVzÉ. CzÀgÀ E£ÉÆßAzÀÄ PÀtð ªÀÄvÀÄÛ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r.

¥ÀjºÁgÀ:

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ MAzÀÄ §¢ x DVgÀ°.

¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ JAzÀgÉ £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ.

E°è £Á®ÆÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.  4x = 40¸ÉA.«Ä.

x=10¸É.«Ä.

ªÀeÁæPÀÈw PQRS£À°è PQ = 10¸ÉA.«Ä.

PQRS MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.

PO=OR, QO=OS).

PR=16¸ÉA.«Ä. (zÀvÀÛ)

PO=OR=8¸ÉA.«Ä.

POQ MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄd. PQ=10, PO=8

¥sÉÊxÁUÉÆgÀ¸À£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdzÀ°è PÀtðzÀ ªÉÄð£À ªÀUÀðªÀÅ G½zÉgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÉÄð£À ªÀUÀðUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ ¸ÀªÀÄ.

PQ²= PO²+OQ²

 OQ² =PQ²-PO² = 10²-8² = 100-64 =36= 6²

 OQ = 6¸ÉA.«Ä.

OQ=OS,  OS=6¸ÉA.«Ä.

QS =6+6=12¸ÉA.«Ä.

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtð = 1/2* PÀtðUÀ¼À UÀÄt®§Þ= 1/2* 16*12  = 96 ZÀ.¸ÉA.«Ä.

6.8.5 vÁæ¦dåzÀ gÀZÀ£É(Construction of Trapezium):

vÁæ¦dåªÀ£Àß “wæPÉÆãÀªÀ£Àß ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd”ªÁV ¥ÀjªÀwð¹zÀ DPÀÈw JAzÀÄ ¥ÀjUÀt¸À§ºÀÄzÀÄ. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ gÀZÀ£ÉUÉ 5 CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ JAzÀÄ w½¢zÉÝêÉ. vÁæ¦dåzÀ°è MAzÀÄ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ, MAzÀÄ vÁæ¦dåªÀ£Àß gÀa¸À®Ä £Á®ÄÌ CA±ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ.

6.8.5.1. JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ vÁæ¦dåzÀ gÀZÀ£É:-

6.8.5 ¸ÀªÀĸÉå1: AB=5¸ÉA.«Ä., CD=3¸ÉA.«Ä., AB||CD, DAB = 70⁰ ABC = 50⁰ EgÀĪÀAvÉ ABCD

vÁæ¦då gÀa¹.

ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ PÀgÀqÀÄ avÀæ ©r¹.

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	A ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, C°èAzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß J¼É¬Äj.
2	A¬ÄAzÀ 5¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß BAiÀÄ°è PÀrAiÀÄĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. (AB=5¸ÉA.«Ä.)
2	A¬ÄAzÀ 2¸ÉA.«Ä. (=AB-CD) wædå¢AzÀ ABAiÀÄ£Àß EAiÀÄ°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. (AE=2¸ÉA.«Ä.)
3	AAiÀÄ°è ABAiÉÆA¢UÉ 70^0PÉÆãÀ DUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß J¼É¬Äj.
4	AED =50^0DUÀĪÀAvÉ E¬ÄAzÀ AB MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɬÄj. CzÀÄ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß DAiÀÄ°è bÉâ¸À°.
5	BAiÀÄ°è 50^0 PÉÆãÀ DUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß J¼É¬Äj.
6	D¬ÄAzÀ 3¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß CAiÀÄ°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£É߼ɬÄj. (DC=3¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ ABC = 50^0). DCAiÀÄ£Àß eÉÆÃr¹. ABCDAiÀÄÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ vÁæ¦då

6.8.5. 2. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼À£Àß PÉÆmÁÖUÀ:-

6.8.5 ¸ÀªÀĸÉå2: PQ||SR, PQ=5¸É.«Ä., SR=6¸É.«Ä. and PS=3¸É.«Ä. EgÀĪÀAvÉ PQRS

vÁæ¦då gÀa¹.

ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ PÀgÀqÀÄ avÀæ ©r¹.

ºÀAvÀ	gÀZÀ£É
1	P ©AzÀĪÀ£Àß UÀÄgÀÄw¹, C°èAzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£Àß J¼É¬Äj.
2	P¬ÄAzÀ 5¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß Q£À°è bÉâ¹. (PQ=5¸ÉA.«Ä.)
3	PAiÀÄ°è MAzÀÄ ®A§ªÀ£É߼ɬÄj.
4	P¬ÄAzÀ 3¸É.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß S£À°è bÉâ¹.  (PS=3¸ÉA.«Ä.)
5	PQ UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV S£À°è MAzÀÄ ®A§ªÀ£É߼ɬÄj.
6	S¤AzÀ 6¸ÉA.«Ä. wædå¢AzÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß R£À°è bÉâ¹ (SR=6¸ÉA.«Ä.)
7	QR eÉÆÃr¹. PQRS £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ vÁæ¦då.

6.8.5. 3. J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉ PÉÆmÁÖUÀ:-

vÁæ¦dåªÀ£Àß MAzÀÄ wæPÉÆãÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ¸ÀAUÀªÀÄ JAzÀÄ ¥ÀjUÀt¹, ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ wæ¨sÀÄd gÀa¹. 6.8.5gÀ°è PÉÆlÖºÁUÉ.

6.8.5 C¨sÁå¸À1: AB=7¸ÉA.«Ä., DC=5¸ÉA.«Ä., AD=2¸ÉA.«Ä., BC= 2.5¸ÉA.«Ä.,

AB||CD EgÀĪÀAvÉ ABCD ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦då gÀa¹.

¸ÀÆZÀ£É: §®§¢AiÀÄ°ègÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÀgÀqÀÄ avÀæ gÀa¹. ABAiÀÄ ªÉÄÃ¯É AE=AB-CD DUÀĪÀAvÉ E ©AzÀÄ UÀÄgÀÄw¹.

AED wæ¨sÀÄdªÀ£Àß gÀa¹. (AD =2¸ÉA.«Ä., DE =BC=2.5¸ÉA.«Ä.) B¬ÄAzÀ EDUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉ J¼É¬Äj.

BC=2.5¸ÉA.«Ä. DUÀĪÀAvÉ C ©AzÀÄ UÀÄgÀÄw¹. D ªÀÄvÀÄÛ CUÀ¼À£Àß eÉÆÃr¹. ABCDAiÀÄÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ vÁæ¦då.

6.8.5¸ÀªÀĸÉå 3: AB=7¸ÉA.«Ä., AD=2¸ÉA.«Ä., DC=5¸ÉA.«Ä., CD||AB EgÀĪÀAvÉ ABCD ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦då gÀa¹.

¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦dåzÀ°è ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ. DzÀÝjAzÀ, BC=AD.

FUÀ £ÀªÀÄUÉ ABCD vÁæ¦dåzÀ £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉvÀªÀÅ (DA=2¸ÉA.«Ä., AB=7cm, BC=2¸ÉA.«Ä., CD=5¸ÉA.«Ä.).

¸ÀÆZÀ£É: 6.6.8 C¨sÁå¸À 1gÀ°èAiÀÄAvÉ. AE = AB-DC = 7-5 = 2 ¸ÉA.«Ä. EgÀĪÀAvÉ AED wæPÉÆãÀ gÀa¹.

1. AD=2¸ÉA.«Ä., AE = 2 ¸ÉA.«Ä., DE = CB = 2¸ÉA.«Ä., EgÀĪÀAvÉ AED wæPÉÆãÀ gÀa¹.

2. B¬ÄAzÀ 2¸ÉA.«Ä. wædåzÀ PÀA¸À J¼É¬Äj. D¬ÄAzÀ 5¸ÉA.«Ä. wædåzÀ PÀA¸À J¼É¬Äj. CAiÀÄ°è bÉâ¸À°. DC ªÀÄvÀÄÛ CB eÉÆÃr¹.

3. ABCDAiÀÄÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦då.

6.8.6 vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð(Area of Trapezium):

vÁæ¦då ABCDAiÀÄ°è ¥ÁzÀ AB=CD ªÀÄÆ®ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÁVgÀ°. AB ªÀÄvÀÄÛ CDUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ®A§ zÀÆgÀ ‘h’ ªÀÄÆ®ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÁVgÀ°. (AE = DF =h)

EF = 1/2EF+1/2EF=1/2(EF+AD)

vÁæ¦då ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð

= ABEAiÀÄ «¹ÛÃtð + DFCAiÀÄ «¹ÛÃtð

= 1/2(BE* JvÀÛgÀ)+ (EF* JvÀÛgÀ)+ 1/2(FC* JvÀÛgÀ)

= (BE/2 + EF + FC/2)* JvÀÛgÀ

= (BE/2+(EF+AD)/2+FC/2)* JvÀÛgÀ (EF=AD, EF = 1/2( EF+AD))

= 1/2(BE+EF+AD+FC)* JvÀÛgÀ

= 1/2(BE+EF+FC+AD)* JvÀÛgÀ

= 1/2(BC+AD)* JvÀÛgÀ

vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð = 1/2*JvÀÛgÀ*¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ

UÀªÀĤ¹ : F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¨sÁ¸ÀÌgÀgÀÆ PÉÆnÖzÁÝgÉ (°Ã¯ÁªÀw. ±ÉÆèÃPÀ176)

6.8.6 ¸ÀªÀĸÉå 1: MAzÀÄ vÁæ¦dåzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À GzÀÝUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ 2:1 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ®A¨ÁAvÀgÀ 6¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð 135ZÀ.¸ÉA.«Ä. DzÀgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À GzÀÝUÀ¼À£Àß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

vÁæ¦dåzÀ JvÀÛgÀ: h  = 6¸ÉA.«Ä.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ:  2:1

CªÀÅUÀ¼ÀÄ 2x ªÀÄvÀÄÛ 1x DVgÀ°.

vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð = 1/2*JvÀÛgÀ *¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ

                           = 1/2(6*(2x+x)) = 3*3x = 9x

vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð = 135ZÀ.¸ÉA.«Ä. (zÀvÀÛ)

 9x=135

x= 15¸ÉA.«Ä.: 2x =30¸ÉA.«Ä.

vÁæ¦dåzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ 15¸ÉA.«Ä. ªÀÄvÀÄÛ 30¸ÉA.«Ä

vÁ¼É:-

vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð = 1/2*6*(30+15)

                          = 3*45 = 135 ¸ÉA.«Ä. à zÀvÁÛA±ÀªÉà DVzÉ.

6.8.6 ¸ÀªÀĸÉå 2: 17¸ÉA.«Ä. JvÀÛgÀªÀżÀî MAzÀÄ vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð 204ZÀ.¸ÉA.«Ä. EzÉ. CzÀgÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀĪÀÅ 16¸ÉA.«Ä. EzÀÝgÉ, E£ÉÆßAzÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£Àß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ:

vÁæ¦dåzÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¨ÁºÀÄ x DVgÀ°.

vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð = 1/2*JvÀÛgÀ *¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ

                          = ½ (17*(16+x)) = 204

                            17 (16+x) =408

                            16+x =408/17 = 24

                      x = 24-16= 8¸ÉA.«Ä.

vÁæ¦dåzÀ 2£Éà ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄ = 8¸ÉA.«Ä.

vÁ¼É:-

vÁæ¦dåzÀ «¹ÛÃtð = 1/2*17*(16+8)

                          = 17*12 = 204 ¸ÉA.«Ä. à zÀvÁÛA±ÀªÉà DVzÉ.

6.8.7 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ(Theorems on parallelograms):

6.8.7 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1: ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ: ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. AC ªÀÄvÀÄÛ BD PÀtðUÀ¼ÀÄ ‘O’ ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AO=OC ªÀÄvÀÄÛ BO=OD

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB = CD	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
2	AOB  = COD	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	ABO = ODC	¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ AB||CD, BD bÉÃzÀPÀ gÉÃSÉ.
4	AOB COD	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆà ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	AO=OC ªÀÄvÀÄÛ BO=OD	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.

DzÀÝjAzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

6.8.7 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 2: PÀtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.

zÀvÀÛ: ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. ACAiÀÄÄ MAzÀÄ PÀtð.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ABC ACD

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB = CD	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
2	BC = AD	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
3	AC	G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ
4	ABC ACD	¨Á.¨Á.¨Á ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ

G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ CxÀªÁ ¤gÀÆ¥ÀuÉUÀ¼À£Àß C£ÀĸÀj¹ ¥Àjt«Ä¸ÀĪÀ MAzÀÄ G¥À¹zÁÞAvÀªÀÅ ‘G¥À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ’.

GzÁ:

gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ºÀ§âUÀ¼ÀAzÀÄ ±Á¯Á, PÁ¯ÉÃdÄ, PÀbÉÃjUÀ½UÉ gÀeÉ ¤ÃqÀ¯Éà ¨ÉÃPÀÄ. DUÀ¸ïÖ 15 ¸ÁévÀAvÀæöå ¢£ÀªÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀCAzÀÄ ±Á¯Á PÁ¯ÉÃdÄUÀ½UÉ gÀd«gÀÄvÀÛzÉ. E°è ªÀÄÄRå «µÀAiÀÄ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ºÀ§â ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁévÀAvÀæ ¢£À. ªÀÄÆgÀÄ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ºÀ§âUÀ¼À°è CzÀÄ MAzÀÄ ºÀ§âªÁVgÀĪÀÅzÀjAzÀ ¥Àjt«Ä¹zÀÄÝ gÀeÉ.

EzÉà jÃwAiÀÄ°è ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ½AzÀ PÉ®ªÀÅ G¥À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼ÀÄ GzÀ㫸ÀÄvÀÛªÉ.

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1: MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è MAzÀÄ PÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁzÀgÉ, CzÀÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.

zÀvÀÛ:  ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. ABC = 90⁰

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	ABC = 90^0	zÀvÀÛ
2	ABC+BCD = 180^0	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ 2 C£ÀÄPÀæªÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	BCD = 180^0-90^0 = 90^0
4	CDA =ABC	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
5	CDA = 90^0
6	BAD= BCD	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
7	BAD = 90^0

ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 2: MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÄÝ, J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ CzÀÄ MAzÀÄ ZËPÀ (ªÀUÀð)

zÀvÀÛ: ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. AB=BC=CD=DA.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ªÀUÀð.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BAD+ADC = 180^0	C£ÀÄPÀæªÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180^0
2	2BAD = 180^0	J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
3	BAD=ADC=90^0
4	ABC+BCD = 180^0	C£ÀÄPÀæªÀÄ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180^0
5	2ABC = 180^0	J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
6	ABC=BCD=90^0
7	J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ®A§ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.

J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÉAzÀÄ PÉÆnÖgÀĪÀÅzÀjAzÀ, ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ªÀUÀð.

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 3: MAzÀÄ ªÀUÀðzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÄÝ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

zÀvÀÛ:  ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ªÀUÀð.

AB=BC=CD=DA

ABC =BCD=CDA=DAC=90⁰

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AC=BD,AO=CO,BO=DO,AOB=BOC = 90⁰

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
	ABC ªÀÄvÀÄÛ BCDUÀ¼À°è
1	AB=CD	ªÀUÀðzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
2	BC	¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ
3	ABC=BCD = 90^0	ªÀUÀðzÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
4	ABC BCD	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	AC=BD	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
	ABO ªÀÄvÀÄÛ OCDUÀ¼À°è
6	AB=CD	ªÀUÀðzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
7	ABO =ODC	AB||CD, BD bÉÃzÀPÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
8	BAO=OCD	AB||CD, AC  bÉÃzÀPÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
9	ABO OCD	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
10	AO=OC,BO=OD	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
	ABO ªÀÄvÀÄÛ OCBUÀ¼À°è
11	AB=BC	ªÀUÀðzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
12	AO=OC	(10)jAzÀ.
13	BO	¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ
14	ABO OCB	¨Á.¨Á..¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
15	AOB=BOC	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
16	AOB+BOC=180^0	¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
17	2AOB=180^0
18	AOB=90^0=BOC

DzÀÝjAzÀ ªÀUÀðzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVzÀÄÝ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 4: ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁzÀ MAzÀÄ eÉÆvÉ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À CAvÀå©AzÀÄUÀ¼À£Àß MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°è ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVAiÀÄÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVAiÀÄÆ EgÀĪÀŪÀÅ.

zÀvÀÛ: AB=CD, AB||DC

AAiÀÄ£Àß D UÀÆ ªÀÄvÀÄÛ BAiÀÄ£Àß C UÀÆ ¸ÉÃj¹zÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AD=BC, AD||BC

gÀZÀ£É: AC eÉÆÃr¹zÉ.

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	AB=CD	zÀvÀÛ
2	DAC=ACB	AB||DC, AC bÉÃzÀPÀ. ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
3	AC	¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ
4	ABC ACD	¨Á.PÉÆÃ.¨Á. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	AD=BC	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
6	DAC=ACB	(2)jAzÀ.

DAC ªÀÄvÀÄÛ ACBUÀ¼ÀÄ AD ªÀÄvÀÄÛ BCUÀ¼À£Àß ACAiÀÄÄ bÉâ¹zÁUÀ GAmÁUÀĪÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÁzÀÝjAzÀ, AD||BC.

6.8.7 ¸ÀªÀĸÉå 1: avÀæzÀ°è ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. PAiÀÄÄ BCAiÀÄ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ. AB=BQ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. BCAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ  P.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: AB=BQ

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BP = PC	PAiÀÄÄ BCAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ.
2	BPQ=CPD	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	PBQ=PCD	AB||DC ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
4	BPQ CDP	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	BQ = DC	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
6	DC = AB	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
7	BQ = AB	5 ªÀÄvÀÄÛ 6jAzÀ

6.8.7 ¸ÀªÀĸÉå 2: ¥ÀPÀÌzÀ°ègÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCDAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ PQRS DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄßAlÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ. PQRS MAzÀÄ DAiÀÄvÀ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. AP, BP, CR ªÀÄvÀÄÛ DRUÀ¼ÀÄ A, B, C ªÀÄvÀÄÛ D PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: PQRS MAzÀÄ DAiÀÄvÀ

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	DAB+ADC= 180^0	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C£ÀÄPÀæªÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
2	DAB=2DAS	APAiÀÄÄDABAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ
3	ADC=2ADS	DRªÀÅ ADCAiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀ
4	DAS+ADS = 90^0
5	DAS+ADS+ ASD= 180^0	wæ¨sÀÄd ADS£À 3 PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
6	ASD= 180^0-(DAS+ADS)
7	= 180^0-90^0= 90^0
8	PSR =ASD	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
9	= 90^0
10	DAB +ABC  =180^0	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C£ÀÄPÀæªÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
11	1/2DAB +1/2ABC  =90^0
12	PAB +ABP  =90^0	APAiÀÄÄ AAiÀÄ£Àß BPAiÀÄÄBAiÀÄ£Àß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
13	SPQ =90^0	wæPÉÆãÀ APB £À°è J®è PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 180^0

EzÉà jÃwAiÀiÁV £ÁªÀÅ PQR=QRS=90⁰ JAzÀÄ ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ PQRS MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.

6.8.7 ¸ÀªÀĸÉå 3: PQRS MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. PS£Àß SM = SR DUÀĪÀAvÉ MªÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¹zÉ. MR£Àß ªÀÈ¢Þ¹zÉ. CzÀÄ PQªÀ£Àß N£À°è bÉâ¹zÉ. DUÀ QN=QR JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ: PQRS MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: QN=QR

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	SRM =SMR	SM=SR DzÀÝjAzÀ SRM MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd.
2	MSR =SPQ	(SR||PQ) C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
3	SPQ=RQN	(PS||QR) C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
4	MSR=RQN	2 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ
5	QNR = SRM	(SR||PN) C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
6	SMR=QRN	MSR  ªÀÄvÀÄÛ NQR  UÀ¼À°è JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ ªÀÄÆgÀ£Éà PÉÆãÀªÀÇ ¸ÀªÀÄ.
7	QNR=SRM=SMR =QRN	5, 1, 6 jAzÀ
8	QN=QR	ºÀAvÀ 6, QNRMAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd.

6.8.7 ¸ÀªÀĸÉå 4: ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. A ªÀÄvÀÄÛBUÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ BC ªÀÄvÀÄÛ ADUÀ¼À£Àß X ªÀÄvÀÄÛ YUÀ¼À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛªÉ. XY=CD JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

zÀvÀÛ:  ABCDAiÀÄÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.

AX EzÀÄ AAiÀÄ£Àß ,BY EzÀÄ BAiÀÄ£Àß C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ. AX ªÀÄvÀÄÛ BYUÀ¼ÀÄ O£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: XY=CD

¸ÁzsÀ£É: ABX ªÀÄvÀÄÛ AXYUÀ¼À°è

AD ||BC DzÀÝjAzÀ AY||BX, AB=CD,

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BAX =  AXY	AY||BX, AX bÉâ¹zÁUÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
2	XAY = AXB	AY||BX,  AX bÉâ¹zÁUÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
	BAY ªÀÄvÀÄÛ XYBUÀ¼À°è
3	BAY = YXB	1 ªÀÄvÀÄÛ 2£Àß PÀÆr¹zÉ.
4	BY	¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ.
5	AYB  = YBX	AY||BX, BY bÉâ¹zÁUÀ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ.
6	BAY XYB	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
7	AB =XY, AY=BX	C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ 6jAzÀ
8	XY =CD	AB=CD(zÀvÀÛ)ªÀÄvÀÄÛ 7 jAzÀ

6.8.7 ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 3: MAzÀÄ ¥ÁzÀzÀ ªÉÄïÉ, MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ «¹ÛÃtðzÀ°è ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀŪÀÅ.

zÀvÀÛ: ABCD ªÀÄvÀÄÛ ABEF ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ ABAiÀÄ ªÉÄÃ¯É EzÀÄÝ, MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ PQ ªÀÄvÀÄÛ RSUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð = ABEF £À «¹ÛÃtð

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
	FAD ªÀÄvÀÄÛ EBCUÀ¼À°è
1	AF = BE	ABEF ¸À.ZÀ.¨sÀÄ.zÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.
2	AFD = BEC, ADF = BCE,	AF||BE ªÀÄvÀÄÛ AD||BCDVzÀÄÝ PQ bÉÃzÀPÀªÁzÁUÀ C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	FAD = EBC	wæPÉÆãÀUÀ¼À JgÀqÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÁUÀ, 3£Éà PÉÆãÀªÀÇ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ.
4	FAD EBC	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	FADAiÀÄ «¹ÛÃtð = EBCAiÀÄ «¹ÛÃtð	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
6	FADAiÀÄ «¹ÛÃtð +     DEBAAiÀÄ «¹ÛÃtð  = EBCAiÀÄ «¹ÛÃtð + DEBAAiÀÄ «¹ÛÃtð	JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ½UÉ DEBAAiÀÄ «¹ÛÃtð PÀÆr¹zÉ.
7	FEBAAiÀÄ «¹ÛÃtð  = ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð	¸ÀªÀÄ£ÁzÀ CAPÀUÀ½UÉ ¸ÀªÀĪÁzÀ CAPÀUÀ¼À£Àß PÀÆr¹zÁUÀ ªÉÆvÀÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.

UÀªÀĤ¹: MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀ^*JvÀÛgÀ. E°è PQ ªÀÄvÀÄÛ RSUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀÝjAzÀ JgÀqÀÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ MAzÉà DVzÉ. ABCD ªÀÄvÀÄÛ FEBA ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ ABAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀÅzÀjAzÀ, D JgÀqÀÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ MAzÉà DVgÀÄvÀÛªÉ.

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 1: MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÁzÀUÀ¼ÀªÉÄÃ¯É ¤AwgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀŪÀÅ.

MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð = ¥ÁzÀ^*JvÀÛgÀ (6.8.2 £ÉÆÃr)

PQ ªÀÄvÀÄÛ RS UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀÝjAzÀ ABCD ªÀÄvÀÄÛ EFGHUÀ¼À

JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ MAzÉà DVªÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD ªÀÄvÀÄÛ EFGHUÀ¼À

¥ÁzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀÝjAzÀ (AB=EF)CªÀÅUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ

MAzÉà DVgÀÄvÀÛªÉ.

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 2: MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀªÀ£Àß ºÉÆA¢zÀÄÝ, MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÀÝgÉ, wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðzÀ CzsÀðzÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCDAiÀÄ«¹ÛÃtð= ¥ÁzÀ^*JvÀÛgÀ =AB*h - - -( 6.8.2 £ÉÆÃr)

»AzÉ 2£Éà ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ°è

“PÀtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ”JAzÀÄ ¸Á¢ü¹zÉÝêÉ.

ADB CDB

¸À.ZÀ.¨sÀÄ. ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð = ADBAiÀÄ «¹ÛÃtð  +CDBAiÀÄ «¹ÛÃtð

= 2 * ADBAiÀÄ «¹ÛÃtð

ADBAiÀÄ «¹ÛÃtð = 1/2 ^*¸À.ZÀ.¨sÀÄ. ABCDAiÀÄ «¹ÛÃtð

=1/2( AB*h) = 1/2*¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ

UÀªÀĤ¹: E°èAiÀĪÀgÉUÉ £ÁªÀÅ wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä AiÀiÁªÀÅzÉà ¸ÁzsÀ£É E®èzÉ = 1/2 ¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ JA§ ¸ÀÆvÀæªÀ£Àß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄwÛzÉݪÀÅ.

FUÀ F G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£Àß ¸Á¢ü¹zÁUÀ, wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæ ¸Á¢ü¹zÀAvÁVzÉ.

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 3: MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄïÉ, MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀŪÀÅ.

wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð =  1/2*¥ÁzÀ*JvÀÛgÀ

ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð

= (1/2)*¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ = (1/2)*AB*h

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À JvÀÛgÀ J¯Áè gÉÃSÉAiÀÄ J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼À°èAiÀÄÆ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ.

ABDAiÀÄ JvÀÛgÀ = ABCAiÀÄ JvÀÛgÀ

ABDAiÀÄ «¹ÛÃtð  = 1/2(AB*h)

ABCAiÀÄ «¹ÛÃtð = ABDAiÀÄ «¹ÛÃtð

6.8.7 G¥À¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 4: MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¸ÀªÀĪÁzÀ ¥ÁzÀUÀ¼À£Àß ºÉÆA¢gÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.

(¸ÀÆvÀæzÀAvÉ, wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtð = (1/2)*¥ÁzÀ *JvÀÛgÀ).

6.8.7 ¸ÀªÀĸÉå 6: avÀæzÀ°è DE||BC DzÀgÉ, BODAiÀÄ «¹ÛÃtð = Area of COEAiÀÄ «¹ÛÃtð

zÀvÀÛ: DE ||BC

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: BODAiÀÄ «¹ÛÃtð = COEAiÀÄ «¹ÛÃtð

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BCDAiÀÄ «¹ÛÃtð = BCEAiÀÄ «¹ÛÃtð	JgÀqÀÆ wæPÉÆãÀUÀ½UÉ BCAiÀÄÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÁzÀ, DE||BC.
2	BCDAiÀÄ «¹ÛÃtð - BOCAiÀÄ «¹ÛÃtð = BCEAiÀÄ «¹ÛÃtð - BOCAiÀÄ «¹ÛÃtð	JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ½AzÀ BOCAiÀÄ «¹ÛÃtðªÀ£Àß PÀ¼É¢zÉ.
3	BODAiÀÄ «¹ÛÃtð = COEAiÀÄ «¹ÛÃtð

6.8.7 ¸ÀªÀĸÉå 7: avÀæzÀ°è D ªÀÄvÀÄÛ EUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV ªÀÄvÀÄÛ ABAiÀÄ ªÉÄð£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ BCEAiÀÄ «¹ÛÃtð = BCDAiÀÄ «¹ÛÃtð DzÀgÉ DE||BC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.

(EzÀÄ ªÉÄð£À ¸ÀªÀĸÉåAiÀÄ «¯ÉÆêÀÄ)

zÀvÀÛ: BCE AiÀÄ «¹ÛÃtð = BCD AiÀÄ «¹ÛÃtð.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: DE || BC

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
1	BCEAiÀÄ «¹ÛÃtð = 1/2 BC*BCEAiÀÄ JvÀÛgÀ	BC ¥ÁzÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ zÀ «¹ÛÃtð
2	BCDAiÀÄ «¹ÛÃtð = 1/2  BC*BCDAiÀÄ JvÀÛgÀ	BC ¥ÁzÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ zÀ «¹ÛÃtð
3	BC*BCEAiÀÄ JvÀÛgÀ = BC* BCD AiÀÄ JvÀÛgÀ	JgÀqÀÆ wæPÉÆãÀUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
4	BCEAiÀÄ JvÀÛgÀ = BCDAiÀÄ JvÀÛgÀ
5	DE || BC	JgÀqÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À JvÀÛgÀ MAzÉà DVzÉ.

6.8.7 ªÀÄzsÀå©AzÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄUÀ¼À£Àß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ ªÀÄÆgÀ£Éà ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ CzsÀðzÀ¶ÖgÀĪÀÅzÀÄ.

zÀvÀÛ: ABCAiÀÄ°è DAiÀÄÄ ABAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ EAiÀÄÄ ACAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀĪÁVzÉ.

¸ÁzsÀ¤ÃAiÀÄ: DE||BC, DE=1/2BC.

gÀZÀ£É: C¬ÄAzÀ ABUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£É߼ɢzÉ. DEAiÀÄ£Àß ªÀÈ¢Þ¹zÁUÀ ªÉÄð£À gÉÃSÉAiÀÄ£Àß F£À°è ¸ÀA¢ü¹zÉ.

¸ÁzsÀ£É:

ºÀAvÀ	¤gÀÆ¥ÀuÉ	PÁgÀtUÀ¼ÀÄ
	ADE ªÀÄvÀÄÛ ECFUÀ¼À°è
1	AE = CE	EAiÀÄÄ ACAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ
2	BAE = ECF	AB||CF, ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
3	ADE = CEF	±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
4	EDA EFC	PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀéAiÀÄA¹zÀÞ
5	DE=EF,AD=CF	¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ
6	AD=DB	DAiÀÄÄ BAAiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ
7	DB=CF	5 ªÀÄvÀÄÛ 6jAzÀ
8	DBCF MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.	C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÁzÀ CF ªÀÄvÀÄÛ BDUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
9	DF||BC,DF=BC	8jAzÀ
10	DE=EF	5jAzÀ
11	BC = 2DE	9 ªÀÄvÀÄÛ 10jAzÀ

6.5 PÀ°vÀ ªÀÄÄSÁåA±ÀUÀ¼ÀÄ

¸ÀA.	£É£À¦qÀ¨ÉÃPÁzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ
1	¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.
2	PÀtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£Àß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæPÉÆãÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
3	MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÁzÀUÀ¼ÀªÉÄÃ¯É ¤AwgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀŪÀÅ.
4	wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄUÀ¼À£Àß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ ªÀÄÆgÀ£Éà ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ CzsÀðzÀ¶ÖgÀĪÀÅzÀÄ.

UÀªÀĤ¹ : wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ CzÀgÀ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ »rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.(°Ã¯ÁªÀw ±ÉÆèÃPÀ 169)

2s = a+b+c (¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÆvÀÛ) DzÀgÉ, wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛÃtð=