6.5 ವಿವಿಧ ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯುವುದು (Concurrent lines of triangles):
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:
|
ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಅಭಿಮುಖ(ಎದರು ಬದಿ) ಬಾಹುವಿಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವನ್ನು ಲಂಬರೇಖೆ(ಎತ್ತರ ) (altitude). ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ C ಶೃಂಗಬಿಂದು.. CM, C ಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವಾದುದರಿಂದ ಅದು ಎತ್ತರ. ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜಕ್ಕೆ ಮೂರು ಭುಜಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ ಮೂರು ಎತ್ತರಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. |
|
|
ಮೂರು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆಅವುಗಳನ್ನು ಏಕೀಭವನ
ರೇಖೆಗಳು (concurrent lines) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ AB,CD,EF ರೇಖೆಗಳು GH ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ ಅವು ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು. |
|
6.5.1 ಲಂಬರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯುವುದು (Construction of
Altitudes):
|
1) ದತ್ತ ಅಳತೆಗೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಿ (AB =7.5 ಸೆಂ.ಮಿ, AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ , BC =7 ಸೆಂ.ಮಿ,) 2) C ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AB ಯನ್ನು (ಬೇಕಾದರೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ)ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳು X ಮತ್ತು Y ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 3) X ಮತ್ತು Y ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು Z ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. 4) C ಮತ್ತು Z ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ. CZ ರೇಖೆಯು ABಯನ್ನ L ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. CL ಎಂಬುದು ಒಂದು ಲಂಬರೇಖೆ (ಎತ್ತರ) |
|
|
5) ಶೃಂಗ A ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು BC ಯನ್ನ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ) ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳು G ಮತ್ತು H ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 6) G ಮತ್ತು H ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, HG ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನುI ಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 7) A ಮತ್ತು I ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ. ಆ ರೇಖೆಯು BC ಯನ್ನ N ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.. ಆಗ AN ಒಂದು ಲಂಬರೇಖೆ (ಎತ್ತರ) 8) ಶೃಂಗ B ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅನುಕೂಲವಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು AC ಯನ್ನ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ವೃದ್ಧಿಸಿ) ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳು E ಮತ್ತು D ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 9) E ಮತ್ತು D ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ED ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನು F ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವಂತೆ ಎಳೆಯಿರಿ. 10) B ಮತ್ತು ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಆ ರೇಖೆಯು AC ಯನ್ನ M ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಆಗ BM ಒಂದು ಲಂಬರೇಖೆ (ಎತ್ತರ) |
|
|
ಗಮನಿಸಿ: ಮೂರು ಲಂಬರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ‘O’ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ |
|
|
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅವುಗಳ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಲಂಬಗಳನ್ನೆಳೆದಾಗ, ಆ ಲಂಬಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ‘ಲಂಬಕೇಂದ್ರ’ (orthocenter) ಎನ್ನುವರು. ಈ ಬಿಂದುವನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ‘O’ ದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. |
|
ಈಗ ನಾವು ಮೂರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಧದ (ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ:
|
|
|
|
|
ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ABC ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಗೆ ಇದೆ. |
ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ABC ಯು ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಇಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ. |
ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ ಯು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ. ಇಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಲಂಬಕೋನದ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಇದೆ. |
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:
|
ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೃಂಗಬಿಂದುವನ್ನ ಅದರ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿನ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ತ್ರಿಭುಜದ ‘ಮಧ್ಯರೇಖೆ’ (median). ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರ ABC ಯಲ್ಲಿ A, B, C ಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳು.L, M, N ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ AB, BC ಮತ್ತು AC ಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು. ಶೃಂಗಬಿಂದು C ಯನ್ನು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು L ಗೆ ಜೋಡಿಸುವ CL ಒಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ. ಶೃಂಗಬಿಂದು A ಯನ್ನು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು M ಗೆ ಜೋಡಿಸುವ AM ಒಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ. ಶೃಂಗಬಿಂದು B ಯನ್ನು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹು CA ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು N ಗೆ ಜೋಡಿಸುವ BN ಒಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ. |
|
6.5.2 ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವುದು (Construction of Medians):
|
1) ದತ್ತ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಿ (AB = 5 ಸೆಂ.ಮಿ, AC = 5 ಸೆಂ.ಮಿ ಮತ್ತು 2) AB ಯನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಿ. (AB ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AB ಯ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು X ಮತ್ತು Y ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಲಿ.) 3) X ಮತ್ತು Y ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. XY ರೇಖೆಯು AB ಯನ್ನ L ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. CL ಜೋಡಿಸಿ. ಆಗ CL ಮಧ್ಯರೇಖೆ. |
|
|
4) BC ಯನ್ನು ವಿಭಾಗಿಸಿ. (BC ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ BC ಯ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು P
ಮತ್ತು Q ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಲಿ.) 5) P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿರಿ. PQ ರೇಖೆಯು BC ಯನ್ನು M ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯಲಿ. AM ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ಮಧ್ಯರೇಖೆ..
ಇದೇರೀತಿ B ಬಿಂದುವಿನಿಂದಲೂ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. |
|
|
ಗಮನಿಸಿ: ಮೂರು ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು G ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ. |
|
|
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ: ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು “ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ” (centroid) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ‘G’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. |
|
ಈಗ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ (ವಿಶಾಲಕೋನ, ಲಘುಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳು) ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ.
|
|
|
|
|
ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ G ಯಿಂದ ಶೃಂಗಬಿಂದುವಿಗೂ ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿಗೂ ಇರುವ ದೂರಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ. |
||
|
ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ (ಲಘುಕೋನ
ತ್ರಿಕೋನ) 2GH = AG, 2GI= BG, 2GJ=GC. |
ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ (ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ) 2GX = DG, 2GY=EG, 2GZ=GF. |
ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ (ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ) 2GS=PG, 2GT=QG, 2UG=GR. |
ಇದರಿಂದ ನಾವೇನನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು?
ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರವು ಪ್ರತೀ ಮಧ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ಶೃಂಗಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೇ ಇರುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ತ್ರಿಕೋನದ
ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು “ಲಂಬಾರ್ಧಕ
ರೇಖೆಗಳು” (perpendicular
bisector).
6.5.3 ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಲಂಬಾರ್ಧಕರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯುವುದು.(Construction of perpendicular bisector):
|
ಹಂತ 1: ದತ್ತ ಅಳತೆಯ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ರಚಿಸಿರಿ (AB=7.5 ಸೆಂ.ಮಿ, ABC=45,AC=4 ಸೆಂ.ಮಿ)
ಹಂತ 2: A ಮತ್ತು B ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು AB ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AB ಯು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು X ಮತ್ತು Y ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.
ಹಂತ 3: X ಮತ್ತು Y ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ. XY ರೇಖೆಯು AB ಯನ್ನು L ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.. (XY ರೇಖೆಯು AB ಯನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು AB ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ.) |
|
|
ಹಂತ 4: B ಮತ್ತು C ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು BC ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ BC ಯು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಹಂತ 5: PQ ಜೋಡಿಸಿ. ಈ ರೇಖೆಯು BC ಯನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ (PQ ರೇಖೆಯು BC ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದು BC ಯನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.) ಹಂತ 6: A ಮತ್ತು C ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು AC ಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ AC ಯು ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ಕಂಸಗಳು T ಮತ್ತು U ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಹಂತ 7: TU ಜೋಡಿಸಿ. ಈ ರೇಖೆಯು AC ಯನ್ನು N ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ (TU ರೇಖೆಯು AC ಯನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ.) |
|
|
ಗಮನಿಸಿ: ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಲಂಬಾರ್ಧರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ‘S’ ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವಿಸುತ್ತವೆ. |
|
|
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬಾರ್ಧರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು “ಪರಿಕೇಂದ್ರ” (Circumcenter) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ‘S’ ಅಥವಾ ‘C’ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. |
|
ಗಮನಿಸಿ: ABಯ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕXY ಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದು ಕೂಡಾ A ಮತ್ತು B ಯಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ‘S’ ಕೂಡಾ A ಮತ್ತು B ಯಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ..
ಅದೇರೀತಿ, PQ ಲಂಬದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ B ಮತ್ತು C ಯಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ‘S’ ಕೂಡಾ B ಮತ್ತು C ಯಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, SA=SB=SC.
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವೀಗ S ನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು SA ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆದರೆ, ಆ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗ ಬಿಂದು (A, B, C) ಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:
ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಆ ತ್ರಿಕೋನದ “ಪರಿವೃತ್ತ” (circumcircle’) ಎನ್ನುವರು.
ನಾವೀಗ, ಮೂರು ವಿಧದ(ವಿಶಾಲಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ಮತ್ತು ಲಘುಕೋನ) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಮನಿಸುವಾ.
|
|
|
|
|
ಚಿತ್ರ 1 |
ಚಿತ್ರ 2 |
ಚಿತ್ರ 3 |
|
ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ PQR ವು ವಿಶಾಲಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಕೇಂದ್ರ ‘S’ , ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರ ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ |
ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ಯು ಲಘುಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು ಪರಿಕೇಂದ್ರ ‘S’, ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗಿದೆ |
ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ DEF ವು ಲಂಬಕೋನತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಪರಿಕೇಂದ್ರ ‘S’, ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿದೆ. |
6.5.4 ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನೆಳೆಯುವುದು (Construction of angular bisector):
|
ಹಂತ 1: ದತ್ತ ಅಳತೆಯ ABC ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ರಚಿಸಿರಿ.
ಹಂತ 2: A ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು AB ಮತ್ತು AC ಗಳನ್ನು P ಮತ್ತು Q ಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 3: P ಮತ್ತು Q ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು PQ ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, R ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 4: AR ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು |
|
|
ಹಂತ 5: B ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಅನುಕೂಲವಾದ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ,, BC ಮತ್ತು BA ಗಳನ್ನು T ಮತ್ತು S ಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 6: T ಮತ್ತು S ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, TS ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು U
ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ ಹಂತ 7: BU ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು ಹಂತ 8: C ಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಅನುಕೂಲವಾದ ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ,,
CA ಮತ್ತು CB ಗಳನ್ನು W ಮತ್ತು V ಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಹಂತ 9: W ಮತ್ತು V ಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, WV ನ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ಕಂಸಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು X
ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ ಹಂತ 10: CX ನ್ನ ಜೋಡಿಸಿ. ಇದು ಹಂತ 11: ಮೂರು ಕೋನಾರ್ಧಕಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುವುದು. ಅದನ್ನು I ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿ. |
|
|
ಗಮನಿಸಿ: ಮೂರು ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು ‘I’ ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಭವಿಸುತ್ತವೆ. |
|
|
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು “ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ” (Incenter) ಎನ್ನುವರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನ ‘I’ ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. |
|
6.5.5 ಅಂತಃವೃತ್ತದ ರಚನೆ (Construction of Incircle):
|
ಹಂತ 1: ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂತಃಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.(I) ಹಂತ 2: I ಯಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳಾದ AB, BC ಮತ್ತು CA ಗಳಿಗೆ ಲಂಬಗಳನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಅವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆ ಬಾಹುಗಳನ್ನು L,M ಮತ್ತು N ಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. IL=IM=IN ಆಗಿರುವುದನ್ನ ಗಮನಿಸಿ.
ಹಂತ 3: I ಯನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು IL ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. |
|
|
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ:ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂತಃಕೇಂದ್ರವನ್ನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಯುಳ್ಳ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವೇ ಆ ತ್ರಿಕೋನದ ಅಂತಃವೃತ್ತ.(incircle). |
|
ಗಮನಿಸಿ:
1. ಮೂರು ವಿಧದ(ವಿಶಾಲಕೋನ, ಲಂಬಕೋನ ಮತ್ತು ಲಘುಕೋನ) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತ:ಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.
2. ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೇಂದ್ರ = ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ = ಪರಿಕೇಂದ್ರ = ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ
|
ಸಂಖ್ಯೆ |
ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು |
ಏಕೀಭವನ ಬಿಂದುಗಳು |
ಬಿಂದುವಿನ ಹೆಸರು |
ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನ |
|
1 |
ಲಂಬಗಳು |
O |
ಲಂಬ ಕೇಂದ್ರ |
*** |
|
2 |
ಕೋನಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು |
I |
ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ |
ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳಗೆ |
|
3 |
ಮಧ್ಯ ರೇಖೆಗಳು |
G |
ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ |
ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳಗೆ |
|
4 |
ಲಂಬಾರ್ಧಕಗಳು |
S/C |
ಪರಿಕೇಂದ್ರ |
*** |
*** : ವಿಶಾಲಕೋನವಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಗೂ, ಲಘುಕೋನವಾದರೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೂ, ಮತ್ತು ಲಂಬಕೋನವಾದರೆ ಲಂಬಕೋನದ ಶೃಂಗ/ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲೂ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನ ಇರುತ್ತದೆ.
How to
Remember?
OIGS stands for On India Government Services is for All (Altitudes) Indian (Angular) Middle(Medians) class People (Perpendicular bisectors).
ಅಭ್ಯಾಸ:
|
ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೂ 4 ಕೇಂದ್ರಗಳು ಇದ್ದೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತಿರುವ ತ್ರಿಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಂದು ಮರದ ಹಲಗೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿಯೇ ಕೊರೆದ ರಂಧ್ರದ ಮೂಲಕ ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಹಗ್ಗದ ಆಧಾರದಿಂದ ಆ ಹಲಗೆಯನ್ನು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇತಾಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ ಆ ರಂಧ್ರ ಯಾವ ಬಿಂದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ? |
|
6.5 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ
|
ಸಂ. |
ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು |
|
1 |
ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಅದರ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುವಿಗೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವೇ
ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರ. |
|
2 |
ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಏಕೀಭವನ ರೇಖೆಗಳು ಹಾದು
ಹೋಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವೇ ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದು. |
|
3 |
ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಲಂಬಕೇಂದ್ರ (O) |
|
4 |
ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯರೇಖೆಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಗುರುತ್ವಕೇಂದ್ರ (G) |
|
5 |
ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳ ಲಂಬಾರ್ಧಕ ರೇಖೆಗಳು
ಏಕೀಕರಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಪರಿಕೇಂದ್ರ (S). ಪರಿಕೇಂದ್ರ್ರವು
ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದು, ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವು ಪರಿವೃತ್ತ. |
|
6 |
ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಾರ್ಧಕಗಳು ಏಕೀಭವಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಅದರ ಅಂತಃಕೇಂದ್ರ(I). ಅಂತಃಕೇಂದ್ರವು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದು, ತ್ರಿಭುಜದ ಮೂರು ಬಾಹುಗಳನ್ನ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ವೃತ್ತವು ಅಂತಃವೃತ್ತ. |
ಗಮನಿಸಿ: ಮುಂದೆ ಪಾಠ 6.13 ರಲ್ಲಿ ಈ ರೇಖೆಗಳ ಏಕೀಭವನವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಿಕ್ಕಿದ್ದೇವೆ.
