2.10 ಬಹುಪದಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ (Division of Polynomials)

 

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ: ಭಾಜ್ಯ = (ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ.

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

 

2.10.1 ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of Monomial by monomial)

 

2.10.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1: 12m³ ನ್ನು 4 m² n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಹಂತ 1: 12m³ n⁵ / 4 m² n =  (12/4)* (m³ n⁵ /m² n)

ಹಂತ 2: 12/4 =   3,

ಹಂತ 3:

m³ n⁵/ m² n = m^3-2 n^{5-1 =} m n⁴

12m³ n⁵ /4 m² n = 3 m n⁴

 

ತಾಳೆ:

 (ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = 4 m² n*3 m n⁴ +0 =12 m²⁺¹ n¹⁺⁴ =12m³ n⁵  - ಭಾಜ್ಯ

 

 

2.10.1  ಸಮಸ್ಯೆ 2 : 57x²y²z² ನ್ನು 19xyz ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಹಂತ 1 : 

57x²y²z² /19xyz  = (57/19) * (x²y²z²)/xyz

ಹಂತ 2:

57/19 =3

ಹಂತ 3:

x²y²z²/xyz = x^2-1y^2-1z^2-1  = xyz

 

57x²y²z² /19xyz  = (57/19) * (x²y²z²)/xyz  =3xyz

 

ತಾಳೆ:

(ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ) + ಶೇಷ = (3xyz * 19xyz) +0 = (3*19)*xyz*xyz +0=   57x¹⁺¹y¹⁺¹z¹⁺¹+0=57x²y²z²   - ಭಾಜ್ಯ

 

ಈ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು:

3  ಎನ್ನುವುದು 57/19 ಅಂದರೆ ಏಕ ಪದಗಳ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ.

 

ಅದೇರೀತಿ xyz ಎಂಬುದು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧ..

 

ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು (Steps to divide a monomial by monomial):

ಭಾಗಲಬ್ಧವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕ ಮತ್ತು ಚರಾಕ್ಷರಗಳು. ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಹೇಗೆ?

1.      ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಸಹಗುಣಕವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮ.

2.      ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಚರಾಕ್ಷರ ಭಾಗವು ಆ ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

2.10.2  ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of a Polynomial by a Monomial):

 

 

2.10.2  ಸಮಸ್ಯೆ 1: 402³m²n²-603²m²n -804²m³ ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯನ್ನು (-201²m²) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

402³= (2x201)³= (2)³x(201)³, 603²  = (3x201)² = (3)²x(201)², 804²  = (4x201)² = (4)²x(201)²

 

 [402³m²n²-603²m²n -804²m³ n⁴]/(-201²m²)

=[(2)³*(201)³ m²n²-(3)²*(201)² m²n -(4)²*(201)²m³ n⁴]/(-201²m²)

= -[ (2)³*(201) n²-(3)²* n -(4)²*m¹ n⁴] = - (8*201* n²-9n -16mn⁴)

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (-201²m²)*[-(8*201* n²+9n +16mn⁴)]+0

= +(201²m²)*(8*201* n² -201²m²*9n -201²m²*16mn⁴) +0

= 8*201³m² n²  -9*201²m²⁺²n-16*201²m²⁺¹n⁴)

= 2³*  201³m² n²  - 3² *201²m⁴n-4²*201² m³ n⁴

= (2*201)³m²n²-(3*201)² m²n –(4*201)² m³ n⁴

= 402³ m²n² - 603² m²n - 804² m³ n⁴

= ಭಾಜ್ಯ.

 

2.10.2  ಸಮಸ್ಯೆ 2 :  2a⁴ b³+ 8a² b² ವನ್ನು 2ab ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

 (2a⁴ b³+ 8a² b²)/2ab = (2a⁴ b³/2ab) + (8a² b² / 2ab) = a³ b² +4a b

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = 2ab*(a³ b² +4a b) +0= 2a⁴ b³+ 8a² b²   = ಭಾಜ್ಯ

 

ಬಹುಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅನುಸರಿಸುವ ಹಂತಗಳು:

 

1.      ಬಹುಪದದ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

2.      ಈ ರೀತಿ ಪಡೆದ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.(ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ).

 

2.10.3 ಬಹುಪದವನ್ನು ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು (Division of a Polynomial by a Binomial) (Long division method):

 

2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ 7+x³-6x (ತ್ರಿಪದ)ವನ್ನ ಒಂದು ದ್ವಿಪದ x+1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾ.

                             

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು 3ನೇ ಘಾತದ ಬೀಜೋಕ್ತಿ, ಭಾಜಕವು 1ನೇ ಘಾತದ ದ್ವಿಪದ.

ಹಂತ	ವಿಧಾನ
1	ಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಘಾತ ಸೂಚಿಯ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
2	ಯಾವುದೇ ಘಾತದ ಬೀಜ ಪದ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಹಗುಣಕ ‘0’ ಹಾಕಿ, ಬರೆಯಿರಿ x3  -6x+7  ನ್ನು (x3  +0x2-6x+7) ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
3	ಭಾಜ್ಯದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಭಾಜಕದ ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ( x3/x = x2). ಆದ್ದರಿಂದ x2  ವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.
4	ಭಾಜಕವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೊದಲ ಪದ (x2) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಜ್ಯದ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ (=x3+ x2)
5	ಹಂತ 4 ರಲ್ಲಿ ಬಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ.( x3 +0x2 ) – (x3+ x2) =  - x2
6	ಭಾಜ್ಯದ ಮುಂದಿನ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು,(=-6x) ಹಂತ 5ರ ಉತ್ತರದ ಮುಂದೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆಗ -x2 – 6x. ಇದು ಹೊಸ ಭಾಜ್ಯ.
7	ಹಂತ 3 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನದ್ದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ
8	ಶೇಷದ ಘಾತ ಸೂಚಿಯು ಭಾಜಕದ ಘಾತ ಸೂಚಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.

 

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಜಕ* ಭಾಗಲಬ್ಧ + ಶೇಷ = (x+1)* (x²-x-5)+12 

= x*(x²-x-5) +1*(x²-x-5)+12

 = (x³-x²-5x)+ (x²-x-5)+12 = x³-x²+ x²-5x-x -5+12

= x³-0x²-6x +7

= x³-6x +7 – ಇದು ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ.

 

 

2.10.3  ಸಮಸ್ಯೆ 2: x⁵ -9x² +12x-14 ದಿಂದ x -3 ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಭಾಜ್ಯವು ಘಾತಾಂಶದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ x ನ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೊನ್ನೆ ಸಹಗುಣಕ ಸೇರಿಸಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

 

xಭಾಜ್ಯ: x⁵ +0x⁴ +0x³-9x² +12x-14.

ಭಾಜಕವು ಘಾತಾಂಕದ ಇಳಿಕೆಯ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಇದೆ.

 

      - | x⁵ -3x⁴

         -    |3x⁴ +0x³

             - |3x⁴ -9x³

                   -  |9x³ -9x²

                    - |9x³ -27x²

                          -  |18x²+12x

                          -  |18x² -54x

                                    -|66x-14

                                     -|66x-198

                                             184

 

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಶೇಷವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಿರುವುದರಿಂದ, ತಾಳೆ ನೋಡಲು ಬೇರೆ ವಿಧಾನ ಬಳಸುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡುವಾ.

x=2 ಆದಾಗ,

ಭಾಜಕ =x⁵ -9x² +12x-14 = 2⁵ -9*2² +12*2-14

= 32-36+24-14

= 6

ಭಾಜಕ = x-3 =2-3 = -1

ಭಾಗಲಬ್ಧ =  

  = 2⁴ +3*2³ +9*2²+18*2+66

  = 16+24+36+66=178

ಈಗ,

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = 178*-1+184

  = -178+184

  = 6 - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

 

 

2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 3:  (6p³ -19p² -8p) ಯನ್ನು (p² -4p+2) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

 

ಪರಿಹಾರ:

               6p+5

p² -4p+2

( -)     |6p³ -24p² +12p                --à ---- (1)      {= 6p*(p² -4p+2)}

(=)             |+5 p² -20p                --à -----(2)     {ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನು ಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ}

( -)             | 5p² - 20p+10           --à -----(3)      {= 5*(p² -4p+2)}

(=)                              -10           --à  ಶೇಷ         {ಸಮೀಕರಣ (3) ರಿಂದ (2)ನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. }

 

ತಾಳೆ:

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ = (6p+5)* (p² -4p+2)

  = 6p* p²  +6p*-4p+6p*2+5* p²+5*-4p+5*2

  = 6p³ -24p²+12p+5p²-20p+10

  = 6p³ -19p²-8p+10

 

ಭಾಗಲಬ್ಧ*ಭಾಜಕ + ಶೇಷ = (6p³ -19p²-8p+10)-10

    = 6p³ -19p²-8p - ದತ್ತ ಭಾಜ್ಯ

 

 

2.10. ಸಮಸ್ಯೆ 4: a⁵ +b⁵ ನ್ನು (a+b) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

a+b

 (-)  |a⁵+ a⁴b

      (=)   - a⁴b+0

        (-) |a⁴b-a³b²

         (=)       a³b²+0

              (-) | a³b²+ a²b³

             (=)           - a²b³+0

                          (-) |-a²b³-ab⁴

                         (=)            ab⁴ + b⁵

                                (-)    |ab⁴ + b⁵

                                  (=)         0

 

 

ಅಭ್ಯಾಸ: ಭಾಜಕ*ಭಾಗಲಬ್ಧ+ಶೇಷ = ಭಾಜ್ಯ ಆಗುವುದೋ ಎಂದು ನೋಡಿ.

 

 

2.10 ಕಲಿತ  ಸಾರಾಂಶ

 

 

ಸಂ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1	ಏಕಪದವನ್ನು ಏಕಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.