ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆ

6.3 ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ (Theorem on Parallel lines):

ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ‘ಪ್ರಮೇಯ’ (Theorem) ಎನ್ನುವರು.

ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಗಳಿರುತ್ತವೆ:-

1. ದತ್ತ: ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟ ಅಂಶಗಳು.

2. ಪ್ರಮೇಯದ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕನುಗುಣವಾದ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ(ಚಿತ್ರ).

3. ಸಾಧನೀಯ: ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶಗಳು.

4. ರಚನೆ: ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ರಚನೆ ಬೇಕಾದರೆ, ಅವುಗಳ ರಚನೆ.

5. ಸಾಧನೆ: ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ಸಾಧನೆ.

‘ಪ್ರಮೇಯ’ಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ:

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ:

“ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ”.

(ವಿಕರ್ಣ)² = (ಬಾಹು)²+(ಬಾಹು)²

ಇದನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧಿಸಲಿಕ್ಕೆ ಇದ್ದೇವೆ.

6.3 ಪ್ರಮೇಯ 1: ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ

1. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2. ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರ್ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ: AB || CD, EF ಇಈ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು AB ಮತ್ತು CD ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ G ಮತ್ತು H ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ.

ಸಾಧನೀಯ:

1) AGH = GHD, BGH=CHG (1 = 3, 2=4)

2) AGH+CHG = 180⁰, BGH+DHG =180⁰(1+4 = 180⁰, 2+3 =180⁰)

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	EGB = GHD
2	EGB = AGH	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ
3	AGH = GHD	ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1: ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.
4	AGE =CHG	ಅನುರೂಪಕೋನಗಳು ಸಮ
5	AGE = BGH	ಶೃಂಗಾಭಿಮುಖ ಕೋನಗಳು ಸಮ
6	CHG=BGH	ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ 1: ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.
7	AGH+HGB= 180⁰	ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು
8	BGH = CHG	ಹಂತ 5, 6 ರಿಂದ
9	AGH+CHG= 180⁰	HGB ಯ ಬದಲು CHG ಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿದೆ.
10	CHG +GHD = 180⁰	ಸರಳಯುಗ್ಮ ಕೋನಗಳು
11	BGH = CHG	ಹಂತ 6 ರಿಂದ
12	GHD+BGH= 180⁰	10 ರಲ್ಲಿ CHG ಬದಲು BGH ಆದೇಶಿಸಿದೆ.

6.3 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB || PQ ಮತ್ತು BC || QR, ಆದರೆ PQR =ABC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ದತ್ತ : AB || PQ, BC || QR

ಸಾಧನೀಯ: PQR =ABC

ರಚನೆ: PQ ವನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. ಅದು BC ಯನ್ನು T ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ. RQ ವನ್ನ ವೃದ್ಧಿಸಿದೆ. ಅದು AB ಯನ್ನು S ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದೆ.

ಸಾಧನೆ:

PQR = ASR (AB || PQ : ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು)

ASR = ABC (BC || QR : ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು)

PQR =ABC

6.3 ಸಮಸ್ಯೆ 2 : ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB||CD. EH ಮತ್ತು FG ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ FEB ಮತ್ತು EFD ಗಳ ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು.

ಆಗ, EH ಮತ್ತು FG ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ

ರಚನೆ: CD ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ G ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ GI ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ:

ಸಂ.	ನಿರೂಪಣೆ	ಕಾರಣಗಳು
1	CFE = BEF	AB \|\|CD ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.
2	BEF = 2FEG	FEB ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ EH.
3	CFE = 2FEG	1 ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ .
4	EFD = AEF	AB \|\|CD ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.
5	EFD = 2EFG	EFD ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ GF.
6	CFE +EFD = 180⁰	CD ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಕೋನಗಳು (ಸರಳಯುಗ್ಮ)
7	2FEG +2EFG = 180⁰	3 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ 6ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ .
8	FEG +EFG = 90⁰	7 ನ್ನ ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದೆ .
9	FEG = GEB	BEI ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ EG
10	GEB = EGI	AB\|\|IG ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು .
11	FEG = EGI	ಮತ್ತು 10 ರಿಂದ
12	EFG=GFD	IFD ಯ ಕೋನಾರ್ಧಕ FG
13	GFD =IGF	CD\|\|IG ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು.
14	EFG =IGF	12 ಮತ್ತು 13ರಿಂದ .
15	EGI +IGF(=EGF) = 90⁰	11 ಮತ್ತು 14 ರಿಂದ 8ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದೆ .
16	ಆದ್ದರಿಂದ , EH ಮತ್ತು FG ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ .

6.3 ಪ್ರಮೇಯ 2(1ನೇ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಲೋಮ): ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಿಸಿದಾಗ,

1): ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ

ಅಥವಾ

2): ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ

ಆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ದತ್ತ:

‘1) AB ಮತ್ತು CD ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು EF ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

2) AGH = GHD (BGH=CHG)

ಅಥವಾ

3) AGH+CHG = 180⁰(BGH+DHG =180⁰)

ಸಾಧನೀಯ: AB||CD.

ಸೂಚನೆ: ಮೊದಲು ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು ಸಮವೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ನಂತರ 6.2.3 ಹೇಳಿಕೆ 4 ರ ಆಧಾರದಂತೆ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ

6.3 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

ಸಂ

ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು

ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ

1) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2) ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸಿದಾಗ,

1): ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೊತೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ

ಅಥವಾ

2): ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿನ ಅಂತರ್ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ,

ಆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.