1.7  ಕರಣಿಗಳು: (Surds)

ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

ಸಂಖ್ಯೆ	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ	ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಮೂಲ	ಚಿಹ್ನೆ
1	1	1	=1
2	4	1.414 (ಅಂದಾಜು)
3	9	1.732 ( ಅಂದಾಜು)
4	16	2	=2
5	25	2.236 (ಅಂದಾಜು)
6	36	2.449 ( ಅಂದಾಜು)
7	49	2.646  ( ಅಂದಾಜು)
8	64	2.828 ( ಅಂದಾಜು)
9	81	3	=3

ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ ತಿಳಿದು ಬರುವುದೇನಂದರೆ, 2,3,5,6,8  ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲವನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೂ (ಪಾಠ 1.5 ನೋಡಿ) ಅವುಗಳ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಉಪಯೋಗಿಸಿದಾಗ  =1.41421356237310. . . . ಮತ್ತು  = 2.23606797749979. . . .  ಎಂದು ತಿಳಿದು ಬರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, 1,4,9  ಇವುಗಳ ವರ್ಗ ಮೂಲಗಳಾದ 1,2,3  ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು  ಮತ್ತು ಇತರ ಭಾಗಲಬ್ಧ  ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೆ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ _{, ,}  ನಂತಹ ದಶಮಾಂಶಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

 

  ಮತ್ತು   ರಂತೆಯೇ , ಕೂಡ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕಗೊಳ್ಳದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.

 

,, , ಇವುಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ. ಇವುಗಳು ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳದ, ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶಗಳು.

ಇವುಗಳನ್ನು ಕರಣಿಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಕರಣಿಯು(surd) ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೂಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಕರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯರೂಪ:    ಇಲ್ಲಿ   a >0 ಮತ್ತು n>1. ಇಲ್ಲಿ  ‘n’  ನ್ನು ಕರಣಿಕ್ರಮ(order) ಮತ್ತು ‘a’ ಯನ್ನು ಕರಣೀಯ (radicand) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ( ಇದು ಮೂಲ ಎನ್ನುವ  ಚಿಹ್ನೆ.)

ಪ್ರತಿ ಕರಣಿಯೂ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದರೆ ಪ್ರತೀ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕರಣಿ ಅಲ್ಲ.

(ಉದಾ: ,   : ಇವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದರೆ ಕರಣಿಗಳಲ್ಲ.)

ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಘಾತಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು.

= 2^1/2, = 5^1/3, 8= 8*7^1/5

 

ಗಮನಿಸಿ:

1.  (2^1/2) *(2^1/2) =  * = 2. ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ (2^1/2) *(2^1/2) =2^1/2+1/2 = 2¹= 2

2. ()* ()*() =  = 4.  ಘಾತಾಂಕದ ಮೊದಲ ನಿಯಮದಂತೆ ಕೂಡಾ 4^1/3*4^1/34^1/3 = 4^1/3+1/3+1/3= 4^3/3= 4¹=4      

 

ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು:- 

 =(405)^1/4 = (81*5)^1/4 = (3⁴*5)^1/4 = 3^4*1/4* 5^1/4 = 3¹*5^1/4= 3 (ಘಾತಾಂಕದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ)

 

 

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಹಗುಣಕವು  ‘1’  ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಶುದ್ಧಕರಣಿಗಳು (pure surds).  ಉದಾ: , , .

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ  ಸಹಗುಣಕವು  ‘1’  ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಮಿಶ್ರಕರಣಿಗಳು(mixed surds).  ಉದಾ: 5,8,4( ಸಹಗುಣಕಗಳು: 5, 8, 4).

ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (like surds). ಉದಾ:  5,7.8 ( ಇಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ  ಕರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಕರಣೀಯ 3, ಕರಣಿಕ್ರಮ 2).

ಕರಣೀಯ ಮತ್ತು ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರುವ ಕರಣಿಗಳು ಅಸಮರೂಪ ಕರಣಿಗಳು (unlike surds).

ಉದಾ:

(i)  , ,  (ಕರಣಿಕ್ರಮ: 2, ಕರಣೀಯ: 3, 2, 5)

(ii),  ,  ,  (ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳು: 3, 5 ಕರಣೀಯ: 4)

 

 

ಗಮನಿಸಿ: ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಿಯಮದಂತೆ (ಪಾಠ 2.2 ನೋಡಿ).

 

1. ()ⁿ =a

2. * =

3.  / =

4.  = ಆದರೆ, a=b ಆಗುತ್ತದೆ.

5.  > ಆದರೆ, a>b ಆಗುತ್ತದೆ.

6.   < ಆದರೆ, a<b ಆಗುತ್ತದೆ.

 

1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 1: ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ  +-

 

ಪರಿಹಾರ:

50 =25*2 = 5²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  = 5

32 =16*2 = 4²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  = 4

72 =36*2 = 6²*2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ  = 6

  +- = 5+4-6 =(5+4-6) = 3

 

1.7 ಸಮಸ್ಯೆ 2 :  ಮತ್ತು  ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ಕರಣಿಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ (3 ಮತ್ತು 4)  ಒಂದೇ ಆಗಿಲ್ಲದೇ  ಇರುವುದರಿಂದ ಕರಣೀಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಯಾವುದು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ( ಉದಾ:  >   )  ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವೆರಡರ  ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಅಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.  ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಕನಿಷ್ಠ  ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಕರಣಿಕ್ರಮಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ  3 ಮತ್ತು 4  ರ  ಲ.ಸಾ.ಅ.  12 ಆಗಿದೆ

 = 4^1/3= 4^4/12 = (4⁴)^1/12=256^1/12=

 =6^1/4 = 6^3/12= (6³)^1/12=216^1/12=

256>216 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ   >

I.e.  >

 

ಗಮನಿಸಿ:   ಕರಣಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಕರಣಿಕ್ರಮ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

 

1.7. ವರ್ಗಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದು.(Representing square root of numbers on number line):

 

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಮದಿಂದ ರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ..

(5 ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳವರೆಗೆ =1.73205)

ಆದರೆ  ರ ಬೆಲೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ‘x+1’ ನ್ನ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು:

()²  = x +1 = ()²+1²  ====è(1)

 

ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವಿಕರ್ಣದ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗವು ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ಮೇಲಿನ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮ.

(ವಿಕರ್ಣ)²  =(1 ನೇ ಬಾಹು)² +(2 ನೇ ಬಾಹು)²   

  

 

 

1 ನೇ ಬಾಹು	2 ನೇ ಬಾಹು	ಸಮೀಕರಣ	ವಿಕರ್ಣ
4	3	52 =   25  =  16 +   9   =  42+32	5
12	5	132 = 169 = 144+ 25  = 122+52	13
20	15	252 = 625 = 400+225 = 202+152	25

 

 

 

ಸಮೀಕರಣ (1) ನ್ನ ಗಮನಿಸಿದಾಗ,ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು  ಮತ್ತು 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದ:  ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

 

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಬಾಹುಗಳು	ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯ	ವಿಕರ್ಣ
1, 1	12+ 12=()2
, 1	()2+ 12=32
,1	()2+ 12=42
………	…….	……
,1	()2+ 12=(99)2
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ,1	()2+ 12=(x+1)2

 

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ,  ಮತ್ತು 1 1 ನ್ನ ಎರಡು ಬಾಹುಗಳನ್ನಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸಿದರೆ ಆಗ ಅದರ ವಿಕರ್ಣವು ಈ ಕ್ರಮದಿಂದ ಈಗ ನಾವು ಮತ್ತು   ರ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾ.

1.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 1:   ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

 ಪರಿಹಾರ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆದು ‘O’ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. O ನಿಂದ 1 ಸೆ.ಮಿ. ದೂರದಲ್ಲಿ  A ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಈಗ, OA=1 ಸೆ.ಮಿ. A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. 1 ಸೆ.ಮಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ A ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಮೇಲೆ ಎಳೆದ ಲಂಬರೇಖೆಯನ್ನು B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಆಗ, AB = 1 ಸೆ.ಮಿ. OB ರೇಖೆಯನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. ಈಗ ನಮಗೆ OA = AB =1 ಸೆ.ಮಿ. ಬಾಹುಗಳುಳ್ಳ OAB ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ಸಿಕ್ಕಿದೆ.  ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ OB2 = OA2+AB2 =  12+12= 1+1 =2  OB =   OB ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ, O ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.   OP  =

1.7.1 ಸಮಸ್ಯೆ 2:  ನ್ನ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಿ.

 

ಪರಿಹಾರ:

ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನಃ ಮಾಡಿ. ಈಗ ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಗೆ P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲಂಬವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.   P ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, 1 ಸೆ.ಮಿ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಈ ಲಂಬವನ್ನು C ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ. PC = 1 ಸೆ.ಮಿ. OC ಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಿರಿ.  ಪೈಥಾಗೊರಸನ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ  OC2 =OP2+PC2 = ()2+12 =2+1   OC = O ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು,OC ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯನ್ನುQ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಯುವಂತೆ ಒಂದು ಕಂಸವನ್ನೆಳೆಯಿರಿ.  OQ=

 

 

ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:   ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ಕೇಂದ್ರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, (OB,OC,OD,OE….) ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಿಂದ ಎಳೆದ ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತ ಭಾಗಗಳಿವೆ.     OB =, OC =, OD =, OE =    ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಯಾಗಿದ್ದ ಥಿಯೋಡೊರಸ್. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಥಿಯೋಡೊರಸ್ ಚಕ್ರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

 

 

  1.7 ಕಲಿತ ಸಾರಾಂಶ

 

 

 

 

 

ಸಂಖ್ಯೆ	ಕಲಿತ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು
1   2	ಕರಣಿಗಳು, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುವುದು. ಕರಣಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು.