2.9 ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ
ಮ.ಸಾ.ಅ & ಲ.ಸಾ.ಅ
(HCF and LCM of Polynomials/Algebraic
expressions):
ಯಾವುದೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠ 2.5 ರಲ್ಲಿ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ
2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 1: (p+3)3, 2p3+54+18p(p+3),
(p2+6p+9) ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ 1: ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸಿರಿ.
1. (p+3)3 – ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3),(p+3) ಮತ್ತು (p+3)
2. ಈಗ
2ನೇ ಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾ.
2p3+54+18p(p+3)
= 2(p3+27)+18p(p+3)
= 2*(p+3)( p2+9-3p)+18p(p+3), [(p3+27) ಇದು a3+b3 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, a3+b3
=(a+b) (a2 +b2 -ab)]
=(p+3)*((2*(p2+9-3p))+18p)
= (p+3) *2*( p2+9-3p+9p)
=2(p+3)( p2+9+6p)
[ 
(p2+9+6p ಇದು ( a2+ b2+2ab) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. a=p , b=3, ( a2+
b2+2ab)= (a+b)2 ]
= 2(p+3)(p+3)2
2p3+54+18p(p+3) ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: 2, (p+3),(p+3),(p+3)
3. (p2+6p+9) =(p+3)2 -- (ಮೇಲೆ ನೋಡಿದೆ.)
(p2+6p+9) ಈ ಬೀಜೋಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (p+3)2
ಹಂತ 2: ಈಗ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ನೋಡಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3),
(p+3)(p+3)
ಮೇಲಿನವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ
ಅಪವರ್ತನ (
p+3)ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ( p+3)ನಿಂದಲೇ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ
(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)
(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)
(p+3), 2(p+3) 1
ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಗೇ ನಿಲ್ಲಿಸಿ.
ಆದ್ದರಿಂದ ಮ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)=
(p+3)2
ಮತ್ತು
(p+3) | ( p+3)(p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3)(p+3), (p+3)(p+3)
(p+3) | (p+3)(p+3), 2(p+3)(p+3), (p+3)
(p+3) | (p+3), 2(p+3) 1
1, 2, 1
ಇನ್ನು ಎಲ್ಲಾವುದಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು ಇಲ್ಲದುದರಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಇಲ್ಲಿಗೇ ಮುಗಿಯಿತು.
ಲ.ಸಾ.ಅ = (p+3)(p+3)(p+3)*1*2*1 = 2(p+3)3
ತಾಳೆ:
p=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ
ಮ.ಸಾ.ಅ =
(p+3)2
= (2+3)2 =25
ಲ.ಸಾ.ಅ = 2(p+3)3= 2(2+3)3=
2*125=250
ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು: (p+3)3
, 2p3+54+18p(p+3), (p2+6p+9)
(2+3)3, (2*23+54+18*2(2+3)),
(22+6*2+9)
= {125, 250,25}
ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =25 , ಲ.ಸಾ.ಅ =250 ಪರಿಹಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 2: 10(x2-y2), 15(x2-2xy+y2), 20(x3- y3),
5(-3x +3y) ಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಹಂತ 1: ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿಗೆ ದತ್ತ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬೇಕು.
1. ಮೊದಲ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 10(x2-y2)
ಇದರಲ್ಲಿ (x2-y2)
ವು (a2-b2)
ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ.
ಅದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು: (a+b) (a-b):
10(x2-y2)=10(x+y)(x-y)
2.
ಎರಡನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 15(x2-2xy+y2)
ಇದರಲ್ಲಿ (x2-2xy+y2) ವು (a2-2ab+b2) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ಇದರ ಅಪವರ್ತನಗಳು (a-b)
ಮತ್ತು (a-b)
15(x2-2xy+y2)= 15(x-y)
(x-y)
3. ಮೂರನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 20, (x3-y3):
20, (x-y), (x2 +y2
+xy)
4. ನಾಲ್ಕನೇ ಬೀಜೋಕ್ತಿ: 5*-3(x-y) = 5*(-3)(x-y)=-15, (x-y)
ಹಂತ 2: ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.
ಇಲ್ಲಿ ಅಪವರ್ತನಗಳು 5 ಮತ್ತು (x-y) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಇವೆರಡರಿಂದ ಜೊತೆಯಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.
5 (x-y) | 10(x+y) (x-y), 15(x-y)
(x-y), 20(x-y)(x2 +y2 +xy), -15(x-y)
2(x+y), 3(x-y), 4(x2 +y2 +xy), -3
ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳು ಇನ್ನಿಲ್ಲ.
ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y)
ಈಗ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಪುನ: 5(x-y) ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.
5(x-y) | 10(x+y)
(x-y), 15(x-y) (x-y), 20(x-y)(x2 +y2
+xy), -15(x-y)
2| 2(x+y), 3(x-y), 4(x2 +y2 +xy), -3 (ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳು ಇರುವರೆಗೂ ನಾವು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡೋಣ.)
3| (x+y), 3(x-y),
2(x2 +y2
+xy), -3
(x+y), (x-y), 2(x2 +y2 +xy) -1
ಲ.ಸಾ.ಅ =5(x-y)* 2*3*(x+y)*(x-y)*2(x2 +y2
+xy)
= 60*(x-y)(x+y)*(x-y)(x2 +y2
+xy)
( (x-y)(x2 +y2 +xy) ವು (a-b)( (a2 +b2 +ab)
ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು a=x and b= y)
= 60*(x2-y2)* (x3-y3)
ತಾಳೆ:
x=3 , y=2 ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿ ತಾಳೆನೋಡುವಾ
ಮ.ಸಾ.ಅ = 5(x-y) = 5*(3-2) = 5
ಲ.ಸಾ.ಅ = 60*(x2- y2)*
(x3-y3)
= 60*(9-4)*)(27-8)
=60*5*19=5700
ಈಗ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳು:
10(x2-y2), 15(x2-2xy+y2)
20(x3- y3),5(-3x +3y)
10(32-22), 15(32-2*3*2+22),
20(33- 23),5(-3*3 +3*2)
= {50, 15, 380, -15}
ಈ ಪದಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ =5
ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವಾ.
5 | 50,15,380,-15
2 | 10,3,76,-3
3 | 5,3,38,-3
| 5,1,38,-1
ಲ.ಸಾ.ಅ =
5*2*3*5*38=5700 ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
2.9 ಸಮಸ್ಯೆ 3 : ಯಾವ a ಮತ್ತು b ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಬೀಜೋಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ
p(x) = (x2+3x+2)
(x2+2x+a), q(x) = (x2+7x+12) (x2+7x+b)
(x+1)(x+3) ಅವುಗಳ
ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪರಿಹಾರ:
(x2+3x+2)
= (x+1)(x+2)
(x2+7x+12) =
(x+4)(x+3)
p(x)
= (x+1)(x+2)(x2+2x+a)
q(x) = (x+4)(x+3) (x2+7x+b)
ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) p(x), ನ ಮ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ
(x2+2x+a) ರ ಅಪವರ್ತನ (x+3) ಇರಲೇ ಬೇಕು
I.e. x=-3 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x2+2x+a)
=0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು
(-3)2+2(-3)+a =0
I.e. 9-6+a =0
a =-3
ದತ್ತದಂತೆ (x+1)(x+3) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ q(x), ಆಗಿರುವುದರಿಂದ
(x2+7x+b)
ರ ಅಪವರ್ತನ (x+1)
I.e. x=-1 ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣ (x2+7x+b)
=0 ಆಗಲೇ ಬೇಕು
(-1)2+7(-1)+b =0
I.e. 1-7+b =0
b =6
ತಾಳೆ:
a ಮತ್ತು b ಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು p(x)
ಮತ್ತು q(x) ದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ,
p(x) = (x2+3x+2) (x2+2x-3)
= (x+1) (x+2) (x+3) (x-1) { (x2+2x-3) = (x+3)(x-1)}
q(x) =(x2+7x+12)
(x2+7x+6) = (x+4) (x+3) (x+1) (x+6) { (x2+7x+6)= (x+1)(x+6)}
p(x) ಮತ್ತು q(x) ರ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ p(x)
) ) ಮತ್ತು q(x) ರ ಮ.ಸಾ.ಅ (x+1) (x+3) ಆಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.
2.9 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
|
ಸಂ |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
|
1 |
ಮ.ಸಾ.ಅ
ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ.
ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ
ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮ. |